湖南省炎德英才大聯(lián)考2022年數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意：1請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的注意事項(xiàng)，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知雙曲線C：的離心率e=2,圓A的圓心是拋物線的焦點(diǎn)，且截雙曲線C的漸近線所得的弦長(zhǎng)為2，則圓A的方程為ABCD2若曲線yx32x2+2在點(diǎn)A處的切線方程為y4x6，且點(diǎn)A在直線mx+ny20（其中m0，n0）上，則（）Am+7n10Bm

2、+n10Cm+13n30Dm+n10或m+13n303甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽，已知甲勝乙的概率為0.5，乙勝甲的概率為0.3，甲乙兩人平局的概率為0.1若甲乙兩人比賽兩局，且兩局比賽的結(jié)果互不影響，則乙至少贏甲一局的概率為（ ）A0. 36B0. 49C0. 51D0. 754甲、乙、丙、丁四名同學(xué)組成一個(gè)4100米接力隊(duì)，老師要安排他們四人的出場(chǎng)順序，以下是他們四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；?。喝绻也慌艿诙簦揖筒慌艿谝话?老師聽(tīng)了他們四人的對(duì)話，安排了一種合理的出場(chǎng)順序，滿足了他們的所有要求，據(jù)此我們可以斷定在老師安排的出場(chǎng)

3、順序中跑第三棒的人是( )A甲B乙C丙D丁5若，則（）ABCD6與曲線相切于處的切線方程是（其中是自然對(duì)數(shù)的底）（ ）ABCD7已知展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為，其中，則此二項(xiàng)式展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和是（ ）AB或CD或8求二項(xiàng)式展開(kāi)式中第三項(xiàng)的系數(shù)是（ ）A-672B-280C84D429若是兩個(gè)非零向量，且，則與的夾角為（ ）A30B45C60D9010已知=（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)（ ）ABCD11函數(shù)(e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))一定存在零點(diǎn)的區(qū)間是（ ）A(-1，0)B(0，1)C(1，2)D(2，e)12復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限二、填空題：本題共4

4、小題，每小題5分，共20分。13執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值為_(kāi).14已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和 ，若，則_15已知球O的半徑為R，A,B,C三點(diǎn)在球O的球面上，球心O到平面ABC的距離為12R，AB=AC=BC=3，則球O的表面積為16已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且到直線，的距離相等，則 _三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）某球員是當(dāng)今國(guó)內(nèi)最好的球員之一，在賽季常規(guī)賽中，場(chǎng)均得分達(dá)分。分球和分球命中率分別為和，罰球命中率為.一場(chǎng)比賽分為一、二、三、四節(jié)，在某場(chǎng)比賽中該球員每節(jié)出手投分的次數(shù)分別是，每節(jié)出手投三分的次數(shù)分別

5、是，罰球次數(shù)分別是，（罰球一次命中記分）。（1）估計(jì)該球員在這場(chǎng)比賽中的得分（精確到整數(shù)）；（2）求該球員這場(chǎng)比賽四節(jié)都能投中三分球的概率；（3）設(shè)該球員這場(chǎng)比賽中最后一節(jié)的得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望。18（12分）2018年6月14日，第二十一屆世界杯足球賽將在俄羅斯拉開(kāi)帷幕.為了了解喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，某體育臺(tái)隨機(jī)抽取100名觀眾進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下列聯(lián)表.（1）將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)？（2）在不喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)的觀眾中，按性別分別用分層抽樣的方式抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人參加一臺(tái)訪談節(jié)目，求這2人至少有一位

6、男性的概率.19（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，將曲線上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，得到曲線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的參數(shù)方程；(2)過(guò)原點(diǎn)且關(guān)于軸對(duì)稱的兩條直線與分別交曲線于和，且點(diǎn)在第一象限，當(dāng)四邊形周長(zhǎng)最大時(shí)，求直線的普通方程.20（12分）保險(xiǎn)公司統(tǒng)計(jì)的資料表明:居民住宅距最近消防站的距離 (單位:千米)和火災(zāi)所造成的損失數(shù)額 (單位:千元)有如下的統(tǒng)計(jì)資料:距消防站的距離 (千米)火災(zāi)損失數(shù)額 (千元)（1）請(qǐng)用相關(guān)系數(shù) (精確到)說(shuō)明與之間具有線性相關(guān)關(guān)系;（2）求關(guān)于的線性回歸方程(精確到);（3）若發(fā)生火

7、災(zāi)的某居民區(qū)距最近的消防站千米,請(qǐng)?jiān)u估一下火災(zāi)損失(精確到).參考數(shù)據(jù): 參考公式: 回歸直線方程為,其中21（12分）已知函數(shù)f（x）xlnxx2ax+1（1）設(shè)g（x）f（x），求g（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，求證：x1+x2222（10分）已知函數(shù).（1）求的最大值；（2）若恒成立，求的值；（3）在（2）的條件下,設(shè)在上的最小值為求證：.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】運(yùn)用離心率公式和基本量的關(guān)系可得的關(guān)系，即可得到雙曲線的漸近線的方程，求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得點(diǎn)的

