數(shù)學建模第二章作業(yè)答案章紹輝

1、. 習題 作業(yè)講評1. 繼續(xù)考慮 2.2 節(jié)的汽車剎車距”案例，問“兩秒準則和“車長度準”一嗎？“秒準則是否足夠安全？對于安全車，有沒有更的建議“兩準則，后車司機從前車經(jīng)某一標志開，數(shù) 2 之后到達同一志，不管 車 速 如 何 .剎 車 距 離 與 車 速 的 經(jīng) 驗 公 式 v 解答，速度單位 距離單位 （“秒準則”明前后車距車速成正例關系 . 引 入以下符號 前后車距（ m 車速（m/s；于是“兩秒則”的數(shù)學型為 K v . 與“一長度準則”相比是一樣，依賴一車長度的取 比較 v 與 D v，得： 所以當 （約合 54.43 ）時有 dD，即前后距大于剎車離的理論值認為足夠全當 v 時，有

2、 ，即前后車小于剎車離的理論值不夠安. 也就 說兩秒準則適用于車速算很快的情 .另外還可以通繪圖直觀解釋“秒準則夠不夠全 .用以下 MATLAB 程序把剎車距實測數(shù)據(jù)“兩秒準則都畫在 同一幅圖中圖 ）學習參考. v=(20:5:80).*0.44704;d2=18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,33422,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,41820,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376;d2=0.3048.*d2;k1=0.75;

3、k2=0.082678; K2=2;d1=v;v;v.*k1;d=d1+d2;plot(0,40,0,K2*40,k)hold onplot(0:40,polyval(k2,k1,0,0:40),:k)plot(v;v;v,d,ok,MarkerSize,2)title( 較剎車距實測數(shù)據(jù)理論值和秒準則 ) legend( 兩秒準則,車距離理論 ,. 剎車距離最小值、平值和最大 ,2)( 速 m/s）( 離（ mhold off學習參考. 比 較 剎 車 距 離 實 測 數(shù) 據(jù) 、 理 論 值 和 兩 秒 準 則兩 秒 準 剎 車 距 離 理 論 值剎 車 距 離 的 最 小 值 、 平 均

4、和 最 大 值 5 20 25車 速 （ m/s ）圖 1 35 （用最剎車距離以車速，得最大剎車離所需要 的尾隨時間表 1 ，以尾隨時間依據(jù)，提更安全的“ t 秒準則（ 2）后車司機據(jù)車速快的范圍，從車經(jīng) 過某一標志始，默數(shù) t 鐘之后達同一標志表 尾隨時間車速mph)車速m/s) 最大剎車距 m) 尾隨時間(20 8.9408 13.411 1.525 11.176 17.831 1.595530 13.411 23.774 1.772735 15.646 29.413 1.879940 17.882 37.795 2.113645 20.117 46.482 2.310650 22.35

5、2 56.693 2.536455 24.587 68.732 2.795560 26.822 81.686 3.045565 29.058 96.469 3.3199學習參考. 70758031.29333.52835.763113.39132.74154.233.623495913125車速mph)t (s)表 t 秒準 0 1035 351 2 3604繪制圖 2 MATLAB 序：v=(20:5:80).*0.44704;d2=18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,33422,31,45,58,80,103,131,165,202,245,

6、295,353,41820,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376;d2=0.3048.*d2;k1=0.75; k2=0.082678;d=d2+v;v;v.*k1;vi=0:40;plot(0,10*0.44704,0,10*0.44704,k,.vi,k1.*vi+k2.*vi.*vi,k:,.v;v;v,d,ok,MarkerSize,2)legend(t 秒準則,車距離理值 ,.車距離的小值、平值和最大值,2)hold onplot(10,35*0.44704,2*10,35*0.44704,k,.35,60*0.44

