高中數(shù)列知識大歸納總結(jié)絕對全

1、第六章 數(shù)列二,重難點(diǎn)擊本章重點(diǎn)：數(shù)列的概念,等差數(shù)列,等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式和前n 項(xiàng)和公式及運(yùn)用,等差數(shù)列,等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)；留意提煉一些重要的思想和方法,如：觀看法,累加法,累乘法,待定系數(shù)法,倒序相加求 和法,錯位相減求和法,裂項(xiàng)相消求和法,函數(shù)與方程思想,分類與爭辯思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想等；學(xué)問網(wǎng)絡(luò)通項(xiàng)公式 數(shù)列與正整數(shù)集關(guān)系 遞推公式數(shù)列等差數(shù)列定義等比數(shù)列通項(xiàng)公式中項(xiàng)前n 項(xiàng)的和公式法 倒序相加法 特殊數(shù)列求和方法 錯位相減法 裂項(xiàng)相消法四,數(shù)列通項(xiàng)an 與前n 項(xiàng)和Sn 的關(guān)系第一課時數(shù)列n1Sn a1 a2 a 3 an i 1 ai 2an Sn S1 1n1Sn n2課

2、前熱身3數(shù)列an 的通項(xiàng)公式為an 2 3n 28 n, 就數(shù)列各項(xiàng)中最小項(xiàng)是 B 3, 的取值范疇是A第項(xiàng)B第項(xiàng)C第項(xiàng)D第項(xiàng)4已知數(shù)列an 是遞增數(shù)列,其通項(xiàng)公式為an 2 n n , 就實(shí)數(shù)5數(shù)列an 的前n 項(xiàng)和Sn n24n 1 , ,就an 2n12n 5n2第 1 頁,共 30 頁題型一 歸納,猜想法求數(shù)列通項(xiàng)【例1】依據(jù)以下數(shù)列的前幾項(xiàng),分別寫出它們的一個通項(xiàng)公式7,77,777,7777 ,1,3,3,5,5,7,7,9,9 解析：將數(shù)列變形為 7 10 1, 7 10 2 1, 7 10 3 1 , 7 10 n 1 9 9 9 9將已知數(shù)列變?yōu)?1+0 ,2+1 ,3+0

3、,4+1 ,5+0 ,6+1 ,7+0 ,8+1 ,9+0 ,；可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為n1 1 an n2點(diǎn)撥：本例的求解關(guān)鍵是通過分析,比較,聯(lián)想,歸納,轉(zhuǎn)換獲得項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的一般規(guī)律,從而求得通項(xiàng)；題型二應(yīng)用an Sn S1 1n 1 求數(shù)列通項(xiàng)n 2 . Sn 例2已知數(shù)列an 的前n 項(xiàng)和Sn ,分別求其通項(xiàng)公式S n3n 2解析：當(dāng)n1 , a1 S1 31 21,當(dāng)n 2時, a nS S n 1 3 n2 3 n12 23n 1 又a1 1 不適合上式,故an 1n 1 n 1 2 3 n 2 三,利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)【例3】依據(jù)以下各個數(shù)列 an 的首項(xiàng)和遞推關(guān)系,求其通項(xiàng)公式1

4、 1a1 , an 1 an 22 4n 1解析：由于a n1 a n 12,所以4n 1an 1 an 4n 2 11 1 2 2n 1 12n 11 1 1所以a 2 a1 2 1 1 311 1a3 a2 2 3 511 1a4 a3 2 5 7第 2 頁,共 30 頁,an 1ana n 1 1 1 2 2n 311f n, 求an 用累加法,如an 1f n, 求a n 用累乘法,如2 n 以上n 1 個式相加得an a1 11 1122n即：an 11 24n 34n 4n 2點(diǎn)撥：在遞推關(guān)系中如an 1an an pan q ,求a n 用待定系數(shù)法或迭代法；課外練習(xí)3 設(shè)an

5、11n111, nN ,就an 1與 an 的大小關(guān)系Cn122n 是Aan an Ban 1an Can 1an D不能確定解：由于an 1an 11312 n 22n n111202n 32n 所以an 1an ,選二,填空題5已知數(shù)列an 的前n 項(xiàng)Sn n24n 1,就an 2 2n 5, n 1 a10,a9 , n 2 和7已知數(shù)列an 的通項(xiàng)n98 （n99 N）,就數(shù)列an 的前30 項(xiàng)中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是n解：構(gòu)造函數(shù)y x 98 199 98 y 1x 99 x 99 由函數(shù)性質(zhì)可知,函數(shù)在,99 上遞減,且函數(shù)在 99,）上遞增且y 1第 3 頁,共 30 頁又99 9

6、,10）a10 a11 a12 a30 1 a1 a2 三,解答題a9 a10最大,a9最小等差數(shù)列學(xué)問要點(diǎn) 之,不成立；2遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式a n a m n m d 遞推關(guān)系：an 1 an d通項(xiàng)公式：an a1 n 1d 2an an m an m推廣：an am n md 變式：a1 an n 1d; Sn , S2n Sn , S3n S2n 仍成等差數(shù)列；d an n a11 判定或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法：an am 定義法：dn man 1 an d 常數(shù)）（n N）an 是等特點(diǎn)：an dn a1 d, 差數(shù)列即：an f n kn m, k, m 為常 中項(xiàng)法：數(shù)）a

7、n kn m,（k ,m 為常 是數(shù)列an 成 2an 1 an an 2（n N an 是等差數(shù)數(shù)等差數(shù)列的充要條件；列等差中項(xiàng)：通項(xiàng)公式法：如a,b, c 成等差數(shù)列,就b 稱a 與 c 的等差中 an kn b k,b 為常 an 是等差數(shù)項(xiàng),數(shù) a c 列且b2；a,b, c 成等差數(shù)列是 2b a c 的充 前 n 項(xiàng)和公式法：要條件；前n 項(xiàng)和公式 S n An 2Bn , A B 為常數(shù) an 是等差數(shù)列S n a1 a n ；S na 1 nn 1 d 課前熱身2 22等差數(shù)列 an 中,a 4 a6 a8 a10 a12 120, 特點(diǎn)：Sn d2 n 2a1 2 d2 n,

