馬氏鏈模型和matlab程序

1、.一、用法,用來干什么,什么時(shí)候用二、步驟,前因后果,算法的步驟,公式三、程序四、舉例五、前面國(guó)賽用到此算法的備注一下馬氏鏈模型用來干什么馬爾可夫預(yù)測(cè)法是應(yīng)用概率論中馬爾可夫鏈Markov chain的理論和方法來研究分析時(shí)間序列的變化規(guī)律,并由此預(yù)測(cè)其未來變化趨勢(shì)的一種預(yù)測(cè)技術(shù)。什么時(shí)候用應(yīng)用馬爾可夫鏈的計(jì)算方法進(jìn)行馬爾可夫分析, 主要目的是根據(jù)某些變量現(xiàn)在的情況及其變動(dòng)趨向,來預(yù)測(cè)它在未來某特定區(qū)間可能產(chǎn)生的變動(dòng),作為提供某種決策的依據(jù)。馬爾可夫鏈的基本原理我們知道,要描述某種特定時(shí)期的隨機(jī)現(xiàn)象如某種藥品在未來某時(shí)期的銷售情況,比如說第n季度是暢銷還是滯銷,用一個(gè)隨機(jī)變量Xn便可以了,但要

2、描述未來所有時(shí)期的情況,則需要一系列的隨機(jī)變量 X1,X2,Xn,稱 Xt,tT ,T是參數(shù)集為隨機(jī)過程, Xt 的取值集合稱為狀態(tài)空間若隨機(jī)過程 Xn 的參數(shù)為非負(fù)整數(shù), Xn 為離散隨機(jī)變量,且 Xn 具有無后效性或稱馬爾可夫性,則稱這一隨機(jī)過程為馬爾可夫鏈簡(jiǎn)稱馬氏鏈所謂無后效性,直觀地說,就是如果把 Xn 的參數(shù)n看作時(shí)間的話,那么它在將來取什么值只與它現(xiàn)在的取值有關(guān),而與過去取什么值無關(guān)對(duì)具有N個(gè)狀態(tài)的馬氏鏈,描述它的概率性質(zhì),最重要的是它在n時(shí)刻處于狀態(tài)i下一時(shí)刻轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的一步轉(zhuǎn)移概率：若假定上式與n無關(guān),即,則可記為此時(shí),稱過程是平穩(wěn)的,并記 1稱為轉(zhuǎn)移概率矩陣轉(zhuǎn)移概率矩陣具有

3、下述性質(zhì)：1即每個(gè)元素非負(fù)2即矩陣每行的元素和等于1如果我們考慮狀態(tài)多次轉(zhuǎn)移的情況,則有過程在n時(shí)刻處于狀態(tài)i,n+k時(shí)刻轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的k步轉(zhuǎn)移概率：同樣由平穩(wěn)性,上式概率與n無關(guān),可寫成記2稱為k步轉(zhuǎn)移概率矩陣其中具有性質(zhì)：； 一般地有,若為一步轉(zhuǎn)移矩陣,則k步轉(zhuǎn)移矩陣32狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的估算在馬爾可夫預(yù)測(cè)方法中,系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率的估算非常重要估算的方法通常有兩種：一是主觀概率法,它是根據(jù)人們長(zhǎng)期積累的經(jīng)驗(yàn)以及對(duì)預(yù)測(cè)事件的了解,對(duì)事件發(fā)生的可能性大小的一種主觀估計(jì),這種方法一般是在缺乏歷史統(tǒng)計(jì)資料或資料不全的情況下使用二是統(tǒng)計(jì)估算法,現(xiàn)通過實(shí)例介紹如下例3 記錄了某抗病毒藥的6年24個(gè)季度的

