力學競賽之拉格朗日方程市公開課獲獎課件

1、第一章分析力學基礎(chǔ)第1頁第1頁 18世紀提出了處理多個約束剛體系統(tǒng)動力學問題。 利用矢量力學分析出現(xiàn)下列問題： 對于復雜約束系統(tǒng)約束力性質(zhì)和分布是未知； 表述形式復雜。如球坐標系下運動方程。 質(zhì)點系問題為大量方程微分方程組。 1788年拉格朗日發(fā)表了分析力學一書，提出了處理動力學問題新觀點和新辦法：采用功和能量來描述物體運動和互相作用力之間關(guān)系。第2頁第2頁與矢量力學相比，分析力學特點： （3）追求普通理論和普通模型，對于詳細問題，只要代入和展開 工作，處理問題規(guī)范化。（1）把約束當作對系統(tǒng)位置（速度）限定，而不是當作一個力。 （2）使用廣義坐標、功、能等標量研究系統(tǒng)運動，大量使用數(shù)學 分析辦

2、法，得到標量方程。（4）不但研究取得運動微分方程辦法，也研究其求解普通方 法。第3頁第3頁 在完整約束條件下，擬定質(zhì)點系位置獨立參數(shù)數(shù)目，稱為質(zhì)點系自由度數(shù)，簡稱自由度。 11 自由度和廣義坐標 例：擬定一個質(zhì)點在空間位置需3個獨立參量 自由質(zhì)點為3個自由度。例：質(zhì)點M 被限定只能在球面上半部分運動由此解出第4頁第4頁這樣該質(zhì)點在空間中位置就由x,y這兩個獨立參數(shù)所擬定它自由度數(shù)為2。 n個質(zhì)點構(gòu)成質(zhì)點系，若受到s個完整約束作用自由度數(shù)為 N=3n-s描述質(zhì)點系在空間中位置獨立參數(shù)稱為廣義坐標。對于完整約束廣義坐標數(shù)目系統(tǒng)自由度數(shù)思考：非完整約束，廣義坐標數(shù)目和系統(tǒng)自由度數(shù)目的關(guān)系？第5頁第5

3、頁拉格朗日廣義坐標 約束方程為 系統(tǒng)N個獨立坐標參量表示為系統(tǒng)n個坐標參量 設(shè)由n個質(zhì)點構(gòu)成系統(tǒng)受s個完整雙側(cè)約束 其中為廣義坐標 變分稱為廣義虛位移。 第6頁第6頁例：一單擺在空間擺動，擺長為l。 約束方程為 自由度數(shù)為2。 x，y為獨立變量 （單擺在xy面上投影與x軸夾角）為獨立變量。 第7頁第7頁思考：導彈在追蹤飛機情況下，廣義坐標數(shù)目和自由度數(shù)目的關(guān)系如何？描述導彈位置：質(zhì)心位置導彈縱軸和x 軸夾角獨立廣義坐標數(shù)目為3 約束方程 導彈速度方向要對準飛機質(zhì)心 非完整約束 獨立虛位移數(shù)目自由度數(shù)目2 第8頁第8頁設(shè)作用在第i個質(zhì)點上積極力合力 在三個坐標軸上投影分別為 虛功方程 12 以廣

4、義坐標表示質(zhì)點系平衡條件 1.以廣義坐標表示質(zhì)點系平衡條件第9頁第9頁稱為與廣義坐標 相相應廣義力 。 由于廣義坐標獨立性 可認為任一值 如令 質(zhì)點系平衡條件是系統(tǒng)所有廣義力都等于零。 用廣義坐標表示質(zhì)點系平衡條件 第10頁第10頁求廣義力兩種辦法 1.直接計算法（解析法） 2.幾何法 令某一個 不等于零 而其它N-1個廣義虛位移都等于零 利用廣義虛位移任意性， 第11頁第11頁例11已知：桿OA和AB以鉸鏈相連， O端懸掛于圓柱鉸鏈上， 桿長OA=a AB=b，桿重和鉸鏈摩擦都忽略不計。今在點A和B分別作用向下鉛錘力 和又在點B作用一水平力試求：平衡時 與 ， ， 之間關(guān)系。 第12頁第12

