浙江專用版2022學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象學(xué)案新人教A版必修2

1、（浙江專用版）2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象學(xué)案新人教A版必修2PAGE PAGE 3614.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會求正切函數(shù)ytan(x)的周期.2.掌握正切函數(shù)ytan x的奇偶性，并會判斷簡單三角函數(shù)的奇偶性.3.掌握正切函數(shù)的單調(diào)性，并掌握其圖象的畫法知識點一正切函數(shù)的性質(zhì)思考1正切函數(shù)的定義域是什么？答案eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xR且xf(,2)k，kZ).思考2誘導(dǎo)公式tan(x)tan x，xR且xeq f(,2)k，kZ說明了正切函數(shù)的什么性質(zhì)？答案 周期性思考3誘導(dǎo)公式tan(

2、x)tan x，xR且xeq f(,2)k，kZ說明了正切函數(shù)的什么性質(zhì)？答案 奇偶性思考4從正切線上看，在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)上正切函數(shù)值是增大的嗎？答案是梳理函數(shù)ytan xeq blc(rc)(avs4alco1(xR且xkf(,2)，kZ)的圖象與性質(zhì)見下表：解析式y(tǒng)tan x圖象定義域eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xR且xkf(,2)，kZ)值域R最小正周期奇偶性奇單調(diào)性在開區(qū)間eq blc(rc)(avs4alco1(kf(,2)，kf(,2)(kZ)內(nèi)都是增函數(shù)知識點二正切函數(shù)的圖象思考1利用正切線

3、作正切函數(shù)圖象的步驟是什么？答案根據(jù)正切函數(shù)的定義域和周期，首先作出區(qū)間eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)上的圖象作法如下：(1)作平面直角坐標(biāo)系，并在平面直角坐標(biāo)系y軸的左側(cè)作單位圓(2)把單位圓的右半圓分成8等份，分別在單位圓中作出正切線(3)描點(橫坐標(biāo)是一個周期的8等分點，縱坐標(biāo)是相應(yīng)的正切線的長度)(4)連線，得到如圖所示的圖象(5)根據(jù)正切函數(shù)的周期性，把上述圖象向左、右擴(kuò)展，就可以得到正切函數(shù)ytan x，xR且xeq f(,2)k(kZ)的圖象，把它稱為正切曲線(如圖所示)可以看出，正切曲線是被相互平行的直線xeq f(,2)k，kZ所隔開的無窮多

4、支曲線組成的思考2我們能用“五點法”簡便地畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡圖，你能類似地畫出正切函數(shù)ytan x，xeq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)的簡圖嗎？怎樣畫？答案能，三個關(guān)鍵點：eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，1)，(0,0)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，1)，兩條平行線：xeq f(,2)，xeq f(,2).梳理(1)正切函數(shù)的圖象(2)正切函數(shù)的圖象特征正切曲線是被相互平行的直線xeq f(,2)k，kZ所隔開的無窮多支曲線組成的1函數(shù)ytan x在其定義域上是增函數(shù)()提示ytan x在開區(qū)間eq blc

5、(rc)(avs4alco1(kf(,2)，kf(,2)(kZ)上是增函數(shù)，但在其定義域上不是增函數(shù)2函數(shù)ytan x的圖象的對稱中心是(k，0)(kZ)()提示ytan x圖象的對稱中心是eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)k，0)(kZ)3正切函數(shù)ytan x無單調(diào)遞減區(qū)間()4正切函數(shù)在區(qū)間eq blcrc(avs4alco1(f(,2)，f(,2)上單調(diào)遞增()提示正切函數(shù)在區(qū)間eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)上是增函數(shù)，不能寫成閉區(qū)間，當(dāng)xeq f(,2)時，ytan x無意義.類型一正切函數(shù)的定義域、值域問題例1(1)函數(shù)y3tan

6、eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)f(x,4)的定義域為_考點正切函數(shù)的定義域、值域題點正切函數(shù)的定義域答案eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xf(4,3)4k，kZ)解析由eq f(,6)eq f(x,4)eq f(,2)k，kZ，得xeq f(4,3)4k，kZ，即函數(shù)的定義域為eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xf(4,3)4k，kZ).(2)求函數(shù)ytan2eq blc(rc)(avs4alco1(3xf(,3)taneq blc(rc)(avs4alco1(3xf(,3)1的定義域和

7、值域考點正切函數(shù)的定義域、值域題點正切函數(shù)的值域解由3xeq f(,3)keq f(,2)，kZ，得xeq f(k,3)eq f(,18)，kZ，所以函數(shù)的定義域為eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xf(k,3)f(,18)，kZ).設(shè)ttaneq blc(rc)(avs4alco1(3xf(,3)，則tR，yt2t1eq blc(rc)(avs4alco1(tf(1,2)2eq f(3,4)eq f(3,4)，所以原函數(shù)的值域是eq blcrc)(avs4alco1(f(3,4)，).反思與感悟(1)求定義域時，要注意正切函數(shù)自身的限制條件，另外解不

