廣東省揭陽市第三中學(xué)2022年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD2已知直線、經(jīng)過圓的圓心，則的最小值是A9B8C4D23的展開式中只有第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是（ ）ABCD4如圖，從地面上C，D兩點(diǎn)望山頂A，

2、測得它們的仰角分別為45和30，已知米，點(diǎn)C位于BD上，則山高AB等于()A100米B米C米D米5某科研機(jī)構(gòu)為了研究中年人禿頭是否與患有心臟病有關(guān)，隨機(jī)調(diào)查了一些中年人的情況，具體數(shù)據(jù)如下表所示：有心臟病無心臟病禿發(fā)20300不禿發(fā)5450根據(jù)表中數(shù)據(jù)得，由斷定禿發(fā)與患有心臟病有關(guān)，那么這種判斷出錯的可能性為（ ）附表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828A0.1B0.05C0.01D0.0016復(fù)數(shù)z滿足zi=1+2i(iA第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限7已知單位向量的夾角為，若，則為（ ）A等腰三角形

3、B等邊三角形C直角三角形D等腰直角三角形8從名學(xué)生志愿者中選擇名學(xué)生參加活動，若采用下面的方法選?。合扔煤唵坞S機(jī)抽樣從人中剔除人，剩下的人再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取人，則在人中，每人入選的概率（ ）A不全相等B均不相等C都相等，且為D都相等，且為9某工廠生產(chǎn)的零件外直徑（單位：）服從正態(tài)分布，今從該廠上、下午生產(chǎn)的零件中各隨機(jī)取出一個，測得其外直徑分別為和，則可認(rèn)為（ ）A上午生產(chǎn)情況異常，下午生產(chǎn)情況正常B上午生產(chǎn)情況正常，下午生產(chǎn)情況異常C上、下午生產(chǎn)情況均正常D上、下午生產(chǎn)情況均異常10定義“規(guī)范01數(shù)列”an如下：an共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0，m項(xiàng)為1，且對任意，中0的個數(shù)不少于1的個數(shù).

4、若m=4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有A18個B16個C14個D12個11在方程（為參數(shù)）所表示的曲線上的點(diǎn)是 （ ）A(2,7)BC(1,0)D12函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示則函數(shù)在內(nèi)有幾個極小值點(diǎn)（ ）A1B2C3D4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)_.14設(shè),則_.15正四棱柱的底面邊長為2，若與底面ABCD所成角為60，則和底面ABCD的距離是_16已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，滿足，若時，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為_三、解答題：共70分。解

5、答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知集合，集合是集合S的一個含有8個元素的子集.（1）當(dāng)時，設(shè)，寫出方程的解（）；若方程至少有三組不同的解，寫出k的所有可能取值；（2）證明：對任意一個X，存在正整數(shù)k，使得方程至少有三組不同的解.18（12分）在如圖所示的幾何體中，平面平面，四邊形和四邊形都是正方形，且邊長為，是的中點(diǎn).（1）求證：直線平面；（2）求二面角的大小.19（12分）食品安全問題越來越引起人們的重視，農(nóng)藥、化肥的濫用對人民群眾的健康帶來一定的危害，為了給消費(fèi)者帶來放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社每年投入200萬元，搭建了甲、乙兩個無公害蔬菜大棚，每個大棚至少要投入20萬元

6、，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收益P、種黃瓜的年收益Q與投入a(單位：萬元)滿足P80120.設(shè)甲大棚的投入為x(單位：萬元)，每年兩個大棚的總收益為f(x)(單位：萬元)(1)求f(50)的值；(2)試問如何安排甲、乙兩個大棚的投入，才能使總收益f(x)最大？20（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）將的方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）為上一動點(diǎn)，求到直線的距離的最大值和最小值.21（12分） (A)在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正

