2021-2022學年湖北省武漢市武昌區(qū)高三下第一次測試數(shù)學試題含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1定義，已知函數(shù)，則函數(shù)的最小值為（ ）ABCD2已知復數(shù)，（為虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則（）AB2CD3已知集合，則等于（ ）ABCD4如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將沿BE折

2、起至，記二面角的平面角為，直線與平面BCDE所成的角為，與BC所成的角為，有如下兩個命題：對滿足題意的任意的的位置，；對滿足題意的任意的的位置，則( ) A命題和命題都成立B命題和命題都不成立C命題成立，命題不成立D命題不成立，命題成立5設函數(shù)滿足，則的圖像可能是ABCD6某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積是( )ABCD7已知函數(shù)f(x),若關于x的方程f(x)kx恰有4個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是()A B C D 8已知數(shù)列中，()，則等于（ ）ABCD29設集合，則 ()ABCD10集合,則集合的真子集的個數(shù)是A1個B3個C4個D7個11設為等差數(shù)列的

3、前項和，若，則ABCD12設a，b都是不等于1的正數(shù)，則“”是“”的（）A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13袋中裝有兩個紅球、三個白球，四個黃球，從中任取四個球，則其中三種顏色的球均有的概率為_.14從集合中隨機取一個元素，記為，從集合中隨機取一個元素，記為，則的概率為_15設滿足約束條件，則的取值范圍是_.16設平面向量與的夾角為，且，則的取值范圍為_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）設，函數(shù).（1）當時，求在內(nèi)的極值；（2）設函數(shù)，當有兩個極值點時，總有，求實數(shù)的值.

4、18（12分）某社區(qū)服務中心計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶5元，售價每瓶7元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：攝氏度）有關.如果最高氣溫不低于25，需求量為600瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為500瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為300瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫天數(shù)414362763以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量（單位：瓶）的分布列；（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤

5、為（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量為（單位：瓶）時，的數(shù)學期望的取值范圍？19（12分）某單位準備購買三臺設備，型號分別為已知這三臺設備均使用同一種易耗品，提供設備的商家規(guī)定：可以在購買設備的同時購買該易耗品，每件易耗品的價格為100元，也可以在設備使用過程中，隨時單獨購買易耗品，每件易耗品的價格為200元.為了決策在購買設備時應購買的易耗品的件數(shù).該單位調(diào)查了這三種型號的設備各60臺，調(diào)査每臺設備在一個月中使用的易耗品的件數(shù)，并得到統(tǒng)計表如下所示.每臺設備一個月中使用的易耗品的件數(shù)678型號A30300頻數(shù)型號B203010型號C04515將調(diào)查的每種型號的設備的頻率視為概率，各臺

6、設備在易耗品的使用上相互獨立.（1）求該單位一個月中三臺設備使用的易耗品總數(shù)超過21件的概率；（2）以該單位一個月購買易耗品所需總費用的期望值為決策依據(jù)，該單位在購買設備時應同時購買20件還是21件易耗品？20（12分）已知橢圓C:（ab0）的兩個焦點分別為F1（，0）、F2（，0）.點M（1，0）與橢圓短軸的兩個端點的連線相互垂直.（1）求橢圓C的方程；（2）已知點N的坐標為（3，2），點P的坐標為（m，n）（m3）.過點M任作直線l與橢圓C相交于A、B兩點，設直線AN、NP、BN的斜率分別為k1、k2、k3，若k1k32k2，試求m，n滿足的關系式.21（12分）已知函數(shù)和的圖象關于原點對

7、稱，且（1）解關于的不等式；（2）如果對，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍22（10分）已知在四棱錐中，平面，在四邊形中，為的中點，連接，為的中點，連接.（1）求證：.（2）求二面角的余弦值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1A【解析】根據(jù)分段函數(shù)的定義得，則,再根據(jù)基本不等式構造出相應的所需的形式，可求得函數(shù)的最小值.【詳解】依題意得，則,(當且僅當，即時“”成立.此時,，的最小值為，故選：A.【點睛】本題考查求分段函數(shù)的最值，關鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出，再由基本不等式求得最值，屬于中檔題.2C【解析】把代入，利

8、用復數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡，由實部為0且虛部不為0求解即可【詳解】，為純虛數(shù)，解得故選C【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的除法運算，考查復數(shù)的基本概念，是基礎題3A【解析】進行交集的運算即可【詳解】，1，2，1，故選：【點睛】本題主要考查了列舉法、描述法的定義，考查了交集的定義及運算，考查了計算能力，屬于基礎題4A【解析】作出二面角的補角、線面角、線線角的補角，由此判斷出兩個命題的正確性.【詳解】如圖所示，過作平面，垂足為，連接，作，連接.由圖可知，所以，所以正確.由于，所以與所成角，所以，所以正確.綜上所述，都正確.故選：A【點睛】本題考查了折疊問題、空間角、數(shù)形結(jié)合方法，考查了推理能力與計算