8、 就a 9 13 a 11 的值為 C 即 f n An Bn Sn S An 2Bn A, B為常 A14 B15 C16 D 17 數(shù)解a 9 1 a11 a 9 1a9 2 d 是數(shù)列an 成等差數(shù)列的充要條件；3 32 2 2 120 5等差數(shù)列 an 的基本性質(zhì)其中m, n, p, q N 3 a9 d 3 a8 3 5 16 如 n p q,就am an a p aq 反m 第 4 頁,共 30 頁；62a 37 d 03等差數(shù)列an 中,a1 0,S9 S12 ,就前10 24 7d 0d24 7或11 項(xiàng)的和最大；又S13 13a1 a13 13 a3 2a11 2解：S9 S

9、12,S12 S9 013 2 a3 28d 0a10 a11 a12 0,3a11 0,24 8d0d3a11 0,又a1 0從而24 d3an 為遞減等差數(shù)列S10 S11 為最大；74已知等差數(shù)列an 的前10 項(xiàng)和為100,前100 項(xiàng)和S12 6a6 a7 0為10 ,就前110 項(xiàng)和為110 S13 13a7 0a7 0,a6 0S6 最大；解：S10,S20 S10,S30 S20,S110 S100,課外練習(xí) 一,選擇題成等差數(shù)列,公差為D其首項(xiàng)為1已知an 數(shù)列是等差數(shù)列,a10 10 ,其前10 S10 100 ,前10 項(xiàng)的和為S100 10 項(xiàng)的和S10 70,就其公差

10、d 等于 D100 10 10 9D10,D22 2A2B1又S100 S10 10D 110 33S110 100 10 10（22）C1 3D2 3S110 50n 98 12n n n 21 4y 2 2n 40n 98 2已知等差數(shù)列an中,2n 2 10 102 a 7 a9 16,a4 1,就a12 等于（A ）所以當(dāng)n 10 時,ymax 102 設(shè)等差數(shù)列an 的前n 項(xiàng)和為Sn ,已知A 15 B30 C31 D 64 解：a7 a9 a4 a12 a3 12,S12 0,S13 0a12 15 求出公差d的范疇,二,填空題指出S1,S2,S12 中哪一個值最大,并說3設(shè)Sn

11、 為等差數(shù)列an 的前n 項(xiàng)和,明理由；S4 14,S10 S7 30,就S9 =54 d an f n n an Sn an n 2 4已知等差數(shù)列an 的前n項(xiàng)和為Sn ,如解：S12 6 a1 a12 6 a3 a10 S12 21,就a 2 a5 a8 a11 第 5 頁,共 30 頁5設(shè)F 是橢圓2 x 2 y 1 的右焦點(diǎn),且橢圓上至走1 m ,乙每分鐘走5 m ,甲,乙開頭運(yùn)動后幾分鐘相遇？假如甲乙到對方起點(diǎn)后馬上折返,甲76連續(xù)每分鐘比前一分鐘多走1 m ,乙連續(xù)每分鐘走少有21 個不同點(diǎn)Pi i 1,2, 使5 m ,那么,開頭運(yùn)動幾分鐘后其次次相遇？解：設(shè)n 分鐘后第一次相

12、遇,依題意有：P1F ,P2F ,P3F , 2 n nn 1 5n 70 組成公差為d的等差數(shù)列,就d的取值范疇為2解得n 7,n 20舍去）1,010 1 0,10 故第一次相遇是在開頭運(yùn)動后7 分鐘；設(shè)n 分鐘后其次次相遇,就：解：橢圓的焦點(diǎn)F 到橢圓上的點(diǎn)最大,最小距離分別2 n nn 1 5n 3 70 為 7 1和（71）,由題意得：2（71）（n 1 d 71解得n 15,n 28舍去）故其次次相遇是在開頭運(yùn)動后15 分鐘dn21n1 20 10 已知數(shù)列an 中,a1 3,前n 和d1,又d 10 0S n1 n 1 a n1 121d 0或d1求證：數(shù)列an 是等差數(shù)列10

13、10 0 三,解答題求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式6等差數(shù)列an 的前n 項(xiàng)和記為Sn ,已知設(shè)數(shù)列1的前n 項(xiàng)和為Tn ,是否存在實(shí)a10 30,a20 50 an an 1求通項(xiàng)an ；如Sn =242 ,求n數(shù)M,使得Tn M對一切正整數(shù)n 都成立？如存解：an a1 n 1d在,求M的最小值,如不存在,試說明理由；解：Sn 1 2 n1 an 1 1a10 30,a20 50 Sn 11n 2an 11 1解方程組a1 9d30 2a1 19d 50 an1S n 1 S na1 12 an 2n 10 1n 2an 11 n 1 an 1 d22由S nna 1nn 1d ,S n=242

14、整理得,nan 1n 1an 1 n 1an 2n 2an 112 n 1an 2nan 1 n 2 an 1n 1an 12n n n 1 2242 2n 1an 1n 1 an 2an 2解得n 11 或n 7甲,乙兩物體分別從相距22舍去）70 m 的兩處同時相向運(yùn)2an 1an 2an 數(shù)列an 為等差數(shù)列；動,甲第一分鐘走2 m ,以后每分鐘比前一分鐘多第 6 頁,共 30 頁a1 3,nan 1 n 1an 11111122n 12n3a 2 2a1 15Tn 1 1 2 3 1 11a 2 a1 25572n 12n 3即等差數(shù)列an的公差為211 2 3 1 3 an a1 n

