三角函數(shù)與解三角形中的范圍問題

1、歐陽(yáng)數(shù)創(chuàng)編在銳 中a，b，c 分 1為角 A、B、C 的對(duì)， B=2A， 求的 b 取值圍a2時(shí)間：2021.03.02創(chuàng)作：歐陽(yáng)數(shù)3在ABC 中， b , 分別為角 C 的對(duì)邊，設(shè)f ( x) 2x2 22 c2f ，且 C=，求角C.（2）若f (2) ，求角 的取值范圍.3 在銳 角 ABC ， a, c 是角, B C所對(duì)的 邊，且3a c A,（1）確定 大小；（2）若c 7 面積的最大值.已知ABC 中，角 ，C，對(duì)的邊分別是 ，b 且 2(a2+b2c2)=3ab(1)求 cosC；(2)若 c=2，求ABC 面積的最大值歐陽(yáng)數(shù)創(chuàng)編， ， 在 ，角 A 、 C 所的邊分別為.c

2、2 b c ，且（）若 A 33(1tan B )，求角 B ；（）設(shè)m A (3,cos 2 ) ，試 大值.6 的三個(gè)內(nèi)角A，C依次成等差數(shù)列（1）若 B sin ，試判 ABC 的形狀；（ 2 ） 為 鈍 角 三 角 形 ， 且 ， 試 求 代 數(shù) 式sin sin cos 2 2 的取值范圍 7 在ABC 中，內(nèi)角 A 所對(duì)邊長(zhǎng)分別為 AC （1） b 最大值 取值范圍；a , c，（2）求函數(shù)f sin2( 2 的最值.8 ABC ， A 3 B 5.（1）求 C 大小；（2） ABC 大邊的邊長(zhǎng)為，求最小邊的邊長(zhǎng)9 在 ABC ，角B 7 A B C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a , b ,

3、，且滿足歐陽(yáng)數(shù)創(chuàng)編（1）求角 的度數(shù)；（2）求 b 的取值范圍在ABC 中，sinB+sinC=sin(A-C). （1）求 大小；（2）若 求ABC 的長(zhǎng) 最大值.11的 內(nèi) 角A B C所 對(duì) 的 邊 分 別 為a, , c且1a cos C c 2.（1）角A的大小；（2） ABC 周 l 取值范圍.12 已 知 向 量m (1,cos (sin 3) 數(shù)f ( x) m 且 f(x)圖像上一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為(，與之相鄰的一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為( .（1）求 的解析式。（2）ABC中，、b 是角 、B所對(duì)的邊，且滿足aac，求角B 大小以及 取值范圍。ABC 中知內(nèi)角 所對(duì)的邊分別為 、c且

4、a 2 （1）若a b cos ， c , 的面積；歐陽(yáng)數(shù)創(chuàng)編 B B （2）已知向量 (sin A,cos A) (cos B B ，求m 的取值范圍在ABC 中，a、b、c 分別是角 A 的對(duì)邊，且a b a ，（1）求角 大小； ABC 大邊的邊長(zhǎng)為，且 C 2sin A，求最小邊長(zhǎng).已知ABC 的內(nèi)角 ，C 所對(duì)的邊分別為 ，b 它的外接圓半徑為 6. ，C ABC 的積 足條件： 2 )2且4sin sin .3（1）求sin （2）求ABC 積 最大值.已知 A(sin B ) （）求角 A 的大??；（）若 ，求ABC 長(zhǎng)的取值范圍 在銳 中 ，三個(gè)內(nèi)角 的對(duì)邊分別為 、b、c且滿

5、足sin2 sin 2 （1） B 的值；歐陽(yáng)數(shù)創(chuàng)編（2）若 ，求 的最大值18 在ABC 中，角 A 、B 對(duì)邊分別是 c，且滿足 AB a （1）求角 大?。唬?2 3cosC 4 2 的最大值得最大值時(shí)角、C 的大小19 在ABC 中，角 A 、B 所對(duì)的邊分別是 a,b,c 且a 2 12ac.（1）求 2 2B的值；（2）若 求ABC 積的最大值20 已 在中 , A 所 對(duì) 的 邊 分 別 為a b c, 且 cos B C (1)求 的大小; 設(shè)向量值. , 當(dāng) 取最大值時(shí) tan 的歐陽(yáng)數(shù)創(chuàng)編 3 ， C= . 3 ， C= . c1 參考答案1） （）6 3【解析 （）， ，

