橋梁設(shè)計理論第九講

1、第九講曲線梁橋計算理論第一節(jié)概述隨著高等級公路和城市高架路的大量興建，作為道路的一部分，橋梁的位置多由平面布 局控制，特別是現(xiàn)代城市道路網(wǎng)，立交設(shè)施成為分流交匯的主要手段，曲線梁橋的建造就日 益增多。曲線梁橋有別于直線橋的主要特性是：（1）曲線橋外邊緣彎曲應(yīng)力大于內(nèi)邊緣，而在直線橋中無此特征；（2）曲線橋外邊緣撓度大于內(nèi)邊緣撓度；（3）曲線橋中無論恒載還是可變荷載都會產(chǎn)生扭矩，“彎、扭耦合”現(xiàn)象在曲線橋中占 重要地位。第二節(jié)曲線梁基本微分方程及其解答一、基本假定由于曲線梁橋中存在著較大的扭矩和扭轉(zhuǎn)角變形，欲把曲線梁按桿件結(jié)構(gòu)力學(xué)的方法作 為純扭轉(zhuǎn)理論分析，則必須符合下列基本假定：（1）橫截面各

2、項尺寸與跨長相比很小，這樣才容許將實(shí)際結(jié)構(gòu)作為集中在梁軸線上的 曲線形彈性桿件來處理。（2）曲線梁的橫截面在變形后仍然保持為平面；（3）曲線梁變形后，橫截面的周邊形狀保持不變，即截面不發(fā)生畸變；（4）截面的剪切中心軸線與截面形心軸心相重合。一般情況下，只要跨長達(dá)到橫截面尺寸的34倍以上時，第一項假定即能滿足，橫截 面寬度可用邊梁或邊側(cè)腹板之間的距離計算。嚴(yán)格地說，曲線梁除圓形或正方形的截面以外，變形后橫截面不可能仍然保持為平面， 但對于混凝土結(jié)構(gòu)來說，由于薄壁效應(yīng)不顯著，且一般箱梁的形狀接近于正方形時，如果 k = 頃氣/氣3。，則橫截面的翹曲變形不大，故第二項假定所引起的誤差在工程實(shí) 際中可

3、以忽略。鑒于曲線梁橋的半徑相對來說一般均較大，因而，截面剪切中心與截面的偏離值相對于 曲率半徑而言是很小的，所以在實(shí)用中分析內(nèi)力和變形時，作出此項假定也是可以容許的。二、符拉索夫（Vlasov）方程對于如圖9-1所示彎梁，截面形心為G.C.，截面剪切中心為S.C.，通常采用沿剪切中心 軸的切線方向?yàn)閦軸，曲線向心方向?yàn)閤軸，垂直于曲線平面向下為y軸所組成的三維流動 直角坐標(biāo)系。從彎梁上截取一微段dz Rdo，一般地，彎梁有六種可能作用的荷載，其正方向（符合右手螺旋法則）如圖9-1b。在上述荷載作用下，截面上一般會有六種截面內(nèi)力，即軸力N、剪力Qx和g、彎矩Mx和My及扭矩T。正號內(nèi)力如圖9-2

4、a、b所示。MRTNydzxdMx-6z萄MRTNydzxdMx-6z萄dN.N + dz6z圖9-2彎梁微段的截面內(nèi)力圖9-1流動直角坐標(biāo)系與荷載分量dQ+ x dzdz6T人 T + dz dz利用彎梁六個空間平衡條件， 利用彎梁六個空間平衡條件， F = 0 ：x F = 0:y F = 0:z（9-1）（9-2）（9-3）可以導(dǎo)得彎梁的六個靜力平衡方程如下:空 + N + q = 0dz R xdQn- + q = 0竺-Q + q = 0dz R z M = 0 ：尤 M = 0: M = 0:z虬 + - - Q + m 0d虬 + - - Q + m 0dzR y xdM8 y

5、+ Q + m - 0dT M8z(9-4)(9-5)(9-6)上述六個平衡方程消去剪力項Q、83M1 8M _dq8z3 yR2 dzdz dz 2 y 節(jié) R(9-7)82M1 dT _(9-7)dz 2R dz%dzdT Mx mdzR z(9-8)(9-9)彎梁相對于剪切中心軸（z(9-8)(9-9)V、巧分別為X、y、z方向的位移，4為截面扭角。有關(guān)彎梁的幾何方程已由鐵木辛柯(S.Timoshenko)導(dǎo)出如下:dw u& TOC o 1-5 h z z dzR,d2uuk -ydz2R2k_ d2V4xdz 2R,_ d41 dvz =無R &（9-10）（9-11）（9-12）（