15、 1d 3 n 1 22n 又當(dāng)n N時,T 12n 16112n 13 an an 1 2n 要使得Tn M對一切正整數(shù)n 恒成立,只要M M對一切正整數(shù)n1,所以存在實(shí)數(shù)M使得Tn 6都成立,M的最小值為1；6等比數(shù)列學(xué)問要點(diǎn)記為如mnp q,就am an ap aq 反之不1定義：假如一個數(shù)列從其次項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的m 前一項(xiàng)的比等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等比真！數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,qnan ,a n2an m an m n Nq,（q 0 ；am 2遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式遞推關(guān)系：an 1qan 通項(xiàng)公式：ana1 qn 1 推廣：an am qn m an 為等比數(shù)列

16、,就下標(biāo)成等差數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)成等 比數(shù)列；q1 時,Sn ,S2n Sn ,S3n S2n ,仍成等3等比中項(xiàng)：如三個數(shù)a,b, c 成等比數(shù)列,就稱b 為比數(shù)列；6等比數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化a 與c 的等比中項(xiàng),且bac,注：b2ac an 是等差數(shù)列c an c 0 c 1 是等為 是成等比數(shù)列的必要而不充分條件；比數(shù)列；4前n 項(xiàng)和公式an 是正項(xiàng)等比數(shù)列Sn na1 n a1 1 q q 1 q 1 a1 an q log c an c 0,c 1 是等差數(shù)列；1q1qan 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列an 是各項(xiàng)5等比數(shù)列的基本性質(zhì),其中m, n, p, q N第 7 頁,共 30 頁不為零

17、的常數(shù)列；7等比數(shù)列的判定法求an ,定義法：an 1q（常數(shù)）an 為等比數(shù)列；如Tn lg a1 lg a 2 lg an , 求 Tn an 在等比數(shù)列an 中,如a15 0 ,就有等式中項(xiàng)法：an 12an an 2 an 0 an 為a1 a2 an a1 a 2 a 29 n 等比數(shù)列；通項(xiàng)公式法：ank q n k , q 為常 數(shù)）前 n 項(xiàng)和法an n 29,n N 成立,類比上述性質(zhì),相應(yīng)的為等比數(shù)列；：在等比數(shù)列bn 中,如b19 1 就有等式成立；S nk1 q n （k, q 為常an為等比數(shù)解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知：數(shù)）列；aa6a3a432 1設(shè) f n 2 24

18、 27 2 10 23n 10 又a1 a 6 33,a1 a 6 解得a 132,a 61所以a 6 1,即q 532 1,32 q1n N ,就f n等于（D）a12A 278 n1 B 278 n 1 1 所以an 32 1 n 1 226 n C 278 n31 D 278 n41 由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,lg a n是等差數(shù)列,由于2已知數(shù)列an 是等比數(shù)列,且lg an 6 n lg 2 6 n lg 2,lg a1 5lg 2 Sm 10,S2m 30,就S3m 70 （問題引入）所以Tn lg a1 lg an n n11 n lg 2 22猜想：bn 是等比數(shù)列,公比為1；由題

19、設(shè)可知,假如am 0在等差數(shù)列中有2證明如下：bn 1a2 n 111a2 n 1a1 a2 an a1 a 2 a 2m 1 n 4241a 2n 111 n 2m 1,n N 成立,我們知道,假如244如m np q,就am an ap aq ,而對于1a 2n 111bn 242等比數(shù)列bn ,就有即：bn 11,bn 是首項(xiàng)為a1,公比bn 2如m np q,就am an a p aq 所以可以得4為1的等比數(shù)列；出結(jié)論,如2bm 1,就有b1b2 bn b1b2 b2m 1 n 二,性質(zhì)運(yùn)用 n 2m 1,n N 成立,在此題中例2 ：在等比數(shù)列an 中,就有bn b1b2 b37

20、n a1 a6 33,a 3 a4 32,a n an 1b1b2 第 8 頁,共 30 頁n 37,n N 求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；故點(diǎn)撥：歷年高考對性質(zhì)考查較多,主要是利用“等積就d a4 a1 2性”,題目“小而巧”且背景不斷更新,要嫻熟把握；典41例精析所以,an =8（n 1）（2） 10 2 n 一,錯位相減法求和例1：求和：S n123naa2a3anbn 112 解：n14 an 2nn a Sn 1時,123nn n 1 1 1 4 n n1 22a1 時,由于a 0所以Sn 123nTn b1 b2 bn aa 2 a 3 a n 111111n1 21Sn 12nn1an

21、11324n4aa2a3an11 1n11n12由得：421 1 S n a111n1311 ma a1 1 a12 1an a n 84 n 1 4n 2 32 a 1n n對一切n N恒成立；an1am 12 88對一切n n2N恒成立；所以S nn aa 1 na 1 n1an a 1 2對N,（12 88 min 綜上所述,n1n2n S nn 1 a 1 12 8816 1 1 123n aa 2 1 n a 1 a 1 所以m16 n 2a a 1 3點(diǎn)撥：如數(shù)列an 是等差數(shù)列,bn 是等比數(shù)列,m 的最大整數(shù)值為5；就求數(shù)列an bn 的前n 項(xiàng)和時,可接受錯位點(diǎn)撥：如數(shù)列an

22、 的通項(xiàng)能轉(zhuǎn)化為相減法；f n 1 f n 的形式,常接受裂項(xiàng)相消法求和；當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為字母時,應(yīng)對字母是否為1 進(jìn)行使用裂項(xiàng)消法求和時,要留意正負(fù)項(xiàng)相消時,消去爭辯；了哪些項(xiàng),保留了哪些項(xiàng)；當(dāng)將Sn 與q Sn 相減合并同類項(xiàng)時,留意錯位及未三,奇偶分析法求和例3：設(shè)二次函數(shù)f x x2 x,當(dāng)x n,n 1合并項(xiàng)的正負(fù)號；二,裂項(xiàng)相消法求和1在等差數(shù)列an 中,a1 =1 ,前n 項(xiàng)和Sn 中意例2 ：數(shù)列an 滿足a1 =8 ,a 4 2,且a n 22 an 1an 0 （n N ）第 9 頁,共 30 頁S2n 4n 2,n 1,2,n 項(xiàng)和1 pT pp 2 np p n n n

