2022屆湖南省長沙市重點中學數學高二第二學期期末聯(lián)考模擬試題含解析

1、2021-2022高二下數學模擬試卷請考生注意：1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認真閱讀答題紙上的注意事項，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1設隨機變量X的分布列為P(Xi)a()i，i1，2，3，則a的值為()A1BCD2在某次體檢中，學號為（）的四位同學的體重是集合中的元素，并滿足，則這四位同學的體重所有可能的情況有（ ）A55種B60種C65種D70種3已知曲線，給出下列命

2、題：曲線關于軸對稱；曲線關于軸對稱；曲線關于原點對稱；曲線關于直線對稱；曲線關于直線對稱，其中正確命題的個數是（ ）A1B2C3D44若，則的值為（ ）A-2B-1C0D15已知雙曲線上有一個點A，它關于原點的對稱點為B，雙曲線的右焦點為F，滿足，且，則雙曲線的離心率e的值是ABC2D6用反證法證明命題“若，則全為”，其反設正確的是（ ）A至少有一個不為B至少有一個為C全不為D中只有一個為7已知雙曲線的方程為，則下列說法正確的是（ ）A焦點在軸上B漸近線方程為C虛軸長為4D離心率為8利用獨立性檢驗的方法調查大學生的性別與愛好某項運動是否有關，通過隨機詢問111名不同的大學生是否愛好某項運動，利

3、用列聯(lián)表，由計算可得P（K2k）1111141124111111141111k2615384141245534686911828參照附表，得到的正確結論是（ ）A有84%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”B有84%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”C在犯錯誤的概率不超過114%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”D在犯錯誤的概率不超過114%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”9使不等式成立的一個充分不必要條件是（ ）ABC或D10內接于半徑為的半圓且周長最大的矩形的邊長為（ ）A和B和C和D和11一口袋里有大小形狀完全相同的10個小球，其中紅球與白球各2個，黑球與黃球各3

4、個，從中隨機取3次，每次取3個小球，且每次取完后就放回，則這3次取球中，恰有2次所取的3個小球顏色各不相同的概率為（ ）ABCD12是（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13若曲線(為常數)不存在斜率為負數的切線，則實數的取值范圍是_14選修4-5：不等式選講設函數，（）求不等式的解集；（）若，恒成立，求實數的取值范圍15設，若函數有大于零的極值點，則實數的取值范圍是_16將一個總體分為A、B、C三層，其個體數之比為5：3：2，若用分層抽樣方法抽取容量為100的樣本，則應從C中抽取_個個體三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、

5、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數，其對稱軸為y軸（其中為常數）.（1）求實數的值；（2）記函數，若函數有兩個不同的零點，求實數的取值范圍；（3）求證：不等式對任意成立.18（12分）在直角坐標系中，直線，圓,以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系（1）求，的極坐標方程；（2）若直線的極坐標方程為，設的交點為，求的面積19（12分）已知橢圓的長軸長為，且橢圓與圓的公共弦長為（1）求橢圓的方程. （2）過點作斜率為的直線與橢圓交于兩點，試判斷在軸上是否存在點，使得為以為底邊的等腰三角形.若存在，求出點的橫坐標的取值范圍，若不存在，請說明理由.20（12分）袋中有紅、黃、白色球各1個

6、，每次任取1個，有放回地抽三次，求基本事件的個數，寫出所有基本事件的全集，并計算下列事件的概率：（1）三次顏色各不相同；（2）三次顏色不全相同；（3）三次取出的球無紅色或黃色21（12分）（1）化簡：；（2）我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于的偶數可以表示為兩個素數的和”，如，在不超過的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和等于的概率是多少?22（10分）甲、乙兩位同學進入新華書店購買數學課外閱讀書籍，經過篩選后，他們都對三種書籍有購買意向，已知甲同學購買書籍的概率分別為,乙同學購買書籍的概率分別為,假設甲、乙是否購買三種書籍相互獨立.（1）求甲同

7、學購買3種書籍的概率；（2）設甲、乙同學購買2種書籍的人數為,求的概率分布列和數學期望.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據分布列中所有概率和為1求a的值.【詳解】因為P(Xi)a()i，i1，2，3，所以，選D.【點睛】本題考查分布列的性質，考查基本求解能力.2、D【解析】根據中等號所取個數分類討論，利用組合知識求出即可.【詳解】解：當中全部取等號時，情況有種；當中有兩個取等號，一個不取等號時，情況有種；當中有一個取等號，兩個不取等號時，情況有種；當中都不取等號時，情況有種；共種.故選：D.【點睛】本

