線面角異面直線所成角的求法

1、線面角、異面直線所成角的求法一、基本知識： 求異面直線所成的角a, b為兩異面直線，A， C與 B， D 分別是a, b上的任意兩點，a, b所成的角為，則 cos則 cos求直線和平面所成的角 定義： 平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角，a求法：設(shè)直線 l 的方向向量為a ，平面的法向量為u ，a與 u 的夾角為， 則 為 的余角或的補角.即有：au sin cos au.直線方向向量和平面法向量的求法(1)直線的方向向量：l 是空間一直線，A， B 是直線 l 上任意兩點，則稱AB為直線l 的方向向量，與AB平行的任意非零向量也是直線l 的方向向量(2

2、)平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a， b 是平面 內(nèi)兩不共線向量，n 為平面 的n a 0，法向量，則求法向量的方程組為n b 0.二、典型例題及跟蹤練習 類型一：求異面直線所成的角(用空間向量法求解)M ， N 分別是A1B1， A1C1【 2014 全國卷2M ， N 分別是A1B1， A1C1BC=CA=CC1，則BM 與 AN 所成的角的余弦值為()A.110B. 2A.110B. 23010D.C為原點，直線CA為 x軸，直線CB為 y軸，直線CC1 為 z軸，則設(shè)CA=CB=1，1 11uuur 11 uuru 1則 B(0,1,0)， M ( , ,1)， A( 1， 0， 0

3、) ， N()10, ， 故 BM ( ,1)， AN (,0,1) ，222222所以uuur uuruuuuruuruBMANcosBM ,ANuuuruuru34651300，故選 C.22查了空間幾何體棱柱的性質(zhì)，異面直線所成角，空間直角坐標，空間|BM | 34651300，故選 C.22查了空間幾何體棱柱的性質(zhì)，異面直線所成角，空間直角坐標，空間AB ACAB AC AA1，則異面直B(0，-1,0 ) ，A1)10,(本題屬于中檔題，要求學生根據(jù)根據(jù)已知建立空間直角坐標系，然后利用空【 2010 全國1，文6】直三棱柱ABC A1B1C1中，若BAC 90，線 BA1與 AC1所

4、成的角等于()A 30 B 45 C 60 D 90解析：不妨設(shè)AB=AC=AA1 =1，建立空間直角坐標系如圖所示，則A( 0,0,0 ) C1( 1,0,1)BA1 ( 0,1,1),AC1 ( 1,0,1)BA1 AC1222cos BA1, AC1222BA1 AC1BA1, AC13所以異面直線BA1 與 AC1 所成的角為60跟蹤練習題：AB BC AA1，ABC1、如圖所示，在三棱柱ABC A1B1AB BC AA1，ABC90，點E、 F 分別是棱AB、 BB1的中點，則直線EF 和 BC1 所成的角是解析：以BC 為 x軸，BA為 y軸， BB1 為 z軸，建立空間直角坐標系

5、E(0,1,0)， F(0,0,1)設(shè) AB=BC=AA1=2，則CE(0,1,0)， F(0,0,1)EF (0, 1,1),BC1 (2,0, 2)cosEF BC1 2cos2222EF 和 BC1 所成的角為60（2018 年全國卷2，理9）在長方體ABCD A1B1C1D1中，AB BC 1 ， AA13，則異AD1與 DB1 所成角的余弦值為（1 A51 A5B65C5C52D2答案： C（2018 年全國卷2，文9）在正方體ABCD A1B1C1D1 中，E 為棱 CC1的中點，則異面直線AE 與 CD 所成角的正切值為（）A22A22B32C52D72答案： C類型二：用幾何法

6、求解1答案： C類型二：用幾何法求解1【、 2009 全國卷,文 9】 已知三棱柱ABC A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等,A1 在底面 ABC上的射影為BC 的中點,則異面直線AB 與 CC上的射影為BC 的中點,則異面直線AB 與 CC1 所成的角的余弦值為（）A.45 B.47 C.43 D.4:設(shè)棱長為2,BC 的中點為D,得 AD 3 .在 Rt A 1AD 中，ADAA12 AD 222 ( 3)2 1.在 Rt A1BD 中，A1BA1D2 BD22 . AA 1 CC1,AB 與 AA1 所成的角A1AB 即為AB 與 CC1 所成的角在A1AB 中 ,由余弦定理在A1AB

