浙江專用2022版高中數(shù)學(xué)第一章空間幾何體1.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)第2課時(shí)學(xué)案新人教A版必修2

1、（浙江專用）2021版高中數(shù)學(xué)第一章空間幾何體1.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)第2課時(shí)學(xué)案新人教A版必修2PAGE PAGE 251.1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)第2課時(shí)圓柱、圓錐、圓臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征目標(biāo)定位1.理解圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征.能根據(jù)條件判斷幾何體的類型.2.了解圓柱、圓錐、圓臺的底面、母線、側(cè)面、軸的意義.3.了解與正方體、球有關(guān)的簡單組合體及其結(jié)構(gòu)特征.自 主 預(yù) 習(xí)1.旋轉(zhuǎn)體(1)圓柱定義：以矩形一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱.相關(guān)概念(圖1)表示法：圓柱用表示它的軸的字母表示，圖中圓柱表示為圓柱OO.(2)圓錐定義：以直角三角形的一直角邊

2、所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐.相關(guān)概念(圖2)表示法：圓錐用表示它的軸的字母表示，圖中圓錐表示為圓錐SO.(3)圓臺定義：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺.相關(guān)概念(圖3)表示法：圓臺用表示軸的字母表示，圖中圓臺表示為圓臺OO.(4)球定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球.相關(guān)概念(圖4)表示法：球常用表示球心的字母表示，圖中的球表示為球O.2.簡單組合體(1)概念：由簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體.常見的簡單組合體大多是由具有柱、錐、臺、球等幾何結(jié)構(gòu)特征的物體組成的.(2)基本形式

3、：一種是由簡單幾何體拼接而成，另一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成.即 時(shí) 自 測1.判斷題(1)在圓柱的上、下兩底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線.()(2)直角三角形繞一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐.()(3)圓錐截去一個(gè)小圓錐后剩余部分是圓臺.()(4)半圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球.()提示(1)所取的兩點(diǎn)與圓柱的軸OO的連線所構(gòu)成的四邊形不一定是矩形，若不是矩形，則與圓柱母線定義不符.(2)若繞斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的是兩個(gè)圓錐構(gòu)成的一個(gè)組合體.(3)根據(jù)圓臺的定義知，正確.(4)旋轉(zhuǎn)后形成的是球面.2.以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面

4、所圍成的旋轉(zhuǎn)體是()A.球 B.圓臺 C.圓錐 D.圓柱解析旋轉(zhuǎn)過程中，與旋轉(zhuǎn)軸垂直的線段形成垂直于旋轉(zhuǎn)軸的圓面，與旋轉(zhuǎn)軸平行的線段形成與旋轉(zhuǎn)軸等距的曲面，所以其余三邊旋轉(zhuǎn)一周所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓柱.答案D3.下列幾何體是臺體的是()解析臺體包括棱臺和圓臺兩種，A的錯(cuò)誤在于四條側(cè)棱沒有交于一點(diǎn)，B的錯(cuò)誤在于截面與圓錐底面不平行.C是棱錐，結(jié)合棱臺和圓臺的定義可知D正確.答案D4.等腰三角形繞底邊上的高所在的直線旋轉(zhuǎn)180，所得幾何體是_.解析結(jié)合旋轉(zhuǎn)體及圓錐的特征知，所得幾何體為圓錐.答案圓錐類型一旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征【例1】 判斷下列各命題是否正確：(1)圓柱上底面圓上任一點(diǎn)與下底面圓上任一點(diǎn)的連

5、線都是圓柱的母線；(2)一直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺；(3)圓錐、圓臺中過軸的截面是軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形；(4)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合是球.解(1)錯(cuò).由圓柱母線的定義知，圓柱的母線應(yīng)平行于軸.(2)錯(cuò).直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是由一個(gè)圓柱與一個(gè)圓錐組成的簡單組合體，如圖所示.(3)正確.(4)錯(cuò).應(yīng)為球面.規(guī)律方法1.圓柱、圓錐、圓臺和球都是一個(gè)平面圖形繞其特定邊(弦)旋轉(zhuǎn)而成的幾何體，必須準(zhǔn)確認(rèn)識各旋轉(zhuǎn)體對旋轉(zhuǎn)軸的具體要求.2.只有理解了各旋轉(zhuǎn)體的生成過程，才能明確由此產(chǎn)生的母線、軸、底面等

6、概念，進(jìn)而判斷與這些概念有關(guān)的命題的正誤.【訓(xùn)練1】 下列敘述中正確的個(gè)數(shù)是()以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺；圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；用一個(gè)平面去截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺.A.0 B.1 C.2 D.3解析應(yīng)以直角三角形的一條直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周才可以得到圓錐；以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周才可以得到圓臺；它們的底面為圓面；用平行于圓錐底面的平面截圓錐才可得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺.故四句話全不正確.答案A類型二簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征【例2】 如圖所示，已知AB是直角梯形ABCD與底邊垂直的一腰.分別以AB