8、等式時，要充分利用三角函數(shù)的圖象或三角函數(shù)線(2)處理正切函數(shù)值域時，應(yīng)注意正切函數(shù)自身值域為R，將問題轉(zhuǎn)化為某種函數(shù)的值域求解跟蹤訓(xùn)練1求函數(shù)yeq r(tan x1)lg(1tan x)的定義域考點正切函數(shù)的定義域、值域題點正切函數(shù)的定義域解由題意得eq blcrc (avs4alco1(tan x10，,1tan x0，)即1tan x1.在eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)內(nèi)，滿足上述不等式的x的取值范圍是eq blcrc)(avs4alco1(f(,4)，f(,4).又ytan x的周期為，所以函數(shù)的定義域是eq blcrc)(avs4alco1(kf(

9、,4)，kf(,4)(kZ)類型二正切函數(shù)的單調(diào)性問題命題角度1求正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2求函數(shù)ytaneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)xf(,4)的單調(diào)區(qū)間及最小正周期考點正切函數(shù)的單調(diào)性題點判斷正切函數(shù)的單調(diào)性解ytaneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)xf(,4)taneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)xf(,4)，由keq f(,2)eq f(1,2)xeq f(,4)keq f(,2)(kZ)，得2keq f(,2)x0)的單調(diào)區(qū)間的求法是把x看成一個整體，解eq f(,2)kxeq f(,2)k，kZ即可當(dāng)0時，先用誘導(dǎo)公

10、式把化為正值再求單調(diào)區(qū)間跟蹤訓(xùn)練2(2017太原高一檢測)求函數(shù)y3taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)2x)的單調(diào)區(qū)間考點正切函數(shù)的單調(diào)性題點判斷正切函數(shù)的單調(diào)性解y3taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)2x)3taneq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,4)，由eq f(,2)k2xeq f(,4)eq f(,2)k，kZ，得eq f(,8)eq f(k,2)xeq f(3,8)eq f(k,2)(kZ)，所以y3taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)2x)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq blc(rc)(avs4alco1

11、(f(,8)f(k,2)，f(3,8)f(k,2)(kZ)命題角度2利用正切函數(shù)的單調(diào)性比較大小例3比較大?。?1)tan 32_tan 215；(2)taneq f(18,5)_taneq blc(rc)(avs4alco1(f(28,9).考點正切函數(shù)的單調(diào)性題點正切函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用答案(1)(2)解析(1)tan 215tan(18035)tan 35，ytan x在(0，90)上單調(diào)遞增，3235，tan 32tan 35tan 215.(2)taneq f(18,5)taneq blc(rc)(avs4alco1(4f(2,5)taneq blc(rc)(avs4alco1(f(2

12、,5)，taneq blc(rc)(avs4alco1(f(28,9)taneq blc(rc)(avs4alco1(3f(,9)taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,9)，ytan x在eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)上單調(diào)遞增，且eq f(2,5)eq f(,9)，taneq blc(rc)(avs4alco1(f(2,5)taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,9)，即taneq f(18,5)解析taneq blc(rc)(avs4alco1(f(7,4)taneq blc(rc)(avs4alco1(2f(,4)tan e

13、q f(,4)，taneq blc(rc)(avs4alco1(f(9,5)taneq blc(rc)(avs4alco1(2f(,5)tan eq f(,5).又0eq f(,5)eq f(,4)eq f(,2)，ytan x在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)內(nèi)單調(diào)遞增，tan eq f(,5)tan eq f(,4)，taneq blc(rc)(avs4alco1(f(7,4)taneq blc(rc)(avs4alco1(f(9,5).類型三正切函數(shù)綜合問題例4設(shè)函數(shù)f(x)taneq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)f(,3).(1)求函數(shù)f(x

14、)的最小正周期，對稱中心；(2)作出函數(shù)f(x)在一個周期內(nèi)的簡圖考點正切函數(shù)的綜合應(yīng)用題點正切函數(shù)的綜合應(yīng)用解(1)eq f(1,2)，最小正周期Teq f(,)eq f(,f(1,2)2.令eq f(x,2)eq f(,3)eq f(k,2)(kZ)，得xkeq f(2,3)(kZ)，f(x)的對稱中心是eq blc(rc)(avs4alco1(kf(2,3)，0)(kZ)(2)令eq f(x,2)eq f(,3)0，則xeq f(2,3)；令eq f(x,2)eq f(,3)eq f(,4)，則xeq f(7,6)；令eq f(x,2)eq f(,3)eq f(,4)，則xeq f(,6