7、中 ,由余弦定理,得 cos A1AB=222AA12 AB2 A1 B2442 32AA1 AB2224所以選 D所成角的2、如圖，正四棱柱ABCD A1B1C 1D1 中，AA1 2AB ，則異面直線A1B 與 AD1所成角的余弦值為（）1 A.5：D連接BC1 ，則A1B與 BC1 所成角即為所求，在A1BC1 中，設(shè)AB a則 A1B BC15a,A1C12aA1B2 C1B2 A1C12cos A1BC1111 112A1B C1B（ 2017 年全國卷2，理10）已知直三棱柱ABC A1B1C1 中，ABC 120 ， AB 2 ， TOC o 1-5 h z BCCC11 ，則異

8、面直線AB1與 BC1 所成角的余弦值為（）A3B15C10D32553【解析】如圖所示，補成直四棱柱ABCD A1 B1C 1D1 ，則所求角為BC1D, BC12, BD22 1 2 2 1 cos60 3,C1D AB15 ，BC210易得C1D2 BD2 BC12，因此cos BC1D1，故選C111 C1D55【 2011 全國 1，文 15】已知正方體 ABCD A1B1C1D1 中，E為 C1D1的中點，則異面直線AE與 BC所成的角的余弦值為2【答案】23解析：取A1B1 的中點F，則AEF 為所求角，設(shè)棱長為2，則AE=3， AF 5, EF 2222cos AEFAE 2

9、EF 2 AF 2cos AEF2 AE EF【2012 全國1，文16】已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，CC1 的中點，那么異面直線AE 與 D1F所成角的余弦值為5：設(shè)正方體的棱長為a. 連結(jié)A1 E，可知D1F A1E，AE與 D1F所成的角可轉(zhuǎn)化為AE與 A1E所成的角，在AEA1中，cos AEA1線面角1、 【 2010 全國1，文9在AEA1中，cos AEA1線面角1、 【 2010 全國1，文9】正方體A. 2 B. 3 C.33解析：不妨設(shè)正方體的棱長為a2 a2 a2 a2a22 a2a2ABCD A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的

10、余弦值為()23 D.1 ，如圖建立空間直角坐標系，則D( 0,0,0 ) ， B(1,1,0),B（1 1,1,1）平面 ACD1 的法向量為DB1 =(1,1,1又 平面 ACD1 的法向量為DB1 =(1,1,1又 BB1=（ 0,0,1）cosDB1, BB1DB1 BB1DB1 BB131所以BB1與平面ACD1所成角的余弦值為32、【 2008 全國 1， 文 11】 已知三棱柱ABC A1B1C1 的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABCABC 的中心，則AB1與底面ABC 所成角的正弦值等于(1 A31 A32B33C32D33、 【 2010 全國2，文8】已知三棱錐S AB

11、C中，底面ABC為邊長等于2 的等邊三角形，SA垂直于底面ABC， SA 3，那么直線AB與平面 SBC所成角的正弦值為()A 3 B 5 C 7 D 3A. B. C. D.答案： D解析：( 向量法 )以 A為原點，分別以AB、 AS所在直線為x軸、 z軸建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz，易 TOC o 1-5 h z 知S(0,0,3)，B(2,0,0)，C(1 ，3， 0) 設(shè)平面SBC的法向量為n(x，y，z)n BC (x,y,z) ( 1, 3,0) 0則，得 n (3，3， 2)，又 AB (2,0,0) ，n BS (x, y, z) ( 2,0,3)0AB n 63當 為 AB與

12、平面SBC所成的角時，sin |cos AB ， n | AB n 2 16444、在正四棱柱ABCD A1B1C1D1 中，AA1 2AB，則CD 與平面BDC 1所成角的正弦值等于解析：以D 為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖，設(shè)AA1 2AB 2 ，則D（ 0,0,0 ）C(0,1,0) B ( 1,1,0 )C1(0,1,2) ，則 DC (0,1,0), DB (1,1,0), DC1 (0,1,2)設(shè)平面 BDC1的法向量為n （x,y,z），則 n DB, n DC1xy0所以有，令 y2，得平面BDC1 的一個法向量為n （2, 2,1）y 2z 02設(shè) CD與平面BDC1

13、所成的角為，則 sin cos n.DC135、 【 2016 高考新課標3 理數(shù)】如圖，四棱錐 P ABC 中， PA 地面 ABCD ， AD BC ，AB AD AC 3， PA BC 4， M 為線段 AD 上一點，AM 2MD ， N 為 PC 的中點I ）證明 MN 平面 PAB ；II ）求直線AN 與平面 PMN 所成角的正弦值【解析】試題分析：（） 取 PB 的中點 T ， 然后結(jié)合條件中的數(shù)據(jù)證明四邊形AMNT 為平行四邊形，從而得到MN AT ，由此結(jié)合線面平行的判斷定理可證；()以A為坐標原點，以AD, AP 所在直線分別為y,z 軸建立空間直角坐標系，然后通過求直線A