7、半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，是曲線上的動點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求的坐標(biāo)方程；(2)若射線與曲線異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為，與曲線異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為，求.(B)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時，求不等式的解集；(2)對任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22（10分）某學(xué)校為了豐富學(xué)生的課余生活，以班級為單位組織學(xué)生開展古詩詞背誦比賽，隨機(jī)抽取一首，背誦正確加10分，背誦錯誤減10分，且背誦結(jié)果只有“正確”和“錯誤”兩種其中某班級學(xué)生背誦正確的概率，記該班級完成首背誦后的總得分為.(1)求且的概率；(2)記，求的分布列及數(shù)學(xué)期望參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，

8、共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】分析：先求導(dǎo)得到，轉(zhuǎn)化為方程在（0,2）內(nèi)有兩個相異的實(shí)數(shù)根，再利用根的分布來解答得解.詳解：由題得，原命題等價于方程在（0,2）內(nèi)有兩個相異的實(shí)數(shù)根，所以.故答案為：A.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)的極值問題，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平和分析推理能力數(shù)形結(jié)合的思想方法.(2)解答本題有兩個關(guān)鍵，其一是轉(zhuǎn)化為方程在（0,2）內(nèi)有兩個相異的實(shí)數(shù)根，其二是能準(zhǔn)確找到方程在（0,2）內(nèi)有兩個相異的實(shí)數(shù)根的等價不等式組,它涉及到二次方程的根的分布問題.2、A【解析】由圓的一般方程得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

9、為，所以圓心坐標(biāo)為，由直線過圓心，將圓心坐標(biāo)代入得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以最小值為1【詳解】圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得，圓的圓心為，半徑直線經(jīng)過圓心C，即，因此，、，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立由此可得當(dāng)，即且時，的最小值為1故選A【點(diǎn)睛】若圓的一般方程為，則圓心坐標(biāo)為，半徑3、C【解析】根據(jù)只有第5項(xiàng)系數(shù)最大計(jì)算出，再計(jì)算展開式中含項(xiàng)的系數(shù)【詳解】只有第5項(xiàng)系數(shù)最大,展開式中含項(xiàng)的系數(shù),系數(shù)為故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.4、C【解析】設(shè)，中，分別表示，最后表示求解長度.【詳解】設(shè)，中，中，解得：米.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了解三角形中有關(guān)長度的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)

10、題型.5、D【解析】根據(jù)觀測值K2，對照臨界值得出結(jié)論【詳解】由題意，根據(jù)附表可得判斷禿發(fā)與患有心臟病有關(guān)出錯的可能性為.故選D【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，理解臨界值表格是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題6、D【解析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則，可求出z=1+2ii【詳解】由題意，z=1+2ii=1+2【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查了學(xué)生對復(fù)數(shù)知識的理解和掌握，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】，與夾角為，且，為直角三角形，故選C.8、D【解析】根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣與系統(tǒng)抽樣方法的定義，結(jié)合概率的意義，即可判斷出每個人入選的概率.【詳解】在系統(tǒng)抽樣中，若所給的總體個數(shù)不能被樣本容量整除時，則要先剔除幾個個體

11、，然后再分組，在剔除過程中，每個個體被剔除的概率相等，所以，每個個體被抽到包括兩個過程，一是不被剔除，二是選中，這兩個過程是相互獨(dú)立的，因此，每個人入選的概率為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查簡單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣方法的應(yīng)用，也考查了概率的意義，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】根據(jù)生產(chǎn)的零件外直徑符合正態(tài)分布，根據(jù)原則，寫出零件大多數(shù)直徑所在的范圍，把所得的范圍同兩個零件的外直徑進(jìn)行比較，得到結(jié)論.【詳解】因?yàn)榱慵庵睆?，所以根?jù)原則，在與之外時為異常，因?yàn)樯?、下午生產(chǎn)的零件中隨機(jī)取出一個，所以下午生產(chǎn)的產(chǎn)品異常，上午的正常，故選B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)正態(tài)分布的問題，涉及到的知識點(diǎn)有正態(tài)分布的原則