8、坐標(biāo)，求得到漸近線的距離，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，可得半徑為，進(jìn)而得到所求圓的方程.【詳解】由題意，即，可得雙曲線的漸近線方程為，即為，圓的圓心是拋物線的焦點(diǎn)，可得，圓截雙曲線C的漸近線所得的弦長(zhǎng)為2，由圓心到直線的距離為，可得，解得，可圓的方程為，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的方程和幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中涉及到雙曲線的離心率的求法，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，以及運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和圓的弦長(zhǎng)公式等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力.2、B【解析】設(shè)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率為，然后根據(jù)切線方程盡量關(guān)于的方程組，再結(jié)合條件，即可求得的關(guān)系，得到答案【詳解】設(shè)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率為，又由切線

9、方程為，所以，解得，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用切線方程列出相應(yīng)的方程組求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題3、C【解析】乙至少贏甲一局的對(duì)立事件為甲兩局不輸，由此能求出乙至少贏甲一局的概率【詳解】乙至少贏甲局的概率為.故選C【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題4、C【解析】跑第三棒的只能是乙、丙中的一個(gè)，當(dāng)丙跑第三棒時(shí)，乙只能跑第二棒，這時(shí)丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合題意；當(dāng)乙跑第三棒時(shí)，丙只能跑第二棒，這里四和丁都不跑第一棒，不合題意【詳

10、解】由題意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒，跑第三棒的只能是乙、丙中的一個(gè)，當(dāng)丙跑第三棒時(shí)，乙只能跑第二棒，這時(shí)丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合題意；當(dāng)乙跑第三棒時(shí)，丙只能跑第二棒，這里四和丁都不跑第一棒，不合題意故跑第三棒的是丙故選：C【點(diǎn)睛】本題考查推理論證，考查簡(jiǎn)單的合情推理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、分析判斷能力，是基礎(chǔ)題5、A【解析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和余弦的倍角公式，化簡(jiǎn)得，即可求解【詳解】由題意，可得，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，其中解答中合理配湊，以及準(zhǔn)確利用誘導(dǎo)公式和余弦的倍角公式化簡(jiǎn)、運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題6、B【解析】求出導(dǎo)函數(shù)

11、，把代入導(dǎo)函數(shù)，可求出切線的斜率，根據(jù)的坐標(biāo)和直線的點(diǎn)斜式方程可得切線方程【詳解】由可得，切線斜率，故切線方程是，即故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程，屬于簡(jiǎn)單題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn)出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時(shí)，在 處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點(diǎn)斜式求得切線方程.7、B【解析】利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)通項(xiàng)，由項(xiàng)的系數(shù)為求出實(shí)數(shù)，然后代入可得出該二項(xiàng)式展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和.【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，得，該二項(xiàng)式展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為，得.當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式為，其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和為；當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式為，其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考

12、查二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的應(yīng)用，同時(shí)也考查了二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)和的概念，解題的關(guān)鍵就是利用二項(xiàng)式定理求出參數(shù)的值，并利用賦值法求出二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)之和，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.8、C【解析】直接利用二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為：，取，則第三項(xiàng)的系數(shù)為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.9、A【解析】畫(huà)出圖像：根據(jù)計(jì)算夾角為，再通過(guò)夾角公式計(jì)算與的夾角.【詳解】形成一個(gè)等邊三角形，如圖形成一個(gè)菱形.與的夾角為故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查了向量的加減和夾角，通過(guò)圖形可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.10、D【解析】試題分析：由，得，故選D.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算.11、

13、B【解析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，即可判斷出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，由零點(diǎn)存在定理可得：區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn).故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間，熟記零點(diǎn)的存在定理即可，屬于基礎(chǔ)題型.12、B【解析】因，故復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，應(yīng)選答案B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】列舉出算法的每一步，于此可得出該算法輸出的結(jié)果【詳解】成立，；不成立，輸出的值為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查算法與程序框圖，要求讀懂程序框圖，解題時(shí)一般是列舉每次循環(huán)，并寫(xiě)出相應(yīng)的結(jié)果，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題14、8【解析】利用求解.【詳解】，則.故答案為：8【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)

14、列的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.15、16【解析】試題分析：設(shè)平面ABC截球所得球的小圓半徑為,則2r=3sin60=23,r=3,由考點(diǎn)：球的表面積【名師點(diǎn)睛】球的截面的性質(zhì)：用一個(gè)平面去截球，截面是一個(gè)圓面，如果截面過(guò)球心，則截面圓半徑等于球半徑，如果截面圓不過(guò)球心，則截面圓半徑小于球半徑，設(shè)截面圓半徑為，球半徑為R，球心到截面圓距離為R，則d=R216、1【解析】畫(huà)出圖形，根據(jù)到直線，的距離相等得到為的平分線，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，再根據(jù)雙曲線的定義可求得【詳解】由題意得，點(diǎn)A在雙曲線的右支上，又點(diǎn)的坐標(biāo)為，畫(huà)出圖形如圖所示，垂足分別為，由題意得，為的平分

