高中數(shù)學函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)性奇偶性最值

1、函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性經(jīng)典例題透析.證明函數(shù)類型一、函數(shù)的單調(diào)性的證明.證明函數(shù)上的單調(diào)性證明： 在（0， + ）上任取 x1、x2（x1x2）， 令 x=x 2-x10 x10，x20，上式 0， y=f(x 2)-f(x 1) 0上遞減 .總結(jié)升華：證明函數(shù)單調(diào)性要求使用定義；如何比較兩個量的大??？ （作差 ）如何判斷一個式子的符號？ （對差適當變形 ）舉一反三：【變式 1】用定義證明函數(shù)上是減函數(shù) .思路點撥： 本題考查對單調(diào)性定義的理解，在現(xiàn)階段，定義是證明單調(diào)性的唯一途徑證明： 設(shè) x1，x2 是區(qū)間上的任意實數(shù)，且 x1 x2，則0 x1 x21 x1-x20，0 x1x210 x1

2、x2 0 x1f(x2)上是減函數(shù) .總結(jié)升華：可以用同樣的方法證明此函數(shù)在 上是增函數(shù)；在今后的學習中經(jīng)常會碰到這個函數(shù)，在此可以嘗試利用函數(shù)的單調(diào)性大致給出函數(shù)的圖象類型二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 判斷下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；上遞減，(1)y=x 2-3|x|+2 . 判斷下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；上遞減，(1)y=x 2-3|x|+2 ； (2)解： (1)由圖象對稱性，畫出草圖在 上遞增.(2)圖象為f(x) 在上遞增舉一反三：【變式 1】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(3)y=|x+1| ； (2)(3)解： （1） 畫出函數(shù)圖象，函數(shù)的減區(qū)間為 ，函數(shù)的增區(qū)間為 （-1， + ）；（2）定義域為（2）定

3、義域為其中 u=2x-1 為增函數(shù)，在（-， 0）與（0，+ ）為減函數(shù)，則上為減函數(shù)；（3）定義域為 （-， 0）（0，+），單調(diào)增區(qū)間為： （-， 0），單調(diào)減區(qū)間為（0，+）.總結(jié)升華：數(shù)形結(jié)合利用圖象判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間；關(guān)于二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間問題，單調(diào)性變化的點與對稱軸相關(guān) .復合函數(shù)的單調(diào)性分析：先求函數(shù)的定義域；再將復合函數(shù)分解為內(nèi)、外層函數(shù)； 利用已知函數(shù)的單調(diào)性解決 .關(guān)注：內(nèi)外層函數(shù)同向變化復合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)外層函數(shù)反向變化 復合函數(shù)為減函數(shù) .類型三、單調(diào)性的應(yīng)用 （ 比較函數(shù)值的大小，求函數(shù)值域，求函數(shù)的最大值或最小 值）3. 已知函數(shù) f（x） 3. 已知函數(shù) f（x）

4、在（0，+ ）上是減函數(shù)，比較f(a 2-a+1)與的大小 .解：又 f（x） 在（0，+ ）上是減函數(shù)，則； 1)x 5，10； 2)x(-3，-2)(-2，1)；y=x 2-2x+3 ； 1)x-1，1； 2)x-2，2. 思路點撥： (1) 可應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性； (2)數(shù)形結(jié)合 .2 個單位，再上移 2 個單2 個單位，再上移 2 個單解：(1)1)f(x)在5，10上單增， 2)畫出草圖1)yf(1) ， f(-1) 即2，6；2)舉一反三：變式 1】已知函數(shù) (1)判斷函數(shù) f(x) 的單調(diào)區(qū)間；(2)當 x1，3時，求函數(shù) f(x)的值域 .但對解析式稍作處理， 即思路點撥： 這個

