線性方程組題庫

1、 (12315(12315(1240-1100-6-90A=-1-2324T006-339T0(12-9-5-137(00-12-6-187(0解：對線性方程組的增廣矩陣A進(jìn)行行初等變換得:2301000015、%320000卩20繪5分001%5分00000、00000丿(13(x)(1、令2分別?。?0(x74令自由未知量x=0,廠0、，得到導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為：x3=0，得方程組的一個(gè)特解：:0=120令自由未知量x=0,廠0、，得到導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為：叫=(一2,10,必叮(2,0,-2,1Y所以方程組的全部解為：X=10+叩1+叨2(其中c2為任意常數(shù))。8分10.求線性方程組x+x1

2、2x+x122x+2x12+x3-x3=0 x-2x=145的全部解x-2x=145用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表5x+5x-3x-4x-8x=412345示)。解：對線性方程組的增廣矩陣施行行初等變換得(111000、(111000、11-1-1-2100-2-1-21A=220-1-21T00-2-1-21(55-3-4-847(00-8-4-847(0001200110000(0000-1100.5分/11、T令自由未知量x=0,x=0,x=0，得到一個(gè)特解Y=-,0,石,0,02450122丿再取(x,x,x)T分別為(1,0,0%,(0,1,0,(0,0,，得到導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系:245n=(

3、-i,i,0,0,0)T,n=1,0,1,1,0丫m1=(1,0,-1,0,1)t,所以方程組的全部解為X寸+叩1+叨2+叩3,(2%為任意常數(shù))8分11.用基礎(chǔ)解系表示線性方程組x+x+x一2x=312342x+x-2x=41233x+2x-x-2x=7的全部解。12346x+4x-2x一4x=141234/111-23/10-321、21-204014-42A=32-1-270000034-2-417丿00000丿解：設(shè)方程組的系數(shù)矩陣為A，對其增廣矩陣A作初等變換，得:.5分原方程組同解于x=3x-2x+1134x=-4x+4x+2取x=0,x=0得方程組一個(gè)特解34(120r10-3-

4、2014-4導(dǎo)出組的系數(shù)矩陣可化為00000000丿234導(dǎo)出組與方程組x=3x-2x134x=-4x+4x234得基礎(chǔ)解系：同解，r1、（3、（-2、2+C-4+C401120、00丿一1一7一32-2225一3丿于是得方程組（I）的全部解:k（3,72,3+|-2,2233,ojk為任意常數(shù)）,3分將（3,7,2,3代入（II）的導(dǎo)出組得7p+2+9=0,s-23=0,將-2,-22,-3,o代入（II）得-22p-5q=6-2s+警=t,8分解此四式得p=1,q=一&s=23,t=一28分x+x+x+x=-1123413.已知非齊次線性方程組14x1+3x2+5x3-x4=-1有3個(gè)線性

5、無關(guān)的解,ax+x+3x+13.已知非齊次線性方程組11234（1）證明此方程組的系數(shù)矩陣A的秩為2.求a,b的值和方程組的通解.解：設(shè)a,a,a是方程組的3個(gè)線性無關(guān)的解，則a-a,a-a是AX=O的兩個(gè)線性無1232131關(guān)的解于是Ax=O的基礎(chǔ)解系中解的個(gè)數(shù)不少于2,即4一r（A）2,從而r（A）2,又因?yàn)锳的行向量是兩兩線性無關(guān)的，所以r（A）2,兩個(gè)不等式說明rA）=2.（2）對方程組的增廣矩陣作初等行變換：(1111-*1111A=435-5g13b4丿(004一2a4a+b一5由r(A)=2,得出a=2，b=一3，代入后繼續(xù)作初等行變換:-1、33分4一込.5分(102-42、A