23、p 1Sn n1p 1 n 1 np 求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式1p所以Tn p1 n p n 1 np 記bnanp an p 0 ,求數(shù)列bn 的前1 2 p 1p即：Tn p1 nn 1 p 1 Tn ；n 2p n 1 np 解：設(shè)數(shù)列an 的公差為d,由 p 1 1 2 p 1p課外練習(xí)S2n 4n 2,n 1,2,Sn n1數(shù)列an 的前n項(xiàng)和為Sn ,如得a1 a2 3,所以a 2 2an1,就 1 S 5 等于（B ）a1 nn 即da 2 a11 A1 B5 6C1 6D1又4n2S2n30 n 1Sn 解：由于an 11 11an nd a1 2n nn nn1an 2a1 n

24、 所以51111 1 51 621223S 2 an n1 5an 16所以a n = n f x 的定義域?yàn)镽,且f x 是以2 為周期的由bnanp an p 0 ,有bnnpn周期函數(shù),數(shù)列an 是首項(xiàng)為a a N ,公差為所以Tn p2 2 p 3 3 p n np 1 的等差數(shù)列,那么f a1 f a2 f a10 的當(dāng)1 時,nn 1 值為（C）A1 B1 C0 D 10 a 2p Tn當(dāng) p 1 時,解：由于函數(shù)f x 的定義域?yàn)镽 ,且f x 是以2 為周期的周期函數(shù),pTn p23 2 p n n 1 p n1 np 所以f 0）0,且f x 2 f x 得又?jǐn)?shù)列an 是首項(xiàng)

25、為a ,公差為1 的等差數(shù)列第 10 頁,共 30 頁所以 an a n 1,又 a Nf a （n 為奇f an f a 1 數(shù)）所以 f a1 f a 2 （n 為偶數(shù)）5 f a 5 f a 5 f 0 f 1 f a10 又 f 1 f 1 2 1 所以 f 1 f 1 即 5 f 1 f 1 0故原式=0,選 C；f 1 二,填空題設(shè)等比數(shù)列 an 的公比與前 n 項(xiàng)和分別為q 和S20 Sn ,且q 1,S10 8,就 10 81 q6數(shù)列 an 中意 an 1 2L n,n1 n2 n1又b nan an 21,就數(shù)列bn 的前n 項(xiàng)和為n1 8n 1 n解：a n 1 2 L

26、n n1 2b nan an 21 n n 1 8= 8 1n n1 1）所以b1 b2 L bn 1 1 1 1 1 18 L 1 2 2 3 n n 1 8 1 1 8n n 1 n1數(shù)列 1,1 1 1 1 1 1 1 1 1 的前100 項(xiàng)2 2 3 3 3 4444方法一,a1 1 q10 8的和為9 13 ；（n14 N）211S20 20 a1 1 q 8q10 1 10 q）1q 方法二,S20 S10 a11 a12 a20 S10 q10 S10 S10 1 10 q 所以1S20 S10 8q10 第 11 頁,共 30 頁典例精析一,函數(shù)與數(shù)列的綜合問題例 1：已 f

27、x log x a 0且知設(shè)f a1 ,f a2 ,f an n a 1,N 是首項(xiàng)為4,公差為2 的等差數(shù)列；設(shè)a 是常數(shù),求證：an 成等差數(shù)列；如 bn an f an ,bn 的前 n 項(xiàng)和是 Sn ,當(dāng) a 2 時,求 Sn 解：f a n 4 n 1 2 2n 2 ,2n 2 即log a a n 2n 2,所以 a n a2n 2所以 an a2n a 2n 2為定值an 1 a所以 an 為等比數(shù)列；bn an f an 2n 2 2n 2 2 n 2 a loga a 2n 2a 當(dāng) 2 時,a 2n 2 2 2n 2 n 1 2 n2bn 2 2 33 2 442 5n 1

28、 2 n22S Sn 2 2 4 3 2 5 n 2 n 2 n 1 2 n 3 點(diǎn)撥：本例是數(shù)列與函數(shù)綜合的基此題型之一,特兩式相減得3 4 5 n 2 n 3 Sn 2 2 2 2 2 n 1 24 n 1 16 2 1 2 n 1 2 n 3 1 2所以S n 2 n 3征是以函數(shù)為載體構(gòu)建數(shù)列的遞推關(guān)系,通過由函數(shù)的解析式獲知數(shù)列的通項(xiàng)公式,從而問題得到求解；已知正項(xiàng)數(shù)列an 的前n 項(xiàng)和為Sn ,Sn 是1與an 2 1 的等比中項(xiàng),；如不存在,說明理由；4求證：數(shù)列an 是等差數(shù)列；如bnan ,數(shù)列bn的前n 項(xiàng)和為T n,求T n2n在的條件下,是否存在常數(shù),使得數(shù)列Tn 2為

29、等比數(shù)列？如存在,試求出an 解：Sn 是1與an 2 1 的等比中項(xiàng),4第 12 頁,共 30 頁所以Sn 1 an 2 1 Tn 2為等比數(shù)列；4當(dāng) n 1時,a11a1 2 1 ,a1 1411an 12 1 當(dāng) 2 時,n Sn所以an Sn 4Sn 11 a n422 a n 1 2a n2a n1即an an 1 an an 12 0 由于0,所以an an 12 0 an an 12即：an 所以數(shù)列an 是等差數(shù)列；T n32n n3 2Tn 23 2n n313an22n 312n 32n所以當(dāng)且僅當(dāng)3+ =0 ,即= 3 時,數(shù)列an 已知在正項(xiàng)數(shù)列an 中,a1 =2,且