7、704,3*35,60*0.44704,k,.60,75*0.44704,4*60,75*0.44704,k)title(t 秒準則，車距離的模和數(shù)據(jù)( 速 m/s）( 離（ mhold off學習參考. t 秒 準 則 ， 剎 車 距 離 的 模 型 和 數(shù) 180t 秒 160140120剎 車 距 離 理 論 剎 車 距 離 的 最 小 值 、 平 均 和 最 大 值1008060402000 5 車 速 （ m/s 圖 230 404. 繼續(xù)考慮 2.3 “生豬出時機”案，假設在 t 天 的生豬出售市場價格（ 公斤）為 ( ) p (0) gt ht(1)其中 h 價格的平率，取 =0

8、.0002. 其它模假設和參取 值保持不變.試比較1)式與 (2.3.1)，釋新的假和原來的假 設的區(qū)別與系；在新的假設求解最佳出時機和多賺純利潤； （作靈度分析，別考慮 h 最佳出售機和多賺的純利潤的影；學習參考. （討論型關于價假設的強健 解答一（用 MATLAB 數(shù)值算）（ 1 ）比較 ( 與 (2.3.1) 式， (1)式表明價格先降升，(2.3.1) 假設價格速下降(1)更接近際（圖 3） 兩個假設都滿足 ，在最佳出時機附近誤微?。▓D ）.繪圖的程序p=(t)12-0.08*t+0.0002*t.2;figure(1)n=400;plot(0,n,12,12-0.08*n,k:,.0

9、:.1:n,p(0:.1:n),k)axis(0,400,0,20)title( 型假設1)式與 2.3.1)式的比 legend(p(0) - g t 式,.p(0) - t + h t2 式) xlabel(t （天） )ylabel(p （元 /斤） )figure(2)n=20;plot(0,n,12,12-0.08*n,k:,.0:.1:n,p(0:.1:n),k)title( 型假設1)式與 2.3.1)式的比 legend(p(0) - g t 式,.p(0) - t + h t2 式)xlabel(t （天） ), ylabel(p（元斤） )學習參考/. 模 型 設 (1)式

10、 與 (2.3.1)式 的 比 較20p(0) - g t (1) 式18p(0) - g t + t2 式161412）斤公 10元（ 8p64200 50 100 150 200t （ 天 圖 3250 300 350 400模 型 設 (1)式 與 (2.3.1)式 的 比 較12p(0) - g t (1) 式11.8p(0) - g t + t2 式）11.611.4斤公 11.2元（p1110.810.610.402 4 6 8 1012 14 16 18 20t （ 天 圖 4學習參考. （在1)和2.3.1)組成的設下，多賺純利潤為 (t ) (0) 保留 h代入其他具體數(shù)，得

11、Qt ) ht32t令Q ht 2 解得生豬出時機為 10.16 0.16 6（舍去負根多賺的純利為 t1 1 1 .代入 =0.0002 ，得t 13.829 天 10.798 1元或者用 MATLAB 數(shù) fminbnd 計，腳本如： C=(t)3.2*t;w=(t)90+t;p=(t,h)12-0.08*t+h*t.2;Q=(t,h)p(t,h).*w(t)-C(t)-90*12;Qh=(t)-Q(t,0.0002);t1=fminbnd(Qh,0,30)Q1=Q(t1,0.0002)為幫助理解可用以下腳繪制圖 ： figure(2)tp=0:250;plot(tp,Q(tp,0.000

12、2),k)title( 利潤 (t （天） )(Q （元） )學習參考）元（Q. 純 利 Q1000-100-200-300-400-500-6000 50 100150 200 250t （ 天 圖 5（ 3 ） 以 MATLAB 腳 本 敏 QS ( h) ，將結果列 hS , ) t 和結論： 的微小變化對 t Q 影響都很 Qh=(t)-Q(t,0.0002*1.01);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-t1)/t1/0.01(-Qn-Q1)/Q1/0.01Qh=(t)-Q(t,0.0002*1.05);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-t1)/

13、t1/0.05(-Qn-Q1)/Q1/0.05Qh=(t)-Q(t,0.0002*1.1);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-t1)/t1/0.1學習參考. (-Qn-Q1)/Q1/0.1表 數(shù)值計算最出售時機 t h 的靈敏度 h(%)t (%)S (t , h) t h0.0002020.000210.00022151088612114.4310.414592.11764.35360.414590.423520.43536表 數(shù)值計算多的純利潤 Q h 的靈敏度h h(%) (%)S (Q ) 0.0002020.000210.00022151083800111.214

