高中數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(附例題)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)高中數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（附例題）知識(shí)點(diǎn)1：等差數(shù)列及其前n項(xiàng)1等差數(shù)列的定義2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，那么它的通項(xiàng)公式ana1(n1)3等差中項(xiàng)如果 Aeq f(ab,2) ，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)4等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：anam（n-m）d，(n，mN*)(2)若an為等差數(shù)列，且klmn，(k，l，m，nN*)，則akalam(3)若an是等差數(shù)列，公差為d，則a(4)若an，(5)若an是等差數(shù)列，公差為d，則a

2、k，akm，ak2m，(k，mN5等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式設(shè)等差數(shù)列an的公差d，其前n項(xiàng)和Sneq f(na1an,2)或Snna1eq f(nn1,2)d.6等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系Sneq f(d,2)n2eq blc(rc)(avs4alco1(a1f(d,2)n.數(shù)列an是等差數(shù)列SnAn2Bn，(A、B為常數(shù))7等差數(shù)列的最值在等差數(shù)列an中，a10，d0，則Sn存在最 大 值；若a10，則Sn難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1等差數(shù)列的判定(1)定義法：anan1d (n2)；(2)等差中項(xiàng)法：2an1anan2.2等差數(shù)列與等差數(shù)列各項(xiàng)和的有關(guān)性質(zhì)(1)am，amk，am2k，am3k

3、，仍是等差數(shù)列，公差為kd.(2)數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m(3)S2n1(2n1)an.(4)若n為偶數(shù)，則S偶S奇eq f(n,2)d.若n為奇數(shù)，則S奇S偶a中(中間項(xiàng))例1（等差數(shù)列的判定或證明）：已知數(shù)列an中，a1eq f(3,5)，an2eq f(1,an1) (n2，nN*)，數(shù)列bn滿足bneq f(1,an1) (nN*)(1)求證：數(shù)列b(2)求數(shù)列a (1)證明an2eq f(1,an1) (n2，nN*)，bneq f(1,an1).n2時(shí)，bnbn1eq f(1,an1)eq f(1,an11)eq f(1,blc(rc)(avs4alco1(2f(1,an

4、1)1)eq f(1,an11)eq f(an1,an11)eq f(1,an11)1.數(shù)列bn是以eq f(5,2)為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列(2)解由(1)知，bnneq f(7,2)，則an1eq f(1,bn)1eq f(2,2n7)，設(shè)函數(shù)f(x)1eq f(2,2x7)，易知f(x)在區(qū)間eq blc(rc)(avs4alco1(，f(7,2)和eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,2)，)內(nèi)為減函數(shù)當(dāng)n3時(shí)，an取得最小值1；當(dāng)n4時(shí)，an取得最大值3.例2（等差數(shù)列的基本量的計(jì)算）設(shè)a1，d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足S5S(1)

5、若S55，求S6及a1(2)求d的取值范圍解(1)由題意知S6eq f(15,S5)3，a6S6S58.所以eq blcrc (avs4alco1(5a110d5，,a15d8.)解得a17，所以S63，a17.(2)方法一S5S6150，(5a110d)(6a115即2aeq oal(2,1)9da110d210.因?yàn)殛P(guān)于a1的一元二次方程有解，所以81d28(10d21)d280，解得d2eq r(2)或d2eq r(2).方法二S5S6150，(5a110d)(6a1159da110d210.故(4a19d)2d28.所以d2故d的取值范圍為d2eq r(2)或d2eq r(2).例3（

6、前n項(xiàng)和及綜合應(yīng)用）(1)在等差數(shù)列an中，已知a120，前n項(xiàng)和為Sn，且S10S15，求當(dāng)n取何值時(shí)，(2)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an4n25，求數(shù)列|解方法一a120，S10S15，1020eq f(109,2)d1520eq f(1514,2)d，deq f(5,3).an20(n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,3)eq f(5,3)neq f(65,3).a130，即當(dāng)n12時(shí)，an0，n14時(shí)，an0，當(dāng)n12或13時(shí)，Sn取得最大值，且最大值為S13S121220eq f(1211,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,3)130.方法二同

7、方法一求得deq f(5,3).Sn20neq f(nn1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,3)eq f(5,6)n2eq f(125,6)neq f(5,6)eq blc(rc)(avs4alco1(nf(25,2)2eq f(3 125,24).nN*，當(dāng)n12或13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12S13130.(2)an4n25，an14(n1)25，an1an4d，又a1412521.所以數(shù)列a令eq blcrc (avs4alco1(an4n250，,an14n1250， )由得n10q1q=1q0遞增遞減常數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列a0)，它的前n項(xiàng)和為40，前2n項(xiàng)和為

