工程力下第二章

1、其次章 拉伸,壓縮與剪切 軸向拉伸與壓縮的概念和實例 2-2 橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力 2-3 直桿軸向拉伸或壓縮時斜截面上的應(yīng)力 教學(xué)時數(shù)： 2 學(xué)時 教學(xué)目標(biāo)： 1. 把握橫截面上內(nèi)力和應(yīng)力的基本概念 2. 把握軸向拉（壓）桿橫截面上應(yīng)力的基本概念和力學(xué)量 3. 把握直桿拉伸或壓縮時斜截面上應(yīng)力的基本概念和力學(xué)量 教學(xué)重點(diǎn) ：軸向拉（壓）桿橫截面上應(yīng)力的基本概念和力學(xué)量 拉伸或壓縮時斜截面上應(yīng)力的基本概念和力學(xué)量 教學(xué)難點(diǎn)： 拉伸或壓縮時斜截面上應(yīng)力的基本概念和力學(xué)量 教學(xué)方法： 板書 PowerPoint, 接受啟示式教學(xué)和問題式教學(xué)法結(jié)合,通過提問,引導(dǎo)學(xué) 生摸索,讓同學(xué)回答疑題,激發(fā)同學(xué)

2、的學(xué)習(xí)熱忱； 教 具： 教學(xué)步驟： （復(fù)習(xí)提問） （引入新課） （講授新課） 軸向拉伸與壓縮的概念和實例 軸向拉伸和壓縮的桿件在生產(chǎn)實際中經(jīng)常遇到, 雖然桿件的形狀各有差異, 加載方式也 不同,但一般對受軸向拉伸與壓縮的桿件的形狀和受力情形進(jìn)行簡化,運(yùn)算簡圖如圖 2-1； 軸向拉伸是在軸向力作用下, 桿件產(chǎn)生伸長 變形 ,也簡稱拉伸； 軸向壓縮是在軸向力作 用下,桿件產(chǎn)生縮短變形,也簡稱壓縮；實 例如圖 2-2 所示用于連接的螺栓；如圖 2-3 所示桁架中的拉桿；如圖 2-4 所示汽車式起 重機(jī)的支腿； 如圖 2-5 所示巷道支護(hù)的立柱； 第 1 頁,共 30 頁通過上述實例得知軸向拉伸和壓縮

3、具有如下特點(diǎn)： 1. 受力特點(diǎn)：作用于桿件兩端的外力大小相等,方向相反,作用線與桿件軸線重合,即稱 軸向力； 2. 變形特點(diǎn)：桿件變形是沿軸線方向的伸長或縮短； 2-2 橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力 1內(nèi)力 在圖 2-6 所示受軸向拉力 P 的桿件上作任 一橫截面 mm,取左段部分,并以 內(nèi)力 的合 力 N 代替右段對左段的作用力；由平穩(wěn)條件 X 0 ,得 N P 0由于 P 0 （拉力）,就 N P 0合力 N 的方向正確； 因而當(dāng)外力沿著桿件的軸 線作用時,桿件截面上只有一個與軸線重合的 內(nèi)力重量,該內(nèi)力（重量）稱為軸力,一般用 N 表示； 如取右段部分,同理 X 0 ,知 P - N 0得 NP

4、 0第 2 頁,共 30 頁圖中 N 的方向也是正確的； 材料力學(xué)中軸力的符號是由桿件的變形準(zhǔn)備, 而不是由平穩(wěn)坐標(biāo)方程準(zhǔn)備； 習(xí)慣上將軸 力 N 的正負(fù)號規(guī)定為：拉伸時,軸力 N 為正；壓縮時,軸力 N 為負(fù)； 2軸力圖 軸力圖可用圖線表示軸力沿軸線變化的情形；該圖一般以桿軸線為橫坐標(biāo)表示截面位 置,縱軸表示軸力大?。?例 2-1 求如圖 2-7 所示桿件的內(nèi)力,并作軸力圖； 解：（1）運(yùn)算各段內(nèi)力 AC 段：作截面 11,取左段部分（圖 b）；由 X 0 得 X 0 得 N 1 5 kN （拉力） CB 段：作截面 2-2,取左緞部分（圖） ,并假設(shè) N 2 方向如以下圖；由 N 2 10

5、KN （2）繪軸力圖 選截面位置為橫坐標(biāo)；相應(yīng)截面上的軸力為縱坐標(biāo),依據(jù)適當(dāng)比例,繪出圖線； 由圖 2-7 可知 CB 段的軸力值最大,即 Nmax 10 kN ； 留意兩個問題： 1）求內(nèi)力時,外力不能沿作用線任憑移動（如 象是變形體,不是剛體,力的可傳性原理的應(yīng) 用是有條件的； P2 沿軸線移動） ；由于材料力學(xué)中爭辯的對 2）截面不能剛好截在外力作用點(diǎn)處（如通過 C點(diǎn)）,由于工程實際上并不存在幾何意義上的點(diǎn) 和線,而實際的力只可能作用于確定微小面積 內(nèi)； 例,已知： P1 5t , P2 9t 求：各段內(nèi)力,并作軸力圖 解：運(yùn)用截面法：截,拋,代,平； P1 N 1 0 ； P1 N 1

6、 5t （拉） 第 3 頁,共 30 頁P(yáng)1 P2 N 2 0 ； N 2 P1 P2 4t 3軸向拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力 1）由于只依據(jù)軸力并不能判定桿件是否有足夠的 強(qiáng)度 ,因此必需用橫截面上的應(yīng)力來度量 桿件的受力程度；為了求得 應(yīng)力 分布規(guī)律,先爭辯桿件變形,為此提出平面假設(shè)； 平面假設(shè)：變形之前橫截面為平面,變形之后仍保持為平面,而且仍垂直于桿軸線,如 圖 2-8 所示； 依據(jù)平面假設(shè)得知,橫截面上各點(diǎn)沿軸向的 正應(yīng)變相同,由此可推知橫截面上各點(diǎn)正應(yīng)力也 相同,即 等于常量； 2）由靜力平穩(wěn)條件確定 的大小 由于 dN dA,所以積分得 N A dA A 就 式中： N A （ 2