9、能力，屬于中檔題5B【解析】根據(jù)題意，確定函數(shù)的性質(zhì)，再判斷哪一個圖像具有這些性質(zhì)由得是偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關于軸對稱，可知B，D符合；由得是周期為2的周期函數(shù)，選項D的圖像的最小正周期是4，不符合，選項B的圖像的最小正周期是2，符合，故選B6D【解析】根據(jù)三視圖判斷出幾何體為正四棱錐，由此計算出幾何體的表面積.【詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體為正四棱錐.底面積為.側(cè)面的高為，所以側(cè)面積為.所以該幾何體的表面積是.故選：D【點睛】本小題主要考查由三視圖判斷原圖，考查錐體表面積的計算，屬于基礎題.7D【解析】由已知可將問題轉(zhuǎn)化為：yf(x)的圖象和直線ykx有4個交點，作出圖象，由圖可得：點(

10、1,0)必須在直線ykx的下方，即可求得：k；再求得直線ykx和yln x相切時，k；結(jié)合圖象即可得解.【詳解】若關于x的方程f(x)kx恰有4個不相等的實數(shù)根，則yf(x)的圖象和直線ykx有4個交點作出函數(shù)yf(x)的圖象，如圖，故點(1,0)在直線ykx的下方k10，解得k.當直線ykx和yln x相切時，設切點橫坐標為m，則k，m.此時，k，f(x)的圖象和直線ykx有3個交點，不滿足條件，故所求k的取值范圍是，故選D.【點睛】本題主要考查了函數(shù)與方程思想及轉(zhuǎn)化能力，還考查了導數(shù)的幾何意義及計算能力、觀察能力，屬于難題8A【解析】分別代值計算可得，觀察可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，問

11、題得以解決.【詳解】解：，()，數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，故選：A.【點睛】本題考查數(shù)列的周期性和運用：求數(shù)列中的項，考查運算能力，屬于基礎題.9B【解析】直接進行集合的并集、交集的運算即可【詳解】解：； 故選：B【點睛】本題主要考查集合描述法、列舉法的定義，以及交集、并集的運算，是基礎題.10B【解析】由題意，結(jié)合集合，求得集合，得到集合中元素的個數(shù)，即可求解，得到答案【詳解】由題意，集合， 則，所以集合的真子集的個數(shù)為個，故選B【點睛】本題主要考查了集合的運算和集合中真子集的個數(shù)個數(shù)的求解，其中作出集合的運算，得到集合，再由真子集個數(shù)的公式作出計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力1

12、1C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，即，所以，故選C12C【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解a,b的范圍，再利用充分必要條件的定義判斷即可【詳解】由“”，得，得或或，即或或，由，得，故“”是“”的必要不充分條件，故選C【點睛】本題考查必要條件、充分條件及充分必要條件的判斷方法，考查指數(shù)，對數(shù)不等式的解法，是基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】基本事件總數(shù)n126，其中三種顏色的球都有包含的基本事件個數(shù)m72，由此能求出其中三種顏色的球都有的概率【詳解】解：袋中有2個紅球，3個白球和4個黃球，從中任取4個球，基本事件總數(shù)n126，其中三種顏色的球都有，可能是

13、2個紅球，1個白球和1個黃球或1個紅球，2個白球和1個黃球或1個紅球，1個白球和2個黃球，所以包含的基本事件個數(shù)m72，其中三種顏色的球都有的概率是p故答案為：【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題14【解析】先求出隨機抽取a,b的所有事件數(shù)，再求出滿足的事件數(shù)，根據(jù)古典概型公式求出結(jié)果.【詳解】解：從集合中隨機取一個元素，記為，從集合中隨機取一個元素，記為，則的事件數(shù)為9個，即為，其中滿足的有，共有8個，故的概率為.【點睛】本題考查了古典概型的計算，解題的關鍵是準確列舉出所有事件數(shù).15【解析】作出可行域，將目標函數(shù)整理為可視為可行解與的斜率

