2022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章平面解析幾何8.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系學(xué)案文

1、2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章平面解析幾何8.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系學(xué)案文PAGE PAGE 4984直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系知識梳理1直線與圓的位置關(guān)系設(shè)直線l：AxByC0(A2B20)，圓：(xa)2(yb)2r2(r0)，d為圓心(a，b)到直線l的距離，聯(lián)立直線和圓的方程，消元后得到的一元二次方程的判別式為. 方法位置關(guān)系幾何法代數(shù)法相交d0相切dr0相離dr0)，圓O2(xa2)2(yb2)2req oal(2,2)(r20)方法位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況外離dr1r2無解外切dr1r2一組實數(shù)解相交|r1r2|dr

2、1r2兩組不同的實數(shù)解內(nèi)切d|r1r2|(r1r2)一組實數(shù)解內(nèi)含0d|r1r2|(r1r2)無解3必記結(jié)論當(dāng)直線與圓相交時，由弦心距(圓心到直線的距離)，弦長的一半及半徑構(gòu)成一個直角三角形(1)兩圓相交時公共弦的方程設(shè)圓C1：x2y2D1xE1yF10，圓C2：x2y2D2xE2yF20，若兩圓相交，則有一條公共弦，其公共弦所在直線方程由所得，即：(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.(2)兩個圓系方程過直線AxByC0與圓x2y2DxEyF0交點的圓系方程：x2y2DxEyF(AxByC)0(R)；過圓C1：x2y2D1xE1yF10和圓C2：x2y2D2xE2yF20交點的圓系方程

3、：x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)(其中不含圓C2，因此注意檢驗C2是否滿足題意，以防丟解)(3)弦長公式|AB|eq r(1k2)|xAxB|eq r(1k2xAxB24xAxB).診斷自測1概念思辨(1)“k2”是“直線xyk0與圓x2y22相切”的必要不充分條件()(2)過圓O：x2y2r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程是x0 xy0yr2.()(3)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交()(4)從兩相交圓的方程中消掉二次項后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A2P128T3)直

4、線xy10與圓x2y21的位置關(guān)系為()A相切 B相交但直線不過圓心C直線過圓心 D相離答案B解析圓心(0,0)到直線xy10的距離deq f(1,r(2)eq f(r(2),2)，而0eq f(r(2),2)0)相交于A，B兩點，且AOB120(O為坐標(biāo)原點)，則r_.答案2解析如圖，過O點作ODAB于D點，在RtDOB中，DOB60，DBO30，又|OD|eq f(|30405|,5)1，r2|OD|2.題型1直線與圓的位置關(guān)系eq o(sup7(),sdo5(典例1)(2018涼州模擬)若圓(x3)2(y5)2r2有且只有兩個點到直線4x3y2的距離等于1，則半徑r的范圍是()A(4,6

5、) B(4,6 C4,6) D4,6幾何法：利用d與r的關(guān)系答案A解析由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得圓心坐標(biāo)為(3，5)，則圓心到直線4x3y2的距離等于eq f(|43352|,r(3242)eq f(25,5)5，若圓(x3)2(y5)2r2有且只有兩個點到直線4x3y2的距離等于1，則滿足|5r|1，解得4r6.故選A.eq o(sup7(),sdo5(典例2)(2017豫南九校聯(lián)考)直線l：mxy1m0與圓C：x2(y1)25的位置關(guān)系是()A相交 B相切 C相離 D不確定代數(shù)法、幾何法答案A解析解法一：由eq blcrc (avs4alco1(mxy1m0，,x2y125)消去y，整理得(1m2)

6、x22m2xm250，則4m44(1m2)(m25)16m2200，所以直線l解法二：圓心(0,1)到直線l的距離deq f(|m|,r(1m2)1eq r(5)r.故選A.方法技巧判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法1幾何法：利用d與r的關(guān)系見典例1，典例2答案解法二2代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用判斷見典例2答案解法一3點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交上述方法中最常用的是幾何法，點與圓的位置關(guān)系法適用于動直線問題沖關(guān)針對訓(xùn)練直線yeq f(r(3),3)xm與圓x2y21在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點，則m的取值范圍是()A(eq r(3)，2) B(eq r(3)，