7、-1） 橫截面上的正應(yīng)力 N 橫截面上的軸力 A 橫截面面積 的正負(fù)號規(guī)定為：拉應(yīng)正應(yīng)力 力為正,壓應(yīng)力 為負(fù)； 對于圖 2-9 所示斜度不大的變截面直桿, 在考慮桿 自重（容重 ）引起的正應(yīng)力時,也可應(yīng)用（ 2-1） 式 x N x （ 2-2） N x ,同時 Ax 其中 N x P Ax x 如不考慮自重,就 N x P 對于等截面直桿,由式（ 2-1）知最大正應(yīng)力發(fā)生在 最大軸力處,此處最易破壞；而對于變截面直桿,最大正應(yīng)力的大小不但要考慮 仍要考慮 Ax ； 必需指出,實際構(gòu)件兩端并非直接作用著一對軸向力,而是作用著與兩端加載方式有 關(guān)的分布力,軸向力只是它們靜力等效的合力,如圖 2

8、-2, 2-4 中的軸向力是通過螺齒作用 呈軸對軸分布的分布力的合力； 圣維南原理 指出：如將作用于構(gòu)件上某一小區(qū)域內(nèi)的外力系 （外力大小不超過確定值） 用一靜力等效力系來代替, 就這種代替對構(gòu)件內(nèi)應(yīng)力與應(yīng)變的影 響只限于離原受力小區(qū)域很近的范疇內(nèi)；對于桿件,此范疇相當(dāng)于橫向尺寸的 1 倍； 第 4 頁,共 30 頁 2-3 直桿拉伸或壓縮時斜截面上的應(yīng)力 有時拉（壓）桿件沿斜截面發(fā)生破壞,此時如何確定斜截面 kk 上的應(yīng)力？ 設(shè)等直桿的軸向拉力為 P （如圖 2-12）,橫截面面積為 A,由于 kk 截面上的 內(nèi)力 仍為 P P 而且由斜截面上沿 x 方向伸長變形仍均勻分布可 知, 斜截面上

9、應(yīng)力 p仍均勻分布； 如以 p表示斜截面 kk 上的應(yīng)力,于是有 （ 2-3） （ 2-4） pP A 而 A A ,所以 cos pP cos A cos 就將斜截面上全應(yīng)力 p分解成正應(yīng)力 和剪應(yīng)力 ,有 p cos 2 cos p sin 2sin 2 , , 正負(fù)號分別規(guī)定為： 自 x 軸逆時針轉(zhuǎn)向斜截面外法線 n, 為正；反之為負(fù)； 拉應(yīng)力為正,壓應(yīng)力為負(fù)； 取保留截面內(nèi)任一點(diǎn)為矩心, 當(dāng) 對矩心順時針轉(zhuǎn)動時為 正,反之為負(fù)； 爭辯式（ 2-3）和（ 2-4）： 1）當(dāng) 0 時,橫截面 max , 0,發(fā)生在沿順時針轉(zhuǎn) 2）當(dāng) 45 時,斜截面 2, max 23）當(dāng) 90 時,縱向

10、截面 0 , 0結(jié)論： 對于軸向拉（壓）桿, max ,發(fā)生在橫截面上； max 245角的斜截面上；同樣大小的剪應(yīng)力也發(fā)生在 45 的斜面上； 第 5 頁,共 30 頁例 2-4 木立柱承擔(dān)壓力 P ,上面放有鋼塊；如圖 2-13 所示,鋼塊截面積 A1 為 2 2 cm 2 , 鋼 35 MPa,木柱截面積 A2 88cm 2,求木柱順紋方向剪應(yīng)力大小及指向； 解：（ 1）運(yùn)算木柱壓力 P ,由 P 鋼 A1 所以 P 鋼 A 35 10 6 22 10 4 14 kN （壓力） （2）運(yùn)算木柱的剪應(yīng)力 30 橫截面上 P 14 3 10 10 6MPa （壓應(yīng)力） A2 64 10 4就

11、 30 指向如以下圖； 30 2sin 2 300 MPa （課堂小結(jié)） 作業(yè)布置： , , 其次章 拉伸,壓縮與剪切 2.4 材料拉伸時的力學(xué)性能 材料壓縮時的力學(xué)性能 2.7 失效,安全因數(shù)和強(qiáng)度運(yùn)算 教學(xué)時數(shù)： 2 學(xué)時 教學(xué)目標(biāo)： 1. 把握幾種典型材料的拉壓曲線及相應(yīng)的基本概念和力學(xué)量； 2. 比較幾種不同材料拉壓曲線和性能的異同； 3. 建立許用應(yīng)力的概念； 4. 懂得安全系數(shù)的概念和選取原就； 5. 嫻熟把握利用強(qiáng)度條件進(jìn)行強(qiáng)度校核,截面設(shè)計和許可載荷運(yùn)算； 教學(xué)重點(diǎn)： 第 6 頁,共 30 頁低碳鋼與鑄鐵拉伸與壓縮時的力學(xué)性能,許用應(yīng)力與強(qiáng)度條件； 教學(xué)難點(diǎn)： 脆性與塑性材料的

12、破壞特點(diǎn)與許用應(yīng)力； 教學(xué)方法： 板書 PowerPoint, 接受啟示式教學(xué)和問題式教學(xué)法結(jié)合,通過提問,引導(dǎo)學(xué) 生摸索,讓同學(xué)回答疑題,激發(fā)同學(xué)的學(xué)習(xí)熱忱； 教 具： 教學(xué)步驟： （復(fù)習(xí)提問） （引入新課） （講授新課） 材料拉伸時的力學(xué)性能 材料的力學(xué)性能也稱機(jī)械性能； 通過試驗揭示材料在受力過程中所表現(xiàn)出的與試件幾何 尺寸無關(guān)的材料本身特性； 如變形特性, 破壞特性等； 爭辯材料的力學(xué)性能的目的是確定在 變形和破壞情形下的一些重要性能指標(biāo),以作為選用材料, 此材料力學(xué)試驗是材料力學(xué)課程重要的組成部分； 此處介紹用常溫靜載試驗來測定材料的力學(xué)性能； 1. 試件和設(shè)備 運(yùn)算材料 強(qiáng)度 ,剛

