2020年神奇的解法階梯型標(biāo)數(shù)法

1、作者：敗轉(zhuǎn)頭作品編號(hào) 44122544：GL568877444633106633215458時(shí)間：2020.12.131難度：一個(gè)正在行進(jìn)的8 人隊(duì)列，每人身高各不相同，按從低到高的次序排列，現(xiàn)在他們要變成并列的2列縱隊(duì)，每列仍然是按從低到高的次序排列，同時(shí)要求并排的每兩人中左邊的人比右邊的人要矮，那么，2列縱隊(duì)有 種不同排法?！窘馕觥渴紫?，將8人的身高從低到高依次編號(hào)為8個(gè)數(shù)填到一個(gè) 42的方格中，要求每一行的數(shù)依次增大，每一列上面的要比下面的大。下面我們將 依次往方格中填，按照題目規(guī)則，很容易就發(fā)現(xiàn)：第二行填的的數(shù)字的個(gè)數(shù)永遠(yuǎn)都小于或等于第一行數(shù)字填的個(gè)數(shù)。也就是說，不能出現(xiàn)下圖這樣的情況

2、。而這個(gè)正好是“階梯型標(biāo)數(shù)”題型的基本原則。于是，我們可以把原題轉(zhuǎn)化成：在這個(gè)階梯型方格中，橫格代表在第一行的四列，縱格代表第二行的四列，那么此題所有標(biāo)數(shù)的方法就相當(dāng)于從A走到 B的最短路線有多少條。例如，我們選擇一條路線：它對(duì)應(yīng)的填法就是：最后，用“標(biāo)數(shù)法”得出從A到 B 的最短路徑有14種，如下圖：2難度：圓周上有12個(gè)點(diǎn)，其中一個(gè)點(diǎn)涂紅，還有一個(gè)點(diǎn)涂了藍(lán)色，其余10個(gè)點(diǎn)沒有涂色，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)的凸多邊形中，其頂點(diǎn)包含了紅點(diǎn)及藍(lán)點(diǎn)的多邊形稱為雙色 多邊形；只包含紅點(diǎn)(藍(lán)點(diǎn))的多邊形稱為紅色(藍(lán)色)多邊形不包含紅點(diǎn)及藍(lán)點(diǎn)的稱無色多邊形試問，以這12個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的所有凸多邊形(邊數(shù)可以從三角 形

3、到12 邊形)中，雙色多邊形的個(gè)數(shù)與無色多邊形的個(gè)數(shù)，哪一種較多？多多少個(gè)？【解析】從任意一個(gè)雙色的邊形出發(fā)(N=5時(shí))，在去掉這個(gè)雙色多邊形中的紅色頂點(diǎn)與藍(lán)色頂點(diǎn)后，將得到一個(gè)無色的 N-2邊形；另一方面，對(duì)于一個(gè)任意的無色的M 邊形，如果加上紅色頂點(diǎn)和藍(lán)色頂點(diǎn)，就得到一個(gè)雙色的M+2邊形，所以無色多邊形與雙色多邊形中的五邊形以上的圖形是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，所以雙色多邊形的個(gè)數(shù)比較多，多的是雙色三角形和雙色四邊形的個(gè)數(shù)而雙色三角形有10個(gè)，雙色四邊形有C =45 個(gè)，所以雙色多邊形比無色多邊形多1010+45=55個(gè)。階梯型標(biāo)數(shù)法1. 加菲和宗峰一起洗5 一個(gè)的拿走放進(jìn)櫥柜里。加菲一邊洗，宗峰一

4、邊拿，那么宗峰摞好的盤子一共有多少種不同的擺法？每橫著走一步，表示加菲洗完了一個(gè)盤子；每豎著走一格，表示宗峰拿走了一個(gè)洗好的盤子。 無論任何時(shí)候，宗峰拿走的盤子都不可能比加菲已經(jīng)洗好的盤子多，所以整個(gè)圖是一個(gè)斜三角。這種標(biāo)數(shù)法叫階梯型，也叫斜三角標(biāo)數(shù)法。每一種最終到達(dá)右上角的走法都對(duì)應(yīng)著一種盤子的擺放順序，所以只需要給每一步標(biāo)上數(shù)字即可。注意階梯型標(biāo)數(shù)法標(biāo)數(shù)要標(biāo)在節(jié)點(diǎn)上。另外要注意的就是每一步只能向右或向上走，所以每個(gè)節(jié)點(diǎn)的數(shù)值都是下面和左邊兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的數(shù)值之和。全部標(biāo)好數(shù)字之后，就容易看出，一共有42種擺放方法。階梯型標(biāo)數(shù)法是一種非常非常非常有用的解決計(jì)數(shù)問題的方法，可以把很多復(fù)雜的題目輕松秒

5、掉。強(qiáng)烈建議大家掌握哦2. 把 10、16和其他四個(gè)不同的自然數(shù)填進(jìn)6 個(gè)空格里，要求這6 個(gè)自然數(shù)從左到右按順序構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，那么一共有多少種不同的填法？解：如果包含10和 16的數(shù)字構(gòu)成了等差數(shù)列，那么10和 16 的差一定是公差的倍數(shù)。由于公差能整除6，所以公差只能是1、2、3、6. 其中公差等于1的情況是不可能在只有6 個(gè)數(shù)的時(shí)候出現(xiàn)的，只要看后三者即可。以公差為2 舉例，此時(shí)10和 16之間有12和 14，另外還要再填兩個(gè)數(shù)。可以來看10在這6個(gè)數(shù)里的位置，能從左邊第一格到左邊第3 格，共有3 種填法。同樣的，公差為3 時(shí)有4 種，不過公差為6 時(shí) 10只能填在第一或第二個(gè)，只有

6、兩種。因此，升序的時(shí)候共有9 種填法。每一種左右顛倒就能得到對(duì)應(yīng)的降序的數(shù)列，一共共有18種填法。3. 游樂園的門票1元 1 張，每人限購1張現(xiàn)在有10 5 個(gè)小朋友只有1 外 5 個(gè)小朋友只有2元的鈔票，售票員沒有準(zhǔn)備零錢問有多少種排隊(duì)方法，使售票員總能找得開零錢？解：與類似題目找對(duì)應(yīng)關(guān)系階梯型標(biāo)數(shù)法專用來解決有“先后或大小關(guān)系“的排列組合題。要保證售票員總能找得開零錢，必須保證每一位拿2 元錢的小朋友前面的若干小朋友中，拿1 元的 要比拿2元的人數(shù)多，先將拿1 元錢的小朋友看成是相同的，將拿2元錢的小朋友看成是相同的，可以利用斜直角三角模型在下圖中，每條小橫線段代表1 元錢的小朋友，每條小豎線段代表2元錢的小朋友，因?yàn)閺腁 點(diǎn)沿格線走到B 點(diǎn)，每次只能向右或向上走，無論到途中哪一點(diǎn)，只要不超過斜線，那么經(jīng)過的小橫線段都不少于小豎線段，所以本題相當(dāng)于求下圖中從 A 到 B 有多少種不同走法使用標(biāo)數(shù)法，可求出從A 到B 有 42種走法。但是由于10個(gè)小朋友互不相同，必須將他們排隊(duì)，可以分成兩步，第一步排拿2元的小朋友，5個(gè)人共有5！=120種排法；第二步排拿到1元的小朋友，也有120種排法，所以共有A A =1440