7、3)C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)，f(2r(3),3) D.eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(2r(3),3)答案D解析當(dāng)直線經(jīng)過點(0,1)時，直線與圓有兩個不同的交點，此時m1；當(dāng)直線與圓相切時有圓心到直線的距離deq f(|m|,r(1blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)2)1，解得meq f(2r(3),3)(切點在第一象限)，所以要使直線與圓在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點，則1m3，所以(ab)29，即ab3或ab1，所以直線xy10與圓(xa)2(yb)21相離方法技巧圓與圓位置關(guān)系的判斷步驟及兩圓公共弦長的求法1

8、判斷圓與圓的位置關(guān)系的步驟(1)確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長；(2)利用平面內(nèi)兩點間的距離公式求出圓心距d，求r1r2，|r1r2|；(3)比較d，r1r2，|r1r2|的大小，寫出結(jié)論2兩圓公共弦長的求法兩圓公共弦長，在其中一圓中，由弦心距d，半弦長eq f(l,2)，半徑r所在線段構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解沖關(guān)針對訓(xùn)練已知圓C1：x2y22mx4ym250與圓C2：x2y22x2mym230，若圓C1與圓C2相外切，則實數(shù)m()A5 B5或2 C6 D8答案B解析對于圓C1與圓C2的方程，配方得圓C1：(xm)2(y2)29，圓C2：(x1)2(ym)24，則圓C1的圓心C1(m，2)

9、，半徑r13，圓C2的圓心C2(1，m)，半徑r22.如果圓C1與圓C2相外切，那么有|C1C2|r1r2，即eq r(m12m22)5，則m23m100，解得m5或m2，所以當(dāng)m5或m2時，圓C1與圓C2相外切故選B.題型3定點、定圓問題 eq o(sup7(),sdo5(典例1)(2018常州期末)已知圓M的方程為x2(y2)21，直線l的方程為x2y0，點P在直線l上，過P點作圓M的切線PA，PB，切點為A，B.(1)若APB60，試求點P的坐標(biāo)；(2)若P點的坐標(biāo)為(2,1)，過P作直線與圓M交于C，D兩點，當(dāng)CDeq r(2)時，求直線CD的方程；(3)經(jīng)過A，P，M三點的圓是否經(jīng)過

10、異于點M的定點，若經(jīng)過，請求出此定點的坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由 (1)數(shù)形結(jié)合得到MP2，再用兩點間距離公式列方程求解；(2)利用點到直線的距離公式求解；(3)用“肯定順推法”求解解(1)設(shè)P(2m，m)，由題可知MP2，所以(2m)2(m2)解之得m0或meq f(4,5)，故所求點P的坐標(biāo)為P(0,0)或Peq blc(rc)(avs4alco1(f(8,5)，f(4,5).(2)設(shè)直線CD的方程為y1k(x2)，易知k存在，由題知圓心M到直線CD的距離為eq f(r(2),2)，所以eq f(r(2),2)eq f(|2k1|,r(1k2)，解得k1或keq f(1,7)，故所求直線C

11、D的方程為xy30或x7y90.(3)設(shè)P(2m，m)，MP的中點Qeq blc(rc)(avs4alco1(m，f(m,2)1)，因為PA是圓M的切線，所以經(jīng)過A，P，M三點的圓是以Q為圓心，以MQ為半徑的圓，故其方程為(xm)2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(m,2)1)2m2eq blc(rc)(avs4alco1(f(m,2)1)2，化簡得x2y22ym(2xy2)0，此式是關(guān)于m的恒等式，故x2y22y0且(2xy2)0，解得eq blcrc (avs4alco1(x0，,y2)或eq blcrc (avs4alco1(xf(4,5)，,yf(2,5)，)所以經(jīng)過A，