13、度 的依據(jù)； 因 標(biāo)準(zhǔn)試件：圓截面試件,如圖 2-14：標(biāo)距 與直徑 l d 的比例分為, l 10d , l 5d ； 板試件（矩形截面） ：標(biāo)距 l 與橫截面面積 A 的比例分為, l A , l A ； 試驗設(shè)備主要是拉力機(jī)或全能機(jī)及相關(guān)的測量,記錄儀器； 詳細(xì)介紹見材料力學(xué)試驗部分；國家標(biāo)準(zhǔn)金屬拉伸試驗方法 試驗方法和各項要求； 2. 低碳鋼拉伸時的力學(xué)性能 低碳鋼是指含碳量在 0.3% 以下的碳素 鋼,如 A 3 鋼, 16Mn 鋼； 1）拉伸圖（ P L）,如圖 2-15 所示； 彈性階段（ oa） 屈 服（流淌）階段（ bc） 強(qiáng)化階段 （ ce）由于 P L 曲線與試 樣的尺寸

14、有關(guān),為了排除試件尺寸的影響, 可接受應(yīng)力應(yīng)變曲線, 即 曲線來代替 P L 曲線；進(jìn)而試件內(nèi)部顯現(xiàn)裂紋,名義 應(yīng)力 下跌,至 f 點(diǎn)試件斷裂； 對低碳鋼來說, s , b 是衡量材料強(qiáng) 度的重要指標(biāo)； 2） 曲線圖,如圖 2-16 所示,其各特點(diǎn) （如 GB228-87 ）詳細(xì)規(guī)定了 第 7 頁,共 30 頁點(diǎn)的含義為： oa 段：在拉伸（或壓縮）的初始階段應(yīng)力 與應(yīng)變 為直線關(guān)系直至 a 點(diǎn),此時 a 點(diǎn)所對 應(yīng)的應(yīng)力值稱為比例極限, 用 P 表示；它是應(yīng)力與應(yīng)變成正比例的最大極限； 當(dāng) P 就 有 E （ 2-5） 即胡克定律,它表示應(yīng)力與應(yīng)變成正比,即有 E tan E 為彈性模量,單

15、位與 相同； 當(dāng)應(yīng)力超過比例極限增加到 b 點(diǎn)時, 關(guān)系偏離直線,此時如將應(yīng)力卸至 零,就應(yīng)變隨之消逝（一旦應(yīng)力超過 b點(diǎn),卸載后,有一部分應(yīng)變不能排除） , 此 b 點(diǎn)的應(yīng)力定義為彈性極限 e； e 是 材料只顯現(xiàn)彈性變形的極限值； bc 段：應(yīng)力超過彈性極限后連續(xù)加載, 會顯現(xiàn)一種現(xiàn)象, 即應(yīng)力增加很少或不增 加,應(yīng)變會很快增加,這種現(xiàn)象叫屈服；開頭發(fā)生屈服的點(diǎn)所對應(yīng)的應(yīng)力叫屈服極限 s ； 又稱屈服強(qiáng)度； 在屈服階段應(yīng)力不變而應(yīng)變不斷增加, 材料似乎失去了抗擊變形的才能, 因 此產(chǎn)生了顯著的塑性變形（此時如卸載,應(yīng)變不會完全消逝,而存在殘余變形） ；所以 s 是 衡量材料強(qiáng)度的重要指標(biāo)；

16、 表面磨光的低碳鋼試樣屈服時,表面將顯現(xiàn)與軸線成 45傾角的條紋,這是由于材料 內(nèi)部晶格相對滑移形成的,稱為滑移線,如圖 2-17 所示； ce 段：越過屈服階段后, 如要讓試 件連續(xù)變形,必需連續(xù)加載,材料似乎 強(qiáng)化了, ce 段即強(qiáng)化階段；應(yīng)變強(qiáng)化階 段的最高點(diǎn) （ e 點(diǎn)）所對應(yīng)的應(yīng)力稱為強(qiáng) 度極限 b ；它表示材料所能承擔(dān)的最大 應(yīng)力；過 e 點(diǎn)后,即應(yīng)力達(dá)到強(qiáng)度極限后,試件局部發(fā)生猛烈收縮的現(xiàn)象,稱為頸縮,如圖 2-18 所示； 3）延長率和截面收縮率 為度量材料塑 性變形的才能,定義 延長率為 l 1 ll 100 % 此處 l 為試件標(biāo)線間的標(biāo)距, 定義截面收縮率為 l1 為試件

17、斷裂后量得的標(biāo)線間的長度； 此處 A 為試件原園面積, A A1 100 % 20 30 % , A A1 為斷裂后試件頸縮處面積；對于低碳鋼： 60 %,這兩個值越大,說明材 料塑性越好； 工程上通常按延長率的大小把材料 分為兩類： 5 % 塑性材料； 5%脆性材料； 4）卸載規(guī)律及冷作硬化 卸載規(guī)律： 試樣加載到超過屈服極限 后（見圖 2-16 中 d 點(diǎn)）卸載,卸載 線 dd 大 致 平 行 于 OP 線 , 此 時 og od d g p e,其中 e 為卸載過程中復(fù)原的彈性應(yīng)變, p 為卸載后的塑性變形 （殘 余變形）,卸載至 d 后如再加載,加載線仍沿 d d 線上升,因此加載的應(yīng)

18、力應(yīng)變關(guān)系符合胡 克定律； 冷作硬化： 上述材料進(jìn)入強(qiáng)化階段以后的卸載再加載歷史（如經(jīng)冷拉處理的鋼筋） ,使材料 此后的 關(guān)系沿 dd ef 路徑,此時材料的比例極限和開頭強(qiáng)化的應(yīng)力提高了,而塑性變 形才能降低了,這一現(xiàn)象稱為冷作硬化； 3其它塑性材料拉伸時的力學(xué)性能 此類材料與低碳鋼共同之處是斷裂破壞前要經(jīng)受大量塑性變形, 不同之處是沒有明顯的 屈服階段；對于 曲線沒有“屈服平臺”的塑性材料,工程上規(guī)定取完全卸載后具有殘 余應(yīng)變量 P % 時的應(yīng)力叫名義屈服極限,用 表示； 4鑄鐵拉伸時的力學(xué)性能具有以下特點(diǎn) 1） 如圖 2-19 所示灰口鑄鐵拉伸 時的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,它只有一個強(qiáng)度指標(biāo) b；