8、題考查分類討論研究組合問題，關鍵是要找準分類標準，是中檔題.3、C【解析】根據定義或取特殊值對曲線的對稱性進行驗證，可得出題中正確命題的個數.【詳解】在曲線上任取一點，該點關于軸的對稱點的坐標為，且，則曲線關于軸對稱，命題正確；點關于軸的對稱點的坐標為，且，則曲線關于軸對稱，命題正確；點關于原點的對稱點的坐標為，且，則曲線關于原點對稱，命題正確；在曲線上取點，該點關于直線的對稱點坐標為，由于，則曲線不關于直線對稱，命題錯誤；在曲線上取點，該點關于直線的對稱點的坐標為，由于，則曲線不關于直線對稱，命題錯誤.綜上所述，正確命題的個數為.故選：C.【點睛】本題考查曲線對稱性的判定，一般利用對稱性的定

9、義以及特殊值法進行判斷，考查推理能力，屬于中等題.4、B【解析】令，即可求出的值.【詳解】解：在所給等式中，令，可得等式為，即.故選：B.【點睛】本題考查二項式定理的展開使用及靈活變求值，特別是解決二項式的系數問題，常采用賦值法，屬于中檔題.5、B【解析】設是雙曲線的左焦點，由題可得是一個直角三角形，由，可用表示出，利用雙曲線定義列方程即可求解【詳解】依據題意作圖，如下：其中是雙曲線的左焦點，因為，所以，由雙曲線的對稱性可得：四邊形是一個矩形，且，在中，,由雙曲線定義得：，即：，整理得：，故選B【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單性質及雙曲線定義，考查計算能力，屬于基礎題6、A【解析】由反證法的

10、定義：證明命題“若，則全為”，其反設為至少有一個不為 .本題選擇A選項.7、B【解析】根據雙曲線方程確定雙曲線焦點、漸近線方程、虛軸長以及離心率，再判斷得到答案.【詳解】雙曲線的方程為，則雙曲線焦點在軸上；漸近線方程為；虛軸長為；離心率為，判斷知正確.故選：【點睛】本題考查了雙曲線的焦點，漸近線，虛軸長和離心率，意在考查學生對于雙曲線基礎知識的掌握情況.8、B【解析】解：計算K28.8156.869，對照表中數據得出有1.114的幾率說明這兩個變量之間的關系是不可信的，即有11.114=8.4%的把握說明兩個變量之間有關系，本題選擇B選項.9、A【解析】首先解出不等式，因為是不等式成立的一個充

11、分不必要條件，所以滿足是不等式的真子集即可【詳解】因為，所以或，需要是不等式成立的一個充分不必要條件，則需要滿足是的真子集的只有A,所以選擇A【點睛】本題主要考查了解不等式以及命題之間的關系，屬于基礎題10、D【解析】作出圖像,設矩形,圓心為,再根據三角函數關系表達矩形的長寬,進而列出周長的表達式,根據三角函數的性質求解即可.【詳解】如圖所示：設矩形,由題意可得矩形的長為,寬為,故矩形的周長為,其中,.故矩形的周長的最大值等于,此時,.即,再由可得,故矩形的長為,寬為,故選：D.【點睛】本題主要考查了根據角度表達幾何中長度的關系再求最值的問題,需要根據題意設角度,結合三角函數與圖形的關系求出邊

12、長,再利用三角函數的性質求解.屬于中檔題.11、C【解析】每次所取的3個小球顏色各不相同的概率為：，這3次取球中，恰有2次所取的3個小球顏色各不相同的概率為：.本題選擇C選項.12、B【解析】利用象限角的定義直接求解，即可得到答案【詳解】由題意，所以表示第二象限角，故選B【點睛】本題主要考查了角所在象限的判斷，考查象限角的定義等基礎知識，考查了推理能力與計算能力，是基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：令y1在（1，+）上恒成立可得a，根據右側函數的值域即可得出a的范圍詳解：y=+2ax，x（1，+），曲線y=lnx+ax2（a為常數）不存在斜率為負數的切線

13、，y=1在（1，+）上恒成立，a恒成立，x（1，+）令f（x）=，x（1，+），則f（x）在（1，+）上單調遞增，又f（x）=1，a1故答案為：點睛：利用導數研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構造函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數的取值范圍；也可分離變量，構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題.14、（1）；（2）.【解析】試題分析：（I）利用零點分段法去絕對值，將函數化為分段函數，由此求得不等式的解集為；（II）由（I）值，函數的最小值為，即，由此解得.試題解析：（I），當，當，當，綜上所述.（II）易得，若，恒成立，則只需，綜上所述.考點：