12、P，M三點的圓必過定點(0,2)或eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)，f(2,5).eq o(sup7(),sdo5(典例2)(2018武昌區(qū)期末)已知直線l：ykx1與圓C：(x1)2y21相交于P，Q兩點，點M(0，b)滿足MPMQ.(1)當(dāng)b0時，求實數(shù)k的值；(2)當(dāng)beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1)時，求實數(shù)k的取值范圍；(3)設(shè)A，B是圓C：(x1)2y21上兩點，且滿足|OA|OB|1，試問：是否存在一個定圓S，使直線AB恒與圓S相切解(1)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由題設(shè)條件可得x1x2y1y20，將ykx1代入圓C：

13、(x1)2y21得(1k2)x22(1k)x10，故有x1x2eq f(22k,1k2)，x1x2eq f(1,1k2)，又y1y2(kx11)(kx21)k2x1x2k(x1x2)1eq f(k2,1k2)eq f(2k2k2,1k2)1eq f(12k,1k2)，eq f(12k,1k2)eq f(1,1k2)0，得k1.(2)設(shè)P，Q兩點的坐標(biāo)為(x1，kx11)，(x2，kx21)，則由圓C：(x1)2y21及直線l：ykx1，得(k21)x22(k1)x10，則x1x2eq f(1,k21)，x1x2eq f(2k1,k21)，則eq o(MP,sup6()(x1，kx11b)，eq

14、 o(MQ,sup6()(x2，kx21b)由MPMQ，則x1x2(kx11b)(kx21b)0，即eq f(2k22k,k21)(b1)eq f(1,b1)，beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1)，eq f(1,2)b10，b0)的一條漸近線被圓(x2)2y24所截得的弦長為2，則C的離心率為()A2 B.eq r(3) C.eq r(2) D.eq f(2r(3),3)答案A解析設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為yeq f(b,a)x，圓的圓心為(2,0)，半徑為2，由弦長為2得出圓心到漸近線的距離為eq r(2212)eq r(3).根據(jù)點到直線的距離公式得eq f(|2

15、b|,r(a2b2)eq r(3)，解得b23a2所以C的離心率eeq f(c,a) eq r(f(c2,a2) eq r(1f(b2,a2)2.故選A.2(2018安徽蕪湖六校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A(0,3)，直線l：y2x4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上若圓C上存在點M，使|MA|2|MO|，則圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍是()A.eq blcrc(avs4alco1(0，f(12,5) B0,1 C.eq blcrc(avs4alco1(1，f(12,5) D.eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(12,5)答案A解析因為圓心在直線y2x4上，所以圓C的方程為(x

16、a)2y2(a2)21.設(shè)點M(x，y)，因為|MA|2|MO|，所以eq r(x2y32)2eq r(x2y2)，化簡得x2y22y30，即x2(y1)24，所以點M在以D(0，1)為圓心，2為半徑的圓上由題意，點M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點，則|21|CD21，即1eq r(a22a32)3.由eq r(a22a32)1得5a212a80，解得aR；由eq r(a22a32)3得5a212a0，解得0aeq f(12,5).所以點C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為eq blcrc(avs4alco1(0，f(12,5).故選A.3(2015江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(1

17、,0)為圓心且與直線mxy2m10(mR答案(x1)2y22解析由mxy2m10可得m(x2)y1，易知該直線過定點(2，1)，從而點(1,0)與直線mxy2m10的距離的最大值為eq r(212102)eq r(2)，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y22.4(2017廣東五校協(xié)作體一模)兩圓x2y22axa240和x2y24by14b20恰有三條公切線，若aR，bR且ab0，則eq f(1,a2)eq f(1,b2)的最小值為_答案1解析將x2y22axa240和x2y24by14b20化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(xa)2y24，x2(y2b)21，依題意得兩圓相外切，故eq r(a24b2)123，即

