開腔理論的物理概念和衍射理論分析方法

1、12.3 開腔理論的物理概念和衍射理論分析方法在開腔中是否存在電磁場的本征態(tài)或不隨時間變化的穩(wěn)態(tài)場分布?如何求場分布?與輸出相關(guān)的是鏡面上的場!穩(wěn)態(tài)場分布的形成:可看成光在兩鏡面間往返傳播的結(jié)果!方法一個鏡面上的場另一個鏡面上的場求解衍射積分方程!一、開腔模的一般物理概念1、理想開腔模型兩塊反射鏡面放在無限大的均勻的各向同性介質(zhì)中?？珊雎郧粋?cè)壁的不連續(xù)性，決定衍射效應(yīng)的孔徑由鏡的邊緣決定！22、決定腔模形成的損耗：主要是腔鏡邊緣的衍射損耗，其他的損耗只使橫截面上各點的場按照相同比例衰減！3、穩(wěn)態(tài)場的形成模的“自再現(xiàn)”鏡1上的場分布，到達鏡2時，由于衍射，要經(jīng)歷一次能量的損耗和場分布的變化，中間

2、能量損失小，鏡邊緣損失大，每單程渡越一次，都會發(fā)生類似的能量損耗和場分布變化，多次往返后，從而逐漸形成中間強、邊緣弱的基本不受衍射影響的穩(wěn)態(tài)場分布，該穩(wěn)態(tài)場分布一個往返后可“自再現(xiàn)”出發(fā)時的場分布，唯一變化是鏡面上各點的場振幅按同樣的比例衰減，各點相位發(fā)生同樣大小的滯后。(1) 自再現(xiàn)模：往返一次能再現(xiàn)自身的穩(wěn)態(tài)場分布。(2)往返損耗：自再現(xiàn)模往返一次的損耗。(3)往返相移：自再現(xiàn)模往返一次的相位變化，等于2的整數(shù)倍。3二、自再現(xiàn)物理過程的形象化描述和定性解釋孔闌傳輸橫向場振幅分布和相位分布都均勻的平面波入射，經(jīng)過多次孔闌的衍射影響后，二者都變得不再均勻，成為相對場振幅和相對相位分布都不受衍射

3、影響的穩(wěn)態(tài)場分布。開腔的自再現(xiàn)模 或 橫?？钻@傳輸線幅度、相位空間相干性的衍化41、只有不受衍射影響的場分布才能形成穩(wěn)定的場分布，成為自再現(xiàn)模。三、幾點理解2、衍射起“篩子”作用，將腔中允許存在的自再現(xiàn)模從各種自發(fā)輻射模中篩選出來。3、自再現(xiàn)模是多次衍射的結(jié)果，與初始波形無關(guān)，但不同的初始波形最終形成的場分布不同，而自發(fā)輻射可提供不同的初始波形,因此決定了自再現(xiàn)模的多樣性。4、每經(jīng)過一次衍射，光束橫截面上各點的相位關(guān)聯(lián)度便增加一次，則由于經(jīng)過足夠多次衍射的作用后，光束橫截面上各點的相位關(guān)聯(lián)越來越緊密，從而使光的空間相干性變強。52、定量處理開腔模式問題的數(shù)學(xué)理論：菲涅耳基爾霍夫衍射積分功能：如

4、果知道了光波場在其所達到的任意空間曲面上的振幅和相位分布，就可以求出該光波場在空間其他任意位置處的振幅和相位分布。1、分析衍射的理論基礎(chǔ)：惠更斯菲涅耳原理四、菲涅耳基爾霍夫衍射積分各子波源發(fā)出的球面波傾斜因子6S1S2經(jīng)過j次渡越后所生成的場u j+1產(chǎn)牛它的場u j之間也應(yīng)滿足類似的迭代關(guān)系：7五、對稱開腔中自再現(xiàn)模應(yīng)滿足的積分方程式按照自再現(xiàn)理論，當(dāng)渡越次數(shù)j足夠大時，除了一個表示振幅衰減和相位移動的復(fù)常數(shù)因子 以外，uj+1應(yīng)該再現(xiàn) uj，則：代入迭代關(guān)系得8則不受衍射影響的穩(wěn)態(tài)場分布函數(shù)v( x, y )為：其中的積分核為：當(dāng)腔長L和鏡線度a滿足：L a，或曲面反射鏡的曲率半徑R和鏡線

