2022版高考數(shù)學一輪復習第8章平面解析幾何8.1直線的傾斜角、斜率與直線的方程學案理

1、2021版高考數(shù)學一輪復習第8章平面解析幾何8.1直線的傾斜角、斜率與直線的方程學案理PAGE PAGE 3381直線的傾斜角、斜率與直線的方程知識梳理1直線的斜率(1)當90時，tan表示直線l的斜率，用k表示，即ktan.當90時，直線l的斜率k不存在(2)斜率公式給定兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)，經(jīng)過P1，P2兩點的直線的斜率公式為 keq f(y2y1,x2x1).2直線方程的五種形式診斷自測1概念思辨(1)直線的斜率為tan，則其傾斜角為.()(2)斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等()(3)經(jīng)過點P(x0，y0)的直線都可以用方程yy0k(xx0)表示()

2、(4)經(jīng)過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A2P109A組T2)如果AC0，且BC0，在y軸上的截距eq f(C,B)0，故直線經(jīng)過一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限故選C.(2)(必修A2P95T3)傾斜角為150，在y軸上的截距為3的直線方程為_答案yeq f(r(3),3)x3解析由直線的傾斜角為150，知該直線的斜率為ktan150eq f(r(3),3)，依據(jù)直線的斜截式方程ykxb，得yeq f(r(3),3)x3.3小題熱身(1)(2017貴州

3、模擬)已知直線l經(jīng)過點P(2,5)，且斜率為eq f(3,4)，則直線l的方程為()A3x4y140 B3x4y140C4x3y140 D4x3y140答案A解析由點斜式方程知直線l的方程為y5eq f(3,4)(x2)，即3x4y140.故選A.(2)已知直線l：axy2a0在x軸和y軸上的截距相等，則a的值是()A1 B1C2或1 D2或1答案D解析當a0時，直線方程為y20，不滿足題意，所以a0，所以在x軸上的截距為eq f(2a,a)，在y軸上的截距為2a，則由2aeq f(2a,a)，得a2或a1.故選D.題型1直線的傾斜角與斜率eq o(sup7(),sdo5(典例)直線l過點P(

4、1,0)，且與以A(2,1)，B(0，eq r(3)為端點的線段有公共點，則直線l斜率的取值范圍為_數(shù)形結合，由斜率公式求得kPA，kPB.答案(，eq r(3)1，)解析如圖，kAPeq f(10,21)1，kBPeq f(r(3)0,01)eq r(3)，k(，eq r(3)1，)方法技巧求直線傾斜角與斜率問題的求解策略1求直線傾斜角或斜率的取值范圍時，常借助正切函數(shù)ytanx在0，)上的單調(diào)性求解，這里特別要注意，當eq blcrc)(avs4alco1(0，f(,2)時，斜率k0，)；當eq f(,2)時，斜率不存在；當eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，)時，斜率k

5、(，0)2先畫出滿足條件的圖形，找到直線所過的點，然后求定點與端點決定的直線的斜率見典例沖關針對訓練已知線段PQ兩端點的坐標分別為P(1,1)和Q(2，2)，若直線l：xmym0與線段PQ有交點，則實數(shù)m的取值范圍是_答案eq f(2,3)meq f(1,2)解析如圖所示，直線l：xmym0過定點A(0，1)，當m0時，kQAeq f(3,2)，kPA2，kleq f(1,m)，eq f(1,m)2或eq f(1,m)eq f(3,2)，解得0meq f(1,2)或eq f(2,3)m0；當m0時，直線l的方程為x0，與線段PQ有交點實數(shù)m的取值范圍為eq f(2,3)meq f(1,2).題

6、型2直線方程的求法eq o(sup7(),sdo5(典例)求適合下列條件的直線的方程：(1)在y軸上的截距為5，傾斜角的正弦值是eq f(3,5)；(2)經(jīng)過點P(3,2)，且在兩坐標軸上的截距相等；(3)經(jīng)過點A(1，3)，傾斜角等于直線y3x的傾斜角的2倍根據(jù)已知條件代入相應公式，分別為斜截式、截距式、點斜式解(1)設直線的傾斜角為，則sineq f(3,5).coseq f(4,5)，直線的斜率ktaneq f(3,4).又直線在y軸上的截距是5，由斜截式得直線方程為yeq f(3,4)x5.即3x4y200或3x4y200.(2)設直線l在x，y軸上的截距均為a，若a0，即l過點(0,

7、0)和(3,2)l的方程為yeq f(2,3)x，即2x3y0.若a0，則設l的方程為eq f(x,a)eq f(y,a)1.l過點P(3,2)，eq f(3,a)eq f(2,a)1.a5，l的方程為xy50.綜上可知，直線l的方程為2x3y0或xy50.(3)設直線y3x的傾斜角為，則所求直線的傾斜角為2.tan3，tan2eq f(2tan,1tan2)eq f(3,4).又直線經(jīng)過點A(1，3)，因此所求直線方程為y3eq f(3,4)(x1)，即3x4y150.方法技巧給定條件求直線方程的思路1求直線方程常用的兩種方法(1)直接法：根據(jù)已知條件，直接寫出直線的方程，如本例(1)、(3

