湖南省長沙市大成橋鄉(xiāng)聯(lián)校2021年高一數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

1、湖南省長沙市大成橋鄉(xiāng)聯(lián)校2021年高一數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1. 集合，則( )A. B. C. D.參考答案：D略2. 在平面四邊形ABCD中，則AB的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 參考答案：D【分析】利用正弦定理建立關(guān)系，根據(jù)三角函數(shù)的有界性即可求解AB的取值范圍.【詳解】由題意，平面四邊形中，延長BA、CD交于點(diǎn)E，BC75，EBC為等腰三角形，E30，若點(diǎn)A與點(diǎn)E重合或在點(diǎn)E右方，則不存在四邊形ABCD，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)E重合時(shí)，根據(jù)正弦定理：，算得AB，AB，若點(diǎn)D與點(diǎn)C重合或在

2、點(diǎn)C下方，則不存在四邊形ABCD，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)ACB30，根據(jù)正弦定理：算得AB，AB，綜上所述，AB的取值范圍為AB故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理的運(yùn)用和數(shù)形結(jié)合的思想，構(gòu)成三角形的條件的處理屬于中檔題3. 如圖，要測量底部不能到達(dá)的某鐵塔AB的高度，在塔的同一側(cè)選擇C、D兩觀測點(diǎn)，且在C、D兩點(diǎn)測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45、30在水平面上測得BCD=120，C、D兩地相距600m，則鐵塔AB的高度是（）A120mB480mC240mD600m參考答案：D【考點(diǎn)】HU：解三角形的實(shí)際應(yīng)用【分析】設(shè)出AB=x，則BC，BD均可用x表達(dá)，進(jìn)而在BCD中，由余弦定理和BD，BC的值列方程求

3、得x，即AB的長【解答】解：設(shè)AB=x，則BC=x，BD=x，在BCD中，由余弦定理知cos120=，求得x=600米，故鐵塔的高度為600米故選D4. 如圖，在長方體中，分別過、的兩個(gè)平行截面將長方體分成三部分，它們的體積從左至右依次記為,若，則截面的面積為（ ）A、 B、 C、 D、參考答案：A略5. =A B C D參考答案：B略6. 若，則（ ）A. B. C. D. 參考答案：D【分析】利用二倍角公式和誘導(dǎo)公式化簡所求表達(dá)式，代入已知條件求得表達(dá)式的值.【詳解】依題意，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角恒等變換，考查二倍角公式和誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.7. 已知與均為單位向量，它們的夾

4、角為60，那么等于（ ）A. B. C. D. 4參考答案：A本題主要考查的是向量的求模公式。由條件可知=，所以應(yīng)選A。8. 設(shè)函數(shù)f（x）=，若互不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，x3滿足f（x1）=f（x2）=f（x3），則x1+x2+x3的取值范圍是（）A4，6B（4，6）C1，3D（1，3）參考答案：B【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用【分析】做出函數(shù)f（x）的圖象，不妨設(shè)x1x2x3，則x2，x3關(guān)于直線x=3對(duì)稱，求出x1的范圍，最后結(jié)合圖象求得x1+x2+x3的取值范圍即可【解答】解：先做出函數(shù)f（x）的圖象，如圖所示：當(dāng)x0時(shí)，f（x）=|2x6|=2|x3|，此時(shí)函數(shù)關(guān)于x=3對(duì)稱，不妨設(shè)x1x2

5、x3，則x2，x3關(guān)于直線x=3對(duì)稱，故x2+x3=6，且2x10，則x1+x2+x3=6+x1，2x10，46+x16，即x1+x2+x3（4，6）故選：B9. 若正實(shí)數(shù)x、y滿足：2x+y=1,則的最小值為：（ ）A. B. C. D.2參考答案：C10. 在50瓶牛奶中，有5瓶已經(jīng)過了保質(zhì)期，從中任取一瓶，取到已經(jīng)過保質(zhì)期的牛奶的概率是（ ）A0.02 B0.05 C. 0.1 D0.9參考答案：C由題意知，該題是一個(gè)古典概型，因?yàn)樵?0瓶牛奶中任取1瓶有50種不同的取法，取到已過保質(zhì)期的牛奶有5種不同的取法，根據(jù)古典概型公式求得，故選C.二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28

6、分11. 函數(shù)在點(diǎn)A(2,1)處切線的斜率為_參考答案：【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算得，即可得到切線的斜率【詳解】由題意，函數(shù)，則，所以，即切線的斜率為，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點(diǎn)處的切線的斜率，其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，以及準(zhǔn)確求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題12. 設(shè)向量，不共線，若，則實(shí)數(shù)的值為參考答案：2【考點(diǎn)】平行向量與共線向量【分析】，則存在實(shí)數(shù)k使得=k，化簡利用向量相等即可得出【解答】解：，則存在實(shí)數(shù)k使得=k，（1k）（2+4k）=，向量，不共線，1k=0，（2+4k）=0，解得=2故答案為：2【點(diǎn)評(píng)】本題