8、3 280，且前n(1)設(shè)數(shù)列an由通項(xiàng)公式ana1qn1及已知條件得：eq blcrc (avs4alco1(a6a4a1q3q2124，,a3a5a1q3264. )由得a1q38.將a1q38代入式，得q22，無解將a1q38代入式，得q24，q2.，故舍去當(dāng)q2時(shí)，a11，S8eq f(a11q8,1q)255；當(dāng)q2時(shí)，a11，S8eq f(a11q8,1q)85.(2)若q1，則na140,2na13 280，矛盾q1，eq blcrc (avs4alco1(f(a11qn,1q)40，,f(a11q2n,1q)3 280， )eq f(,)得：1qn82，qn81， 將代入得q1

9、2a1.又q0，q1，a10，aana1qn127，由、得q3，a11，n4.a2na81372 187.例2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列bn中，b1aanan1 (n2)，且anSnn.(1)設(shè)cnan1，求證：cn(2)求數(shù)列bn1)證明anSnn，an1Sn1n1.得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，eq f(an11,an1)eq f(1,2)，an1是等比數(shù)列首項(xiàng)c1a11，又a1a11，a1eq f(1,2)，c1eq f(1,2)，公比qeq f(1,2).又cnan1，cn是以eq f(1,2)為首項(xiàng)，eq f(1,2)為公比的等比數(shù)列(2)解由(

10、1)可知cneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n，ancn11eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n. 當(dāng)n2時(shí)，bnanan11eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)neq blcrc(avs4alco1(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)neq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n

11、.又b1a1eq f(1,2)代入上式也符合，bneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n.例3在等比數(shù)列an中，(1)若已知a24，a5eq f(1,2)，求an；(2)若已知a3a4a58，求a2解(1)設(shè)公比為q，則eq f(a5,a2)q3，即q3eq f(1,8)，qeq f(1,2)，ana5qn5eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n4.(2)a3a4a58，又a3a5aeq oal(2,4)，aeq oal(3,4)8，a42.a2a3a4a5a6aeq oal(5,4例4已知數(shù)列an滿足a11，a22，an2eq f(anan1,2)，nN*

12、.(1)令bnan1an，證明：b(2)求a規(guī)范解答(1)證明b1a2a11，1分當(dāng)n2時(shí)，bnan1aneq f(an1an,2)aneq f(1,2)(anan1)eq f(1,2)bn1，5分bn是首項(xiàng)為1，公比為eq f(1,2)的等比數(shù)列6分(2)解由(1)知bnan1aneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n1，8分當(dāng)n2時(shí)，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1) 10分11eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n21eq f(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n1,1b

13、lc(rc)(avs4alco1(f(1,2)1eq f(2,3)eq blcrc(avs4alco1(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n1)eq f(5,3)eq f(2,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n1當(dāng)n1時(shí)，eq f(5,3)eq f(2,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)111a1，aneq f(5,3)eq f(2,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n1 (nN*)14分例4 （07 重慶11）設(shè)的等比中項(xiàng)，則a+3b的最大值為 2 .（三角函數(shù)）例5 若數(shù)列1, 2cos, 22cos

14、2,23cos3, ,前100項(xiàng)之和為0, 則的值為 （ ）例6 ABC的三內(nèi)角成等差數(shù)列, 三邊成等比數(shù)列,則三角形的形狀為_等邊三角形_.【綜合應(yīng)用】例7.已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a11，公差d(1)求數(shù)列an(2)設(shè)數(shù)列cn對(duì)nN*均有eq f(c1,b1)eq f(c2,b2)eq f(cn,bn)an1成立，求c1c2c3c2 013.解(1)由已知有a21d，a514d，a14113d，(14d)2(1d)(113d)解得d2 (d0). an1(n1)22n1.又b2a23，b3a59，數(shù)列bbn33n23n1.2)由eq f(c1,b1)eq f(c2,b2)eq f(cn,bn)an1得當(dāng)n2時(shí)，eq f(c1,b1)eq f(c2,b2)eq f(cn1,bn1)an.兩式相減得：n2時(shí)，eq f(cn,bn)an1an2. cn2bn23n1 (n2)又當(dāng)n1時(shí)，eq f(c1,b1)a2，eq blcrc