5、函數(shù)直接觀察恐怕不容易看出它的單調(diào)區(qū)間，但對解析式稍作處理， 即可得到我們相對熟悉的形式，第二問即是利用單調(diào)性求函數(shù)值可得到我們相對熟悉的形式域.解：(1)上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞增；(2) 故函數(shù) f(x)在 1，3上單調(diào)遞增 x=1 時 f(x) 有最小值， f(1)=-2x=3 時 f(x) 有最大值x1，3時 f(x)的值域為5. 已知二次函數(shù)f(x)=x 25. 已知二次函數(shù)f(x)=x 2-(a-1)x+5 在區(qū)間上是增函數(shù)，求：(1)實數(shù) a 的取值范圍； (2)f(2) 的取值范圍解： (1)對稱軸是決定 f(x) 單調(diào)性的關(guān)鍵，聯(lián)系圖象可知只需(2) f(2)=2 2-2(a

6、-1)+5=-2a+11 又 a 2， -2a-4 f(2)=-2a+11 -4+11=7類型四、判斷函數(shù)的奇偶性. 判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)(2)(3)f(x)=x 2-4|x|+3. 判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)(2)(3)f(x)=x 2-4|x|+3(4)f(x)=|x+3|-|x-3|(5)(7)(6)(7)思路點撥： 根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義進行判斷解： (1) f(x)的定義域為，不關(guān)于原點對稱，因此 f(x)為非奇非偶函數(shù)；不關(guān)于原點對稱， f(x) 為非奇非偶函數(shù)；(2)x-10， 不關(guān)于原點對稱， f(x) 為非奇非偶函數(shù)；對任意 x R，都有 -x R，且 f(-x)=

7、x 2-4|x|+3=f(x) ，則 f(x)=x 2-4|x|+3 為偶函數(shù) ；xR，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x) ， f(x) 為奇函數(shù)；(5)， f(x)為奇函數(shù)；(6) x R ， f(x)=-x|x|+x f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x) ， f(x) 為奇函數(shù)；(7)，f(x)為奇函數(shù) .舉一反三：【變式 1】判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1) ； (2)f(x)=|x+1|-|x-1| ；(3)f(x)=x 2+x+1 ；(4) . 思路點撥： 利用函數(shù)奇偶性的定義進行判斷 .解：(1)(2)f(-x)=|

8、-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) f(x) 為奇函數(shù)；f(-x)=(-x) 2+(-x)+1=x 2-x+1 f(-x) -f(x)且 f(-x) f(x) f(x) 為非奇非偶函數(shù)；任取 x 0 則 -x 0， f(-x)=(-x) 2+2(-x)-1=x 2-2x-1=-(-x 2+2x+1)=-f(x) 任取 x0 f(-x)=-(-x) 2+2(-x)+1=-x 2-2x+1=-(x 2+2x-1)=-f(x) x=0時，f(0)=-f(0) xR時， f(-x)=-f(x) f(x)為奇函數(shù) .舉一反三：【變式 為偶函數(shù) .證明：2】已知 f(x)

9、，g(x)均為奇函數(shù)， 且定義域相同， 求證：f(x)+g(x) 為奇函數(shù)， f(x) g(x) 設(shè) F(x)=f(x)+g(x) ， G(x)=f(x) g(x) 則F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)+g(x)=-F(x)G(-x)=f(-x) g(-x)=-f(x) -g(x)=f(x) g(x)=G(x) f(x)+g(x) 為奇函數(shù)， f(x) g(x)為偶函數(shù) .類型五、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 ( 求值，求解析式，與單調(diào)性結(jié)合 )53已知 f(x)=x 5+ax3-bx-8 ，且 f(-2)=10 ，求 f(2).解： 法一： f(-2)=(-2) 5+(

10、-2) 3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10 8a-2b=-50 f(2)=2 5+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26 法二：令 g(x)=f(x)+8 易證 g(x) 為奇函數(shù) g(-2)=-g(2) f(-2)+8=-f(2)-8 f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.f(x) 的解f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，且當 x 奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱， x 0時， -y=(-x) 2-(-x)設(shè)定義在 -3 ， 3上的偶函數(shù) f(x) 在0，3上是單調(diào)遞增，當 f(a-1) f(a)時，求 a 的取值范圍 .解： f(a-