30、An an ,an 1）在雙曲線2 y 2 x 1 上,數(shù)列bn 中,1 點(diǎn)（bn ,Tn ）在直線y x 1 上,其中Tn 是數(shù)列bn 的前n 項(xiàng)和,求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；求證：數(shù)列bn 是 2等比數(shù)列；如 Cn an bn,求證：Cn 1 Cn ；解：由已知帶點(diǎn) An an ,an 1）在 y 2 x 2 1 上知,an 1 a n ,所以數(shù)列 an 是以2 為首項(xiàng),以 1 為公差的等差數(shù)列；所以an a1 n 1d n 11 由于點(diǎn)（bn , Tn ）在直線y x 1 上,2第 13 頁,共 30 頁所以 T n 1 b 21 所以 1 bn Tn 兩式相減得：21152n 2 n 3

31、 ,就當(dāng)n1 時,1bn Tn Tn 11bn 1bn 1221 所以bn bn 1,3令 1得 1 b1 1,所以b1 n 所以 b1bn 是一個以 22 為首項(xiàng),3 以1 為公比的等比數(shù)列；2 332 1 n132所以bn 3n 3Cn an bn n 1 23n所以1Cn n 2 32 n 1 2n3n 1 Cn 2 2n 1 0 3 n 1 所以1Cn Cn 一,選擇題 an 滿意an 0, n 1,2,L ,且a5 a2n 1. （2022 廣東卷理）已知等比數(shù)列l(wèi)og 2 a1 log 2 a3 Llog 2 a2 n 1 0,就an 2n,A. 2 n2 n 1 B. n 1 C

32、. n 2 D. 2 n 1 【解析】由a5 a2n 52n 2 n 3 得2 an 22 n ,an log a1 log 2 a 3 log 2 a2 n 113 2n 1 n2,選C. = 答案C2.（2022 遼寧卷理）設(shè)等比數(shù)列 an 的前n 項(xiàng)和為Sn ,如S6 =3 ,就S9 S 6S3 78A. 2 B. 3C. 3S6 3 1 q S3 【解析】設(shè)公比為q ,就S3 S3 1q33 q32 S9 3 1 q q61247于是S 61q3123【答案】B 第 14 頁,共 30 頁14.2022 湖北卷理已知數(shù)列an 中意：a m 1（m 為正整數(shù)）,an 1an 2,當(dāng) a

33、為偶數(shù) 時,m 全部3a n1,當(dāng)a 為奇數(shù)時；a 1 ,就可能的取值為；答案4 532 解析（1）如a1 m 為偶數(shù),就a1 為偶,故a2 ma3 a2 m2224當(dāng)m仍為偶數(shù)時,a4 ma6 m故m1m32 4832 32 當(dāng)m為奇數(shù)時,a4 3a3 13m1a6 3 m 44144故3 m 4411得m=4 ；（2）如a1 m 為奇數(shù),就a2 3a1 1 3m 1 為偶數(shù),故a3 3m 1必為偶數(shù)2a63m 1,所以3m 1 16 16 =1 可得m=5 16.（2022 陜西卷文）設(shè)等差數(shù)列an 的前n 項(xiàng)和為sn ,如a6 s3 12 ,就an . 解析:由a6s3 12 可得an

34、的公差d=2, 首項(xiàng)a1 =2,故易得an 2n. 答案:2n 17.2022 陜西卷理設(shè)等差數(shù)列an 的前n 項(xiàng)和為Sn ,如a6 S3 12 ,就lim nSn n 2 lim nn11. 解析：a6 12 a1 5d 12 a1 2Sn nn 1 Sn n1lim nSn s3 12 a1 d12 d2n2n2nn答案：1 22.（2022 全國卷理）在數(shù)列 an 中,a1 1,an 11 1 an n 1 n2n（I）設(shè)bn an ,求數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式bn 1n（II）求數(shù)列 an 的前n 項(xiàng)和Sn 分析：（I）由已知有an 1an 1bn 1n1n2n2n第 15 頁,共 30

35、 頁利用累差迭加即可求出數(shù)列 bn bn 的通項(xiàng)公式: 221nN*n 1 （II）由（I）知a n2 n 2n1, nSn = n2 k k 2 k 1 nn2k k 1 2 k k 1 L an ,n 2具有性質(zhì)P ；對任意的k 1 k 1 而n2 k nn 1 n2k 是一個典型的錯位相減法模型,k 1k 1k 1 ,又易得nk 4n2Sn = n n 1 n24k 1 k 1 2 n 1 2n 1 223.（2022 北京理）已知數(shù)集A a1 , a2 ,L an 1 a1 a2 aj i , j 1 i j n,ai a j 與 ai 兩數(shù)中至少有一個屬于 A . （）分別判定數(shù)集

36、1,3,4 與 1,2,3,6 是否具有性質(zhì) P ,并說明理由；（）證明：a1 1 ,且a1 a1 1a2 a2 1 LL an an 1 an；（）證明：當(dāng) n5 時,a1, a2 ,a3, a4 , a5 成等比數(shù)列. 【解析】此題主要考查集合,等比數(shù)列的性質(zhì),考查運(yùn)算才能,推理論證才能,分分類爭辯等數(shù)學(xué)思想方法此題是數(shù)列與不等式的綜合題,屬于較難層次題. （）由于4均不屬于數(shù)集1,3,4 ,該數(shù)集不具有性質(zhì)P. 3 4 與3 由于1 2,1 3,1 6,2 6 6 1 2 3 6 3, , , , , , 2 3 1 2 3 6 都屬于數(shù)集1,2,3,6 ,該數(shù)集具有性質(zhì)P. an （）

37、A a1, a2 ,L an 具有性質(zhì)P,an an 與an 中至少有一個屬于A ,由于1a1 a2 Lan ,an an an ,故an an A . 從而1an A a1 1. A k 2,3,L , n . an ,1 a1 a2 L an ,ak an an ,故ak an 由A 具有性質(zhì)P 可知an A k 1,2,3, L , n . ak 第 16 頁,共 30 頁又an an Lan an ,0 有實(shí)數(shù)根的有序數(shù)組a, b 的an an 1a2 a1 an 1, an an 1a2 ,L an an an 1 , a1 an ,an a2 從而an an Lan an a1 a