6、T01-15一3,00000.8分(2-九2-2、(1)14.設(shè)A=ll25一九-4,b=ll2一2-45-九丿日一九丿x=22x+4x得同解方程組k1=丄34,得到方程組的通解:X3+X5X234(2,-3,0,0)t+C(-2,1,1,0)t+c2(4,-5,0,1)t,q,c?為任常數(shù).討論九為何值時(shí),方程組AX=b無解、l(-82-21、l(-82-21、ll2-5-52ll0-18-189廠2-4-4-11丿得通解為：,2IX3丿T0I0丿15已知線性方程組(-2、1I0丿kx+k-1X+12kx+kx+2kx+2(k-1)x12(1)k取何值時(shí)，方程組無解；+C20V丿C,C為任意

7、系數(shù))12X=13X3=2，試討論3+kx=23k取何值時(shí)，方程有唯一解，并求出其解；k取何值時(shí)，方程有無窮多解，并求出其通解。8分解：k=0時(shí),r(A)=2豐iA)=32分（2）k豐0k豐2時(shí),rA)=rA)=3,無解；唯一解5分（3）k=2時(shí)，r（A）=r（A）=2無窮多解,通解J1、1+c00i2丿12.8分無關(guān),巴=2a2-a3,如果P=a!+a，求方程組AX=P的通解。16-已知4階方陣A=（ai，a2，a3，a4），ai無關(guān),巴=2a2-a3,如果P=a!+a，求方程組AX=P的通解。x1x1解：令x=x2，則由Ax=(a，a，a，a)x2x1234x33xx442=P34得xa+

8、xa+xa+xa=a+a+a+a，112233441234將巒2a2-匕,代入上式，整理后得（2叮+x2-3比+（-叮+x3）a3+（x4-1）a4=0，由a2由a2，a3，a4線性無關(guān),2x+x一3=012知s-x+x=013x一1=045分解此方程組得)30解此方程組得)30i1丿+k1-21i0丿其中k為任意常數(shù)。.8分一x+九x+Xx=112317已知線性方程組解：23，討論17已知線性方程組解：23，討論九取何值時(shí)，方程無解；有惟解；有無窮多解（不必求解）。解：-1九九1、-1MM1、A=九10T01+M2M2加+九i02九2i02M2-10九一X2/2kXz一氐+1)/21-X、-

9、10XX2/21-X、00X-102X_Xx+12202X2丿丿00X-1丿由于方程九2入C+2=0有解0,1,.4分故得入豐0,1時(shí)有惟一解;入=1時(shí)有無窮多解;試討論下列問題：.8試討論下列問題：.8分TOC o 1-5 h zx+x+x+x=11234x+九x+x+x=118.設(shè)線性方程組為：134x+x+人x+x=11234x+x+x+(九一1)x=21234(1)當(dāng)九取什么值時(shí)，線性方程組有唯一解?(2)當(dāng)九取什么值時(shí)，線性方程組無解?解：線性方程組的系數(shù)行列式為111111111X1解：線性方程組的系數(shù)行列式為111111111X110X100=(X1)2(X2)11X100X10

10、111X1000X2(3)當(dāng)九取什么值時(shí)，線性方程組有無窮多解？并在有無窮多解時(shí)求其解.(要求用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系及它的特解形式表示其通解)。(1)當(dāng)(九1)2(九2)豐0,即九鼻1且九鼻2時(shí)，線性方程組有唯一解;.2.4分(2)當(dāng)九二2時(shí),(1111211111121111100100000，線性方程組無解;1丿6分(3)當(dāng)九二1時(shí)(11111(111111(11102111111000000011TT.01111100000.000001102,.00011丿、00000丿線性方程組有無窮多解，且其通解為8分(x,x,x,x)=k(1,1,0,0)+k(1,0,1,0)+(2,0,0,1)8

11、分123412x+Xx+Ax+x=01234/19.設(shè)線性方程組S2xi+x2+x3+2x4=0，已知13x+G+X)r+(!+A)x+4x19.設(shè)線性方程組S12342分r1九九102分r1九九10、1021-九-九、A=21120tkk01311k32+X4+X41丿kk002(2Xd2X1處1丿時(shí)，3一）代入方程組中得九=A,r（A）=尸6）=3方程組有無窮多解，此時(shí)1當(dāng)九工2該方程組的一個(gè)解，求方程組的全部解。解：將64分10At10At0100k1201_212丿-32）T（c為任常數(shù)）,-32）T（c為任常數(shù)）,.6分11、110122當(dāng)入=時(shí)，Atkk01311k00000k丿方

