線性代數(shù)-第1章 矩陣的初等變換與線性方程組課件

1、線 性 代 數(shù)1 線性代數(shù)是代數(shù)學(xué)的一個分支，主要處理線性關(guān)系問題。線性關(guān)系即數(shù)學(xué)對象之間的關(guān)系是以一次形式來表達的。 例如，在解析幾何里，平面上直線的方程是二元一次方程；空間平面的方程是三元一次方程，而空間直線視為兩個平面相交，由兩個三元一次方程所組成的方程組來表示。含有n個未知量的一次方程稱為線性方程。關(guān)于變量是一次的函數(shù)稱為線性函數(shù)。2 線性代數(shù)作為獨立的分支直到20世紀才形成，然而它的歷史卻非常久遠。 最古老的線性問題是線性方程組的解法，在中國古代的數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)方程中，已經(jīng)作了比較完整的敘述，其中所述方法實質(zhì)上相當于現(xiàn)代的對方程組的增廣矩陣的行施行初等變換，消去未知量的方法。 隨著

2、研究線性方程組和變量的線性變換問題的深入，行列式和矩陣在1819世紀期間先后產(chǎn)生，為處理線性問題提供了有力的工具，從而推動了線性代數(shù)的發(fā)展。3 向量概念的引入，形成了向量空間的概念。線性問題都可以用向量空間的觀點加以討論。因此，向量空間及其線性變換，以及與此相聯(lián)系的矩陣理論，構(gòu)成了線性代數(shù)的中心內(nèi)容。 線性代數(shù)的含義隨數(shù)學(xué)的發(fā)展而不斷擴大。線性代數(shù)的理論和方法已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的許多分支。比如，“以直代曲”是人們處理很多數(shù)學(xué)問題時一個很自然的思想。許多經(jīng)濟學(xué)、工程學(xué)、物理、化學(xué)等領(lǐng)域的大型線性問題的計算使得線性代數(shù)成為應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)學(xué)科之一。4第一章解線性方程組的消元法與矩陣的初等變換1.3 解

3、線性方程組的的消元法1.2 矩陣及初等變換1.1 若干典型問題5問題：（1）如何判別（*）是否有解？若有解，解是否唯一？（2）如何解（*）？（3）當（*）有無窮多解時，其解如何表示？（*）問題2. 線性方程組的一般理論7 問題3 航線連接問題 四個城市間的單向航線如圖：1234可簡單地用一個數(shù)表來表示：8 矩陣誕生于19世紀，晚于行列式約一百年。從表面上看，矩陣與行列式不過是一種數(shù)學(xué)語言和書記符號；但是，正是這種“結(jié)構(gòu)好的語言的好處，它的簡潔的記法常常是深奧理論的源泉。”(P.S.Laplace) 進入20世紀，線性代數(shù)的發(fā)展曾一度被認為相當成熟，作為研究課題已壽終正寢。隨著電子計算機的發(fā)展，

4、各種快速算法相繼涌現(xiàn)，矩陣數(shù)值分析快速發(fā)展，矩陣理論研究進入一個新的發(fā)展階段。2 矩陣及其初等變換10定義 為表示它是一個整體，總是加一個括號，并用大寫字母記之。11(1) 11的矩陣可以理解為一個數(shù)。 (2) 行數(shù)與列數(shù)都等于 n 的矩陣 A，稱為 n 階方陣或 n 階矩陣。 (3) 只有一行的矩陣稱為行矩陣或 n 維行向量。稱為列矩陣或 m 維列向量。(4) 只有一列的矩陣12定義設(shè) ，如果(此時稱A與B是同型矩陣) 且則稱 A 與 B 相等，記作 A = B。問： 與 相等嗎？14(3) 把矩陣的某一行乘上一個數(shù)加到另一行上， 稱矩陣的下面三種變換分別為第一、第二、第三種初等行變換(1)

5、 交換矩陣的某兩行，記為(2) 以不等于的數(shù)乘矩陣的某一行，記為記為類似定義三種初等列變換以上六種變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換定義15行最簡階梯形矩陣（3）臺階左下方元素全為零；（1）每個臺階上只有一行；（2）每個臺階上第一個元素不為零。行階梯形矩陣：行最簡階梯形(1)(2)(3) + (4)臺階上的第一個元素為1,且其所在列其它元素全為零。17 只用初等行變換必能將矩陣化為行階梯形，從而再化為行最簡形。行階梯形不唯一，行最簡形唯一。書P6-定理1.1.1定理 例118化階梯形：從上到下，從左到右,化最簡形：從下向上，從右到左。19練習(xí) 將下列矩陣用初等行變換化為階梯形矩陣,再化為行最簡階梯形矩陣

6、20矩陣的初等行變換是可逆的,其逆變換仍為初等變換, 且變換類型相同初等列變換也有類似的結(jié)果逆變換逆變換逆變換21如果 ,則稱 A 與 B 相抵(也稱等價)定義矩陣的相抵關(guān)系是不是一個等價關(guān)系?(等價關(guān)系)在一個集合 S 中如果有一種關(guān)系 R 滿足 (1) 自反性：aRa; (2) 對稱性：aRb bRa; (3) 傳遞性：aRb, bRc aRc。則稱 R 為 S 的一個等價關(guān)系。定義作業(yè) P7 3 4課后思考 P7 5 622（*）線性方程組記一. 線性方程組的矩陣形式24（*）（1）若，則稱（*）為非齊次線性方程組;（2）若，則稱（*）為齊次線性方程組.25引例 用加減消元法解方程組27282930例2求解非齊次線性方程組解對增廣矩陣用行變換化階梯形最后一行對應(yīng)的方程是：0 = 2 ,所以無解。31解方程組例3第一步:把增廣矩陣用行變換化階梯形,判斷是否有解;若有解,繼續(xù)化為行最簡階梯形矩陣。32第二步：寫出等價的(獨立的)方程組，保留第一個未知數(shù)在左邊其余的移到右邊，移到右邊的稱為自由變量。第三步：令自由變量為任意實數(shù)，寫出通解。再改寫為向量形式。令通解33思考 利用矩陣解線性非齊次方程組的步驟.祥見教材第12頁.練習(xí) 解方程組34例4求解齊次線性方程組解對系數(shù)矩陣A施行初等行變換化為最簡階梯形:35寫出