7、，CD，DA為軸旋轉(zhuǎn)，試說明所得幾何體的結(jié)構(gòu)特征.解(1)以AB邊為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是圓臺，如圖(1)所示.(2)以CD邊為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體為一組合體：上部為圓錐，下部為圓臺，再挖去一個(gè)小圓錐.如圖(2)所示.(3)以AD邊為軸旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)組合體，它是一個(gè)圓柱上部挖去一個(gè)圓錐.如圖(3)所示.規(guī)律方法1.平面圖形以一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，要過有關(guān)頂點(diǎn)向軸作垂線，然后想象所得旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)和組成.2.必要時(shí)作模型培養(yǎng)動手能力.【訓(xùn)練2】 如圖(1)、(2)所示的圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周后形成的立體圖形分別是由哪些簡單幾何體組成的？解旋轉(zhuǎn)后的圖形如圖所示.其中圖是由一個(gè)圓柱O1O2和兩個(gè)圓臺O2O3，O3

8、O4組成的；圖是由一個(gè)圓錐O5O4，一個(gè)圓柱O3O4及一個(gè)圓臺O1O3中挖去圓錐O2O1組成的.類型三有關(guān)幾何體的計(jì)算問題(互動探究)【例3】 如圖所示，用一個(gè)平行于圓錐SO底面的平面截這個(gè)圓錐，截得圓臺上、下底面的面積之比為116，截去的圓錐的母線長是3 cm，求圓臺OO思路探究探究點(diǎn)一圓錐、圓臺的軸截面是什么？提示圓錐的軸截面為等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形.探究點(diǎn)二解決此問題的關(guān)鍵是什么？提示解決此問題關(guān)鍵是，作出軸截面，然后利用相似三角形中的相似比，構(gòu)設(shè)相關(guān)幾何變量的方程組而得解.解設(shè)圓臺的母線長為l cm，由截得圓臺上、下底面面積之比為116，可設(shè)截得圓臺的上、下底面的半徑分別為

9、r，4r.過軸SO作截面，如圖所示.則SOASOA，SA3 cm.eq f(SA,SA)eq f(OA,OA).eq f(3,3l)eq f(r,4r)eq f(1,4).解得l9(cm)，即圓臺的母線長為9 cm規(guī)律方法用平行于底面的平面去截柱、錐、臺等幾何體，注意抓住截面的性質(zhì)(與底面全等或相似)，同時(shí)結(jié)合旋轉(zhuǎn)體中的經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的截面(軸截面)的性質(zhì)，利用相似三角形中的相似比，構(gòu)設(shè)相關(guān)幾何變量的方程組而得解.【訓(xùn)練3】 一個(gè)圓臺的母線長為12 cm，兩底面面積分別為4 cm2和25 cm2.(1)圓臺的高；(2)截得此圓臺的圓錐的母線長.解如圖，將圓臺恢復(fù)成圓錐后作其軸截面，設(shè)圓臺的高為h

10、cm，截得該圓臺的圓錐的母線為x cm，由條件可得圓臺上底半徑r2 cm，下底半徑r5 cm(1)由勾股定理得heq r(122（52）2)3eq r(15)(cm).(2)由三角形相似得：eq f(x12,x)eq f(2,5)，解得x20(cm).答：(1)圓臺的高為3eq r(15) cm，課堂小結(jié)1.圓柱、圓錐、圓臺的關(guān)系如圖所示.2.處理臺體問題常采用還臺為錐的補(bǔ)體思想.3.處理組合體問題常采用分割思想.4.重視圓柱、圓錐、圓臺的軸截面在解決幾何量中的特殊作用，切實(shí)體會空間幾何平面化的思想.1.下圖是由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的()解析組合體上半部分是圓錐，下半部分是一個(gè)圓臺，因此應(yīng)該是

11、由上半部分為三角形，下半部分為梯形的平面圖形旋轉(zhuǎn)而成的，觀察四個(gè)選項(xiàng)得D正確.答案D2.下面幾何體的截面一定是圓面的是()A.圓臺 B.球 C.圓柱 D.棱柱解析截面可以從各個(gè)不同的部位截取，截得的截面都是圓面的幾何體只有球.答案B3.一個(gè)圓錐的母線長為20 cm，母線與軸的夾角為30，則圓錐的高為_解析h20cos 3010eq r(3) (cm).答案10eq r(3)4.在半徑等于13 cm的球內(nèi)有一個(gè)截面，它的面積是25 cm2，解設(shè)截面圓半徑為r cm，r225，r5(cm).設(shè)球心到截面的距離為d cm，球的半徑為R cm，則deq r(R2r2)eq r(13252)12(cm)