12、程組的全部解為：（0，苓解，于是r（A）=rG）=2,故方程組有無窮多全部解為：（一2，0+3,1,0+c(-1,2,全部解為：（一2，.8分.8分1220.求一齊次線性方程組，使=（-11A0f0）T，=（7A0A6）T構(gòu)成它的一個(gè)基礎(chǔ)解系。12解：顯然，所求的方程組Ax=O是一個(gè)5元線性方程組，且r（A）=52=3,另一方面即A的每=O另一方面即A的每=O(i=1,2)，得BAT=O，其中B=/、ar1laT丿，因此AT的每列亦行，都是方程組Bx=O的解，且該方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為此對矩陣B施行初等行變換，得為5-r（B）=3，故只要求方程組Bx=的一個(gè)基礎(chǔ)解系片卩2,卩3

13、，則以卩2,卩3為系數(shù)矩陣的方程組匕卩2,卩3x=為此對矩陣B施行初等行變換，得/、ar1laT丿5127121)212/、ar1laT丿5127121)212丿4分6分8分二、證明題（每題8分）1.已知三階矩陣B工O且的每一個(gè)列向量都是方程組x+2x一2x=01232x-x+九x=0的解,1233x+x一x=0123求（1）入的值；（2）證明B=0。（1）解：由B主得B中至少有一非零列向量，B的每一個(gè)列向量都是方程組的解，所給齊次方程組有非零解，則它的行列式2一21A=21X=1九=0，.九=1。34分證明：（反證法）若設(shè)B豐0，則B可逆，因此由題意AB=dA=與A主矛盾，所以B=0。8分x

14、+ax+a2x=a3123叫+bx+加七=b3，若a,b,c,d互不相等，證明方程組無解。123 HYPERLINK l bookmark254 o Current Document x+cx+c2x=c3123x+dx+d2x=d3123證明：由于增廣矩陣B的行列式是范德蒙行列式，且a,b,c,d互不相等，2.已知方程組11111111a2b2c2d2=d-c)b-b)d-a)C-b)lC-a)-(b-a)H0,4分則r（B）=4，而系數(shù)矩陣A為4x3矩陣,r（A）3，0r（A）HrB）,方程組無解.8分3.設(shè)有兩個(gè)n元齊次線性方程組Ax=0，Bx=0。證明：（1）若Ax=0的解都是Bx=O

15、的解，則r（A）rB）；（2）若Ax=0與Bx=0同解，則r（A）=r（B）o證明：（1）由條件知Ax=O的解空間是Bx=0的解空間的子空間，因此Ax=0的解空間的維數(shù)不大于Bx=0的解空間的維數(shù)，即n-r（A）n一rB）,于是r（A）rB）；.4分8分（2）由條件知Ax=O的解空間與Bx=0的解空間是同一空間，因而該空間的維數(shù)為n-rA）=n-rB），由此即得r（A）=r（B）8分x+x+x+x=-14.已知非齊次線性方程組4.已知非齊次線性方程組4x+3x+5x-x=-1有3個(gè)線性無關(guān)的解1234ax+x+3x+bx=11234(1)證明方程組系數(shù)矩陣A的秩r(A)=2；（2）求a,b的值

16、及方程組的通解。解：（1）設(shè)卩，卩，卩是非齊次方程組三個(gè)線性無關(guān)的解，123令=卩卩,a=卩卩，則a,a是其導(dǎo)出組的兩個(gè)解11222312設(shè)ka+ka=0即kB+（k+k）（3+（k）（3=011221112223因P,P,P線性無關(guān)，所以必有k=0,k+k=0,k=0，1231122即k=0,k=0由此得a,a線性無關(guān)，1212因?yàn)閷?dǎo)出組至少有兩個(gè)線性無關(guān)的解，所以其基礎(chǔ)解系至少包含兩個(gè)解，故4-r（A）2,由此得r（A）2；111111另一方面，導(dǎo)出組的系數(shù)矩陣A=4351存在2階不等于零的子式43=-111111另一方面，導(dǎo)出組的系數(shù)矩陣A=4351存在2階不等于零的子式43=-11a1