11、1)f(a) f(|a-1|) b0，給出下列不等式，其中成立的是 . f(b)-f(-a) g(a)-g(-b) ；f(b)-f(-a) g(b)-g(-a) ；f(a)-f(-b) g(b)-g(-a).答案： .求下列函數(shù)的值域：(1) (2) (3) 思路點撥： (1) 中函數(shù)為二次函數(shù)開方，可先求出二次函數(shù)值域；(2)由單調(diào)性求值域，此題也可換元解決； (3)單調(diào)性無法確定，經(jīng)換元后將之轉(zhuǎn)化為熟悉二次函數(shù)情形，問題得 到解決，需注意此時 t 范圍 .解(1)已知函數(shù) f(x)=x 2-2ax+a2-1.(1)若函數(shù) f(x)在區(qū)間 0 ，2上是單調(diào)的，求實數(shù) a 的取值范圍；(2)當

12、 x-1，1時，求函數(shù) f(x)的最小值 g(a)，并畫出最小值函數(shù) y=g(a)的圖象 . 解： (1) f(x)=(x-a) 2-1 a0 或 a 2(2)1當 a-1時，如圖 1，g(a)=f(-1)=a 2+2a22已知函數(shù) f(x)在定義域 (0，+)上為增函數(shù)， f(2)=1 ，且定義域上任意 x、y 都 滿足 f(xy)=f(x)+f(y) ，解不等式： f(x)+f(x-2) 3.解：令 x=2，y=2， f(2 2)=f(2)+f(2)=2 f(4)=2 再令 x=4 ，y=2 ， f(42)=f(4)+f(2)=2+1=3 f(8)=3 f(x)+f(x-2) 3 可轉(zhuǎn)化為

13、： fx(x-2) f(8)判斷函數(shù) 上的單調(diào)性，并證明證明： 任取 0 x1x2，0 x1 x2， x1-x20(1) 當時0 x1x2 1， x1x2-10 即 f(x 1) f(x 2)上是減函數(shù)(2)當 (2)當 x1，x2 (1， + )時，上是增函數(shù) .難點： x1x2-1 的符號的確定，如何分段 .f(x) 的設(shè) a 為實數(shù)，函數(shù) f(x)=x 2+|x-a|+1，xR，試討論 f(x) 的奇偶性，并求 最小值 f(x) 的解：當 a=0時， f(x)=x 2+|x|+1，此時函數(shù)為偶函數(shù)；當 a0 時， f(x)=x 2+|x-a|+1，為非奇非偶函數(shù) .(1)當 xa 時，1

14、2 上單調(diào)遞增，上的最小值為 f(a)=a2+1.(2)當 x0 B. f(-3)-f(2) 0C. f(-2)+f(-5) 0、填空題1設(shè)奇函數(shù)的定義域為 ，若當 時， 的圖象如右圖， 則不等式 的解是 .2函數(shù)的值域是 .3已知，則函數(shù) 的值域是 4若函數(shù) 是偶函 數(shù)，則 的 遞減 區(qū)間 是5 函數(shù) 在 R 上為奇函數(shù)，且 ，則當 ，、解答題1判斷一次函數(shù)反比例函數(shù) ，二次函數(shù) 的單調(diào)性 .2已知函數(shù)的定義域為 ，且同時滿足下列條件： (1) 是奇函數(shù)；(2) 在定義域上單調(diào)遞減； (3) 求 的取值范圍 .3利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域；4已知函數(shù). 當 時，求函數(shù)的最大值和最小值； 求