7、考查了向量共線定理、向量相等、共面向量基本定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題13. 函數(shù)的值域是 參考答案：略14. 在等比數(shù)列中，_。參考答案：15略15. 已知coscos(+)+sinsin(+)=,是第二象限角，則tan2=_.參考答案：略16. 在ABC中，A、B均為銳角，且cosAsinB，則ABC的形狀是參考答案：鈍角三角形【考點(diǎn)】三角形的形狀判斷【分析】利用誘導(dǎo)公式將cosAsinB轉(zhuǎn)化為sin（A）sinB，再利用正弦函數(shù)在（0，）上的單調(diào)性即可得答案【解答】解：由cosAsinB得sin（A）sinB，A、B均為銳角，A（0，），B（0，），而y=sinx在（0，）

8、上是增函數(shù)，AB，即A+B，C=（A+B）（，）故答案為：鈍角三角形17. 奇函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x滿足，且當(dāng)，則 .參考答案： 三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. （13分）扇形AOB中心角為60，所在圓半徑為，它按如下（）（）兩種方式有內(nèi)接矩形CDEF（）矩形CDEF的頂點(diǎn)C、D在扇形的半徑OB上，頂點(diǎn)E在圓弧AB上，頂點(diǎn)F在半徑OA上，設(shè)EOB=；（）點(diǎn)M是圓弧AB的中點(diǎn)，矩形CDEF的頂點(diǎn)D、E在圓弧AB上，且關(guān)于直線OM對(duì)稱，頂點(diǎn)C、F分別在半徑OB、OA上，設(shè)EOM=；試研究（）（）兩種方式下矩形面積的最大值，并說明兩種方式下哪一

9、種矩形面積最大？參考答案：如圖，在RtOD中，設(shè)EOD=，則OD=cos，ED=sin又CD=ODOC=，SCDEF=ED?CD=sin（cossin）=3sincossin2=sin2=sin（2+）當(dāng)2+=，即時(shí)，S最大=（）令ED與OM的交點(diǎn)為N，F(xiàn)C與OM的交點(diǎn)為P，則EN=sin，于是ED=2sin，又CD=PN=ONOP=cos=3sin，SCDEF=ED?CD=2sin（）=3sin23（1cos2）=6sin（2+）3當(dāng)22+=，即=時(shí)，y取得最大值為：6363，（）（）兩種方式下矩形面積的最大值為方式（）19. 如圖，四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD為矩形，

10、PD=DC=4，AD=2，E為PC的中點(diǎn).(I）求證：ADPC；(II）求三棱錐P-ADE的體積；(III）在線段AC上是否存在一點(diǎn)M，使得PA/平面EDM，若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由.參考答案：（I）因?yàn)镻D平面ABCD. 所以PDAD. 又因?yàn)锳BCD是矩形， 所以ADCD. 因?yàn)?所以AD平面PCD. 又因?yàn)槠矫鍼CD， 所以ADPC.(II）因?yàn)锳D平面PCD，VP-ADE=VA-PDE， 所以AD是三棱錐APDE的高.因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，且PD=DC=4，所以又AD=2，所以(IIII）取AC中點(diǎn)M，連結(jié)EM、DM， 因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，M是AC的中點(diǎn)，所以EM/PA

11、，又因?yàn)镋M平面EDM，PA平面EDM，所以PA/平面EDM.所以即在AC邊上存在一點(diǎn)M，使得PA/平面EDM，AM的長為.20. （本小題滿分14分）已知集合，() 分別求：，；() 已知集合，若，求實(shí)數(shù)的取值的集合w. 參考答案：解：（） 4分 8分（） 12分 14分（少“=”號(hào)扣1分）略21. 已知函數(shù)f（x）=a（|sinx|+|cosx|）sin2x1，若f（）=（1）求a的值，并寫出函數(shù)f（x）的最小正周期（不需證明）；（2）是否存在正整數(shù)k，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間0，k內(nèi)恰有2017個(gè)零點(diǎn)？若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡求值；函數(shù)零點(diǎn)的

12、判定定理【分析】（1）根據(jù)f（）=帶入即可求解a的值因?yàn)閨sinx|、|cosx|、sin2x的周期是都，故得函數(shù)f（x）的最小正周期（2）令k=1，討論0，內(nèi)存在的零點(diǎn)情況，從而討論是否存在k內(nèi)恰有2017個(gè)零點(diǎn)即可【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=a（|sinx|+|cosx|）sin2x1，f（）=a（sin+cos）sin1=解得：a=1，函數(shù)f（x）的最小正周期T=，（2）存在n=504，滿足題意：理由如下：當(dāng)時(shí)，設(shè)t=sinx+cosx，則，sin2x=t21，則，可得 t=1或，由t=sinx+cosx圖象可知，x在上有4個(gè)零點(diǎn)滿足題意當(dāng)時(shí)，t=sinxcosx，則，sin2x=1t2，t=1或，x在上不存在零點(diǎn)綜上討論知：函數(shù)f（x）在0，）上有4個(gè)零點(diǎn)，而2017=4504+1，因此函數(shù)在0，504有2017個(gè)零點(diǎn)，所以存在正整數(shù)k=504滿足題意22. 設(shè)集合Ax|x22x30，Bx|x2+4x+30，Cx|2k1x2k+3（1）求AB；（2）若C?AB，求實(shí)數(shù)k的取值范圍參考答案：(1) ABx|x1或x3；(2) k2或k2【分