17、3b所以，r(A)2，綜上所述，即得A)=2。.4分2)因非齊次方程組有解，故其增廣矩陣與系數(shù)矩陣的秩相等，由(1)得1=2-1,故增廣矩陣-1的秩也為2,1j111j1111_435111153a13b142a5+4a+b42a用初等行變換把上述矩陣化為階梯形由此得42a=0,5+4a+b=0，即a=2,b=3Ix+x+x+x=1Ix+x=1xx利用上述階梯形矩陣，可得同解方程組1234即J1234Ix+x5x=3Ix=3x+5x134134Ix=22x+4x由此得通解為：2c3u4,Ix=3+x5x13其中x3,x4為自由未知數(shù)。8分5.設(shè)方程組(1)ax+ax+A111122ax+ax+

18、A211222x=b1nn1+ax=b2nn2MMMax+ax+A+ax=bn11n22nnnnMx+Mx+A+Mx=c1111221nn1Mx+Mx+A+Mx=c及方程組(2)2112222nn2及方程組(2)MMMMx+Mx+A+Mx=cn11n22nnnn其中M是元素a在系數(shù)行列式中的余子式，證明：方程組(1)有惟一解的充要條件是ijijTOC o 1-5 h z方程組(2)有惟一解。/、證明：記方程組(1)和方程組(2)的系數(shù)矩陣分別為A,B，并令A(yù)=V1)+ja，*ij則有ba*ae，即有BIA*I=An，于是，若方程組：1)有惟一解，則(A)=n，即A豐0,從而B豐0，所以方程組(

19、2)有惟一解。4分反之若方程組(2)有惟一解，則rB)=n，即B可逆，所以A=AB-1，若A=0，則A*=O,*從而由亠的定義知a=0，因此B=0，矛盾，故a豐0，所以方程組（1）有惟一解。8分發(fā)展應(yīng)用能力層次、計(jì)算題（每題10分）x+x=01.x+x=01.設(shè)有兩個(gè)四元齊次方程組（I”12o;（II）lxx=024（1）線性方程組（I）的基礎(chǔ)解系；（2）求方程組（I）和（II）的非零公共解。1101x一x+x=0123,x一x+x=04230、-JI0則得(i)的基礎(chǔ)解系為：q=G010】和勺=Ci,1(2).由(1)的結(jié)果，方程組(I)的一般解為：cg+cg=Cc11222一c-c+c=0

20、八221，得C=2c，lc-c+c=012212解：（1）.方程組（I）的系數(shù)矩陣A=若兩個(gè)方程組有公共解，將上式代入方程組（II）中，必有S3分cccT,212所以（I）和（II）的非零公共解為：2cg+cg=cC112C為任非零常數(shù)）。10分2122222.已知非齊次線性方程組）,x+x+x-2x=-6124(1)24x-x-x-x=1；1234(II)2x+mx-x-x=-51234nx-x-2x=-112343x3x-x-x=3123x-2x=-t+134（1）求解方程組（I），用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示通解;（2）QG）同解，求m,n,t的值。解:（1）設(shè)組（D的系數(shù)矩陣為A，增廣矩陣

21、為A，對A作初等行變換，得:100-1-2、A1=（A,b）t010-1-4，（001-2-5丿因心丿=r（現(xiàn)）=3v4，故有無窮多解,(21aad)341211-2bbd中有2階子式T行34212,cc23d2又A=-5豐0，因此r（A）2,J2、r1、一4+k1一52且通解為y=，J2、r1、一4+k1一52且通解為y=，k為任意常數(shù)。5分（2）將通解代入組（II）第一個(gè)方程，得到:(一2+k)+m(_4+k)-(一5+2k)-k=一5，即(m-2)(k-4)=0,由k得任意性，得m=2。將通解代入組（II）第二、三個(gè)方程，分別得到n=4,t=6。因此m=2，n=4,t=6。10分3設(shè)非齊