18、a24b29，所以eq f(1,a2)eq f(1,b2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a2,9)f(4b2,9)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a2)f(1,b2)eq f(1,9)eq f(a2,9b2)eq f(4b2,9a2)eq f(4,9)eq f(5,9)2eq r(f(a2,9b2)f(4b2,9a2)1，當(dāng)且僅當(dāng)eq f(a2,9b2)eq f(4b2,9a2)，即a22b2時等號成立，故eq f(1,a2)eq f(1,b2)的最小值為1. 重點保分 兩級優(yōu)選練A級一、選擇題1(2018福建漳州八校聯(lián)考)已知點P(a，b)(ab0)是圓x2

19、y2r2內(nèi)的一點，直線m是以P為中點的弦所在的直線，直線l的方程為axbyr2，那么()Aml，且l與圓相交 Bml，且l與圓相切Cml，且l與圓相離 Dml，且l與圓相離答案C解析點P(a，b)(ab0)在圓內(nèi)，a2b2eq f(r2,r)r，ml，l與圓相離故選C.2(2017河北衡水中學(xué)調(diào)研)已知向量a(2cos，2sin)，b(3cos，3sin)，若a與b的夾角為120，則直線6xcos6ysin10與圓(xcos)2(ysin)21的位置關(guān)系是()A相交且不過圓心 B相交且過圓心C相切 D相離答案A解析由題意可得ab6coscos6sinsin|a|b|cos12023eq blc

20、(rc)(avs4alco1(f(1,2)3，所以圓心(cos，sin)到直線6xcos6ysin10的距離deq f(|6coscos6sinsin1|,6)eq f(|31|,6)eq f(1,3)0)始終平分圓C2：(x1)2(y1)22的周長，則eq f(1,m)eq f(2,n)的最小值為()A.eq f(9,2) B9 C6 D3答案D解析把兩圓的方程相減即得兩圓公共弦所在直線l方程為(m1)x(2n1)y50，由題意知直線l經(jīng)過圓C2的圓心(1，1)，因而m2n3.eq f(1,m)eq f(2,n)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,m)f(2,

21、n)(m2n)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(5f(2n,m)f(2m,n)eq f(1,3)(54)3，mn時取等號eq f(1,m)eq f(2,n)的最小值為3，故選D.二、填空題11若圓x2y24與圓x2y22ay60(a0)的公共弦的長為2eq r(3)，則a_.答案1解析兩圓的方程相減，得公共弦所在的直線方程為(x2y22ay6)(x2y2)04yeq f(1,a)，又a0，結(jié)合圖形，利用半徑、弦長的一半及弦心距所構(gòu)成的直角三角形，可知eq f(1,a) eq r(22r(3)2)1a1.12過點(eq r(2)，0)引直線l與曲線yeq r(1x2)相

22、交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，當(dāng)AOB的面積取最大值時，直線l的斜率等于_答案eq f(r(3),3)解析曲線yeq r(1x2)的圖象如圖所示若直線l與曲線相交于A，B兩點，則直線l的斜率kf(5,2)，則eq f(|4a10|,5)2a0或a5(舍)所以圓C的方程為x2y24.(2)當(dāng)直線ABx軸時，x軸平分ANB.當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq blcrc (avs4alco1(x2y24，,ykx1，)得(k21)x22k2xk240，所以x1x2eq f(2k2,k21)，x1x2eq f(k24,k2

23、1).若x軸平分ANB，則kANkBNeq f(y1,x1t)eq f(y2,x2t)0eq f(kx11,x1t)eq f(kx21,x2t)02x1x2(t1)(x1x2)2t0eq f(2k24,k21)eq f(2k2t1,k21)2t0t4，所以當(dāng)點N為(4,0)時，能使得ANMBNM總成立16已知過原點的動直線l與圓C1：x2y26x50相交于不同的兩點A，B.(1)求圓C1的圓心坐標(biāo)；(2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程；(3)是否存在實數(shù)k，使得直線L：yk(x4)與曲線C只有一個交點？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由解(1)因為圓C1：x2y26x50可化為(x3)2y24，所以圓C1的圓心坐標(biāo)為(3,0)(2)由題意可