6、9-13）圖9-3彎梁的位移與扭角式中：e為軸向應(yīng)變；k、（9-10）（9-11）（9-12）（9-13）圖9-3彎梁的位移與扭角（即單位長度上的扭角）。應(yīng)用彈性體材料的基本方程，可以建立起截面內(nèi)力與變形之間的關(guān)系式，再將幾何方程 (9-10)(9-13)代入此關(guān)系式，可得:N _ EA z = EA(dW - U(9-14)M Elk _ EI (夏 + 告)(9-14)y y y y dz 2 R2M -EIk EI (實(shí) + 4)(9-16)x x x x dz 2 RT _-EI 性 + Glk -EI (迎+ 坐)+ GI (*+ 上史)3 dz2d z 3 dz3 R dz3d d

7、z R dz(9-17)式中A為彎梁截面積；E、G分別為彈性模量和剪切模量；Ix、Iy分別為繞x、y軸的抗彎慣矩；匕為繞(9-17)將式（9-14）（9-17）及其導(dǎo)數(shù)表達(dá)式代入簡化后的平衡方程（9-7）（9-9）即可 導(dǎo)得描述位移、扭角與外荷載關(guān)系的彎梁基本微分方程，即符拉索夫方程:(9-18)EI （廣+ 2 必+ 2U）-啊-qz-my - my yR2R4dz R dz 2 R2(9-18)(9-19)EL v”+E V + EI -GI + 空 -m(9-19)RR d R2 zEI、，, GI EI 頃 EI + GIdm(9-20)(EI + 尊)v d v + xd q (9-

8、20)x R2,R2Rydz從上述三個方程及有關(guān)的平衡方程、幾何方程可以看出，彎梁平面內(nèi)的荷載、qz、 m ）、內(nèi)力（n、Q、M ）及變形（u、w）與垂直于彎梁平面的荷載（q、m、m ）、 yx yy x z內(nèi)力（Qy、Mx、T）及變形（v、 ）互不影響，因此，一般可以將荷載分成平面內(nèi)荷 載與垂直于彎梁平面的荷載兩大類分別進(jìn)行分析計算。實(shí)際上，第一類荷載作用下的彎梁拱 的作用，可按拱的理論進(jìn)行分析。第二類荷載作用下的內(nèi)力分析與計算方法是本講的重點(diǎn)。式（9-19）和式（9-20）均為v（z）、（z）兩個位移量與外荷載的關(guān)系。兩個方程均不 是獨(dú)立的。因此必須聯(lián)立求解。這充分反映了彎梁中彎扭耦合的受

9、力特點(diǎn)。在上面介紹彎梁的約束扭轉(zhuǎn)時，考慮了截面翹曲引起的翹曲扭矩T際上，截面上還有一個表征法向應(yīng)力大小的特征函數(shù)即雙力矩B的存在 i表達(dá)為:d在上面介紹彎梁的約束扭轉(zhuǎn)時，考慮了截面翹曲引起的翹曲扭矩T際上，截面上還有一個表征法向應(yīng)力大小的特征函數(shù)即雙力矩B的存在 i表達(dá)為:(9-21)B Eg + R）(9-21)利用基本微分方程求解位移v（ z）和扭角（ z）時，必須確定由彎曲和扭轉(zhuǎn)兩種模式表示的邊界條件。常見的支承型式的邊界條件列于表9-1，其他型式的邊界條件也可以通過分析 得出。常見的支承型式的邊界條件表9-1位移或內(nèi)力支承類型彎曲模式扭轉(zhuǎn)模式vv，QyMxkzTBi固端支承0000固定

10、鉸支承0000點(diǎn)鉸支承0000自由端0000三、簡支超靜定彎梁的閉合解由于式（9-19）和式（9-20）相互耦合，故為了求解方便，可在上述兩式中通過一系列 數(shù)學(xué)推演消去其中一個位移量（如v（z），這樣可得到一個不完整的獨(dú)立的六階微分方程：EI枷+,1 ( EIEI枷+,1 ( EI-GI妒+上1 (EI c 、,，-EI-2GI 礦- R2 R2d )性R4 *EI + GII EI + GI , I , GI I + R21 xd q q + xd m m d m + x mREI y RI y REI x RI X R2 EI ZR21z(9-22)上式是一個六階常系數(shù)非齊次線性微分方程，

