專題42 阿波羅尼斯圓-2023年高考數學核心壓軸題（新高考地區(qū)專用）

1、專題42 阿波羅尼斯圓【方法點撥】一般地，平面內到兩個定點距離之比為常數的點的軌跡是圓，此圓被叫做“啊波羅尼斯圓” （又稱之為圓的第二定義）.說明：不妨設 ，再設 ，則有，化簡得：，軌跡為圓心的圓.滿足上面條件的啊波羅尼斯圓的直徑的兩端是按照定比內分和外分所得的兩個分點（如圖，有）.（3）設是圓上的一點（不與重合），則是三角形的內、外角平分線，（4）逆向運用：給定圓和定點（不在圓上且不與重合），則一定存在唯一一個定值和一個定點，使得對于圓上的任意一點都有【典型題示例】例1 滿足條件AB2，ACeq R(,2)BC的ABC的面積的最大值為 .【答案】2eq R(,2)【分析】已知三角形的一邊長及

2、另兩邊的關系欲求面積的最大值，一種思路是利用面積公式、余弦定理建立關于某一邊的目標函數，最后利用基本不等式求解；二是緊緊抓住條件“ACeq R(,2)BC”，符合 “啊園”，建系求出第三個頂點C的軌跡，挖出“隱圓”，當點C到直線AB距離最大，即為半徑時，ABC的面積最大為2eq R(,2).【解析一】設BC，則AC ，根據面積公式得=，根據余弦定理得，代入上式得=由三角形三邊關系有解得，故當時取最大值【解析二】以AB所在的直線為x軸，它的中垂線為y軸建立直角坐標系，則A（1,0），B（1,0），設C（x,y）由ACeq R(,2)BC，即AC22BC2所以（x1）2y22（x1）2y2，化簡得

3、(x3)2y28故點C的軌跡方程為(x3)2y28(y0)，當點C到直線AB距離最大，即為半徑時，ABC的面積最大為2eq R(,2).例2 已知等腰三角形腰上的中線為eq R(,3)，則該三角形面積的最大值為_.【答案】2【分析】本題解法較多，但各種解法中，以利用“啊圓”為最簡，注意到中線上三角形兩邊之比為21，符合啊波羅尼斯圓定理，挖出“隱圓”，易求得最大值為2.【解析一】如圖1，中，設，則，在中，在中，由可得，所以，則，故，易知當時，面積的最大值是2點評：避免求邊，優(yōu)化此解法，考慮中，有，而，同樣可解【解析二】以中點為原點，所在直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標系，設，則，即，整理得，

4、即有，所以【解析三】以中點為原點，所在直線為軸建立如圖3所示的平面直角坐標系，設，則，所以，而，當且僅當時，取等【解析四】如圖4，作于點，交于點，則為的重心，則有，所以，當時，取等例3 已知圓和點，若定點和常數滿足：對圓上任意一點，都有，則 （1） ； （2） 【答案】（1）；（2）.【分析】其實質是啊圓的逆用，設出點的坐標，恒成立問題轉化為與點的坐標無關，即分子為零.【解答】設，則，所以為常數，所以，解得或（舍去），所以例4 已知圓C：x2y29，點A(5,0)，在直線OA上(O為坐標原點)，存在定點B(不同于點A)滿足：對于圓C上任一點P，都有eq f(PB,PA)為一常數，則點B的坐標為

5、_【答案】eq blc(rc)(avs4alco1(f(9,5)，0)【分析】本題的實質是“逆用啊圓”.【解析一】假設存在這樣的點B(t,0)當點P為圓C與x軸的左交點(3,0)時，eq f(PB,PA)eq f(|t3|,2)；當點P為圓C與x軸的右交點(3,0)時，eq f(PB,PA)eq f(|t3|,8).依題意，eq f(|t3|,2)eq f(|t3|,8)，解得teq f(9,5)或t5(舍去)下面證明點Beq blc(rc)(avs4alco1(f(9,5)，0)對于圓C上任一點P，都有eq f(PB,PA)為一常數設P(x，y)，則y29x2，所以eq f(PB2,PA2)

6、eq f(blc(rc)(avs4alco1(xf(9,5)2y2,x52y2)eq f(x2f(18,5)x9x2f(81,25),x210 x259x2)eq f(f(18,25)5x17,25x17)eq f(9,25).從而eq f(PB,PA)eq f(3,5)為常數【解析二】假設存在這樣的點B(t,0)，使得eq f(PB,PA)為常數，則PB22PA2，所以(xt)2y22(x5)2y2，將y29x2代入，得x22xtt29x22(x210 x259x2)，即2(52t)x342t290對x3,3恒成立，所以eq blcrc (avs4alco1(52t0，,342t290.)解

7、得eq blcrc (avs4alco1(f(3,5)，,tf(9,5)或eq blcrc (avs4alco1(1，,t5)(舍去)故存在點Beq blc(rc)(avs4alco1(f(9,5)，0)對于圓C上任一點P，都有eq f(PB,PA)為常數eq f(3,5).例5 啊波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得、啊基米德并稱為亞歷山大時期數學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，啊波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點A，B的距離之比為，那么點M的軌跡就是啊波羅尼斯圓，簡稱啊氏圓已知在平面直角坐標系中，圓、點和點，M為圓O上的動點，則的最小值為_.【答案】【分析】