38、2 Lan 1an ,an an 1a2 a1 a1 1 a1 a2 1 a2 Lan 1 an an. L（）由（）知,當(dāng)n5 時,有a5 a5 a2 , a3 a3 ,即a5 a2 a4 2 a3 ,a4 1 a1 a2 La5 ,a3 a4 a2a4 a5 ,a3a4 A ,由A 具有性質(zhì)P 可知a4 A a3 . a2 a4 2 a3 ,得a3 a4 A 1a3 a 2,a4 a3 a 2,a2 a3 a2 a3 a2 ,且a5 a4 a3 a2 a2 ,即a1, a2, a3 , a4 , a5 是首項(xiàng)為1,公比為a2 成等比數(shù)列. a4 a3 a2 a1 25（2022 江蘇卷）對

39、于正整數(shù)n 2,用Tn 表示關(guān)于x 的一元二次方程2 x 2ax b（a 和b 可以相等）,記Pn 為關(guān)于組數(shù),其中a, b 1,2, L , n （a 和b 可以相等）；對于隨機(jī)選取的a,b 1,2, L , n 2 x 的一元二次方程x 2ax b0 有實(shí)數(shù)根的概率；10 分；（1）求Tn2和Pn 2 ；（2）求證：對任意正整數(shù)n 2,有Pn 11. n【解析】必做題 本小題主要考查概率的基本學(xué)問和記數(shù)原理,考查探究才能；滿分第 17 頁,共 30 頁29.（2022 江西卷理）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 an ,a1 a,a2 b,且對中意mnpq 的正整數(shù)m, n, p,q 都有am an a

40、p aq . 1 ap 1 aq 1 am 1 an （1）當(dāng)a1, b 4時,求通項(xiàng)an ; 251an . （2）證明：對任意a ,存在與a 有關(guān)的常數(shù),使得對于每個正整數(shù)n ,都有am an ap aq 解：（1）由1 am 1 an 1 ap 1 aq 得a1 an a2 an 1 . an 1 將a11 , a 2241 a1 1 an 1 a2 1 5 代入化簡得an2an 11. an 12所以1 an 11an 1, 1an 1an 31故數(shù)列 1 an 1 an 為等比數(shù)列,從而1an 1, an3 3n 1. 1an 3nn1即可驗(yàn)證,an 3n13n1 中意題設(shè)條件. 第

41、 18 頁,共 30 頁am an b n1 a1 an a an . 2 由題設(shè) 1 am 1 an 的值僅與 m n 有關(guān),記 bm n , 就 1 a11 an 1 a1 an 為a x f x x 0 考察函數(shù) 1 a1 x ,就在定義域上有1 , a11a1f x g a , a12a , 0a11a故對 n N * ,bn 1 g a 恒成立 . b2n 2an 2 g a 又 1 an , 10 g a 留意到 2 ,解上式得ga 1 ga 1 2g a 1 ga 1 2g a an , 1 ga 1 2ga g a ga 取 1 ga ga 1 2ga ,即有 1an . .

42、1 n 1 30. 2022 湖北卷理已知數(shù)列 an 的前n 項(xiàng)和 Sn an 2 2（n 為正整數(shù)）；（）令 bn 2an ,求證數(shù)列 bn 是等差數(shù)列,并求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；n1 5n ）令 cn n an ,Tn c1 c2 . cn 試比較 Tn 與 2n 1 的大小,并予以證明；解（I）在 Sn an 12 n12中,令n=1,可得 S1 an 12 a1 ,即 a1 121 n2 1 n 1 Sn 1 an 1 2,an Sn Sn 1 an an 1 當(dāng) n 2 時,2 2,2an an 1 1 n1, 即2 nan 2 n1an 1 12 . nQ bn 2 an , b

43、n bn 1 1,即當(dāng)n 2 時,bn 1 1 . bn 又b1 2a1 1, 數(shù)列 bn 是首項(xiàng)和公差均為 1 的等差數(shù)列. 第 19 頁,共 30 頁于是bn 1 n 1 1 nn 2 an , an n. 2 k 1 1n 2II 由（I）得c nn 1 a n nn 11 n2,所以Tn 22131 2 241 3 2K n 1 n 1 2n 1 1 n 1 22 1 22 1 321 4 K 2 1 2Tn 34由-得1Tn 1 1 22 1 32K 1 n21 n 1 n 1 2 211 1 4 1 2 1n1 n 1 n 1 213nn322112T 3n 3 n 2Tn 5n

44、3nn35n n n 32 2n 1 n 2 2 n 2 n 1 22n 11 于是確定Tn5n n 2 與2n 1的大2n 1 的大小關(guān)系等價于比較與小由22 2 1 1;2 3 22 1;2 4 23 1;2 5 24 1;2 2 5;K 可猜想當(dāng) n 3時,n 2n 1. 證明如下：2證法1：（1）當(dāng)n=3時,由上驗(yàn)算顯示成立；（2）假設(shè)n k 1k 1 2k 2g2 22 k 1 4k 22 k 1 1 2 k 1 時所以當(dāng)n k 1 時猜想也成立4an n * N ；綜合（1）（2）可知,對一切n3的正整數(shù),都2n2n 1. 有證法2：當(dāng)n 3 時2 n 1 1n0 Cn 1 Cn