19、且抗拉強(qiáng)度較低； 2）在斷裂破壞前,幾乎沒有塑性變形； 3） 關(guān)系近似聽從胡克定律,并以割線的斜率作為彈性模量； 材料壓縮時的力學(xué)性能 金屬材料的壓縮試件一般為短圓柱, 其高度與直 徑之比為 h/d 1.5 3 ； 1低碳鋼壓縮時的 曲線 第 9 頁,共 30 頁低碳鋼壓縮時的 曲線,如圖 2-20 所示； E, s 與拉伸時大致相同；因越壓越扁, 得不到 b ； 2鑄鐵壓縮時的 曲線 鑄鐵壓縮時的 曲線,如圖 2-21 所示；留意到： 1）由于材料組織結(jié)構(gòu)內(nèi)含缺陷較 多,鑄鐵的抗壓強(qiáng)度極限與其抗拉強(qiáng)度極限均有較大分散度,但抗壓強(qiáng)度極限 c 大大高于 抗拉強(qiáng)度極限 t ,其關(guān)系大約為 c 3

20、5 t ；2）顯示出確定程度的塑性變形特點(diǎn),致 使短柱試樣斷裂前顯現(xiàn)園鼓形； 3）破壞時試件的斷口沿與軸線大約成 50的斜面斷開,為 灰暗色平斷口； （圖 2-21）與鑄鐵在機(jī)械工程中廣泛作為機(jī)械底座等承壓部件相類似,作為 另一類典型的脆性材料的混凝土,石料等就是建筑工程中重要的承壓材料； 失效,安全因數(shù)和強(qiáng)度運(yùn)算 1安全系數(shù)與許用應(yīng)力 由于各種緣由使結(jié)構(gòu)丟失其正常工作才能的現(xiàn)象, 稱為失效； 工程材料失效的兩種形式 為：（ 1）塑性屈服,指材料失效時產(chǎn)生明顯的塑性變形,并伴有屈服現(xiàn)象；如低碳鋼,鋁合 金等塑性材料； （2）脆性斷裂,材料失效時幾乎不產(chǎn)生塑性變形而突然斷裂；如鑄鐵,混凝 土等脆

21、斷材料； 許用應(yīng)力：保證構(gòu)件安全牢靠工作所容許的最大應(yīng)力值； 對于塑性材料,進(jìn)入塑性屈服時的應(yīng)力取屈服極限 s ,對于某些無明顯屈服平臺的合 金材料取 b0. 2 ,就危險應(yīng)力 0s 或 ；對于脆性材料： 斷裂時的應(yīng)力是強(qiáng)度極限 b, 就 0； 0構(gòu)件許用應(yīng)力用 n表示,就工程上一般取 塑性材料： s ns； 脆性材料： bnb第 10 頁,共 30 頁ns , nb 分別為 塑性材料 和脆性材料 的安全系數(shù)； 2強(qiáng)度條件 安全系數(shù)或許用應(yīng)力的選定應(yīng)依據(jù)有關(guān)規(guī)定或查閱國家有關(guān)規(guī)范或設(shè)計手冊； 通常在靜 荷設(shè)計中取 n s 1.5 ,有時可取 n s 1.25 nb 2.5 ,有時甚至大于 以上

22、 安全系數(shù)的選取原就充分表達(dá)了工程上處理安全與經(jīng)濟(jì)一對沖突的原就, 是復(fù)雜, 審慎 的事；現(xiàn)從力學(xué)角度爭辯其影響因素： （1） 對載荷估量的精確性與把握性：如重力,壓力容器的壓力等可精確估量與測量,大 自然的水力,風(fēng)力,地震力等就較難估量； （2） 材料的均勻性與力學(xué)性能指標(biāo)的穩(wěn)固性：如低碳鋼之類塑性材料組織較均勻,強(qiáng)度 指標(biāo)較穩(wěn)固, 塑性變形階段可作為斷裂破壞前的緩沖, 而鑄鐵之類脆性材料正相反, 強(qiáng)度指 標(biāo)分散度大,應(yīng)力集中,微細(xì)觀缺陷對強(qiáng)度均造成極大影響； （3） 運(yùn)算公式的近似性：由于應(yīng)力,應(yīng)變等理論運(yùn)算公式建立在材料均勻連續(xù),各向同 性假設(shè)基礎(chǔ)上,拉伸（壓縮）應(yīng)力,變形公式要求載荷通

23、過等直桿的軸線等,所以材料不均 勻性,加載的偏心,桿件的初曲率都會造成理論運(yùn)算的不精確； （4） 環(huán)境：工程構(gòu)件的工作環(huán)境比試驗室要復(fù)雜的多,如加工精度,腐蝕介質(zhì),高,低 溫等問題均應(yīng)予以考慮； 設(shè) max 是發(fā)生在軸力最大處的應(yīng)力（等直截面桿） ,就拉伸（壓縮）強(qiáng)度條件為 N max （ 2-5） max A 依據(jù)上述強(qiáng)度條件可以解決以下三方面問題： 1）校核強(qiáng)度 max N max 是否中意； , max 不愿定 A 2）設(shè)計截面, A N max 3）確定構(gòu)件所能承擔(dān)的最大安全載荷, Nmax A 進(jìn)而由 Nmax 與載荷的平穩(wěn)關(guān)系得到許可載荷,而對于變截面桿（如階梯桿） 在 Nmax

24、處,仍與截面積 A 有關(guān)； 例 2-5 桿系結(jié)構(gòu)如圖 2-22 所示,已知桿 AB, AC 材料相160 MPa,橫截面積分 別為 A1 同, P； 706.9 mm , A2 314 mm ,試確定此結(jié)構(gòu)許可載荷 解：（ 1）由平穩(wěn)條件運(yùn)算實際軸力,設(shè) AB 桿軸力為 N 1 ,AC 桿軸力為 N 2 ； 對于節(jié)點(diǎn) A ,由 X 0 得 N 2 sin 45 N1 sin 30 （a） 由 Y 0 得 N1 cos 30 N 2 cos 45 P （ b） 由強(qiáng)度條件運(yùn)算各桿容許軸力 N1A 160 10610 6kN （ c） （d） N2A 314 160 10610 6kN 由于 AB