14、0.369361.88023.84790.369360.376040.38479（市場格是經(jīng)常動的，如果格下跌，往會止跌回穩(wěn)，模型設 1)式以二次函數(shù)刻畫價格跌回升的化趨勢，果考慮的時段長達數(shù)，比 2.3.1)更接近實際（見圖 3，但本問題的最出售時機不過 20 ，(1)式與(2.3.1) 在最佳出時機附近常近似（圖 4導致的模型解答以由 (2.3.1)導致的解加上靈敏分析所代 . 所以采用更簡單的 2.3.1) 式作假設更好具體分析如：由 2 g t ( , h學習參考，得. 12 p( ) gt，代入 h=0.0002，=13.82852279 g=0.08得由于 (t )t g.根據(jù)課

15、節(jié)代入 S (t g =10算得 t ，與 t=13.829 只相差兩天用于以上分計算的 MATLAB 腳本： dg_g=(12-p(ts,0.0002)/ts/0.08-110+dg_g*10*(-5.5)解答二（用 MATLAB 的 Symbolic Math Toolbox MuPAD 軟 件符號計算（運行下 MuPAD 語句繪得圖 6 和圖 (1) 式表價格先降升，在實當中有一定理 . 而(2.3.1) 式假設格勻速下 . 兩個假都滿足 ，在最佳出售時附近誤差微 學習參考. 圖 6 假式與1)的較圖 7 假式與1)的較(2) 在1)式和(2.3.1)式組的假設下保留 h，代入其具體數(shù)值

16、，算多賺的純潤 運行以 MuPAD 語句 學習參考. 算得Q h ) 3 8 2 25 ，繪得圖 8.圖 (t ,0.0002)的像運行以下 MuPAD 句： 學習參考. 由方程，解得兩根 1 324002384 h 5h166254500h 2 32400 2 384 165 代入 h=0.0002， 2（天）.符合題意，t應該舍去（應的 Q 是數(shù).對應的多賺純利潤為 10.79837809元（接著一小題，行以下 MuPAD 語句： /t h 的靈敏 利用導數(shù)算 對 h 的靈敏度：dt hS (t , h dh t運行以下 MuPAD 句：. /Q h 的敏，法 /Q h 的敏，法，簡用兩種

17、方法用導數(shù)算得 h 的靈度：Q hS ( h .結論： 的微小變化對 t 的響都很小.2 2（同解一學習參考. 5. 繼續(xù)考慮 “生豬出時機”案，假設在 t 天的生豬體（公斤）為w w(t ) m w w e 0(2)其中w (0) 90 0（公斤，w （公斤，其它模假設和參數(shù)取值持不變 （試比 2)式與2.3.2) 式解釋新的假和原來的假 設的區(qū)別與系（提示：明當 (何值時， t 可以保持 w 說明當 大時豬的重會如何變.（在新假設下求最佳出售時和多賺的利潤 （）數(shù) w 代表豬長時的最終重，對 w 做靈度分 析，分別考 w 對最佳出售時機多賺的純潤的影響.（討論型關于生體重假設的健性 .解答

18、一（用 MATLAB 數(shù)值算）（在(中，為使 ，必須w ( w w ) w 0 m.當 w =270， w =90 時，有 0 60.新假設 (是阻滯增模型，假生豬體重的長率是體重的線性遞函數(shù)，是體重增的速率先后慢時間充分后體重趨于 w . 而(2.3.2)式w w rt 只假設體重速增加 長時間來，新假設原假設更符實際（圖 9） 兩個假設都滿足 ，在最佳出時機附近誤微?。▓D 學習參考/. 模 型 設 (2.3.2)式 與 (2)式 的 比 較300250）斤公元（p格價20015010050p(0) - g t (2.3.2) 式p(0) - g t + 2(2) 式01150 50 100