45、2 Cn K n1 Cn n Cn 0 Cn 1 Cn n1 Cn n Cn 2n22n 1綜上所述,當(dāng)n 時1,2Tn 5n n 3 時Tn 5n 2n 1 ,當(dāng)2n 131（. 2022四川卷文）設(shè)數(shù)列an 的前n 項(xiàng)和為Sn ,對任意的正整數(shù)n ,都有an 5 Sn 1 成立,記bn 1an （I）求數(shù)列an 與數(shù)列bn 的通項(xiàng)公式；k ；如不存在,（II）設(shè)數(shù)列bn 的前n 項(xiàng)和為Rn ,是否存在正整數(shù)k ,使得Rn 4 k 成立？如存在,找出一個正整數(shù)第 20 頁,共 30 頁請說明理由；（III ）記cn b2 n b2n 1 n N ,設(shè)數(shù)列cn 的前n 項(xiàng)和為Tn ,求證：對任

46、意正整數(shù)n 都有T 3；又2解（I）當(dāng)n1a1 5 S1 1, a1 14時,又Q an 5Sn 1,an 15Sn 11a n 1 an5a n 1 ,即an 114an 數(shù)列an 是首項(xiàng)為a1 1q14 ,公比為4 的等比數(shù)列,an1 4n ,b n41 4 n n * N 3 分11 4n（II）不存在正整數(shù)k ,使得Rn 4 k 成立；證明：由（I）知b n41 4n 4511n 4 1 4nQ b2 k 1 b2k 8511518520 48k 15 16 40 8. 2 k 4 2 k 4 k 16 k 1 16 k 16 k 116 4 當(dāng)n 為偶數(shù)時,設(shè)n 2mm N Rn b

47、1 b2 b3 b4 Lb2 m 1b2m 8m 4n 當(dāng)n 為奇數(shù)時,設(shè)n2m 1m N Rn b1 b2 b3 b4 L b2 m 3b2 m 2 b2 m 18m 1 48m 44n 對于一切的正整數(shù)n,都有Rn 4k 不存在正整數(shù)k ,使得Rn 4k 成立；8 分（III ）由bn 451 得n 4 cn b2n 1 b2 n 51451 n 16n 15 164 16 n 15 16n415 n 1615 4 2 n 2n 1 n 1162n 3 1616 n 216n第 21 頁,共 30 頁b1 3, b2 13 , c2 341425 121 1 n16 12 3 ,當(dāng)n1 時

48、,T1 32 ,當(dāng)n2 時,Tn 425 1216 1L1633 1616 n3116 425 1 2 16 1 1 16 69 332.（2022 湖南卷文）對于數(shù)列348 2 un ,如存在常數(shù)M 0,對任意的nN * ,恒有un 1un un un 1Lu2 u1 M, 就稱數(shù)列 un 為B 數(shù)列. 1（）首項(xiàng)為1,公比為2 的等比數(shù)列是否為B- 數(shù)列？請說明理由; （）設(shè)Sn 是數(shù)列 xn 的前n 項(xiàng)和.給出以下兩組判定：A 組：數(shù)列 xn 是B- 數(shù)列 , 數(shù)列 xn 不是B- 數(shù)列; B 組：數(shù)列 Sn 是B- 數(shù)列, 數(shù)列 Sn 不是B- 數(shù)列. 請以其中一組中的一個論斷為條件,

49、另一組中的一個論斷為結(jié)論組成一個命題 . 判定所給命題的真假,并證明你的結(jié)論；2 如數(shù)列 an 是 B-數(shù)列,證明：數(shù)列 a 也是B- 數(shù)列；解: （）設(shè)中意題設(shè)的等比數(shù)列為 an ,就 an 1 2 n 1 .于是1 n 1 1 n2 3 1 n 2 an an 1 2. 2 2 2 ,n 2 | an 1 an | | an an | L | a2 a1 | 31 1（）1 L（）1 n-1 3 1 （）1 n3. = 2 2 2 2 = 21所以首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列是B- 數(shù)列. （）命題1：如數(shù)列 xn 是B-數(shù)列,就數(shù)列 Sn 是B- 數(shù)列.此命題為假命題. 第 22 頁,共

50、 30 頁事實(shí)上設(shè) xn =1,n N *,易知數(shù)列 xn 是B- 數(shù)列,但 Sn =n,| Sn 1 Sn | | Sn Sn 1 | L | S2 S1 | n . 由n 的任意性知,數(shù)列 Sn 不是B- 數(shù)列；命題2：如數(shù)列 Sn 是B- 數(shù)列,就數(shù)列 xn 不是B- 數(shù)列；此命題為真命題；事實(shí)上,由于數(shù)列 Sn 是B-數(shù)列,所以存在正數(shù) M ,對任意的 n N * ,有| Sn 1 Sn | | Sn Sn 1 | L | S2 S1 | M , 即| xn 1 | | xn | L | x2 | M .于是 xn 1 xn xn xn 1 L x2 x1 xn 1 2 xn 2 xn

51、 1 L 2 x2 x1 2M x1 , 所以數(shù)列 xn 是B- 數(shù)列；（注：按題中要求組成其它命題解答時,仿上述解法） 如數(shù)列an 是B- 數(shù)列,就存在正數(shù)M ,對任意的n.N , 有N*. an 1an an an 1La2 a1 M. 由于an an an 1an 1an 2La2 a1 a1 an an 1an 1an 2La2 a1 a1 Ma1 . 記K Ma1 ,就有2 an 12 an an 1an an 1an an 1an an 1an 2K an 1an . 因此2 an 12 an 2 an 2 an 12 . a2 2 a1 2KM . 故數(shù)列2 an 是B- 數(shù)列.

