數(shù)列求和之裂項相消與錯位相減專題

1、數(shù)列求和之裂項相消與錯位相減專題1.裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差、正負相消剩下首尾若干項。1常見拆項公式：而可11n n +11 ill、 =() n(n + 2) 2 n n + 2若是公差為d的等差數(shù)列，則n+ DC n+ 2)2 n( n.4- 1)( rt-|- ) f n+ 2)(2n - 1)(2n +1)2(日一和)n - n!= (n +1)!-n!-二=( % nr k hin 1 k *例 i .求和+ +11X 3 3 X 5 5 X 7(2n - 1)(2n +1)例 2.求和 + 一1 + + + 2 +1 -v3 + 12 2 +3例3.求和Sn2242(2

2、n)2+ +1 - 3 3 - 5(2n - 1)(2n +1)思路分析:分式求和可用裂項相消法求和.(2k)2 -1 +1解a =(2k)2=(2k )2-1 +1 = 1 +1= 1 +1 ) TOC o 1-5 h z k(2k -1)(2k+1)(2k -1)(2k+1)(2k -1)(2k+1)22k -12k+12n(n +1)2n +1S = a + a + . + a = n + ；(1-j) + (： - j) + + (-) = n + 頊-)n 12 n 233 52n -1 2n +122n +1例 4(2014 揭陽一模).已知正項數(shù)列a 滿足:a2 - (n2 +

3、n - 1)a - (n2 + n) = 0(n e N*),數(shù)列的前n項和為Sn，且滿足= 1求數(shù)列aj和bn的通項公式;設c =(2n + 1)bn，數(shù)列c 的前n項和為T，求證：T 2時，2S = 1 + b，兩式相減得b = -b分nnn-n-1,nn-1.數(shù)列bn是首項為1,公比-1的等比數(shù)列，(2n + 1)bn = (-1)n-1 -an2n +1n( n +1)b = (-1)n-1.n方法一：.c2 n-1+ c2n4n -14n +1(4 n - 1)(2n +1) - (4 n + 1)(2n -1)= 2n(2 n 1) 2n(2 n +1)2n(2 n 1)(2n +

4、1)=(2 n - 1)(2n +1)2 n -12n +111分11111T = (c + c ) + (c + c ) + (c+ c )= 一 + - + + 2n12342n-12n1 3 3 52n -12n +1=1-二 1.2n +114分【方法二：Cn(2n + 1)bn = (-1)n-1 尹1 = (-1)n-1 - ( + ) n( n +1)n n +111分T = c + c + c + c +2 n1234_1 1、，1 1、，11、，1 1、+ C2n J C2n= +-+(3 +-+(-! + ) - ( 42n 一 1 2n 2n 2n+11 ) = 1-1

5、1.2n +114分】例5. （2012廣州一模+本小題滿分14分）等比數(shù)列a 的各項均為正數(shù)，2 a , a ,4a成等差數(shù)列，且a = 2a 2.（1）求數(shù)列a n43532n的通項公式；（2）設b %八a，求數(shù)列b 的前n項和S .n 2 n +1 八 2n + 3） nnn（本小題主要考查等比數(shù)列的通項、裂項求和等知識，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法， 以及抽象概括能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識）（1）解：設等比數(shù)列a 的公比為q，依題意，有n2a + 4aa 45 32a 2a 2.v 32a = a + 2a ,a q2 a q3 + 2a q4,即3 c45所以 0, q 0，所以數(shù)

6、列an的通項公式為a.n(n g N* ).-7 分i2n + 52n + 51(2)解：由(1)，得bn = (2 +1)(2 + 3)七=(2n + 1)(2n + 3)-方-所以bn1 ) 111.10 分2n + 3 ) 2n(2n + 1)2n-1(2n + 3)2n所以S = b + b + + bn 12nr 1 1、r 11)+ +一 一一V 3 5 - 2)一一 一V 5 . 2 7 - 22)11(2 n +1)2 n-1 (2 n + 3)2 n=3 -(2n +3) 2 n 故數(shù)列bn的前 n項和1 1=-f3 (2n + 3 )2 n14分2 .錯位相減法求和若aj為

7、等差數(shù)列，bj為等比數(shù)列，求數(shù)列a（差比數(shù)列）前n項例6.已知數(shù)列1,3a,5a2,(2n -1)an-i(a壬0)，求前n項和。思路分析：已知數(shù)列各項是等差數(shù)列1, 3, 5,2n-1與等比數(shù)列a 0, a, a 2, ., an-1對應項積，可用錯位相減法求和。S = 1 + 3a + 5a 2 + + (2 n 1) an-1 G)aS = a + 3a 2 + 5a 3 + (2 n 1) an (2)G)-(2): (1 a)S = 1 + 2a + 2a2 + 2a3 + 2an-1 (2n 1)an(1 - a )2a 豐 1 時,(1 a)S = 1 + 2a(1- a-1)

8、(2n 1)n1 + a (2n + 1)an + (2n 1) an+1(1 - a )2當 a = 1時,S = n 23.并項法求和例7 .數(shù)列a 中，=(1) n+1 n 2，求 S00。例8.數(shù)列a 中，=(1) n 4 n，求 S 20 及 S 35。例 9.已矢口 S = 1 5 + 9 13 +17 21 + + (1) n-1 (4n 3)，貝U S + S22例2： (2010 海南寧夏高考理科T17)設數(shù)列aJ滿足a1 = 2，(I)求數(shù)列a 的通項公式:n(II)令氣=吐，求數(shù)列J的前n項和S孔. =(a a ) + (a a ) +n+1n+1n nn1【規(guī)范解答】(I)由已知，當n X時，a+ (a a )+ a=3(22n-1 + 22n-3 + + 2) + 2 = 22(n+1)-1而a1 = 2，滿足上述公式，所以a 的通項公式為a = 22n1. (I) 由 b = na = n 22n1 可知， ns