太原理工大學數理統(tǒng)計第13節(jié)抽樣分布

1、五、正態(tài)總體樣本均值和方差的分布六、一些非正態(tài)總體樣本均值的分布第1.3節(jié) 抽樣分布一、 分布 二、t 分布 三、F 分布四、概率分布的分位數抽樣分布的定義 統(tǒng)計量既然是依賴于樣本的,而后者又是隨機變量,故統(tǒng)計量也是隨機變量,因而就有一定的分布.稱這個分布為“抽樣分布”. 也即抽樣分布就是統(tǒng)計量的分布.抽樣分布(小樣本問題中使用)(大樣本問題中使用)這一節(jié), 我們來討論正態(tài)總體的抽樣分布.一、 分布首先回顧以前學過的5類分布族： 本節(jié)將介紹其他幾類分布族，它們將在數理統(tǒng)計中起著重要的作用. 1. 函數 函數的性質：2. 分布（補充內容） 定義3. 分布的性質 性質1注：指數分布為特殊的其中證性

2、質2(可加性)4. 分布 定義1.8定理1.6注證性質1證明性質2(此性質可以推廣到多個隨機變量的情形)性質3定理1.7 分布（補充內容，不講）1. 分布的密度函數 定義2. 分布的圖象特征 O1O1O13. 分布的性質 性質1性質2性質3二、t分布族1. t分布 定義1.9 t 分布又稱學生氏(Student)分布.學生氏定理1.8證此問題可以利用商的概率密度計算公式計算.2. t分布的密度函數因此再由商的概率密度計算公式可得因而定理1.8成立。3. t分布的圖象特征 當n充分大時, 其圖形類似于標準正態(tài)變量概率密度的圖形.利用Stirling公式可以證明利用重要極限可以證明因而4. t分布

3、的性質 性質1性質2此分布的數學期望不存在.三、F分布定義1.101. F分布 2. F分布的密度函數 定理1.9證明利用兩個獨立隨機變量商的概率密度函數計算公式可得根據定義可知,3. F分布的幾何特征 4. F分布的性質 性質1性質2性質3定理1.10則意義：在方差分析中有重要作用例1 解且兩者獨立, 由 定義1.9可知重點：利用三種分布定義做題解例2例3解 四 概率分布的分位數1. 定義2. 常用分布的上側分位數記號 分布 N(0,1) t(n)F(n1,n2) 記號3. 查表法(1) 若X的分布密度關于y軸對稱，則xyO特例：附表2-1根據正態(tài)分布的對稱性知附表2-20.950.975由

4、分布的對稱性知附表3-1附表3-2在Matlab中求解(2) 若X的分布密度無對稱性，附表4-1(表4只詳列到 n=60 為止).附表4-2附表4-3例如：費歇資料費歇(R.A.Fisher)公式：此外，還可利用關系附表 5附表 8證五、正態(tài)總體樣本均值和方差的分布1. 單個總體樣本均值的分布定理1.11證所以2. 單個總體樣本方差的分布定理1.12注自由度減少一個!減少一個自由度的原因：事實上，它們受到一個條件的約束：證因而構造正交矩陣T使得,因而又由于證且兩者獨立, 由 t 分布的定義知定理1.133. 單個總體修正樣本均方差的分布4. 兩個正態(tài)總體樣本均值差的分布定理1.14總體X和Y，

5、則證由定理1.11及定理1.12，知定理1.15總體X和Y，則5. 兩個正態(tài)總體樣本方差商的分布證六、一些非正態(tài)總體樣本均值的分布1. 問題的提出 抽樣分布的精確分布可以歸屬到計算隨機變量或隨機向量函數的分布，但是從關于隨機變量或隨機向量函數的分布介紹中可以看到計算相當復雜，因而對于一般總體情形下的抽樣分布的計算幾乎無法完成，因而對于一般情形，我們一方面可以考慮特殊總體情形下的抽樣精確分布，另一方面考慮大樣本情形下抽樣分布的漸近分布。2. 特殊情形下抽樣分布 的精確分布例4(p26例1.14)解由二項分布的可加性可知因此例5(p26例1.15)解由泊松分布的可加性可知因此例6(p27例1.16

6、)解由于指數分布是(1,)，因而由其可加性可知因此故3. 一般情形下樣本均值的漸近分布定理1.16即證由林德貝格列維中心極限定理可知因而例7(p27例1.17)解由例1.14可知，其精確分布為由定理1.16可知，其漸近分布為正態(tài)分布4. 一般情形下樣本方差的漸近分布定理1.17定理1.18 定理1.17與定理1.18證明有點復雜，因而省略，可以參閱其他參考書。附表2-1標準正態(tài)分布表z01234567890.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51.60.50000.53980.57930.61790.65540.69150.72570.7

7、5800.78810.81590.84130.86430.88490.90320.91920.93320.94520.50400.54380.58320.62170.65910.69500.72910.76110.79100.81860.84380.86650.88690.90490.92070.93450.94630.50800.54780.58710.62550.66280.69850.73240.76420.79390.82120.84610.86860.88880.90660.92220.93570.94740.51200.55170.59100.62930.66640.70190.7

8、3570.76730.79670.82380.84850.87080.89070.90820.92360.93700.94840.51600.55570.59480.63310.67000.70540.73890.77030.79950.82640.85080.87290.89250.90990.92510.93820.94950.51990.55960.59870.63680.67360.70880.74220.77340.80230.82890.85310.87490.89440.91150.92650.93940.95050.52390.56360.60260.64060.67720.7

9、1230.74540.77640.80510.83150.85540.87700.89620.91310.92780.94060.95150.52790.56750.60640.64430.68080.71570.74860.77940.80780.83400.85770.87900.89800.91470.92920.94180.95250.53190.57140.61030.64800.68440.71900.75170.78230.81060.83650.85990.88100.89970.91620.93060.94300.95350.53590.57530.61410.65170.6

10、8790.72240.75490.78520.81330.83890.86210.88300.90150.91770.93190.94410.95451.645附表4-1=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.3232.7734.1085.3856.6267.8419.03710.21911.38912.54913.70114.84515.98417.11718.24519.3692.7064.6056.2517.7799.23610.64512.01713.36214.68415.98717.27518.54919.81220.

11、06422.30723.5423.8415.9917.8159.48811.07112.59214.06715.50716.91918.30719.67521.02622.36223.68524.99626.2965.0247.3789.34811.14312.83314.44916.01317.53519.02320.48321.92023.33724.73626.11927.48828.8456.6359.21011.34513.27715.08616.81218.47520.09021.66623.20924.72526.21727.68829.14130.57832.0007.8791

12、0.59712.83814.86016.75018.54820.27821.95523.58925.18826.75728.29929.89131.31932.80134.267分布表17.535附表3-1 =0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.

13、38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.583563.6574 9.9248 5