15、)；令eq f(x,2)eq f(,3)eq f(,2)，則xeq f(5,3)；令eq f(x,2)eq f(,3)eq f(,2)，則xeq f(,3).函數(shù)ytaneq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)f(,3)的圖象與x軸的一個交點坐標(biāo)是eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，0)，在這個交點左，右兩側(cè)相鄰的兩條漸近線方程分別是xeq f(,3)，xeq f(5,3)，從而得到函數(shù)yf(x)在一個周期eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，f(5,3)內(nèi)的簡圖(如圖)反思與感悟熟練掌握正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決正切函數(shù)綜合問題的關(guān)鍵，正切曲

16、線是被相互平行的直線xeq f(,2)k，kZ隔開的無窮多支曲線組成，ytan x的對稱中心為eq blc(rc)(avs4alco1(f(k,2)，0)，kZ.跟蹤訓(xùn)練4畫出f(x)tan |x|的圖象，并根據(jù)其圖象判斷其單調(diào)區(qū)間、周期性、奇偶性考點正切函數(shù)的綜合應(yīng)用題點正切函數(shù)的綜合應(yīng)用解f(x)tan |x|化為f(x)eq blcrc (avs4alco1(tan x，xkf(,2)，x0kZ，,tan x，xkf(,2)，x0kZ，)根據(jù)ytan x的圖象，作出f(x)tan |x|的圖象，如圖所示，由圖象知，f(x)不是周期函數(shù)，是偶函數(shù)，單調(diào)增區(qū)間為eq blcrc)(avs4a

17、lco1(0，f(,2)，eq blc(rc)(avs4alco1(kf(,2)，kf(3,2)(kN)；單調(diào)減區(qū)間為eq blc(rc(avs4alco1(f(,2)，0)，eq blc(rc)(avs4alco1(kf(3,2)，kf(,2)(k0，1，2，).1函數(shù)f(x)taneq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.eq blc(rc)(avs4alco1(kf(,2)，kf(,2)，kZB(k，(k1)，kZC.eq blc(rc)(avs4alco1(kf(3,4)，kf(,4)，kZD.eq blc(rc)(avs4alco1(kf(,4)，

18、kf(3,4)，kZ考點正切函數(shù)的單調(diào)性題點判斷正切函數(shù)的單調(diào)性答案C2函數(shù)ytan xeq f(1,tan x)是()A奇函數(shù)B偶函數(shù)C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)考點正切函數(shù)的周期性、對稱性題點正切函數(shù)的奇偶性答案A解析函數(shù)的定義域是eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xf(1,2)k，kZ)，且tan(x)eq f(1,tanx)tan xeq f(1,tan x)eq blc(rc)(avs4alco1(tan xf(1,tan x)，所以函數(shù)ytan xeq f(1,tan x)是奇函數(shù)3(2017紹興柯橋區(qū)期末)函數(shù)y3ta

19、neq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)xf(,6)的最小正周期是()A.eq f(2,5) B.eq f(5,2)C.eq f(4,5) D5考點正切函數(shù)的單調(diào)性題點正切函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用答案A4將tan 1，tan 2，tan 3按大小順序排列為_(用“”連接)考點正切函數(shù)的周期性、對稱性題點正切函數(shù)的周期性答案tan 2tan 3tan 15函數(shù)ytan xeq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)xf(3,4)，且xf(,2)的值域是_考點正切函數(shù)的定義域、值域題點正切函數(shù)的值域答案(，11，)解析函數(shù)ytan x在eq blcrc)(avs4alco1(f(,

20、4)，f(,2)上單調(diào)遞增，在eq blc(rc(avs4alco1(f(,2)，f(3,4)上也單調(diào)遞增，所以函數(shù)的值域是(，11，)1正切函數(shù)的圖象正切函數(shù)有無數(shù)多條漸近線，漸近線方程為xkeq f(,2)，kZ，相鄰兩條漸近線之間都有一支正切曲線，且單調(diào)遞增2正切函數(shù)的性質(zhì)(1)正切函數(shù)ytan x的定義域是eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xkf(,2)，kZ)，值域是R.(2)正切函數(shù)ytan x的最小正周期是，函數(shù)yAtan(x)(A0)的最小正周期為Teq f(,|).(3)正切函數(shù)在eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)k

