大學(xué)數(shù)學(xué)(高數(shù)微積分)21Laplace變換課件(課堂講義)

1、ssss2.1Laplace變換本節(jié)內(nèi)容一、問題的提出二、Laplace變換的概念三、Laplace變換的存在定理四、周期函數(shù)的Laplace變換五、小結(jié) 拉普拉（P.S.Laplace，1749-1827），法國著名的天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家，天體力學(xué)的集大成者.拉普拉斯和拉格朗日、勒讓德.法國的3L:一、 問題的提出 對(duì)于一個(gè)函數(shù)j(t), 有可能因?yàn)椴粷M足Fourier變換的條件, 因而不存在Fourier變換.因此, 首先將j(t)乘上單位階躍函數(shù) u(t), 這樣t小于零的部分的函數(shù)值就都等于零. 而大家知道在各種函數(shù)中, 指數(shù)函數(shù) e-bt (b0) 的上升速度是最快的了, 因而 e-bt

2、下降的速度也是最快的. 幾乎所有的實(shí)用函數(shù)j(t)乘上u(t)再乘上e-bt后得到的j(t)u(t)e-bt的Fourier變換都存在.二、Laplace變換的概念對(duì)函數(shù) 取Fourier變換, 可得其中若再設(shè)則得定義:設(shè)函數(shù) 當(dāng) 時(shí)有定義, 而且積分 在s的某一域內(nèi)收斂, 則由此積分所確定的函數(shù)可寫為(s為一個(gè)復(fù)參量)函數(shù)的Laplace變換式二、Laplace變換的概念記作:的Laplace變換.若 是 的Laplace變換,則稱為 的Laplace逆變換.記作:稱為二、Laplace變換的概念例1解求單位階躍函數(shù)的Laplace變換.根據(jù)Laplace變換的定義, 有這個(gè)積分在 時(shí)收斂,

3、 而且有例2解求指數(shù)函數(shù)的Laplace變換(k為實(shí)數(shù)).根據(jù) , 有這個(gè)積分在 時(shí)收斂, 而且有例2試求指數(shù)函數(shù) 的Laplace變換.練習(xí):(k為實(shí)數(shù))三、Laplace變換的存在定理Laplace變換的存在定理:若函數(shù) f (t) 滿足:1)在t 0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù); 2)當(dāng)t時(shí), 的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù), 即存在常數(shù) 及 , 使得成立.在半平面 上一定存在, 右端的積分在 上絕對(duì)收斂而且一致收斂, 并且在 的半平面內(nèi), 為解析函數(shù).則 的Laplace變換三、Laplace變換的存在定理例3解求正弦函數(shù)的Laplace變換.(k為實(shí)數(shù))根據(jù) , 有同理得余弦函數(shù)的Lapl

4、ace變換例3例4求周期性三角波且 f(t+2b)=f (t)的Laplace變換.解根據(jù) , 有例4 則 而例4 因此例4 當(dāng) 時(shí) 從而例4例6解根據(jù) , 求單位脈沖函數(shù) 的Laplace變換.利用性質(zhì):有四、周期函數(shù)的Laplace變換 設(shè)函數(shù) 的周期為 ,即 ,當(dāng) 在一個(gè)周期上是分段連續(xù)的,則周期函數(shù)的Laplace變換公式注意: 滿足Laplace變換存在定理?xiàng)l件的函數(shù) 在 處有界時(shí), 積分的下限取 或 不會(huì)影響其結(jié)果.證明:函數(shù) 在 處有界時(shí), 積分為零故注意: 但當(dāng) 在 處包含脈沖函數(shù)時(shí),Laplace變換的積分下限必須明確指出是 還是 ,因?yàn)樽⒁?故 考慮上述情況.將進(jìn)行Laplace變換的函數(shù) ,當(dāng) 時(shí)有定義擴(kuò)大為在 及 的任意一個(gè)鄰域內(nèi)有定義.因此應(yīng)為注意:例6解求函數(shù)的Laplace變換. 根據(jù) , 有例6例7解一根據(jù)附錄,得到求 的Laplace變換.解二根據(jù)定義,由歐拉公式有從而得例7例8解在附錄中沒有現(xiàn)成的結(jié)果,但是求 的Laplace變換. 根據(jù)附錄可以得到例8五、小結(jié)思