8、)求直線方程，則直接利用斜截式即可(2)待定系數(shù)法：即設定含有參數(shù)的直線方程，結合條件列出方程(組)，求出參數(shù)，再代入直線方程即可必要時要注意分類討論，如本例(2)中不要忽略過原點的情況，否則會造成漏解2設直線方程的常用技巧(1)已知直線縱截距b時，常設其方程為ykxb或yb.(2)已知直線橫截距a時，常設其方程為xmya.(3)已知直線過點(x0，y0)，且k存在時，常設yy0k(xx0)沖關針對訓練根據(jù)所給條件求直線的方程：(1)直線過點(4,0)，傾斜角的正弦值為eq f(r(10),10)；(2)直線過點(5,10)，且到原點的距離為5.解(1)由題設知，該直線的斜率存在，故可采用點斜

9、式設傾斜角為，則sineq f(r(10),10)(0)，從而coseq f(3r(10),10)，則ktaneq f(1,3)，故所求直線方程為yeq f(1,3)(x4)，即x3y40或x3y40.(2)當斜率不存在時，所求直線方程為x50，滿足題意當斜率存在時，設其為k，則所求直線方程為y10k(x5)，即kxy(105k)0.由點線距離公式，得eq f(|105k|,r(k21)5，解得keq f(3,4)，故所求直線方程為3x4y250.綜上知，所求直線方程為x50或3x4y250.題型3直線方程的綜合應用角度1由直線方程求參數(shù)問題eq o(sup7(),sdo5(典例)(2018泰

10、安模擬)已知直線l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，當0a0，b0)，則eq f(2,a)eq f(1,b)1.又eq f(2,a)eq f(1,b)2eq r(f(2,ab)eq f(1,2)ab4，當且僅當eq f(2,a)eq f(1,b)eq f(1,2)，即a4，b2時，AOB面積Seq f(1,2)ab有最小值為4.此時，直線l的方程是eq f(x,4)eq f(y,2)1，即x2y40.(2)設所求直線l的方程為y1k(x2)則可得Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(2k1,k)，0)，B(0,12k)(k0，b0)設直線l的方程為eq f(x,a)eq

11、f(y,b)1，則eq f(1,a)eq f(1,b)1，所以|OA|OB|ab(ab)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(1,b)2eq f(a,b)eq f(b,a)22eq r(f(a,b)f(b,a)4，當且僅當“ab2”時取等號，此時直線l的方程為xy20.(2)設直線l的斜率為k，則k0，cos0，sincoseq f(3r(5),5)，由解得eq blcrc (avs4alco1(sinf(2r(5),5)，,cosf(r(5),5)，)tan2，即l的斜率為2，故選D.3(2018江西南昌模擬)已知過定點P(2,0)的直線l與曲線yeq r(2x2)相交于

12、A，B兩點，O為坐標原點，當AOB的面積取到最大值時，直線l的傾斜角為()A150 B135 C120 D105答案A解析由yeq r(2x2)得x2y22(y0)，它表示以原點O為圓心，eq r(2)為半徑的圓的一部分，如圖所示由題意知直線l的斜率存在，設過點P(2,0)的直線l的方程為yk(x2)，則圓心到此直線的距離deq f(|2k|,r(1k2)，弦長|AB|2eq r(2blc(rc)(avs4alco1(f(|2k|,r(1k2)2)2eq r(f(22k2,1k2)，所以SAOBeq f(1,2)eq f(|2k|,r(1k2)2eq r(f(22k2,1k2)eq f(2k2

13、22k2,21k2)1，當且僅當(2k)222k2，即k2eq f(1,3)時等號成立，結合圖可知keq f(r(3),3)eq blc(rc)(avs4alco1(kf(r(3),3)舍去)，故所求直線l的傾斜角為150.故選A.4(2014四川高考)設mR，過定點A的動直線xmy0和過定點B的動直線mxym30交于點P(x，y)，則|PA|PB|的最大值是_答案5解析易知A(0,0)，B(1,3)，且PAPB，|PA|2|PB|2|AB|210，|PA|PB|eq f(|PA|2|PB|2,2)5(當且僅當|PA|PB|eq r(5)時取“”) 基礎送分 提速狂刷練一、選擇題1(2018朝

14、陽模擬)直線xeq r(3)y10的傾斜角為()A.eq f(,6) B.eq f(,3) C.eq f(2,3) D.eq f(5,6)答案D解析直線斜率為eq f(r(3),3)，即taneq f(r(3),3)，00，b0)過點(1,1)，則該直線在x軸，y軸上的截距之和的最小值為()A1 B2 C4 D8答案C解析直線axbyab(a0，b0)過點(1,1)，abab，即eq f(1,a)eq f(1,b)1，ab(ab)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(1,b)2eq f(b,a)eq f(a,b)22eq r(f(b,a)f(a,b)4，當且僅當ab2時上式