21、，f(,2)k)(kZ)上單調(diào)遞增，不能寫成閉區(qū)間，正切函數(shù)無單調(diào)減區(qū)間.一、選擇題1函數(shù)ytaneq blc(rc)(avs4alco1(xf(,5)，xR且xeq f(3,10)k，kZ的一個對稱中心是()A(0,0) B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(,5)，0) C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)，0) D(，0)考點正切函數(shù)的周期性、對稱性題點正切函數(shù)的對稱性答案C2函數(shù)f(x)2tan(x)是()A奇函數(shù)B偶函數(shù)C奇函數(shù)，也是偶函數(shù)D非奇非偶函數(shù)考點正切函數(shù)的周期性、對稱性題點正切函數(shù)的奇偶性答案A解析因為f(x)2tan x2tan(x)f

22、(x)，且f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)f(x)2tan(x)是奇函數(shù)3已知函數(shù)ytan x在eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)內(nèi)是減函數(shù)，則()A01 B10C1 D1考點正切函數(shù)的單調(diào)性題點正切函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用答案B解析ytan x在eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)內(nèi)是減函數(shù)，0且Teq f(,|)，10)的圖象的相鄰兩支截直線yeq f(,4)所得的線段長為eq f(,4)，則feq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)的值是()A0 B1 C1 D.eq f(,4)考點正切函數(shù)的周期性、對稱性題點正切函數(shù)的

23、周期性答案A解析由題意，得Teq f(,)eq f(,4)，4.f(x)tan 4x，feq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)tan 0.6函數(shù)ytan xsin x|tan xsin x|在區(qū)間eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(3,2)內(nèi)的圖象是()考點正切函數(shù)的圖象題點正切函數(shù)的圖象答案D解析當(dāng)eq f(,2)x時，tan xsin x，y2tan x0；當(dāng)x時，y0；當(dāng)xsin x，y2sin x0.故選D.7(2017舟山模擬)已知函數(shù)f(x)eq blc|rc|(avs4alco1(tanblc(rc)(avs4alco1(f(1,2)xf(,6

24、)，則下列說法正確的是()Af(x)的周期是eq f(,2)Bf(x)的值域是y|yR，且y0C直線xeq f(5,3)是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸Df(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是eq blc(rc(avs4alco1(2kf(2,3)，2kf(,3)，kZ考點正切函數(shù)的綜合應(yīng)用題點正切函數(shù)的綜合應(yīng)用答案D解析函數(shù)f(x)的周期為2，A錯；f(x)的值域為0，)，B錯；當(dāng)xeq f(5,3)時，eq f(1,2)xeq f(,6)eq f(2,3)eq f(k,2)，kZ，xeq f(5,3)不是f(x)的對稱軸，C錯；令keq f(,2)eq f(1,2)xeq f(,6)k，kZ，可得2keq

25、 f(2,3)0)的最小正周期為2，則feq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)_.考點正切函數(shù)的周期性、對稱性題點正切函數(shù)的周期性答案1解析由已知eq f(,)2，所以eq f(1,2)，所以f(x)taneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)xf(,6)，所以feq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)taneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(,6)f(,6)tan eq f(,4)1.9比較大?。簍aneq blc(rc)(avs4alco1(f(2,7)_tan eq blc(rc)(avs4alco1(f(,5).考點正切函

26、數(shù)的單調(diào)性題點正切函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用答案解析taneq blc(rc)(avs4alco1(f(2,7)tan eq f(5,7)，taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,5)tan eq f(4,5)，又ytan x在eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，)內(nèi)單調(diào)遞增，所以tan eq f(5,7)tan eq f(4,5)，即tan eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,7)0；feq blc(rc)(avs4alco1(f(x1x2,2)eq f(fx1fx2,2).當(dāng)f(x)tan x時，正確結(jié)論的序號為_考點正切函數(shù)的綜合應(yīng)用題點正切函數(shù)的綜合

27、應(yīng)用答案解析由于f(x)tan x的周期為，故正確；函數(shù)f(x)tan x為奇函數(shù)，故不正確；f(0)tan 00，故不正確；表明函數(shù)為增函數(shù)，而f(x)tan x為區(qū)間eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)上的增函數(shù)，故正確；由函數(shù)f(x)tan x的圖象可知，函數(shù)在區(qū)間eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，0)上有feq blc(rc)(avs4alco1(f(x1x2,2)eq f(fx1fx2,2)，在區(qū)間eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)上有feq blc(rc)(avs4alco1(f(x1x2,2)0，得tan x1或tan x1.函數(shù)定義域為eq blc(rc)(avs4alco1(kf(,2)，kf(,4)eq blc(rc)(avs4alco1(kf(,4)，kf(,2)(kZ)，關(guān)于原點對稱f(x)f(x)lg eq f(tanx1,tanx1)lg eq f(tan x1,tan x1)lgeq blc(rc)(avs4alco1(f(tan x1,tan x1)f(tan x1,tan x1)