5、頁系統(tǒng)有兩個自由度。 現(xiàn)選擇 和 為系統(tǒng)兩個廣義坐標 計算其相應廣義力 和用第一個辦法計算廣義力：解：第13頁第13頁故系統(tǒng)平衡時應有 第14頁第14頁用第二種辦法計算： 保持 不變， 只有 時則相應于 廣義力為 可得一組虛位移 第15頁第15頁保持 不變， 只有 時可得另一組虛位移 相應于 廣義力 第16頁第16頁例 12已知：重物A和B分別連接在細繩兩端，重物A放置在粗 糙水平面上。重物B繞過定滑輪E鉛直懸掛。 在動滑輪H軸心上掛一重物C。 設(shè)重物A重量為重物B重量為，不計動滑輪H重量。試求：平衡時重物C重量 ；以及重物A與水平面間靜滑動摩擦因數(shù)。 第17頁第17頁系統(tǒng)含有兩個自由度。廣義

6、坐標： 首先令 向右， 積極力所做虛功和為 相應廣義坐標 廣義力為 解：第18頁第18頁由于系統(tǒng)平衡時應有 因此平衡時,要求物塊與臺面間靜摩擦因數(shù) 再令 向下， 第19頁第19頁2.以廣義坐標表示保守系統(tǒng)平衡條件及系統(tǒng)穩(wěn)定性 假如作用在質(zhì)點系上積極力都是有勢力，勢能為各力投影為 虛功為 虛位移原理表示式成為 第20頁第20頁 在勢力場中，含有抱負約束質(zhì)點系平衡條件為質(zhì)點 系勢能在平衡位置處一階變分為零。假如用廣義坐標 表示質(zhì)點系位置。 則質(zhì)點系勢能能夠?qū)懗蓮V義坐標函數(shù) 第21頁第21頁由廣義坐標表示平衡條件可寫成下列形式 在勢力場中含有抱負約束質(zhì)點系平衡條件是勢能 對于每個廣義坐標偏導數(shù)分別等

7、于零。不穩(wěn)定平衡：在平衡位置上系統(tǒng)勢能含有極大值。隨遇平衡：系統(tǒng)在某位置附近其勢能是不變。 穩(wěn)定平衡：在平衡位置處系統(tǒng)勢能含有極小值。第22頁第22頁對于一個自由度系統(tǒng)，系統(tǒng)含有一個廣義坐標q，因此系統(tǒng)勢能能夠表示為q一元函數(shù)即當系統(tǒng)平衡時，在平衡位置處有假如系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，則在平衡位置處系統(tǒng)勢能含有極小值。即系統(tǒng)勢能對廣義坐標二階導數(shù)不小于零 一個自由度系統(tǒng)平衡穩(wěn)定性判據(jù)第23頁第23頁例 13已知：如圖所表示一倒置擺，擺錘重量為 ，擺桿長度為l，在擺桿上點A連有一剛度為k水平彈簧，擺在鉛直位置時彈簧未變形。設(shè)OA=a擺桿重量不計。試求：擺桿平衡位置及穩(wěn)定平衡時所應滿足條件。第24頁第

8、24頁解：該系統(tǒng)是一個自由度系統(tǒng)，選擇擺角 為廣義坐標。 擺鉛直位置為擺錘重力勢能和彈簧彈性勢能零點。系統(tǒng)總勢能為由有由得到系統(tǒng)平衡位置為第25頁第25頁對于穩(wěn)定平衡要求即第26頁第26頁 13 動力學普遍方程n個質(zhì)點構(gòu)成系統(tǒng)第i個質(zhì)點 , ， ， ， 。慣性力為抱負約束作用 在抱負約束條件下，質(zhì)點系在任一瞬時所受積極力系和虛加慣性力系在虛位移上所作功和等于零。第27頁第27頁 寫成解析表示式動力學普遍方程尤其適合于求解非自由質(zhì)點系動力學問題。第28頁第28頁例 14已知：滑輪系統(tǒng)中，動滑輪上懸掛著質(zhì)量為 重物，繩子繞過定滑輪后懸掛著質(zhì)量為 重物。設(shè)滑輪和繩子重量以及輪軸摩 擦都忽略不計。求：