11、其解為相應(yīng)齊次方程的通解和對應(yīng)于荷載 情況的特解之和。當(dāng)簡支梁上作用均布扭矩mz和豎向荷載qy （一般mx = 0）時，漢斯C.P. Heins）等得出了式（9-22）的閉合解為:（9-23） A cosh + B sinh + C cos + Dfz cos + E（9-23）,R21,1、+ Fsin 及 + e m - R3+ )qxd x式中：a-、；氣/GI由上式可見，只要采用六個適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，就可求出式中六個常數(shù)（A 口 F）。然而，邊界條件及相應(yīng)的各項內(nèi)力表達(dá)式中均包含另一個變量七故必須先求出豎向撓度V才 能求解。這時可應(yīng)用符拉索夫方程（9-19）、（9-20）中的任何一個方程

12、（如式（9-19），并 將有關(guān)的項看作已知的荷載項，這樣即可求出相應(yīng)四階常系數(shù)非齊次線性微分方程的閉合 解V，將V和代入另一方程（9-20）中驗(yàn)證后，可得豎向撓度V的閉合解的最終形式為：v A (aR cosh) + Bf (aR sinh) + C (-R cos R) + Df (-R cos R+b sin R)(9-24)777q R2+ E (-R sin R) + F (-b cos R - RZ sin R) + G + H - 2g 2d72EIR4式中：b -x-_。式中：EI/EIR2 + GIR2 利用簡支超靜定彎梁兩端各四個邊界條件（表9-1），聯(lián)立求解式（9-23）、

13、（9-24）即可圖9-4作用集中荷載的簡支彎梁得到兩式中共八個任意常數(shù) （A 口 H）。簡支超靜定彎梁位 移（V、 ）的表達(dá)式確定后， 再得用式（9-16）、（9-17）、（9-4） 和式（9-21）就可球出相應(yīng)的內(nèi) 力M、T、Q、B圖9-4作用集中荷載的簡支彎梁如果簡支超靜定彎梁上作 用有集中荷載P和M，分析時 則需將彎梁沿荷載作用點(diǎn)分成 兩個單元（如圖9-4）。此時分界 面上的非連續(xù)性應(yīng)用如下所示 的內(nèi)力及位移間的連續(xù)條件代入：v = vV = vgl rww(M ) = (M )=(B)i l i r(Q)r(Q)廣 p T -T = Mr l z式中，下標(biāo)分別表示荷載作用點(diǎn)(分界面)的

14、左截面和右截面。由于公式比較復(fù)雜，上述閉合解也宜編成計算機(jī)程序進(jìn)行計算。第三節(jié)曲線梁橋縱向分析前一節(jié)討論了彎梁的基本微分方程及其解法，可以用來分析某些彎橋的結(jié)構(gòu)問題。但實(shí) 際工程中的彎梁橋結(jié)構(gòu)型式是多種多樣的，對于寬跨比B /L較小且橫向聯(lián)結(jié)剛性較強(qiáng)的窄 彎梁橋按整體截面彎梁進(jìn)行分析在工程上尚屬容許，但對于多主梁彎橋或?qū)捒绫菳 /L較大 的寬彎梁橋如按單根彎梁計算，則會導(dǎo)致過大的誤差。因此，對于后一類彎梁橋應(yīng)尋求相應(yīng) 的合理分析方法。有限單元法、有限差分法等，不失為分析彎梁橋時較精確的數(shù)值方法，但由于需要計算 機(jī)解大型聯(lián)立方程組，計算費(fèi)用較昂貴，結(jié)構(gòu)的總體性能較難把握，以及難以確定活載的最 不

15、利位置等問題，使其在實(shí)用上尤其是韌步設(shè)計時極為不便，因此，廣大橋梁工作者均設(shè)法 提出了許多實(shí)用計算方法。一個極其自然的想法是采用類似于直梁橋的荷載橫向分配的方 法，即把彎梁橋的空間分析近似地分解為橫橋向(徑向)和縱橋向(橋軸向)來分別處理， 這樣可使分析工作大為簡化。理論和實(shí)驗(yàn)也均己證明，許多情況下采用上述的實(shí)用分析法一 般已能滿足工程設(shè)計的要求。因此下一節(jié)將較詳細(xì)地介紹這種基于橫向分布原理的彎梁橋?qū)?用計算法。利用橫向分布方法求出橫向分布系數(shù)之后，彎梁橋恒、活載內(nèi)力的計算方法就同單根彎 梁完全一樣，即對彎梁進(jìn)行縱向分析。單根彎梁的分析可以采用前一節(jié)介紹的基于符拉索夫 方程的閉合解法及有限差分