19、 150 200t （ 天 圖 9p(0) - g t (2.3.2) 式250 300 350 400p(0) - g t + 2(2) 式）斤公元（p格價11010510095900 2 4 6 8 10t （ 天 圖 1012 14 16 18 20學習參考. (2) 在 ( 式和 (2) 組成的設下，用 MATLAB 函數(shù) fminbnd 計算，以求得生出售時機為 t=14.434 天，賺的 純利潤為 Q=12.151 元(3) 編程計算 (t , w w 和 (Q w ) 將結果列表表 數(shù)值計算最出售時機 t w 的靈敏性mw w(%)t (%) (t , w ) t 272.728

20、3.52971 14.9775 17.05710 19.463.76718.17334.8253.7673.63453.4825表 數(shù)值計算多的純利潤 Q w 的靈敏性mw w(%) (%)S ( , ) Q 272.7283.52971 13.1085 17.12110 22.4757.87240.89784.96387217948.4963結論： w 的微小變化對 t Q 影響都較小.m（模型設 (式導致模型解答以由 2.3.2) 導致的解答加上敏度分析所替，所以實中采用更簡單的(2.3.2) 作為假設可 具體分析過程解答二之 4） MATLAB 腳：學習參考. % (1) 圖的程w=(t

21、)90*270./(90+180*exp(-t/60);figure(1)n=400;plot(0,n,90,90+n,k:,.0:.1:n,w(0:.1:n),k)axis(0,400,0,300)legend(p(0) - g t 式,.p(0) - t + h2 (2) 式,4)title( 型假設2.3.2)與2)式的比較 )(t （天） )( 格 p（元斤） )figure(2)n=20;plot(0,n,90,90+n,k:,.0:.1:n,w(0:.1:n),k)legend(p(0) - g t 式,.p(0) - t + h2 (2) 式,2) xlabel(t （天） )y

22、label( 價格 p（元斤） )% (2) 佳出售機和多賺的利潤C=(t)3.2*t;學習參考. w=(t,m)90*m./(90+(m-90)*exp(-t/60);p=(t)12-0.08*t;Q=(t,m)p(t).*w(t,m)-C(t)-90*12;Qh=(t)-Q(t,270);ts=fminbnd(Qh,0,30)Qs=Q(ts,270)% (3) 敏度分Qh=(t)-Q(t,270*1.01);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-ts)/ts/0.01(-Qn-Qs)/Qs/0.01Qh=(t)-Q(t,270*1.05);tn,Qn=fminbnd(Qh,

23、0,30);(tn-ts)/ts/0.05(-Qn-Qs)/Qs/0.05Qh=(t)-Q(t,270*1.1);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-ts)/ts/0.1(-Qn-Qs)/Qs/0.1% (4) 健性分dr_r=(w(ts,270)-90)/ts-110+dr_r*10*6.5學習參考. 解答二（用 MATLAB 的 Symbolic Math Toolbox MuPAD 軟 件符號計算（運行下 MuPAD 語句算得 ： a);運行以下 MuPAD 句，繪得圖 ： 運行以下 MuPAD 句，繪得圖 ：(2) w wt ) m w 60是阻滯增長型，假設生體重的

24、增長是體重的線遞減函數(shù) . 于是體重 w 時間 的增函數(shù)體重增加的率先快后時間充長后體重趨于. 而2.3.2) 式t rt 0只假設體重速增加 . 長時間看，新假設原假設更符實. 兩假都滿足 w r 佳出售時機近誤差微小.，在最學習參考. 圖 假與2)的較圖 假與2)的較（在(2)式(2.3.1) 式成的假設，保留 ，代其他具體數(shù)，計算多賺純利潤 . 行以下 MuPAD 語句：學習參考mm. 算得Q ( , w ) m t mt ，繪得圖 13.圖 13運行以下 MuPAD 句： t 的像可解出 的駐點的數(shù)值解 14.43357158（天根據(jù)函數(shù)像和問題的實意義，知這是所求最佳出售時，應的多賺 學習參考t t . 的純利潤為 元（接著一小題，行以下 語句，但是不出當Q (t , ) 達到最大值 于的函數(shù)解析： 運行以下 MuPAD 句：可見當Q (t , ) 達到最大值 關于 反函數(shù)解式卻有可能求得只是 MuPAD 給出表達式很雜