14、，則由圖可知或，分別計算出與，再由不等式的簡單性質(zhì)即可求得答案.【詳解】作出滿足約束條件的可行域，顯然當時，z=0；當時將目標函數(shù)整理為可視為可行解與的斜率，則由圖可知或顯然，聯(lián)立，所以則或，故或綜上所述，故答案為：【點睛】本題考查分式型目標函數(shù)的線性規(guī)劃問題，屬于簡單題.16【解析】根據(jù)已知條件計算出，結(jié)合得出，利用基本不等式可得出的取值范圍，利用平面向量的數(shù)量積公式可求得的取值范圍，進而可得出的取值范圍.【詳解】，由得，由基本不等式可得，因此，的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題考查利用向量的模求解平面向量夾角的取值范圍，考查計算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明

15、、證明過程或演算步驟。17（1）極大值是，無極小值；（2）【解析】（1）當時，可求得，令，利用導數(shù)可判斷的單調(diào)性并得其零點，從而可得原函數(shù)的極值點及極大值；（2）表示出，并求得，由題意，得方程有兩個不同的實根，從而可得及，由，得則可化為對任意的恒成立，按照、三種情況分類討論，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值可解決；【詳解】（1）當時，.令，則，顯然在上單調(diào)遞減，又因為，故時，總有，所以在上單調(diào)遞減.由于，所以當時，；當時，.當變化時，的變化情況如下表：+-增極大減所以在上的極大值是，無極小值.（2）由于，則.由題意，方程有兩個不等實根，則，解得，且，又，所以.由，可得又.將其代入上式得：.整理得，

16、即當時，不等式恒成立，即.當時，恒成立，即，令，易證是上的減函數(shù).因此，當時，故.當時，恒成立，即，因此，當時，所以.綜上所述，.【點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值、研究函數(shù)的極值等知識，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，考查學生綜合運用知識分析問題解決問題的能力，該題綜合性強，難度大，對能力要求較高18（1）見解析；（2）【解析】（1）X的可能取值為300,500,600，結(jié)合題意及表格數(shù)據(jù)計算對應概率，即得解；（2）由題意得，分，及，分別得到y(tǒng)與n的函數(shù)關系式，得到對應的分布列，分析即得解.【詳解】（1）由題意：X的可能取值為300,500,600 故：六月份這種酸奶一天的需求量（單位：瓶）的

17、分布列為300500600（2）由題意得.1.當時，利潤此時利潤的分布列為.2.時，利潤此時利潤的分布列為.綜上的數(shù)學期望的取值范圍是.【點睛】本題考查了函數(shù)與概率統(tǒng)計綜合，考查了學生綜合分析，數(shù)據(jù)處理，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.19（1）（2）應該購買21件易耗品【解析】（1）由統(tǒng)計表中數(shù)據(jù)可得型號分別為在一個月使用易耗品的件數(shù)為6,7,8時的概率,設該單位三臺設備一個月中使用易耗品的件數(shù)總數(shù)為X,則,利用獨立事件概率公式進而求解即可；（2）由題可得X所有可能的取值為,即可求得對應的概率,再分別討論該單位在購買設備時應同時購買20件易耗品和21件易耗品時總費用的可能取值及期望,即

18、可分析求解.【詳解】（1）由題中的表格可知A型號的設備一個月使用易耗品的件數(shù)為6和7的頻率均為；B型號的設備一個月使用易耗品的件數(shù)為6,7,8的頻率分別為；C型號的設備一個月使用易耗品的件數(shù)為7和8的頻率分別為；設該單位一個月中三臺設備使用易耗品的件數(shù)分別為,則,設該單位三臺設備一個月中使用易耗品的件數(shù)總數(shù)為X,則而,故,即該單位一個月中三臺設備使用的易耗品總數(shù)超過21件的概率為.（2）以題意知,X所有可能的取值為；由（1）知,若該單位在購買設備的同時購買了20件易耗品,設該單位一個月中購買易耗品所需的總費用為元,則的所有可能取值為,；若該單位在肋買設備的同時購買了21件易耗品,設該單位一個月中購買易耗品所需的總費用為元,則的所有可能取值為,；,所以該單位在購買設備時應該購買21件易耗品【點睛】本題考查獨立事件的概率,考查離散型隨機變量的分布列和期望,考查數(shù)據(jù)處理能力.20（1）；（2）mn10【解析】試題分析：（1）利用M與短軸端點構成等腰直角三角形，可求得b的值，進而得到橢圓方程；（2）設出過M的直線l的方程，將l與橢圓C聯(lián)立，得到兩交點坐標關系，然后將k1k3表示為直線l斜率的關系式，化簡后得k1k32，于是可得m，n的關系式.試題解析：（1）由題意，c，b1，所以a故橢圓C的方程為（2）當直線l的斜率不存在時，方程為x1，代入橢圓