12、.故球心到截面的距離為12 cm基 礎(chǔ) 過 關(guān)1.正方形繞其一條對角線所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體是()A.圓柱 B.圓錐 C.圓臺 D.兩個(gè)圓錐解析連接正方形的兩條對角線知對角線互相垂直，故繞對角線旋轉(zhuǎn)一周形成兩個(gè)圓錐.答案D2.過球面上任意兩點(diǎn)A、B作大圓，可能的個(gè)數(shù)是()A.有且只有一個(gè) B.一個(gè)或無窮多個(gè)C.無數(shù)個(gè) D.以上均不正確解析當(dāng)過A，B的直線經(jīng)過球心時(shí)，經(jīng)過A，B的截面所得的圓都是球的大圓，這時(shí)過A，B作球的大圓有無數(shù)個(gè)；當(dāng)直線AB不經(jīng)過球心O時(shí)，經(jīng)過A，B，O的截面就是一個(gè)大圓，這時(shí)只能作出一個(gè)大圓.答案B3.在日常生活中，常用到的螺母可以看成一個(gè)組合體，其結(jié)構(gòu)特征是()A

13、.一個(gè)棱柱中挖去一個(gè)棱柱B.一個(gè)棱柱中挖去一個(gè)圓柱C.一個(gè)圓柱中挖去一個(gè)棱錐D.一個(gè)棱臺中挖去一個(gè)圓柱解析一個(gè)六棱柱挖去一個(gè)等高的圓柱.答案B4.若母線長是4的圓錐的軸截面的面積是8，則該圓錐的高是_.解析設(shè)圓錐的底面半徑為r，則圓錐的高h(yuǎn)eq r(42r2).所以由題意可知eq f(1,2)2rhreq r(42r2)8，r28，h2eq r(2).答案2eq r(2)5.圓臺兩底面的半徑分別是2 cm和5 cm，母線長是3eq r(10) cm，則它的軸截面的面積是_cm2解析如圖所示，作出軸截面，過點(diǎn)A作AMBC于點(diǎn)M，則BM523(cm)，AMeq r(AB2BM2)9 cm，S梯形A

14、BCDeq f(1,2)(410)963(cm2).答案636.如圖所示，幾何體可看作由什么圖形旋轉(zhuǎn)360得到？畫出平面圖形和旋轉(zhuǎn)軸.解先畫出幾何體的軸，然后再觀察尋找平面圖形.旋轉(zhuǎn)前的平面圖形如下：7.用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截一個(gè)圓錐得到一個(gè)圓臺，這個(gè)圓臺上、下底面半徑的比為13，截去的圓錐的母線長為3 cm，解設(shè)圓臺的母線長為y cm，截得的圓臺上、下底面半徑分別為x cm，3x cm，如圖所示，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得eq f(3,3y)eq f(x,3x)，解得y6.故圓臺的母線長為6 cm.能 力 提 升8.一個(gè)正方體內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，作正方體的對角面，所得截面圖形是下圖中的()解析

15、由組合體的結(jié)構(gòu)特征知，球只與正方體的上、下底面相切，而與兩側(cè)棱相離，故正確答案為B.答案B9.已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別為5和8，它們位于球心的同一側(cè)，且距離為1，那么這個(gè)球的半徑是()A.4 B.3C.2 D.0.5解析如圖所示，兩個(gè)平行截面的面積分別為5、8，兩個(gè)截面圓的半徑分別為r1eq r(5)，r22eq r(2).球心到兩個(gè)截面的距離d1eq r(R2req oal(2,1)，d2eq r(R2req oal(2,2)，d1d2eq r(R25)eq r(R28)1，R29，R3.答案B10.長為8 cm，寬為6 cm的矩形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)而成的圓柱的底面面積為_cm2，解

16、析若圓柱是矩形繞其寬所在直線旋轉(zhuǎn)而成的，則其底面半徑為8 cm，底面面積為64 cm2，其母線長為6 cm；若圓柱是矩形繞其長所在直線旋轉(zhuǎn)而成的，則其底面半徑為6 cm，底面面積為36 cm2，其母線長為答案64或36；6或811.已知圓錐的底面半徑為r，高為h，正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)接于圓錐，解過內(nèi)接正方體的一組對棱作圓錐的軸截面，如圖所示.設(shè)圓錐內(nèi)接正方體的棱長為x，則在軸截面中，正方體的對角面A1ACC1的一組鄰邊的長分別為x和eq r(2)x.因?yàn)閂A1C1VMN所以eq f(A1C1,MN)eq f(VO1,VO)，即eq f(r(2)x,2r)eq f(hx,h)，所以eq r(2)hx2rh2rx，即xeq f(2rh,2rr(2)h).故這個(gè)正方體的棱長為eq f(2rh,2rr(2)h).探 究 創(chuàng) 新12.如圖所示，已知圓錐SO中，底面半徑r1，母線長l4，M為母線SA上的一個(gè)點(diǎn)，且SMx，從點(diǎn)M拉一根繩子，圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)A.求：(1)繩子的最短長度的平方f(x)；(2)繩子最短時(shí)，頂點(diǎn)到繩子的最短距離；(3)f(x)的最大值.解將圓錐的側(cè)面沿SA展開在平面上，如圖所示，則該圖為扇形，且弧AA的長度L就是圓O的周長，L2r2.ASMeq f(L,2l)360eq f(2,24)