22、次線性方程組”2x+x+ax+ax=d1233441x-2x+bx+bx=d有3個(gè)解向量n=1233441cx+cx+2x-3x=d11223431、1-22、0、一1，n=21342為常數(shù)G=必j=邛23）。求此線性方程組的系數(shù)矩陣的秩，并求其通解。其中ai+2bi+2叫bj解：設(shè)所給方程為Ax=b，由題設(shè)可知“亡“:“彳是AX=b的3個(gè)解，因此廠1、136，n-n=332小=是Ax=O的兩個(gè)線性無關(guān)的解，故r（A）2,5分由于r（A）=25分由于r（A）=2，所以n3-n1,n3-n2是Ax=o的基礎(chǔ)解系，因此可得線性方程組Ax=b的通解為：a=n+k&-%）+k2（-n）113132(1

23、、（2、（1、113+k+k一2162311（其中ki，k2為任意常數(shù)）.10分4.設(shè)四元線性齊次方程組G）（叫+2一：，又已知某線性齊次方程組（II）的通解為XX.10分24k（mo）+k（12A1Z（1）求線性方程組G）的基礎(chǔ)解系；解：（1）G）的系數(shù)矩陣為A=(1001、01通解為解：（1）G）的系數(shù)矩陣為A=(1001、01通解為kjoo3+k4(-110。34.4分（2）將）的通解代入G）中，則有*盤、：=0,得k1=k2，當(dāng)氣=一與豐1122時(shí)，則向量kjimohk（12Ad=k（md滿足方程組G）,（ii），122故方程組G），Gi）有非零的公共解，所有非零公共解是kCmdk為常

24、數(shù)，且k豐）。.10分5.a+bx已知齊次線性方程組5.a+bx已知齊次線性方程組+ax+ax+A+ax=0112233nnax+la+b)x+ax+A+ax=0112/23)3nnax+ax+la+bk+A+ax=0,112233nn+bx+bx=0nnax+ax+ax+A+112233其中ya豐O試討論aa/A,a和b滿足何種關(guān)系時(shí)，i12ni=1（1）方程組僅有零解；（2）方程組有非零解.在有非零解時(shí)，求此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系解：a+baaaa123naa+baaa/1方程組的系數(shù)行列式A=a12a23a+b3anan=bn-1b+EaiMMMMMIi=1丿aaaaa+b123n.4分.

25、6分(1)當(dāng)b豐0時(shí)且b+a豐0時(shí)，r(A)=.6分i=1(2)當(dāng)b=0時(shí)，原方程組的同解方程組為：ax+ax+A+ax=0,1122nn由Ea豐0可知，a.G=12A不全為零.不妨設(shè)a豐0,ii1i=1得原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為a2=(-a，oia0，a山“=(-。人1,En當(dāng)b=-a時(shí)，有b主o，原方程組的系數(shù)矩陣可化為ii=1(Ea一Jai=1(Ea一Jaaaa1i23i=1aa-Enaiaa12i3ai=1aa-Enaa-aa123iMMMi=1aaaa123anananM工aii=1丿a-Eaaaaa1i23nT-T10a0-101a0MMMM_-100a1_-101aTMMM-10

26、0a000a(-110a0、0M10由此得原方程組的同解方程組為:x2=x1，x3=x1，A叫=x1.原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：aA。10分6.設(shè)a=（120,a=fa+23x1,a=（1,b2,a+2b1,p=（133,123試討論當(dāng)a,b為何值時(shí)，卩不能由a1,a2,a3線性表示；卩可由ai,a2,a3唯一地線性表示，并求出表示式；卩可由a1,a2,a3線性表示，但表示式不唯一，并求出表示式。(,1111(,111(,1111(,1111,2a+2b23T,0ab1,03aa+2b3丿,00ab0丿解：設(shè)有數(shù)kfkfk3使得kiai+k2a2+k3a3=p（*）記A=（x,a,a）.對矩陣