14、N 的方向向量與平面 PMN 法向量的夾角來處理AN 與平面 PMN 所成角試題解析：( 1)由已知得AM AD 2 ，取 BP 的中點T，連接AT， TN，由N 為 PC中點知TN BC TN BC 2又 AD BC，故TN AM，四邊形AMNT 為平行四邊形，于是MN AT因為 AT 平面PAB， MN 平面 PAB 所以MN平面PAB( 2)取BC中點E，連接AE，由AB=AC得AE BC，從而AE AD，且AEAB2BE2AB2(BC)25以 A為坐標原點，AE 的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ) xyz，5由題意知，P(0,0,4)， M (0,2,0)， C( 5,

15、2,0)， N( 5,1,2)，55PM (0,2, 4) ， PN ( 2 ,1, 2)， AN ( 2 ,1,2) .2x 4z 0設(shè) n (x,y,z) 為平面 PMN 的法向量，則設(shè) n (x,y,z) 為平面 PMN 的法向量，則n (0, 2,1)，|n AN |8 5于是 |cos n, AN |.| n | AN |25，即 5，可取n PN 0 x y 2z 0( 1)證明立體幾何中的平行關(guān)系，常常是通過線線平行來實現(xiàn)，而線線平行常2( 1)證明立體幾何中的平行關(guān)系，常常是通過線線平行來實現(xiàn)，而線線平行常2、棱錐的體積常利用三角形的中位線、平行四邊形與梯形的平行關(guān)系來推證；(

16、 2) 求解空間中的角和距離 常?？赏ㄟ^建立空間直角坐標系，利用空間向量中的夾角與距離來處理6、 （ 2018 年全國卷1，文10）在長方體ABCD A1B1C1D1 中，AB BC 2， AC1與平面 BB1C1C 所成的角為30 ，則該長方體的體積為（）A 8B 6 2C 8 2D 8 3答案： C151522226學生使用（可直接打印）類型一：求異面直線所成的角（用空間向量法求解）1、 【 2014 全國卷2，理11】直三棱柱學生使用（可直接打?。╊愋鸵唬呵螽惷嬷本€所成的角（用空間向量法求解）1、 【 2014 全國卷2，理11】直三棱柱ABC-A1B1C1 中，BCA=90，M ， N

17、 分別是A1B1， A1C1A.BC=CA=CC1，則BM 與 AN 所成的角的余弦值為（）110B.C 30C.10D.類型一：求異面直線所成的角（用空間向量法求解）【 2014 全國卷2，理11】直三棱柱ABC-A1B1C1 中，BCA=90，M ， N 分別是A1B1， A1C1BC=CA=CC1，則BM 與 AN 所成的角的余弦值為（）A.110B. 2A.110B. 23010D.跟蹤練習題：1、如圖所示，在三棱柱ABC A1B1C1 中，AA1底面ABC， AB BC AA1， ABC90，點E、 F 分別是棱AB、 BB1的中點，則直線EF 和 BC1 所成的角是（2018 年全

18、國卷2，理9）在長方體ABCD A1B1C1D1中，AB BC 1 ， AA13，則異AD1與 DB1 所成角的余弦值為（）AB5AB5C55D（2018 年全國卷2，文9）在正方體ABCD A1B1C1D1 中，E 為棱 CC1的中點，則異面直線AE 與 CD 所成角的正切值為（）B3BB3B2C5CD類型二：用幾何法求解1、【 2009 全國卷,文 9】 已知三棱柱ABC A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等,A1 在底面 ABC上的射影為BC 的中點,則異面直線AB 與 CC1 所成的角的余弦值為（）A.7 C.4A.7 C.4D.2、如圖，正四棱柱ABCD A1B1C 1D1 中，AA1 2AB ，則異面直線A1B 與 AD1 2、如圖，正四棱柱余弦值為（）3、 （ 2017 年全國卷2，理10）已知直三棱柱ABC A1B1C1 中，ABC 120 ， 3、 （ 2017 年全國卷BCCC11 ，則異面直線AB1與 BC1 所成角的余弦值為（）3 A2B510C53 D3【 2011 全國 1，文15】已知正方體 ABCD A1B1C1D1 中，E為 C1D1的中點，則異面直線AE與 BC所成的角的余弦值為【2012 全國 1，文16】已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，CC1 的中點，那 TOC o 1-5 h z 么異面直線AE 與 D1F所成