15、線，即又，故答案為1【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義和三角形角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是認(rèn)真分析題意，從平面幾何圖形的性質(zhì)得到線段的比例關(guān)系，考查分析和解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）分；（2）；（3）見(jiàn)解析.【解析】（1）分別估算分得分、分得分和罰球得分，加和得到結(jié)果；（2）分別計(jì)算各節(jié)能投中分球的概率，相乘得到所求概率；（3）確定所有可能取值為，分別計(jì)算每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，從而得到分布列；利用數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式求得期望.【詳解】（1）估計(jì)該球員分得分為：分；分得分為：分；罰球得分為：分估計(jì)該球員在這場(chǎng)比賽中的得分為：分（2）第一

16、節(jié)和第三節(jié)能投中分球的概率為：第二節(jié)和第四節(jié)能投中分球的概率為：四節(jié)都能投中分球的概率為：（3）由題意可知，所有可能的取值為：則；的分布列為：數(shù)學(xué)期望【點(diǎn)睛】本題考查概率分布的綜合應(yīng)用問(wèn)題，涉及到積事件概率的求解、二項(xiàng)分布概率的應(yīng)用、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求解，考查學(xué)生的運(yùn)算和求解能力，屬于?？碱}型.18、 (1)答案見(jiàn)解析；(2).【解析】分析：讀懂題意，補(bǔ)充列聯(lián)表，代入公式求出的值，對(duì)照表格，得出結(jié)論；（2）根據(jù)古典概型的特點(diǎn)，采用列舉法求出概率。詳解：（1）補(bǔ)充列聯(lián)表如下：由列聯(lián)表知故可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān).（2）由分層抽樣知，從

17、不喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)的觀眾中抽取6人，其中男性有人，女性有人.記男性觀眾分別為，女性觀眾分別為，隨機(jī)抽取2人，基本事件有共15種記至少有一位男性觀眾為事件，則事件包含共9個(gè)基本事件由古典概型，知點(diǎn)睛：本題主要考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用以及古典概型，屬于中檔題。解決獨(dú)立性檢驗(yàn)的三個(gè)步驟：（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成列聯(lián)表；（2）計(jì)算的值；（3）查值比較的值與臨界值的大小關(guān)系，作出判斷。19、（1）(為參數(shù))；（2）【解析】試題分析：（）首先求得的普通方程，由此可求得的參數(shù)方程；（）設(shè)四邊形的周長(zhǎng)為，點(diǎn)，然后得到與的關(guān)系式，從而利用輔助角公式求得點(diǎn)的直角坐標(biāo)點(diǎn)，從而求得的普通方程試題解析：（），（為參數(shù)）（）設(shè)四

18、邊形的周長(zhǎng)為，設(shè)點(diǎn)， ，且，所以，當(dāng)（）時(shí)，取最大值，此時(shí)，所以，此時(shí)，的普通方程為點(diǎn)睛：將曲線的參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消去其中的參數(shù)，此時(shí)要注意其中的(它們都是參數(shù)的函數(shù))的取值范圍，即在消去參數(shù)的過(guò)程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價(jià)性20、（1）見(jiàn)解析（2）（3）火災(zāi)損失大約為千元【解析】分析：利用相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式，即可求得結(jié)果由題中數(shù)據(jù)計(jì)算出，然后計(jì)算出回歸方程的系數(shù)，即可得回歸方程把代入即可評(píng)估一下火災(zāi)的損失詳解：（1）所以與之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系；（2） ，與的線性回歸方程為（3）當(dāng)時(shí)，所以火災(zāi)損失大約為千元點(diǎn)睛：本題是一道考查線性回歸方程的題目，掌握求解線性回歸方程的

19、方法及其計(jì)算公式是解答本題的關(guān)鍵21、（1）g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+）；（2）見(jiàn)解析【解析】（1）先得到解析式，然后對(duì)求導(dǎo)，分別解和，得到其單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間；（2）由題可知x1，x2是g（x）的兩零點(diǎn)，要證x1+x22，只需證x22x11，只需證g（2x1）g（x2）0，設(shè)h（x）ln（2x）lnx+2x2，利用導(dǎo)數(shù)證明在（0，1）上單調(diào)遞減，從而證明，即g（2x1）g（x2），從而證明x1+x22.【詳解】（1）f（x）xlnxx2ax+1，g（x）f（x）lnxx+1a（x0），g（x）令g（x）0，則x1，當(dāng)x1時(shí)，g（x）0；當(dāng)0 x1時(shí)，g（x）0，g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間