16、數(shù)值解法等，但在實(shí)用上由于要解求高次微分方程或大型聯(lián)立方 程組，因此國內(nèi)外許多學(xué)者從不同方面已經(jīng)提出了許多不同的分析方法，常用的或者筆者認(rèn) 為有推廣價值的主要有如下幾種方法7。結(jié)構(gòu)力學(xué)方法最先用于分析彎梁的方法是沿用桿件系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)力學(xué)方法。這種方法的特點(diǎn)是能利用公 式直接計算彎梁的內(nèi)力與變形，不但簡單明了，而且能得出精確的唯一解。根據(jù)彎梁橫截面 受載后是否仍保持平面，可區(qū)分為單純扭轉(zhuǎn)理論和翹曲扭轉(zhuǎn)理論兩種。翹曲扭轉(zhuǎn)理論考慮了受載后橫截面不再保持平面即發(fā)生了翹曲，增加了截面雙力矩Bi 和翹曲扭矩孔兩項內(nèi)力。（2）曲桿有限元法有限元法被公認(rèn)是對復(fù)雜結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析的一種通用而最強(qiáng)有力的數(shù)值方法。用于曲

17、線梁 橋分析時，較常用的是八自由度曲桿有限元法，即采用每個曲桿節(jié)點(diǎn)位移為V.、寸、虬和 1111 四個自由度。（3）能量法能量原理是從彎梁的總勢能出發(fā)，用變分原理分析彎梁橋的內(nèi)力和位移的方法。第四節(jié)曲線梁橋橫向分布對于多主梁（截面型式有板式、I形、T形或箱形等）彎梁橋采用縱、橫向分別處理的 實(shí)用計算法是一種可取的方案。這時，彎梁橋的空間工作特性通常是通過內(nèi)力或荷載的橫向 分布系數(shù)來體現(xiàn)，因此如何合理地計算彎梁橋的橫向分布系數(shù)則是設(shè)計這類彎梁橋時應(yīng)考慮 的主要問題之一。利用橫向分布方法分析橋梁結(jié)構(gòu)，其實(shí)質(zhì)是在一定的誤差范圍內(nèi)，尋求一個近似的內(nèi)力 影響面去代替精確的內(nèi)力影響面。對于彎梁橋，此近似內(nèi)

18、力影響面通常要求在縱橋向（橋軸 向）和橫橋向（徑向）均具有各自相似的影響線圖形。因此計算結(jié)果的誤差主要反映在內(nèi)力影響 面的相似性、荷載的類型、組成及作用位置。理論計算和試驗(yàn)結(jié)果均已證實(shí)，彎梁橋控制截面的控制內(nèi)力與變形的精確影響面一般在 縱，橫向均具有各自相似的變化規(guī)律。因此如采用合適的近似影響面去代替，計算精度是能 滿足一般工程設(shè)計要求的，這是我們能利用橫向分布方法計算的基本前提。不同橋梁內(nèi)力，變形影響面的形狀各不相同，其橫向分布規(guī)律也不相同。對于直梁橋， 內(nèi)力與撓度橫向分布的差別一般很小，因此通常采用主梁撓度橫向分布規(guī)律來確定內(nèi)力的橫 向分布，并形象地引用荷載橫向分布的概念。理論上已經(jīng)證明，當(dāng)?shù)冉孛婧喼Я簶虿捎冒氩?正弦荷載時，內(nèi)力，撓度的橫向分布與荷載的橫向分布存在著精確的等值關(guān)系。這里應(yīng)該強(qiáng) 調(diào)的是，荷載橫向分布的實(shí)質(zhì)應(yīng)該是內(nèi)力或變形的橫向分布，在彎梁橋中由于彎扭耦合，不 存在內(nèi)力、撓度的橫向分布與荷載橫向分布之間的等效關(guān)系，因此彎梁橋中各種內(nèi)力與變形 的橫向分布一般均不相同。按目前習(xí)慣，彎梁橋的橫向分布仍沿用荷載橫向分布的概念。彎梁橋中由于彎扭耦合作用，無法采用對彎、扭分別求解而后疊加的方法