27、（1,卩）施以初等行變換，有i23(A,p)=.2分(1)當(dāng)a=0時(shí)，有(1111、(A,p)T00b1,0001可知r（A）r（A,卩）,故方程組（*）無解,（2）當(dāng)a豐0，且a豐b時(shí)，有卩不能由a1,a2,a3線性表示;.4分(10,00ab1、101aa1a0丿r（A）=r（Ap）=3，方程組（*）有唯一解：氣=1a，k2=a,k3=0.此時(shí)p可由i，a厲唯一地線性表示，其表示式為：卩=（1一ah+aa2；7分（3）當(dāng)a=b工0時(shí)，對矩陣a卩）施以初等行變換，有0,00a一b101-a1a0A)=r(A,P)=0,00a一b101-a1a0A)=r(A,P)=2，方程組(*)有無窮多解,

28、其全部解為:11氣=1一a，k2=a+c,k=c，其中c為任意常數(shù).卩可由線性表示，但表示式不唯一，其表示式為:p=(1-1h+(1+ch+吟10分7.設(shè)有齊次線性方程組(1+a)x+x+L+x=012n2x+(2+a)x+L+2x=012nLLLLLLLLLLnx+nx+L+(n+a)x=012n(n2)試問取何值時(shí)，該方程組有非零解，并求出其通解解：方程組的系數(shù)行列式為1+a11L122a2L2MMMMnnnLn+a即a=0或a=n(n+1)時(shí)時(shí)，A=當(dāng)|A|=0,=a+n(n+1)an-14分(111L1、(111L1、,222L2T000L0,MMMMMMMMnnnLn7I000L07

29、二0方程組有非零解x1當(dāng)a二0時(shí)，A=n故方程組的同解方程組為：二(1,0,0,L,1)T,n1由此得基礎(chǔ)解系為耳=(1,1,0,L,0)t，耳二二(1,0,0,L,1)T,n112于是方程組的通解為：X=GF哄+L+131，其中JLkn1為任意常數(shù)分n(n+1)當(dāng)a=2時(shí),1+a11L1-1+a11L22a2L2-2aa0L0A=TMMMMMMMMnnnLn+ana00La1+a11L1-000L0-210L0-210L0TTMMMMMMMM-n00L1-n00L1-2x+x=012-3x+x=0故方程組的同解方程組為：113，由此得基礎(chǔ)解系為耳二(1,2,L,n)TM-nx+x=01n.1

30、0分23、46(k為常數(shù)),.10分23、46(k為常數(shù)),6k丿18.已知3階矩陣A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全為零，矩陣B=213且AB=O，求線性方程組Ax=O的通解解：(1)如果k豐9，則r(B)=2，由=0知r(A)+r(B)3，因此r(A)=1,所以Ax=O的通解是：t(1,2,3)t+1(3,6,k)t，其中t,t為任常數(shù)；5分1212(2)如果k=9,則r(B)=1，那么，r(A)=1或2若r(A)=2，則Ax=0的通解是t(1,2,3)t，其中t為任常數(shù)，若r(A)=1，對ax+bx+cx=0，設(shè)c豐0，123則方程組的通解是t(c,0,-a)T+1(0,c,-b

31、)T，其中t,t為任常數(shù)。10分12129.已知線性方程組(I)ax+ax(I)ax+ax+L111122ax+ax+L211222+ax=01,2n2n+ax=02,2n2nLLLLLLLLLLax+ax+L+ax=0n11n22n,2n2n的一個(gè)基礎(chǔ)解系為(b,b,L,b)T，(b,b,L,b)T，L，(b,b,L,b，試11121,2n21222,2nn1n2n,2nby+by+L+by1111221,2n2nlby+by+L+by的通解。寫出線性方程組（II）2；1t2；jtJ,/2的通解。by+by+L+by=0n11n22n,2n2n解：方程組（I）,（II）的系數(shù)矩陣分別記為4B