6、 b2=4c2， ， sinB=2sinC又 . sin(C+ )=2sinC，3 sinCcos+cosCsin =2sinC，3 sinC- cosC=0， sin(C- )=0， 2 6又 - 6 6 6 （） （），則 a2+b2=2c2， cosC= = ， 又 ， ab cosC ，2又 0， 0C3.2）（）【解析】解由 （），得 a24c2=0， b= 1 分.又由正弦定理，得 2RsinBc=2RsinC,將代入上式，得 sinB=2sinC（ 分 B ， B= +C，將 其代上式，得 （ +C）（ 分 3 3 sin（ ） cos sinC 整理得， cos C（ 分歐陽(yáng)數(shù)

7、創(chuàng)編 tanC=（ 分 角 C 是三角形的內(nèi)角 C=6 分（） （）， 4a22a2+2b2即 a2+b22c2=0（ 分由余弦定理，得 cosC=22aa 2 2=2aba2 2 2ab2（ 分 cosC= cosCa2 2 4 4 ，（當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)等號(hào)（ 分 C 是角， 余函數(shù)在（， ）上遞減， .0C （ 分 33）a 2c c 3 sin C C 332又 C 是銳角（） C a2 2 2 a 2 1 2ab ab 2 2 2 ab 歐陽(yáng)數(shù)創(chuàng)編 S ab sin 47 4當(dāng)且僅當(dāng)a 7時(shí)，的面積有最大值7 34【解析】略 4【解析】5） （） 【解析】222 cos C a2

8、1 C 2ab 3，.2 分（） tan A B 33(1tan B ) ) A 64 分又 A 2 B 5 分（） m （)8 分 sin A (0,1 m 的最大值為 10 分 6）sin sin A ，b 2 . ， 4 歐陽(yáng)數(shù)創(chuàng)編 ， 4 , 依次成等差數(shù)列2 A , .由余弦定理 2 2 ac ，aac ac， a .為正三角形（）sin A 1 3 sin 2 2=1 cos 3 1 sin A 2 2 2 1 A cos A 2 3=3 1 A cos sin A 2 4 3 1 A 4 4 ) A , A 6 ， 1 1 sin A ， 4 2 6 4. 代式 sin A 3

9、3 sin cos 2 的取值范圍是 歐陽(yáng)數(shù)創(chuàng)編4 4 【解析】略7） 2 cos 即 322 分又 b ，所以bc ，即bc的最大值為 164 分即cos所以 ， 又 所 6 分（） 2 3 3 sin 2 2sin(2 分因 5 1 ，所以 ， sin(2 ) 6 6 2 6 分當(dāng) 1 即 時(shí) ) 6 3 min 2 分當(dāng) 即時(shí)，f 分【解析】略8） （）小邊 2【解析】解 ，1 C tan( B ) 1 1 4 又 ，C 6 歐陽(yáng)數(shù)創(chuàng)編 6 （）C ，AB邊最大，即AB 17又 A B， (0， 角 A 最， BC 邊最小邊由 sin A A ， A 且 ， 2 A ， 得sin 由AB

10、 , 得 sin sin C 所以，最小邊BC 29（）b a【解析】解 2 A，4 分1 4cos 解 6 分 0 A 分2 3（） sin sin sin 2sin ， 分 0, 5 ,1 b ) 2 6 a 分解） sinB+sinC=sin(A-C)變得 sinC(2cosA+1)=0,（ 分）而 sinC，則 cosA=12，又 （，是 A= 分） sin （） B=則 C= -（ 正定理得 分3 3 3 sin( 歐陽(yáng)數(shù)創(chuàng)編sin+sin( )+3=2sin(+ )+32 6 2sin+sin( )+3=2sin(+ )+32 6 2則ABC 的長(zhǎng) l=2 3 3+3 分當(dāng)且僅當(dāng)