9、質(zhì)量為 物體下降加速度。第29頁第29頁解：取整個滑輪系統(tǒng)為研究對象。由動力學普遍方程第30頁第30頁例 15已知：兩相同均質(zhì)圓輪半徑皆為R，質(zhì)量皆為m。求：當細繩直線部分為鉛垂時，輪II中心C 加速度。第31頁第31頁解：研究整個系統(tǒng)。此系統(tǒng)含有兩個自由度取轉(zhuǎn)角 為廣義坐標令則點C 下降動力學普遍方程（a）第32頁第32頁令則代入動力學普遍方程或（b）運動學關(guān)系（c）聯(lián)立式（a）（b）（c）解出第33頁第33頁 14 第二類拉格朗日方程 設(shè)由n質(zhì)點構(gòu)成系統(tǒng)受s個完整約束作用，系統(tǒng)含有N=3n-s個自由度。設(shè) 為系統(tǒng)一組廣義坐標第34頁第34頁對于完整約束系統(tǒng)，其廣義坐標是互相獨立。故 是任意

10、，為使上式恒成立，必須有廣義慣性力上式不便于直接應用，為此可作下列變換：（1）證實：第35頁第35頁注意 和 只是廣義坐標和時間函數(shù)（2）證實：第36頁第36頁對時間求微分而若函數(shù) 一階和二階偏導數(shù)連續(xù)第37頁第37頁第38頁第38頁得到第二類拉格朗日方程 拉格朗日方程方程式數(shù)目等于質(zhì)點系自由度數(shù)。假如作用在質(zhì)點系上積極力都是有勢力（保守力）第39頁第39頁于是拉格朗日方程能夠?qū)懗梢肜窭嗜蘸瘮?shù)（又稱為動勢）則拉格朗日方程又能夠?qū)懗傻?0頁第40頁例 16已知：輪A沿水平面純滾動，輪心以水平彈簧聯(lián)于墻上。A，B兩輪皆為均質(zhì)圓盤，質(zhì)量為 物塊C以細繩跨過定滑輪B聯(lián)于點A，半徑為R，質(zhì)量為 ，彈

11、簧剛度為k，質(zhì)量不計。試求：當彈簧較軟，在細繩能始終保持張緊條件下， 此系統(tǒng)運動微分方程。第41頁第41頁解：此系統(tǒng)含有一個自由度，以物塊平衡位置為原點。取x為廣義坐標。以平衡位置為重力零勢能點。取彈簧原長處為彈性力零勢能點。系統(tǒng)在任意位置x處勢能為其中 為平衡位置處彈簧伸長量此系統(tǒng)動能為第42頁第42頁系統(tǒng)動勢為代入拉格朗日方程得注意到則系統(tǒng)運動微分方程為第43頁第43頁例 17試求：此系統(tǒng)運動微分方程。已知：運動系統(tǒng)中，可沿光滑，兩個物體重物 質(zhì)量為擺錘 質(zhì)量為水平面移動。用無重桿連接，桿長為l。第44頁第44頁解：選 和 為廣義坐標（a）將式（a）兩端對時間求導數(shù)（b）系統(tǒng)動能第45頁第45頁則系統(tǒng)勢能為選質(zhì)點 在最低處時位置為系統(tǒng)零勢能位置由此得第46頁第46頁把以上結(jié)果代入拉格朗日方程中第47頁第47頁假如質(zhì)點 擺動很小，能夠近似地認為且能夠忽略含 和