8、逆用“啊圓”，將中系數2去掉化為“一條線段”， 從而將化為兩條線段的和，再利用“三點共線”求解.【解析】因為啊圓的圓心、兩定點共線，且在該直線上的直徑的端點分別是兩定點構成線段分成定比的內外分點所以另一定點必在x軸上，且內分該點與連結的線段的比為2故該點的坐標為設，則圓上任意一動點M都滿足所以又因為，當且僅當共線時，等號成立所以的最小值為.點評：已知兩定點、啊圓的圓心三點共線；啊圓的在已知兩定點所在直線上的直徑的兩端點，分別是兩定點構成線段分成定比的內、外分點.例6 古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現:“平面內到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓”.后來,人們將這個

9、圓以他的名字命名,稱為阿波羅尼斯圓,簡稱阿氏圓在平面直角坐標系中,點.設點的軌跡為,下列結論正確的是（ ）A的方程為B在軸上存在異于的兩定點,使得C當三點不共線時,射線是的平分線D在上存在點,使得【答案】BC【分析】通過設出點P坐標，利用即可得到軌跡方程，找出兩點即可判斷B的正誤，設出點坐標，利用與圓的方程表達式解出就存在，解不出就不存在.【解析】設點，則，化簡整理得，即，故A錯誤；根據對稱性可知，當時，故B正確；對于C選項，,要證PO為角平分線，只需證明，即證，化簡整理即證，設，則，則證，故C正確；對于D選項，設,由可得，整理得，而點M在圓上，故滿足，聯(lián)立解得，無實數解，于是D錯誤.故答案為

10、BC.【鞏固訓練】1.（多選題）在平面直角坐標系中，三點，動點滿足，則A.點的軌跡方程為B.面積最大時C.最大時，D.到直線距離最小值為2. 在平面直角坐標系中，點.若直線上存在點，使得,則實數的取值范圍是 3. 已知圓O：x2y21和點A(2,0)，若定點B(b,0)(b2)和常數滿足：對圓O上任意一點M，都有MBMA，則(1)b_； (2)_.4.在ABC中，|AB|=2,|AC|=k|5.點P是圓C：x2y21上動點，已知A(1,2)，B(2,0)，則PA EQ F(1,2)PB的最小值為_6.啊波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得、啊基米德并稱為亞歷山大時期數學三巨匠，他對圓錐曲線有

11、深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作圓錐曲線一書，啊波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點Q、P的距離之比|MQ|MP|=(0,1)，那么點M的軌跡就是啊波羅尼斯圓已知動點M的軌跡是啊波羅尼斯圓，其方程為x2+y2=1，定點A. 6B. 7C. 10D. 117. 已知，點是直線上的動點，若恒成立，則最小正整數的值為 8.在平面四邊形ABCD中， ，若，則的最小值為 9.已知,則的最小值是_.【答案或提示】1. 【答案】ABD【解析】由題意可設，由，可得，即，化簡可得，故選項A正確；對于選項B，且點P到直線AB的距離的最大值為圓的半徑，即為，所有面積最大為，此時，所

12、以，故選項B正確；對于選項C，最大時，為過點A作圓的切點，求得切點不為，則，故選項C錯誤；對于選項D，直線的方程為，則圓心到直線的距離為，所以點P到直線AC距離最小值為，故選項D正確；故選ABD.2. 【答案】【解法一】設滿足條件PB2PA的P點坐標為(x，y)，則(x4)2+y24(x1)2+4y2，化簡得x2+y24要使直線xy+m0有交點，則 EQ F(|m|, EQ r( ,2)2即2 EQ r( ,2)m2 EQ r( ,2)【解法二】設直線xy+m0有一點(x，x +m)滿足PA2PB，則(x4)2+(x+m)24(x1)2+4(x+m)2整理得2x2+2mx+m240 (*)方程

13、(*)有解，則4m28(m24)0，解之得：2 EQ r( ,2)m2 EQ r( ,2)3. 【答案】(1)eq f(1,2)(2)eq f(1,2)【解析】(1)因為點M為圓O上任意一點，所以不妨取圓O與x軸的兩個交點(1,0)和(1,0).當M點取(1,0)時，由MBMA，得|b1|；當M點取(1,0)時，由MBMA，得|b1|3.消去，得|b1|3|b1|.兩邊平方，化簡得2b25b20，解得beq f(1,2)或b2(舍去).(2)由|b1|，得eq f(1,2).4.【答案】2【分析】本題考查軌跡方程的求解，以及新定義，直線與圓的位置關系的應用，屬于較難題根據條件得到點C的軌跡方程

14、(k2-1)x2+(k2-1)y2+2(k2【解析】如圖，不妨設A(1,0)，B(-1,0)，C(x,y)，則|AC|=k|BC|，可化為(x-1)2+y2=k2(x+1)2+y2，整理可得(k2-1)x2+(k2-1)y2+2(k2+1)x+k2-1=0，5.【答案】 EQ F(5,2)【提示】已知動點軌跡為圓，將 EQ F(1,2)PB轉化為P到一個定點的距離，即求動點到兩個定點距離之和.6.【答案】C【分析】令2|MP|=|MQ|，則2|MP|+|MB|=|MQ|+|MB|，由【解析】由題意可得圓x2+y2=1是關于P，Q的啊波羅尼斯圓，且=2，則|MQ|MP|=2，設點Q的坐標為(m,n)，則(x-m)2+(y-n)2(