25、, AC 桿不能同時達(dá)到容許軸力,假如將 N 1 , N 2 代入（ 2）式,解得 P kN 明顯是錯誤的； 正確的解應(yīng)由（ a）,（b）式解得各桿軸力與結(jié)構(gòu)載荷 P 應(yīng)中意的關(guān)系 P （e） N 1 12 P P 3N212P N 2 運(yùn)算所對應(yīng)的載荷 （ f） 3,由（ c）, （2）依據(jù)各桿各自的強(qiáng)度條件, 即 N 1 N 1 , N 2 （e）有 N 1 N1 A1 kN kN P1 kN （ g） 由（ d）,（ f）有 N 2 N 2 A2 kN kN P2 kN P2 ,因而得 （ h） 要保證 AB, AC 桿的強(qiáng)度,應(yīng)取（ g）,（ h）二者中的小值,即 P kN 第 12

26、頁,共 30 頁上述分析說明, 求解桿系結(jié)構(gòu)的許可載荷時, 件； 要保證各桿受力既中意平穩(wěn)條件又中意強(qiáng)度條 例,已知：一個三角架 o 30 ,斜桿有兩根 80 80 7 等邊角鋼組成,橫桿由兩根 10 號 槽剛組成,材料為 A3 , 120MPa ； 求：許可載荷 1）受力分析： Y N 0 ： 1P 02P 2 cm 2； sin 30X 0 ： N 2N 1 P 22）運(yùn)算許可軸力 N查 型 鋼 表 ： A1 A21 2N由強(qiáng)度運(yùn)算公式： A 就： NA N110 4120 10 1 MN 260 kN N210 4120 306kN N 1 ； ；（課堂小結(jié)） 3）運(yùn)算許可載荷：將 N1

27、 P1 N 1 260 130kN 22P2 N 2 306 作業(yè)布置： , 第 13 頁,共 30 頁其次章 拉伸,壓縮與剪切 軸向拉伸或壓縮時的變形 2.9 軸向拉伸或壓縮時的應(yīng)變能 2.10 拉伸,壓縮超靜定問題 教學(xué)時數(shù)： 2 學(xué)時 教學(xué)目標(biāo)： 1. 嫻熟把握各種拉壓桿（等直桿,階梯桿,變截面桿）變形的運(yùn)算方法； 2. 把握橫向變形和泊松比的概念； 3. 把握應(yīng)變能密度的概念,嫻熟變形能的運(yùn)算； 4. 懂得利用小變形假設(shè),用切線代替圓弧的方法求解簡潔平面靜定行架結(jié)構(gòu)變形的方法； 5. 把握各種拉壓靜不定問題的特點(diǎn),嫻熟利用三方程法求解各種靜不定問題； 教學(xué)重點(diǎn)： 1. 拉壓桿的變形與變

28、形能,簡潔平面靜定行架結(jié)構(gòu)變形的運(yùn)算； 2. 利用三方程法求解各種靜不定問題 教學(xué)難點(diǎn)： 1. 用切線代替圓弧的方法求解簡潔平面靜定行架結(jié)構(gòu)變形； 2. 變形和諧方程的建立； 教學(xué)方法： 板書 PowerPoint, 接受啟示式教學(xué)和問題式教學(xué)法結(jié)合, 通過提問, 引導(dǎo)同學(xué)摸索, 讓同學(xué)回答疑題,激發(fā)同學(xué)的學(xué)習(xí)熱忱； 教 具： 教學(xué)步驟： （復(fù)習(xí)提問） （引入新課） （講授新課） 軸向拉伸或壓縮時的變形 1沿桿件軸線的軸向變形 如圖 2-23,設(shè)等直桿的原長為 l ,橫截面面積為 A ；在軸向力 P 作用下,長度由 l 變?yōu)?l1 ；桿件在軸線方向的伸長,即軸向變形為 ll1 l（ 1） 第

29、14 頁,共 30 頁由于桿內(nèi)各點(diǎn)軸向應(yīng)力 與軸向應(yīng)變 為均勻分布,所以一點(diǎn)軸向線應(yīng)變即為桿件的伸長 l除以原長 l ： ll（ 2） 由 E 得 NE llA 所以 l Nl Pl EA EA 式（ 2-6）表示：當(dāng)應(yīng)力不超過比例極限時,桿件的伸長 比,與橫截面面積 A 成反比； 這是胡克定律的另一種表達(dá)形（ 2-6） l與拉力 P 和桿件的原長度 l 成正 式中 EA 是材料彈性模量與 式； 拉壓桿件橫截面面積乘積, EA 越大,就變形越小,將 EA 稱為抗拉（壓）剛度； 2橫向變形 如在圖 2-23 中,設(shè)變形前桿件的橫向尺寸為 bb1 b 橫向線應(yīng)變可定義為 b b 由試驗證明,在彈性

30、范疇內(nèi) b ,變形后相應(yīng)尺寸變?yōu)?b1 ,就橫向變形為 （ 2-7） 為桿的橫向線應(yīng)變與軸向線應(yīng)變代數(shù)值之比；由于 為反映材料橫向變形才能的材料彈 性常數(shù),為正值,所以,一般冠以負(fù)號 與 的關(guān)系為 3變截面桿的伸長變形 如桿件橫截面沿軸線平緩變化, ,稱為泊松比或橫向變形系數(shù)； （ 2-8） 軸力也沿軸線變化,但作用線仍與軸線重合,這時,可 用相鄰的橫截面從桿中取出長為 dx 的微段,把（ 2-6）式應(yīng)用于這一微段,得微段的伸長為 第 15 頁,共 30 頁d l F xdx EA x 式中 FN x 和 Ax 分別表示軸力和橫截面面 積,它們都是 x 的函數(shù)； 積分上式得桿件得伸長 為 ll