52、 33. 2022 陜西卷理 已知數(shù)列xn 中意,x11xn11, n 2 1 xn 猜想數(shù)列 xn 的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論；（ 證明：| xn 1- xn| 1 2 n 1 6 5 ；證明（1）由x1 1及xn+1 1得2x4 5,x4 13 21 xn 3821 x2由x2 x4 x6 猜想：數(shù)列x2 n 是遞減數(shù)列下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：第 23 頁,共 30 頁（1）當(dāng)n=1 時,已證命題成立（2）假設(shè)當(dāng)n=k 時命題成立,即x2k x2k 2bn 的公比為q （q1 ）；設(shè)易知x2k 0 ,那么x 2k 2 x 2k 411131 x2 k 3 x2k 1 1 x2 k 1 x2 k

53、 x2 k 1 1 x2 k 3 = x2k x2k 2 01 x2 k 1 x2 k 11 x2 k 2 1 x2k 3 即x2 k 1 x2 k 1 2也就是說,當(dāng)n=k+1 時命題也成立,結(jié)合（1）和（2）知,命題成立（2）當(dāng)n=1 時,xn 1xn x2 x1 16 ,結(jié)論成立當(dāng)n2 時,易知0 xn 11, 1 xn 12, xn 1111 xn 21 xn 1 xn 1 1 11 xn 1 2xn 151 xn 12x n1x n111xn xn 11 xn 1 xn 1 xn 1 xn 1 2xn xn 1（）2 25xn 1xn 2K （）2 n-1 5x2 x1 51 2 n

54、-1 （）65an 35. （2022 天津卷理）已知等差數(shù)列 的公差為d （d0 ）,等比數(shù)列 sn = a1b1 + a2b2 anbn T a b a b 1 1 - 2 2 + .+-1 n 1 an bn ,n Nc1 ak b1 1ak b2 2. ak bn n,.+ , n = 如a1 = b1 = 1,d=2,q=3 ,求S3 的值；2dq1 2 n q 如b1 =1,證明（1-q）S2 n -（1+q）T2n = 1q2,n N； 如正數(shù)n 中意2nq,設(shè)k1,k 2,., k n 和l1, l2,., ln 是 1,2,.,n的兩個不同的排c2 al b1 1al b2

55、2. al bn n列,c1 c2 ；證明本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前力及綜合分析和解決問題的才能的才能,滿分 14 分；n 1 *（）解：由題設(shè),可得 an 2n 1,bn 3 , n N所以,S3 a1b1 a2 b2 a3b3 11 3 359 55 n1（）證明：由題設(shè)可得 bn q 就n 項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)學(xué)問,考查運(yùn)算才能,推理論證能第 24 頁,共 30 頁S2n a1 a2q 2 a3q 2 n 1 . a2n q , T2 n a1 2 a2 q a3 q 3 a4q 2n 1 . a2n q , S2n T2n 3 2a2 q a4 q 2 n 1

56、. a2n q 式減去式,得式加上式,得S2n T2 n 2 a1 2 a3 q 2n 2 . a2 n 1 q 式兩邊同乘q,得q S2n T2 n 3 2a1q a3q 2n 1 . a2 n 1q 所以,1 q S2n 1 qT2n S2n T2n qS2 n T2n 3 2n 12d q q K q 2n 2dq1 1 q 2 q , n N * 證明：c1 c2 ak 1 al b1 1 ak 2 al b2 2 K ak n al bn nn 1 k1 l1 db1 k2 l2 db1q K kn ln db1q 由于 d 0, b1 0, 所以c1 c2 k1 l1 k2 l2

57、q K kn l n q n1db1 如 kn l n ,取 i=n 如 kn l n ,取 i 中意 ki li 且k j l j , i 1 j n由（1）,2 及題設(shè)知,1i n 且c1 c2 i2 i 1 k1 l1 k2 l2 q K ki 1 li 1 q ki l i q db1 當(dāng) ki li 時,得 ki li 1,由q n,得ki li q 1,i 1,2,3. . i 1i 2 i 2 即 k1 l1 q 1,k2 l 2 q qq 1 , ki 1 li 1 q q q 1 i1又ki l i q q, 所以c1 c2 q 1 q 1q K q 1q i 2q i 1

58、q 1 1 q i 1 db1 1 q因此 c1 c2 0,即c1 c2 第 25 頁,共 30 頁當(dāng)ki li 同理可得c1 c2 1,因此c1 c2 中的一項(xiàng),請證明；1；db1 綜上,c1 c2 37.（2022 年上海卷理）已知an 是公差為d的等差數(shù)列,bn 是公比為q 的等比數(shù)列；如an 3n 1 ,是否存在m,k N*,有am am 1ak .說明理由；找出全部數(shù)列an 和bn ,使對一切nN * , an 1bn,并說明理由；an 如a1 5, d 4, b1 q3, 試確定全部的p ,使數(shù)列an 中存在某個連續(xù)p 項(xiàng)的和是數(shù)列bn 解法一（1）由am am 1ak ,得6m

59、5 3k 1,2分整理后,可得k 2m 4m ,k N,k 2m 為整數(shù),3 ,Q 不存在m ,k N,使等式成立；5分（2）如an 1bn a1 a1 nd n 1 b q （* ）an 1d q1 時,才能等于,即,（）如dn 1 0, 就1b1 q bn ；當(dāng) an 為非零常數(shù)列, bn 為恒等于1 的常數(shù)列,中意要求；7分（）如d0,（*）式等號左邊取極限得lim na1 a1 nd 1,（*）式等號右邊的極限只有當(dāng)n 1d 此時等號左邊是常數(shù),d0 ,沖突；綜上所述,只有當(dāng) an 為非零常數(shù)列, bn 為恒等于1的常數(shù)列,中意要求；10分【解法二】設(shè)a nnd c, 如an 1b ,

60、且b n為等比數(shù)列an就an 2/ an 1q, 對 n * N 都成立,即an an 22 qa n 1 an 1an dn c dn 2d c q dn d c2 對N * 都成立,a 2 qd 2 .7n 分如d=0,就anc 0, b n1,n N * 如d 0, 就q=1, bn m （常數(shù)）即dn dc c m,就d=0,沖突dn 第 26 頁,共 30 頁綜上所述,有an c 0,bn 1,使對一切n * N , an 1bn ,310 分an （3）an 4n 1, bn 3 , n nN * 13 分設(shè)am 1am 2am pbk 3 , p,k * N ,m N. 4m 1