5、度a滿足： R a時，有：L19則初步簡化后的自再現(xiàn)模方程為：六、復(fù)常數(shù) 的物理意義e - ：單程渡越的振幅衰減！ 越大，則衰減愈厲害，若 0 ，則模無損耗傳播。10 表示每經(jīng)單程渡越后模的相位滯后， 愈大，相位滯后愈多。(1) 對稱開腔中模的單程損耗d：自再現(xiàn)模單程渡越后的相對功率損耗。(2) 對稱開腔中模的單程總相移若滿足：一般的諧振條件11注意：若對非對稱開腔，則應(yīng)按照往返一次進行討論！結(jié)論： 的模反映單程或往返一次的相對功率損耗，輻角反映單程或往返一次的總相移，從而決定諧振頻率。七、分離變量法1、求解自再現(xiàn)模方程的思路(1) 由開腔的具體結(jié)構(gòu)，給出方程的具體形式并做簡化具體做法：由對稱

6、性引入適當(dāng)坐標(biāo)系由 、a、L的數(shù)量級關(guān)系 ，將積分核 做泰勒展開舍去展開式中的小量，從而將方程簡化(2) 進行變量分離，將化簡后的積分方程化為兩個單元函數(shù)的積分方程。122、可行性分析研究表明，對矩形及圓形平面鏡腔、共焦球面或拋物面腔和一般球面鏡腔等幾種常見的幾何結(jié)構(gòu)，以上的簡化和變量分離是可能的！3、方程簡化和分離變量的事例分析(1) 對稱矩形平面鏡腔 ( 2a2b )數(shù)量關(guān)系：13若滿足：可做菲涅耳近似：14則模方程變?yōu)椋悍蛛x變量，令：則積分核為：15模方程變?yōu)閮尚问酵耆粯拥姆匠?，求一個即可：方程的解有多個，其中第m和第n個分別為vm(x)和vn(y)，m和n為相應(yīng)的復(fù)常數(shù)，則：積分本征

7、值方程鏡面上的場分布為：相應(yīng)的復(fù)常數(shù)為：16本征值方程存立的條件： m 和n 取一系列特定值本征值。對應(yīng)本征值m 和n 的滿足方程的場分布函數(shù)vm(x)和vn(y)為本征函數(shù)。本征函數(shù)：決定鏡面上的場分布，包括場的振幅和相位分布。本征值：決定自再現(xiàn)模的傳輸特性，包括模的衰減、相移、諧振頻率等。鏡面上場的振幅分布。鏡面上場的位相分布。求解衍射積分本征值方程的目的意義：求出本征值和本征函數(shù)，從而決定開腔自再現(xiàn)模的全部特征。17(2) 一般球面鏡腔模方程的化簡18用到了：特例：用于方形鏡對稱共焦腔代入自再現(xiàn)模方程2.4 平行平面腔模的迭代解法一、平行平面腔自再現(xiàn)模的形成平行平面腔應(yīng)滿足自再現(xiàn)方程：能

8、解析求解積分本征值方程的開腔是很少的，此時可以利用腔模的“自再現(xiàn)”理論，通過計算機進行數(shù)值求解，稱為腔模的Fox-Li迭代解法。1、迭代解法的原理利用菲涅耳基爾霍夫衍射積分公式平行平面腔的優(yōu)點：光束方向性極好（發(fā)散角?。?、模體積大、比較容易獲得單橫模缺點：調(diào)整精度要求極高，與穩(wěn)定腔比較，損耗也較大，對小增益器件不大適用平行平面腔振蕩模所滿足的自再現(xiàn)積分方程至今尚得不到精確的解析解設(shè)初始場分布為u1，代入上式算u2，再以u2作初始場，再代入上式算u3，以此類推，迭代多次后，若滿足自再現(xiàn)關(guān)系：則說明找到了腔的一個自再現(xiàn)模！2、迭代解法的意義1）直接而直觀地證明了開腔自再現(xiàn)模式的存在性。2）因數(shù)學(xué)迭

9、代的過程與自再現(xiàn)模的形成過程對應(yīng)，因而迭代解法可以加深對自再現(xiàn)模形成的物理過程的理解。3）具有普遍性。原則上可以計算任何幾何形狀的開腔的自再現(xiàn)模。4）可計算腔鏡的傾斜、不平整等對模造成的擾動。缺點：計算復(fù)雜，迭代次數(shù)多。二、平行平面腔基模的基本特征穩(wěn)態(tài)場分布特點：鏡面中心處振幅最大，從中心到邊緣逐漸降低，整個鏡面上的場分布具有偶對稱性，稱為基模。具體結(jié)果進一步的研究:除此“基?！蓖猓€有高階模存在！結(jié)論：初始平面波經(jīng)過多次渡越后，振幅和位相都發(fā)生了變化，振幅形成中間強、邊緣弱的穩(wěn)態(tài)場分布；相位不再是等相位面，即場分布不再是平面波了。也可以計算其它鏡面幾何形狀(如圓形)以及用不同的初始入射波進行