31、FN x dx （ 2 9） 圖 224 l AB ；（材料的 EA x 例 2-6 圖 2-25 所示為變截面桿,已知 BD 段 A1 2 cm2, DA 段 A2 4 cm 2, P1 5 kN , P2 10 kN；求 AB 桿的變形 E 3 120 10 MPa） 解： 第一分別求得 BD, DC,CA 三段的軸力 N1 , N 2 , N 3 為 N1 5 kN ； N 2 5 kN ； N 3 5 kN 10 4（m） 3 5 10 l1 N1l1 EA1 l BD 9 120 10 210 4l DC l2 N 2 l 2 EA2 3 5 10 10 4（ m） 9 120 10

32、 4 10 4l CA l 3 N 3l 3 EA3 53 10 4 10 （ m） 120 10 94 10 4l AB l 1 l 2 l 3 10 4（ m） l AB 的負(fù)號說明此桿縮短； 變形與位移： 對軸向拉 （壓）桿,它們的關(guān)系明確, 如例 2-6 中由于 A 0 ,就 l AB B ；對于桿系 結(jié)構(gòu),由于變形和結(jié)構(gòu)約束條件, 從而使變形和位 移之間仍應(yīng)中意確定的幾何關(guān)系； 例 2-7 圖 2-26a 所示桿系結(jié)構(gòu),已知 BC 桿圓截 面 d 20mm ,BD 桿為 8 號槽鋼, 160 MPa, E 200 GPa, P 60kN；求 B 點(diǎn)的位移； 解：（ 1）運(yùn)算軸力,取節(jié)

33、點(diǎn) B（圖 b） 由 X 0 ,得 N 2 cos N 1 0（ 1） 由 Y 0 ,得 第 16 頁,共 30 頁N 2 sin P 0（2） 所以 N 2 75 kN （壓） 45 kN （拉） N 1 （2）運(yùn)算變形 由 BC ： CD ： BD 3 : 4 : 5 ,得 BD l 2 2 m； 6 2BC 桿圓截面的面積 A1 314 10 m , BD 桿為 8 號槽鋼,由型鋼表查得截面面積 6 2A2 1020 10 m ,由胡克定律求得 3BB1 l1 N1l1 45 10 9 6 10 （ m） 3EA1 200 10 314 10 3BB2 l2 N 2l 2 75 9 10

34、 26 10 （ m） 3EA2 200 10 1020 10 1）確定 B 點(diǎn)位移； 已知 l1 為 拉伸變形 , l 2 為 壓縮變形 ；設(shè)想將托架在節(jié)點(diǎn) B 拆開（圖 a）,BC桿伸長 變形后變?yōu)?B1C, BD 桿壓縮變形后變?yōu)?B2D；分別以 C 點(diǎn)和 D 點(diǎn)為圓心, CB1 和 DB 2 為 半徑,作圓弧相交于 B3；B3 點(diǎn)即為托架變形后 B 點(diǎn)的位置；由于是小變形, B1B3 和 B2B3 是 兩段極其微小的短弧,因而可用分別垂直于 點(diǎn)即為 B3； BB3 即為 B 點(diǎn)的位移； BC 和 BD 的直線線段來代替,這兩段直線的交 也可以用圖解法求位移 BB3 ；這里用解析法來求位

35、移 BB3 ；留意到三角形 BCD 三邊的長 度比為 3 : 4 : 5 ,由圖 c 可以求出 l1 B2 B4 l 2 354B2 B4 3B1 B3 B1B4 B4 B3 BB2 54l24l23l1 3 410 3 m 55B 點(diǎn)的水平位移 BB 1l110 3m 最終求出位移 BB3 為 BB B B 32 2 BB 3 10 m 第 17 頁,共 30 頁軸向拉（壓）桿件的變形能 變形能：彈性體在外力作用下,因變形而儲存的能量稱為變形能（或應(yīng)變能） ；對于始 終處于靜力平穩(wěn)狀態(tài)的物體, 假如物體的變形處于彈性范疇內(nèi), 就原先慢慢施加的外力對變 形體所作的外力功 W 幾乎全部轉(zhuǎn)化為物體

36、的彈性變形能 下面以圖 2-27 來爭辯軸向拉伸或壓縮的變形 能；對軸向拉壓（桿） ,拉力 P 作功為 1W P l（ 2） 2所以,由胡克定律 l Pl ,得 EA 21 P l U W P l（ 2-10） 2 2EA 定義比能（或應(yīng)變能密度） u 為單位體積的變形能,即 u U P l 1（ 2-11） V 2 Al 2由胡克定律 E ,就得 U,就由能量守恒原理： UW （ 1） u1E 22222 E 單位為焦 /米 3, J/m3； 例 2-9 簡易起重機(jī)如圖 2-28 所示； BD 撐桿為無縫鋼管,外徑 90mm,壁厚 ,桿長 l 3m ；彈性模量 E 210GPa ； BC 是

37、兩條橫截面面積為 172mm 2 的鋼索,彈性模量 E1 177 GPa ；如不考慮立柱的變形,試求 B 點(diǎn)的垂直位移；設(shè) P 30 kN ； 解： 從三角形 BCD 中解出 BC 和 CD 的長度分別為 BC l1 2.20 m , CD m 算出 BC 和 BD 兩桿的橫截面面積分別為 2A1 2 172 344 mm 2 2 2A 90 85 687mm 4由 BD 桿的平穩(wěn)方程,求得鋼索 BC 的拉力為 FN 1 BD 桿的壓力為 FN 2 當(dāng)載荷 P 從零開頭緩慢地作用于由 BC 和 BD 兩桿組成的簡潔彈性桿系上時, P 所作的功是 W 1 P 2；它在數(shù)值上應(yīng)等于桿系的變形能,亦

38、即等于 BC 和 BD 兩桿變形能的總和； 故 第 18 頁,共 30 頁1P 2 F N1 l 1 2 F N 2 l 2 22E1 A1 2E2 A2 將各數(shù)值代入,由此求得 8 10 p 3 10 m 關(guān)于用能量法求復(fù)雜結(jié)構(gòu)的位移將在以后詳細(xì)爭辯； 拉伸,壓縮超靜定問題 超靜定問題：單憑靜力學(xué)平穩(wěn)方程不能解出全部未知力的問題,稱為超靜定問題； 此時未知力個數(shù)多于平穩(wěn)方程式個數(shù),其差數(shù)稱為超靜定次數(shù)； 一般超靜定問題的解法為： 1）解除“余外”約束,使超靜定結(jié)構(gòu)變?yōu)殪o定結(jié)構(gòu)（此相應(yīng)靜定結(jié)構(gòu)稱靜定基） ,建立 靜力平穩(wěn)方程； 2）依據(jù)“余外”約束性質(zhì),建立變形和諧方程； 3）建立物理方程（如