12、，屬于簡單題目.10、C【解析】試題分析：由題意，得必有，則具體的排法列表如下：,01010011;010101011,共14個【點(diǎn)睛】求解計(jì)數(shù)問題時，如果遇到情況較為復(fù)雜，即分類較多，標(biāo)準(zhǔn)也較多，同時所求計(jì)數(shù)的結(jié)果不太大時，往往利用表格法、樹狀圖將其所有可能一一列舉出來，常常會達(dá)到岀奇制勝的效果11、D【解析】分析：化參數(shù)方程（為參數(shù)）為普通方程，將四個點(diǎn)代入驗(yàn)證即可.詳解：方程（為參數(shù)）消去參數(shù)得到將四個點(diǎn)代入驗(yàn)證只有D滿足方程.故選D.點(diǎn)睛：本題考查參數(shù)分析與普通方程的互化，屬基礎(chǔ)題12、A【解析】直接利用極小值點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性是先減后增，對應(yīng)導(dǎo)函數(shù)值是先負(fù)后正，再結(jié)合圖像即可得出結(jié)論

13、.【詳解】因?yàn)闃O小值點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性是先減后增，對應(yīng)導(dǎo)函數(shù)值是先負(fù)后正，由圖得：導(dǎo)函數(shù)值先負(fù)后正的點(diǎn)只有一個，故函數(shù)在內(nèi)極小值點(diǎn)的個數(shù)是1.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了極小值點(diǎn)的概念，需熟記極小值點(diǎn)的定義，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】試題分析：利用互斥事件的概率及古典概型概率計(jì)算公式求出事件A的概率，同樣利用古典概型概率計(jì)算公式求出事件AB的概率，然后直接利用條件概率公式求解解：P（A）=，P（AB）=由條件概率公式得P（B|A）=故答案為點(diǎn)評：本題考查了條件概率與互斥事件的概率，考查了古典概型及其概率計(jì)算公式，解答的關(guān)鍵在于對條件概率的理解與公

14、式的運(yùn)用，屬中檔題14、【解析】因?yàn)?分別令和,即可求得答案.【詳解】令.原式化為.令,得,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式展開式系數(shù)和,解題關(guān)鍵是掌握求多項(xiàng)式系數(shù)和的解題方法,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.15、.【解析】分析：確定A1C1到底面ABCD的距離為正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高，即可求得結(jié)論詳解：正四棱柱ABCDA1B1C1D1，平面ABCD平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1，A1C1平面ABCDA1C1到底面ABCD的距離為正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面邊長為2，AC1與底面ABCD成60角，

15、A1A=2tan60=故答案為 點(diǎn)睛：本題考查線面距離，確定A1C1到底面ABCD的距離為正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高是解題的關(guān)鍵如果直線和已知的平面是平行的，可以將直線和平面的距離，轉(zhuǎn)化為直線上一點(diǎn)到平面的距離.16、2【解析】由題意得：的周期為2，且其圖象關(guān)于軸對稱，函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)即為函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)，然后作出圖象即可.【詳解】由題意得：的周期為2，且其圖象關(guān)于軸對稱函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)即為函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)的圖象如下由圖象觀察可知，共有兩個交點(diǎn)故答案為：2【點(diǎn)睛】一個復(fù)雜函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)問題常常是轉(zhuǎn)化為兩個常見函數(shù)的交點(diǎn)個數(shù)問題.三、解答題：共70