11、= 時(shí)長(zhǎng) 取大 2 +3. 6【解析】略（ 分解）a cos C 1 1c 得 sin Acos sin 2 22又sin A sin A cos C A sin 41 sin C A sin C ， C 0 cos A 2 A 又312，6（）正弦定得：b a sin B sin , sin C 3 2 2l B sin B sin 3 8 3 1 sin cos B 6 10 3, B 3 5 , B 6 6 故的周長(zhǎng)l的取值范圍為.（另解長(zhǎng)l （及弦定理a2 2 2 b bc 8 b ) 2 bc b 2)2 10歐陽(yáng)數(shù)創(chuàng)編又 l 即 ABC 的周長(zhǎng) l 的值范圍為 .【解析】略略【解析

12、】將條件代入求參,分角之間的關(guān)系求.()f x sin 3 1 分 2( )2 分2 )3 分 f(x) 圖 上 一個(gè) 最高 的坐 標(biāo),2)， 與 之 鄰的 一個(gè) 最低 點(diǎn) 坐標(biāo) 為 ,. 7 2 ,所 T 于 4 分 12 12 2 T可知f (x) 2sin(2 x )5 分（）a 2 ， a 2 2 12ac ，7 分又 B ，B 8 分f (A) 2 ) ， ， A ，可知2 A 5 分 sin(2 ) 分歐陽(yáng)數(shù)創(chuàng)編 2 2.按定 y A 的解析式的一般步驟定參.13解 ： （1）在 中 ， a22c2ab即 2a22ab 22 ab cos 60o C 3又a cos B 即 , s

13、in A sin b cos b B A,即sin 2 A 2B 或 2而 3 eq oac(, )ABC 是等邊三角形。又c 6 分（2）( m n) 4(sin A cos A sin ) A ) 2 , B, ( m n) A ) B) 3 3=5 4sin(3 B ) 分0 , B sin( B ) m n) 2 3 3 3，故m 的取值范圍1 2 分【解析】略由a b a 整理得( a ) ，即 222，-2 cos a2 ac 1 2 ac 2 ，-5 分 ， 23。-7 分歐陽(yáng)數(shù)創(chuàng)編（） 23, 最邊為，-8 分 ， ，-10 分為最小邊，由余弦定理得 a 2 12)，解得 2

14、， a ，最小邊長(zhǎng)為 1 【解析】略） A ） 最大【解析 ）用余弦定理及三角形的面積公式列出關(guān)于 sin A 的方程進(jìn)一步求解； （）用正弦理找出邊 與 c 的系，再利用一元二次函數(shù)知識(shí)求出面積的最大 值。解） 2 bc 2(1 cos A).又S 1bc sin A 2 (1 cos A bc sin sin cos A 2聯(lián)立得： A cos A A 4(1 cos )3 分得：16(1 A) 2 cos 2 (17 cos 2 15)(cos A 0 A 從得 : sin A 7 分（） 1 4 bc A 2 179 分歐陽(yáng)數(shù)創(chuàng)編 B sin C 6 16 c R 2 R 3 分 4

15、bc b(16 ) (2b 2當(dāng) b=c=8 時(shí)最大 分【解析】略 2 cos 即 （） 的最大值為 6?！窘馕?】解 ： （1） 2 sin sin cos 2 歐陽(yáng)數(shù)創(chuàng)編 2B 2B 2 2B sin2B 即2 2B (2 B 1)(cos B 0.又為銳角三角形， 2 cos B 即 （）（）知 a 2 a 即 2 ) a ) 2 ( a ) 3 2ac 2 ( a 242 可知 a 的最大值為 6。） 2（）大值 ； B 6【解析本題主要是考察了余弦定理和三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì)的綜合 運(yùn)用。（）用向量數(shù)量積得到 2bc cos ，合余弦定理得到角 ADE ZHI(2)由于 2，B 3，0 3，將2 C 1 sin( ) 化為 3 2sin( ) 后 2 2 3 3借助于三角函數(shù)的性質(zhì)得到最值。解）由已知 bc ， 分由余弦定理 a1bc 得 A ， cos ， 4 分2 0 A ，2 . 5 分 （） A 2 ， ， C 歐陽(yáng)數(shù)創(chuàng)編ac ( 3 ac ( 3 2 C 1 sin( ) C ) 8 分 2 2 3 C ， ，3 3 當(dāng)C 32， 3cosC 4 取大值 ，解得 B 10 分 2 6 (1) 【解析】 由弦定理： B 2 分 sin2A 1 B 5 分（）1 B s B 4 4b ， 分 ac 8得 , 9 ac 時(shí)取等號(hào) 11 分15