14、不等式選講15、【解析】先求導數，求解導數為零的根，結合根的分布求解.【詳解】因為，所以，令得，因為函數有大于0的極值點，所以，即.【點睛】本題主要考查利用導數研究函數的極值點問題，極值點為導數的變號零點，側重考查轉化化歸思想.16、1【解析】解：A、B、C三層，個體數之比為5：3：2又有總體中每個個體被抽到的概率相等，分層抽樣應從C中抽取100=1故答案為1三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）證明見解析【解析】（1）由二次函數的性質可知對稱軸為,則,即可求解；（2）由（1）,則,轉化函數有兩個不同的零點為方程有兩個不相等的實數根,則,進而求解

15、即可；（3）將與分別代入中可得,利用配方法證明即可.【詳解】（1）解:因為的對稱軸為軸,而的對稱軸為,所以有,所以（2）解:依題意有兩個不同的零點,即關于的方程有兩個不相等的實數根,所以,即,則（3）證明:因為恒成立,所以對恒成立【點睛】本題考查二次函數的圖象與性質的應用,考查二次函數零點的個數的問題,考查不等式恒成立的證明.18、 (1),；(2)【解析】試題分析：（1）將代入的直角坐標方程，化簡得，；（2）將代入，得得， 所以，進而求得面積為.試題解析：（1）因為，所以的極坐標方程為，的極坐標方程為（2）將代入得得， 所以因為的半徑為1，則的面積為考點：坐標系與參數方程.19、（1）（2）

16、【解析】試題分析：（1）由長軸長可得值，公共弦長恰為圓直徑，可知橢圓經過點，利用待定系數法可得橢圓方程；（2）可令直線的解析式為，設，的中點為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去，利用根與系數的關系可得，由等腰三角形中，可得，得出中由此可得點的橫坐標的范圍試題解析：（1）由題意可得，所以.由橢圓與圓：的公共弦長為，恰為圓的直徑，可得橢圓經過點，所以，解得.所以橢圓的方程為.（2）直線的解析式為，設，的中點為.假設存在點，使得為以為底邊的等腰三角形，則.由得，故，所以，.因為，所以，即，所以.當時，所以；當時，所以.綜上所述，在軸上存在滿足題目條件的點，且點的橫坐標的取值范圍為.點睛：本題主要考查橢

17、圓的標準方程和幾何性質,直線與橢圓的位置關系,基本不等式,及韋達定理的應用.解析幾何大題的第一問一般都是確定曲線的方程,常見的有求參數確定方程和求軌跡確定方程,第二問一般為直線與橢圓的位置關系,解決此類問題一般需要充分利用數形結合的思想轉化給出的條件,可將幾何條件轉化為代數關系,從而建立方程或者不等式來解決.20、（1）；（2）；（3）；【解析】按球顏色寫出所有基本事件；（1）計數三次顏色各不相同的事件數，計算概率；（2）計數三次顏色全相同的事件數，從對立事件角度計算概率；（3）計數三次取出的球無紅色或黃色事件數，計算概率；【詳解】按抽取的順序，基本事件全集為：（紅紅紅），（紅紅黃），（紅紅藍

18、），（紅黃紅），（紅黃黃），（紅黃藍），（紅藍紅），（紅藍黃），（紅藍藍），（黃紅紅），（黃紅黃），（黃紅藍），（黃黃紅），（黃黃黃），（黃黃藍），（黃藍紅），（黃藍黃），（黃藍藍），（藍紅紅），（藍紅黃），（藍紅藍），（藍黃紅），（藍黃黃），（藍黃藍），（藍藍紅），（藍藍黃），（藍藍藍），共27個（1）三次顏色各不相同的事件有（紅黃藍），（紅藍黃），（黃紅藍），（黃藍紅），（藍紅黃），（藍黃紅），共6個，概率為；（2）其中顏色全相同的有3個，因此所求概率為；（3）三次取出的球紅黃都有的事件有12個，因此三次取出的球無紅色或黃色事件有15個，概率為無紅色或黃色事件【點睛】本題考查古典概型概率，解題關鍵是寫出所有基本事件的集合，然后按照要求計數即可，當然有時也可從對立事件的角度考慮21、（1）詳見解析；（2）【解析】（1）根據組合數的運算公式求解；（2）首先列舉所有不超過30的素數，然后按照古典概型寫出概率.【詳解】（1） （2）不超過30的素數有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10個，任取2個不同的數有種方法，其中和為30的有共三組，則【點睛】本題考