15、實數(shù) 的取值范圍，使 在區(qū)間 上是單調(diào)函數(shù) .能力提升一、選擇題1下列判斷正確的是 ( )B函數(shù)是偶函C函數(shù)是非奇非偶函數(shù)B函數(shù)是偶函C函數(shù)是非奇非偶函數(shù)D函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)2若函數(shù)在 上是單調(diào)函數(shù)，則 的取值范圍是 ( )ACBD3函數(shù)的值域為 ( )ABCD4已知函數(shù)在區(qū)間 上是減函數(shù)，圍是 ( )ABCD則實數(shù) 的取值范5下列四個命題： (1)函數(shù)在 時是增函數(shù)， 也是增函數(shù)， 所以 是增函數(shù)； (2)若函數(shù) 與 軸沒有交 點，則 且 ；(3) 的遞增區(qū)間為； (4)和 表示相等函數(shù) .其中正確命題的個數(shù)是 ( ) TOC o 1-5 h z ABCD 6定義在 R 上的偶函數(shù)，滿

16、足 ，且在區(qū)間 上為遞增，則( )A B CD 、填空題1函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 .2已知定義在 上的奇函數(shù) ，當 時， ，那么 時，3若函數(shù)3若函數(shù)在 上是奇函數(shù)，則 的解析式為4奇函數(shù)在區(qū)間 上是增函數(shù)，在區(qū)間 上的最大值為 8，最小值為 -1，則 .5若函數(shù)在 上是減函數(shù)，則 的取值范圍為 三、解答題1判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)(2)(1)(2)2已知函數(shù)的定義域為 ，且對任意 ，都有 ，且當 時，恒成立，證明：(1)函數(shù)是 上的減函數(shù)； (2)函數(shù)是奇函數(shù) .3設(shè)函數(shù)與 的定義域是 且 ， 是偶函數(shù)， 是奇函，求 和 的解析式 .，求 和 的解析式 .4設(shè) 為實數(shù)，函數(shù) ，(1) 討論的

17、奇偶性； (2) 求 的最小值 .綜合探究1已知函數(shù)， ，則的奇偶性依次為( )A偶函數(shù)，奇函數(shù)C偶函數(shù)，偶函數(shù)A偶函數(shù)，奇函數(shù)C偶函數(shù)，偶函數(shù)B奇函數(shù)，偶函數(shù)D 奇函數(shù)，奇函數(shù)大小關(guān)系是 ( )BABC3 已知 ，那么4若在區(qū)間 上是增函數(shù)，則的取值范圍是DC3 已知 ，那么4若在區(qū)間 上是增函數(shù)，則的取值范圍是5已知函數(shù)的定義域是 ，且滿足 ， ，如果對于 ，都有， (1)求； (2)解不等式.6當時，求函數(shù) 的最小值 .7已知在區(qū)間 內(nèi)有一最大值 ，求 的值 .8已知函數(shù)的最大值不大于 ，又當 ，求的值.答案與解析基礎(chǔ)達標、選擇題C.B.B. 奇次項系數(shù)為D.A. 奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，左

18、右兩邊有相同的單調(diào)性A.A. 在 上遞減， 在 上遞減， 在 上遞減D.二、填空題. 奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，補足左邊的圖象. 是 的增函數(shù)，當 時，. 該函數(shù)為增函數(shù)，自變量最小時，函數(shù)值最??；自變量最大時，函數(shù) 值最大.三、解答題1解：當， 在 是增函數(shù)，當 ， 在 是減函數(shù)；當，在是減函數(shù)，是增函數(shù)，當，在是增函數(shù)；是增函數(shù)，當 ， 在 是減函數(shù)，在是增函數(shù)，在 是減函數(shù) .是增函數(shù)，在 是減函數(shù) .2解：，則3解：，顯然 是 的增函數(shù)，3解：，顯然 是 的增函數(shù)，4 解 ： 對 稱 軸(2) 對稱軸當 或 時， 在 上單調(diào) 或 .能力提升一、選擇題1.C. 選項 A 中的 而 有意義，非關(guān)于原點對稱，選項 B 中的而 有意義，非關(guān)于原點對稱，選項 D 中的函數(shù)僅為偶函數(shù)；2.C.對稱軸 ，則 ，或 ，得 ，或2