10、計算,還可以計算單程相移和諧振頻率。完成三百次渡越所需要的時間為：當(dāng)腔鏡的菲涅耳數(shù)N足夠大時可獲得近似解析解厄米高斯函數(shù)！方形鏡共焦腔模式的積分方程有嚴格的解析解長橢球函數(shù)！2.5 方形鏡共焦腔的自再現(xiàn)模一、方形鏡對稱共焦腔自再現(xiàn)模所滿足的積分方程式及解析解1、方程式及其變形和化簡線度:條件:由前面第三節(jié)得:作代換:分離變量：則方程變?yōu)椋毫睿簞t方程變?yōu)椋?、積分本征值方程的精確解(1)本征函數(shù)角向長橢球函數(shù)角向長橢球函數(shù)本征函數(shù)描述了鏡面上場的振幅、相位分布！(2)本征值徑向長橢球函數(shù)徑向長橢球函數(shù)本征值決定模的往返相移和損耗！結(jié)論：當(dāng)c取一定值，m、n取一系列不連續(xù)值時，則構(gòu)成一系列本征函數(shù)

11、和本征值。3、長橢球函數(shù)的基本性質(zhì)(1)長橢球函數(shù) 和 都是實函數(shù)。(2)滿足下列積分關(guān)系(3)當(dāng) (或 )時，角向長橢球函數(shù)可有似解析解。二、鏡面上場的振幅和位相分布厄米高斯近似 1、厄米高斯近似：當(dāng)C=2 N 1 或模場分布集中在鏡面中心附近 ( x , y a )時，角向長橢球函數(shù)化為厄米高斯函數(shù)。厄米多項式和高斯函數(shù)的乘積換回x, y可得本征函數(shù)為：(一) 振幅分布常系數(shù)可用近似解來討論共焦腔鏡面上的場分布特性！2、厄米多項式和厄米高斯函數(shù)(1) m階厄米多項式取m/2的整數(shù)部分(2) 最初幾階厄米多項式(3) m階厄米多項式的零點: 因Hm(X)=0有m個根，故 m階厄米多項式有m個

12、零點。(4) m階厄米高斯函數(shù)3、基模: TEM00(1)當(dāng) m = 0, n = 0 時：基模在鏡面上分布為高斯型(2)基模在鏡面上的光斑半徑a、場振幅下降為中心的1/e時對應(yīng)的光斑半徑wos分布特點：腔軸上最強，離腔軸距離r 增大，光強將減弱。鏡面上基模光斑尺寸只與腔長有關(guān)，與反射鏡大小無關(guān)!b、光強下降為中心的1/2時對應(yīng)的光斑半徑wos(3)用Wos表示的鏡面上的模場分布4、高階橫模(1)當(dāng) 時, 鏡面上的場分布, 用 表示。(2) 最初幾階橫模的分布函數(shù)(3) 高階橫模的強度分布m、n的物理意義?高階模的場分布較基模復(fù)雜，有節(jié)線(光強零點)，光斑尺寸擴展。(4) 光斑半徑由國際標(biāo)準化

13、組織(ISO) 的約定，將光斑半徑的平方定義為光場分布坐標(biāo)均方差值的四倍！(二) 位相分布1、由自再現(xiàn)模vmn(x, y) 的輻角決定。2、因長橢球函數(shù)是實數(shù)，故說明無論是基模還是高階模，鏡面上各點場的相位值都相等，且等相位面與共焦腔鏡面重合。注意：不同于平行平面腔！后者鏡面上不同相。三、單程功率損耗由本征值的模決定結(jié)論: (1)某階高階橫模的衍射損耗mn最終只取決于菲涅耳數(shù)N！而與腔的具體幾何尺寸無關(guān)！(2) 所有模式的損耗都隨菲涅耳數(shù)的增加而減小。(3)(4)菲涅耳數(shù)相同時，損耗隨橫模次數(shù)的增加而迅速增加。(對橫模的選擇有利！)見圖2.5.5四、單程相移和諧振頻率1、TEMmn模在腔內(nèi)一次單程渡越的總相移幾何相移附加相移2、諧振頻率(1) 諧振頻率特點a、相同橫?？捎胁煌?諧振頻率(q不同)。b、