39、胡克定律,熱膨脹規(guī)律等） ； 4）聯(lián)解靜力平穩(wěn)方程以及 2）和 3）所建立的補(bǔ)充方程,求出未知力（約束力或內(nèi)力） ； 變形和諧條件應(yīng)使靜定基變形與原超靜定結(jié)構(gòu)相一樣； 例 2-10 如圖 2-29a,已知等截面直桿的 EA,求 A, B 處的約束反力 RA , RB ； 解： 此結(jié)構(gòu)的約束力個數(shù)為 2,獨(dú)立平穩(wěn)方程數(shù)為 1,屬于一次超靜定問題 （ 1）靜力平穩(wěn)方程 如圖 b 所示解除 B 處約束,即得相應(yīng)靜定基,靜定基上除 B 處 給以相應(yīng)約束力 RB 外,仍作用有 P, RA； 由 X 0RA 得 P RB0 即 RA RB P （ a） （2）變形和諧方程 l AC lCB 0b （3）物

40、理方程 由胡克定律 lAC N AC a= R A a , l BC N BC b= RB b （ c） EA EA EA EA 將（ c）式代入（ b）式得補(bǔ)充方程 第 19 頁,共 30 頁RA a RB b 或 RA RB b（d） a（4）求解 （ a）,（ d）式得 RB Pa ,（ ） ab Pb RA ,（ ） ab例 2-11 圖 2-30a 所示桿系結(jié)構(gòu)中 AB 桿為剛性 桿,桿剛度為 EA,載荷為 P,求, 桿的軸力； 解：（ 1）靜力平穩(wěn)方程 如圖 b 所示, N1,N2 為,桿的內(nèi)力； XA , YA 為 A 處的約束力, 未知力個數(shù)為 4,靜力平穩(wěn) 方程個數(shù)為 3（平

41、面力系） ,故為一次超靜定問 題； 由 mA 0 得 N 1 a 2aN 2 3Pa 即 N 1 2 N 2 3P （ a） （2）變形和諧方程 l1 1,或 l22 l 1 （ b） 2l 2 （3）物理方程 l1N l , l2 N l （ c） EA EA 由（ c）（ d）得補(bǔ)充方程 （4）由（ a）和（ d）式得 N 2 2 N 1 （ d） N13 P ,（拉力） 5 6 P ,（拉力） 5N2第 20 頁,共 30 頁例,求軸力 解：平穩(wěn)關(guān)系： N 1 N 3 ； N 2 2 N 1 cos 02 N1 cos （拉） 變形幾何： l2l1 N 2 l cos 變形物理： l1

42、N 1 l cos ； l2E1 A1 E 2 A2 就： N 2 l N1 l cos E 2 A2 E1 A1 （壓）； N 2 N1 N3 2 E2 A2 E1 A1 cos l E2 A2 3 2E1 A1 cos （ b） （課堂小結(jié)） 作業(yè)布置： ,其次章 拉伸,壓縮與剪切 溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力 2.12 應(yīng)力集中的概念 2.13 剪切和擠壓的有用運(yùn)算 教學(xué)時數(shù)： 2 學(xué)時 教學(xué)目標(biāo)： 1,比較溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力這兩種靜不定問題變形和諧方程和物理方程的不 同； 2,明白應(yīng)力集中的概念,發(fā)生部位及其危害； 3,把握工程中各種常用連接件和連接方式的受力和變形分析； 第 21 頁,共 30

43、 頁4,明白連接件應(yīng)力分布的復(fù)雜性,有用運(yùn)算方法及其近似性和工程可行性； 5,把握對各種常用連接件和連接方式的強(qiáng)度校核； 教學(xué)重點(diǎn)： 把握對各種常用連接件和連接方式的強(qiáng)度校核； 教學(xué)難點(diǎn)： 1. 通過連接件的受力和變形,找到剪切面和擠壓面； 教學(xué)方法： 板書 PowerPoint, 接受啟示式教學(xué)和問題式教學(xué)法結(jié)合, 通過提問, 引導(dǎo)同學(xué)摸索, 讓同學(xué)回答疑題,激發(fā)同學(xué)的學(xué)習(xí)熱忱； 教 具： 教學(xué)步驟： （復(fù)習(xí)提問） （引入新課） （講授新課） 溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力 一,溫度應(yīng)力 由于溫度變化會引起物體的膨脹或收縮, 對于超靜定結(jié)構(gòu)由于脹縮變形受到約束, 就會 產(chǎn)生內(nèi)應(yīng)力；因溫度變化而引起的內(nèi)應(yīng)

44、力,稱為溫度應(yīng)力；現(xiàn)以圖 分析； 由于蒸汽管兩端不能自由伸縮, 故簡化為圖 b 所示固定端約束,此時如溫度上升 t ,就 A, B 端分別有約束力 FRA 和 F RB（圖 c）； 1）由靜力平穩(wěn)方程 2-31a 所示問題為例進(jìn)行 FR A FR B FRA FRB （a） 式（ a）不能確定反力的數(shù)值,須再補(bǔ)充一個變形 和 諧方程； 設(shè)想拆除右端支座, 答應(yīng)桿件自由脹縮, 2-34 當(dāng)溫度變化為 T 時,桿件得溫度變形（伸長）應(yīng)為 lT lT l l 為材料得線膨脹系數(shù),然后,再在右端作用 lF l EA FRB ,桿件因 FRB 而產(chǎn)生得縮短是 實際上由于兩端固定,桿件長度不能變化,必需有