32、,則由題設(shè)可知ABt=0,于是BAt=0,可見A的n個(gè)行向量的轉(zhuǎn)置向量為（II）的n個(gè)解向量，由于B的秩為n,故（II）的解空間維數(shù)為加-rB）=加-n=n,5分又A的秩為2n與（I）的解空間維數(shù)之差，即為n,故A的n個(gè)行向量線性無關(guān)，從而它們的轉(zhuǎn)置向量構(gòu)成（II）的一個(gè)基礎(chǔ)解系，于是得到（II）的通解：y=c（a,a,L,a）t+c（a,a,L,a）t+L+c（a,a,L,a）t，10分111121,2n221222,2nnn1n210分其中Ci，L,Cn為任意常數(shù)。10-求吧=（-11010-求吧=（-110T,a=虹訕口=C；011為解向量的齊次線性方程組。1-110、（1-110、11

33、01丿丿02-11丿丿2011丿丿0000丿丿23解：因?yàn)椋?3分所以巴衛(wèi)2衛(wèi)3的一個(gè)極大無關(guān)組是和a；3分作矩陣B=/、a作矩陣B=1laT丿易得線性Bx=易得線性Bx=O的基礎(chǔ)解系由x-x+x1232x-x+x234=0=0決定取自由未知量（、取自由未知量（、x1IX2丿得一基礎(chǔ)解系為”=（10,-1-d,P；=119-1）T，6分12于是所求方程組的系數(shù)矩陣為A=所求的齊次線性方程組為S于是所求方程組的系數(shù)矩陣為A=所求的齊次線性方程組為S仰、IpJe1x一x一x=0134。x+x一x=0234（10-1-1、1-1丿10分二、證明題（每題10分）1已知平面上三條不同直線的方程分別為I:

34、ax+2by+3c=01l:bx+2cy+3a=0:cx+2ay+3b=0試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為a+b+c=0。證明：必要性：ax+2by=-3c設(shè)三條直線l,l,l交于一點(diǎn)，則線性方程組bx+2cy=-3a(*)123cx+lay=-3ba2ba2b-3c有惟一解，故系數(shù)矩陣A-b2c與增廣矩陣A=b2c-3ac2ac2a-3c的秩均為2，于是A=0，由于a2b-3cA=b2c-3ac2a-3c=6(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=3(a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2但根據(jù)題設(shè)(ab)l+(bc)2+(ca)2豐0,故a+b+c=0；5

35、分充分性：由a+b+c=0，則從必要性的證明可知，A=，故秩(A)32b由于2=2(ac-b2)=-2a(a+b)+b2由于13=-2(a+b)2+b2豐024故秩(A)=2，于是，秩(A)二秩(A)=2,因此方程組(*)有惟一解，即三直線l,l,l交于一點(diǎn)。10分1232.設(shè)“是非齊次線性方程組AX=b的一個(gè)解，是對應(yīng)的齊次線性方程組的012n基礎(chǔ)解系，證明：q/H0+/%+g2，A/H0+g線性無關(guān)。001020n-r證明：(反證法)假設(shè)入凡+弐凡+A凡+g線性相關(guān)，則必存在一組不全為零001020n-r的數(shù)kk.k,A,k，使切+kt+l)+kG“+)+AKt+g)=O,012n-r00101202n-r0n-r即有+k+k+A+k)n+k&+k&+Ak&=O,012n-r01122n-rn-r設(shè)k=k+k+k+A+k，則k工0，否則由上式知線性相關(guān)，因而012n-r12n-rTOC o 1-5 h z與基礎(chǔ)解系矛盾。所以k工0，5分于是有kAn0+AAkL+kg2+Akg)=O，從而kAn0=o與n0是非齊次線性方01122n-rn-r00程組Ax=b的一個(gè)解矛盾，因此所給向