16、分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）4，6.（2）證明見詳解.【解析】（1）根據(jù)兩個元素之差為3，結(jié)合集合的元素，即可求得；根據(jù)題意要求，寫出集合X中從小到大8個數(shù)中所有的差值（限定為正數(shù)）的可能，計(jì)算每個差值出現(xiàn)的次數(shù)，即可求得；（2）采用反證法，假設(shè)不存在滿足條件的k，根據(jù)差數(shù)的范圍推出矛盾即可.【詳解】（1）方程的解有：.以下規(guī)定兩數(shù)的差均為正，則：列出集合X的從小到大8個數(shù)中相鄰兩數(shù)的差：1,3,2,4,2,3,1；中間隔一數(shù)的兩數(shù)差（即上一列差數(shù)中相鄰兩數(shù)和）：4,5,6,6,5,4；中間相隔二數(shù)的兩數(shù)差：6,9,8,9,6；中間相隔三數(shù)的兩數(shù)差：10,11,11

17、,10；中間相隔四數(shù)的兩數(shù)差：12,14,12；中間相隔五數(shù)的兩數(shù)差：15,15；中間相隔六數(shù)的兩數(shù)差：16.這28個差數(shù)中，只有4出現(xiàn)3次、6出現(xiàn)4次，其余都不超過2次，所以k的可能取值有4，6.（2）證明：不妨設(shè)，記，共13個差數(shù).假設(shè)不存在滿足條件的k，則這13個數(shù)中至多兩個1、兩個2、兩個3、兩個4、兩個5、兩個6，從而 又，這與矛盾.故假設(shè)不成立，結(jié)論成立.即對任意一個X，存在正整數(shù)k，使得方程至少有三組不同的解.【點(diǎn)睛】本題考查集合新定義問題，涉及反證法的使用，本題的關(guān)鍵是要理解題意，小心計(jì)算，大膽求證.18、（1）見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）連結(jié)交于，根據(jù)平行四邊形性

18、質(zhì)得是中點(diǎn)，再根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得，最后根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論,（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo),利用方程組解各面法向量,根據(jù)向量數(shù)量積求夾角,最后根據(jù)二面角與向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系求二面角.試題解析：（1）且，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)平面平面，幾何體是三棱柱又平面平面，平面，故幾何體是直三棱柱（1）四邊形和四邊形都是正方形，所以且，所以四邊形為矩形；于是，連結(jié)交于，連結(jié)，是中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，故是三角形D的中位線，注意到在平面外，在平面內(nèi)，直線平面（2）由于平面 平面，平面，所以.于是，兩兩垂直.以，所在直線分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，因正方形邊長為，且為中點(diǎn)，所以，于是，設(shè)平

19、面的法向量為則，解之得，同理可得平面的法向量，記二面角的大小為，依題意知，為銳角，即求二面角的大小為19、（1）；（2）甲大棚萬元，乙大棚萬元時，總收益最大, 且最大收益為萬元.【解析】試題分析：（1）當(dāng)甲大棚投入萬元，則乙大棚投入萬元，此時直接計(jì)算即可；（2）列出總收益的函數(shù)式得，令，換元將函數(shù)轉(zhuǎn)換為關(guān)于的二次函數(shù)，由二次函數(shù)知識可求其最大值及相應(yīng)的值.試題解析： （1）甲大棚投入50萬元，則乙大棚投入150萬元，（2），依題得，即，故.令，則，當(dāng)時，即時，甲大棚投入128萬元，乙大棚投入72萬元時，總收益最大，且最大收益為282萬元.考點(diǎn)：1.函數(shù)建模；2.二次函數(shù).20、（1）（2）最大值是和最小值是.【解析】分析：（1）利用極坐標(biāo)公式化成直角坐標(biāo)方程.(2)先求出直線的直角坐標(biāo)方程為，再利用圓心到直線的距離求到直線的距離的最大值是和最小值是.詳解：（1）因?yàn)榍€的方程為，則，所以的直角坐標(biāo)方程為，即.（2）因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以直線的直角坐標(biāo)方程為，因?yàn)閳A心到直線的距離，則直線與圓相離，所以所求到直線的距離的最大值是和最小值是.點(diǎn)睛：(1)本題主要考查極坐標(biāo)、參數(shù)方程和直角坐標(biāo)的互化，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.