45、 第 22 頁,共 30 頁2）變形和諧方程 lRl T T 時的伸長； （ b） lR 是桿件因 FRB 作用而產(chǎn)生的縮短； lT 是溫度上升 3）物理方程 l T llT l（ c） F R B lEA 由（ c）,（ b）式得 4）補(bǔ)充方程 lT lFRBl EA 即有 FRB FN lT EA 應(yīng)力為 T FN lT E （ d） A 結(jié)果為正,說明起初設(shè)定桿受軸向壓力是對的,故該桿的溫度應(yīng)力是壓應(yīng)力； 對于鋼桿, 1.2 10 51 / C , E 3 210 10 MPa ,就當(dāng)溫度上升 T 40 C 時,桿 內(nèi)的溫度應(yīng)力由式（ d）算得為 E T 10 53 210 10 40

46、100 MPa （壓應(yīng)力） 二,裝配應(yīng)力 對于靜定結(jié)構(gòu), 構(gòu)件的加工誤差只不過是造成結(jié)構(gòu)幾何形狀的略微變化, 不會引起內(nèi)力； 但對于超靜定結(jié)構(gòu), 加工誤差往往卻要引起內(nèi)力； 這與上述溫度應(yīng)力的 形成是特殊相像的； 下面以詳細(xì)的例子說明裝配應(yīng)力的形成； 例 2-13 圖示所示為超靜定桿系結(jié)構(gòu), 1,2 桿的拉伸剛度為 E1 A1 ,3 桿的拉伸剛度為 E 3 A3 , 已知中間桿 3 加工制作時長了 ,試求三桿在 A 點(diǎn)鉸接在一起后各桿的內(nèi)力； 解：對于一次靜不定問題,一般是聯(lián)立平穩(wěn)方程,變形和諧方程,物理方程進(jìn)行求解； 對于此題的裝配應(yīng)力問題,由變形知 力, 點(diǎn)的受力圖如圖 2 23b； 1,

47、桿的軸力 FN1 及 FN 2 為拉力, 3 桿的 N為壓 第 23 頁,共 30 頁圖 （ 1）靜力平穩(wěn)方程 Fx0 FN 2 sin FN1 sin 00（ 1） FN 3 （ 2） Fy0 FN1 FN 2 cos （ 2）變形和諧方程 l 1 l 3 （ 3） cos （ 3）物理方程 l 1 F N 1l , l 3 F N 3l （ 4） E 1 A1 cos E 3A 3 由（ 3）,（ 4）得補(bǔ)充方程 FN1l FN 3l （拉力） （ 5） 2 E1 A1 cos E3 A3 聯(lián)立（ 1）,（ 2）,（ 5）式解之得 lFN1 FN 2 2 E1 A1E3 A3 cos 3

48、2E1 A1 cos E3 A3 FN 3 3 2E1 A1E3 A3 cos l（壓力） 3 2E1 A1 cos E3 A3 綜上分析結(jié)果可知,超靜定問題與靜定問題比較有以下特點(diǎn)： （ 1）內(nèi)力（或約束力）的支配不僅與外載荷有關(guān),仍與桿件的剛度比有關(guān),如例 2-13 中式所示； （ 2）超靜定結(jié)構(gòu)會引起溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力； 應(yīng)力集中的概念 第 24 頁,共 30 頁實際工程構(gòu)件中,有些零件常存在切口,切槽,油孔,螺紋等,致使這些部位上的截面 尺寸發(fā)生突然變化；如圖 2-38 所示開有圓孔和帶有切口的板條,當(dāng)其受軸向拉伸時,在圓 孔和切口鄰近的局部區(qū)域內(nèi), 應(yīng)力的數(shù)值猛烈增加, 而在離開這一

49、區(qū)域稍遠(yuǎn)的地方, 應(yīng)力迅 速降低而趨于均勻；這種現(xiàn)象,稱為應(yīng)力集中； F F F F F F 2-38 截面尺寸變化越急劇,孔越小, 角越尖, 應(yīng)力集中的程度就越嚴(yán)肅,局部顯現(xiàn)的最大應(yīng) 力 max 就越大；鑒于應(yīng)力集中往往會減弱桿件的強(qiáng)度,因此在設(shè)計中應(yīng)盡可能防止或降低 應(yīng)力集中的影響； 為了表示應(yīng)力集中的強(qiáng)弱程度,定義理論應(yīng)力集中系數(shù) 其中 max k max 為減弱面上名義應(yīng)力；如對圖 （ 2-12） 為減弱面上軸向正應(yīng)力的峰值； 2-38a 所示 厚度為 t 的矩形截面板條： F tb d k 值可查閱有關(guān)設(shè)計手冊；當(dāng) b d,就 k=3 必需指出,材料的良好塑性變形才能可以緩和應(yīng)力集中

50、峰值,因而對低碳鋼之類的塑 性材料應(yīng)力集中對強(qiáng)度的減弱作用不很明顯, 缺陷,組織不均勻的材料將造成嚴(yán)肅影響； 而對脆性材料, 特殊對鑄鐵之類內(nèi)含大量顯微 剪切和擠壓的有用運(yùn)算 一,剪切的有用運(yùn)算 1工程上的剪切件 通過如圖 所示的鋼桿受剪和 F F Fs 圖 2.41 所示的聯(lián)接軸與輪的鍵的受剪 情形, 可以看出, 工程上的剪切件有以 F 下特點(diǎn)： 1）受力特點(diǎn) 桿件兩側(cè)作用大小相等,方向相 第 25 頁,共 30 頁反,作用線相距很近的外力； 2）變形特點(diǎn) 兩外力作用線間截面發(fā)生錯 動,由矩形變?yōu)?平行四邊形； 因此剪切定義為相距很近的兩個平行平面 內(nèi),分別作用著大小相等,方向相對（相反）的 F F 兩個力,當(dāng)這兩個力相互平行錯動并保持間距不 變地作用在構(gòu)件上時,構(gòu)件在這兩個平行面間的 任一（平行）橫截面將只有剪力作用,并產(chǎn)生剪 Fs F 切變形； 2剪應(yīng)力及剪切有用運(yùn)算 剪切有用運(yùn)算中,假定受剪面上各點(diǎn)處與剪力 的剪應(yīng)力為 式中： F 剪力； Fs （ ） A A剪切面積 名義剪切力 剪切強(qiáng)度條件可表示為： Fs A （ ） 式中： 構(gòu)件許用剪切應(yīng)力； A d 2 4剪切面為