15、等號成立直線在x軸，y軸上的截距之和的最小值為4.故選C.9(2017煙臺期末)直線mxeq f(n,2)y10在y軸上的截距是1，且它的傾斜角是直線eq r(3)xy3eq r(3)0的傾斜角的2倍，則()Ameq r(3)，n2 Bmeq r(3)，n2Cmeq r(3)，n2 Dmeq r(3)，n2答案A解析根據(jù)題意，設直線mxeq f(n,2)y10為直線l，另一直線的方程為eq r(3)xy3eq r(3)0，變形可得yeq r(3)(x3)，其斜率keq r(3)，則其傾斜角為60，而直線l的傾斜角是直線eq r(3)xy3eq r(3)0的傾斜角的2倍，則直線l的傾斜角為120

16、，且斜率ktan120eq r(3)，又由l在y軸上的截距是1，則其方程為yeq r(3)x1；又由其一般式方程為mxeq f(n,2)y10，分析可得meq r(3)，n2.故選A.10若點(m，n)在直線4x3y100上，則m2n2的最小值是()A2 B2eq r(2) C4 D2eq r(3)答案C解析因為點(m，n)在直線4x3y100上，所以4m3n欲求m2n2的最小值可先求eq r(m02n02)的最小值而eq r(m02n02)表示4m3n100上的點(m，n)到原點的距離，如圖當過原點和點(m，n)的直線與直線4m3n100垂直時，原點到點(m，n故m2n2的最小值為4.故選C

17、.二、填空題11已知P(3,2)，Q(3,4)及直線axy30.若沿eq o(PQ,sup6()的方向延長線段PQ與直線有交點(不含Q點)，則a的取值范圍是_答案eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,3)，f(1,3)解析直線l：axy30是過點A(0，3)的直線系，斜率為參變數(shù)a，易知PQ，QA，l的斜率分別為：kPQeq f(1,3)，kAQeq f(7,3)，kla.若l與PQ延長線相交，由圖可知kPQklkAQ，解得eq f(7,3)aeq f(1,3).12(2018石家莊期末)一直線過點A(3,4)，且在兩軸上的截距之和為12，則此直線方程是_答案x3y90或y4x16

18、解析設橫截距為a，則縱截距為12a，直線方程為eq f(x,a)eq f(y,12a)1，把A(3,4)代入，得eq f(3,a)eq f(4,12a)1，解得a4，a9.a9時，直線方程為eq f(x,9)eq f(y,3)1，整理可得x3y90.a4時，直線方程為eq f(x,4)eq f(y,16)1，整理可得4xy160.綜上所述，此直線方程是x3y90或4xy160.13過直線l：yx上的點P(2,2)作直線m，若直線l，m與x軸圍成的三角形的面積為2，則直線m的方程為_答案x2y20或x2解析若直線m的斜率不存在，則直線m的方程為x2，直線m，直線l和x軸圍成的三角形面積為2，符合

19、題意；若直線m的斜率k0，則直線m與x軸沒有交點，不符合題意；若直線m的斜率k0，設其方程為y2k(x2)，令y0，得x2eq f(2,k)，依題意有eq f(1,2)eq blc|rc|(avs4alco1(2f(2,k)22，即eq blc|rc|(avs4alco1(1f(1,k)1，解得keq f(1,2)，所以直線m的方程為y2eq f(1,2)(x2)，即x2y20.綜上知，直線m的方程為x2y20或x2.14在下列敘述中：若一條直線的傾斜角為，則它的斜率為ktan；若直線斜率k1，則它的傾斜角為135；已知點A(1，3)，B(1,3)，則直線AB的傾斜角為90；若直線過點(1,2

20、)，且它的傾斜角為45，則這條直線必過點(3,4)；若直線斜率為eq f(3,4)，則這條直線必過(1,1)與(5,4)兩點其中正確的命題是_(填序號)答案解析當90時，斜率k不存在，故錯誤；傾斜角的正切值為1時，傾斜角為135，故正確；直線AB與x軸垂直，斜率不存在，傾斜角為90，故正確；直線過定點(1,2)，斜率為1，又eq f(42,31)1，故直線必過點(3,4)，故正確；斜率為eq f(3,4)的直線有無數(shù)條，所以直線不一定過(1,1)與(5,4)兩點，故錯誤三、解答題15設直線l的方程為(a1)xy2a0(aR)(1)若l在兩坐標軸上截距相等，求l的方程；(2)若l不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)a的取值范圍解(1)當直線過原點時，該直線在x軸和y軸上的截距為零，a2，方程即為3xy0.當直線不經(jīng)過原點時，截距存在且均不為0.eq f(a2,a1)a2，即a11.a0，方程即為xy20.綜上，l的方程為3xy0或xy20.(2)將l的方程化為y(a1)xa2，eq blcrc (avs4alco1(a10，,a20)或eq blcrc (av