4、銷售情況,得到表1試求其銷售狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率矩陣表1 某抗病毒藥24個(gè)季度的銷售情況季度銷售狀態(tài)季度銷售狀態(tài)季度銷售狀態(tài)季度銷售狀態(tài)11 7113119221811412013291152212411021622215211117123162122181241分析表中的數(shù)據(jù),其中有15個(gè)季度暢銷,9個(gè)季度滯銷,連續(xù)出現(xiàn)暢銷和由暢銷轉(zhuǎn)入滯銷以及由滯銷轉(zhuǎn)入暢銷的次數(shù)均為7,連續(xù)滯銷的次數(shù)為2由此,可得到下面的市場(chǎng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況表表2表2 市場(chǎng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況表 市市場(chǎng)狀態(tài)次 數(shù)市 場(chǎng) 狀 態(tài)下季度藥品所處的市場(chǎng)狀態(tài)1暢銷2滯銷本季度藥品所1暢銷77處的市場(chǎng)狀態(tài)2滯銷72現(xiàn)計(jì)算轉(zhuǎn)移概率以頻率代替概率,可得連

5、續(xù)暢銷的概率：分母中的數(shù)為15減1是因?yàn)榈?4季度是暢銷,無后續(xù)記錄,需減1同樣得由暢銷轉(zhuǎn)入滯銷的概率：滯銷轉(zhuǎn)入暢銷的概率：連續(xù)滯銷的概率：綜上,得銷售狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為：從上面的計(jì)算過程知,所求轉(zhuǎn)移概率矩陣P的元素其實(shí)可以直接通過表2中的數(shù)字計(jì)算而得到,即將表中數(shù)分別除以該數(shù)所在行的數(shù)字和便可：Matlab程序：format ratclca= 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2,1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1;for i=1:2for j=1:2f=lengthfindstr;endendfni=sumfor i=1:2p=f/ni;endp由此,推廣到一般情況,

6、我們得到估計(jì)轉(zhuǎn)移概率的方法：假定系統(tǒng)有m種狀態(tài)S1,S2,Sm,根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移的歷史記錄,得到表3的統(tǒng)計(jì)表格,以表示系統(tǒng)從狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移概率估計(jì)值,則由表3的數(shù)據(jù)計(jì)算估計(jì)值的公式如下：表3 系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況表狀狀態(tài)次 數(shù) 狀 態(tài)系統(tǒng)下步所處狀態(tài)S1S2Sm系統(tǒng)S1n11n12n1m本步S2n21n22n2m所處狀態(tài)Smn m1n m2n mm3帶利潤(rùn)的馬氏鏈在馬氏鏈模型中,隨著時(shí)間的推移,系統(tǒng)的狀態(tài)可能發(fā)生轉(zhuǎn)移,這種轉(zhuǎn)移常常會(huì)引起某種經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的變化如抗病毒藥的銷售狀態(tài)有暢銷和滯銷兩種,在時(shí)間變化過程中,有時(shí)呈連續(xù)暢銷或連續(xù)滯銷,有時(shí)由暢銷轉(zhuǎn)為滯銷或由滯銷轉(zhuǎn)為暢銷,每次轉(zhuǎn)移不是盈利

7、就是虧本假定連續(xù)暢銷時(shí)盈r11元,連續(xù)滯銷時(shí)虧本r22元,由暢銷轉(zhuǎn)為滯銷盈利r12元,由滯銷轉(zhuǎn)為暢銷盈利r21元,這種隨著系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移,賦予一定利潤(rùn)的馬氏鏈,稱為有利潤(rùn)的馬氏鏈對(duì)于一般的具有轉(zhuǎn)移矩陣的馬氏鏈,當(dāng)系統(tǒng)由i轉(zhuǎn)移到j(luò)時(shí),賦予利潤(rùn)riji,j=1,2,N,則稱 5為系統(tǒng)的利潤(rùn)矩陣,rij 0稱為盈利,rij 0稱為虧本,rij = 0稱為不虧不盈隨著時(shí)間的變化,系統(tǒng)的狀態(tài)不斷地轉(zhuǎn)移,從而可得到一系列利潤(rùn),由于狀態(tài)的轉(zhuǎn)移是隨機(jī)的,因而一系列的利潤(rùn)是隨機(jī)變量,其概率關(guān)系由馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率決定例如從抗病毒藥的銷售狀態(tài)的轉(zhuǎn)移矩陣,得到一步利潤(rùn)隨機(jī)變量、的概率分布分別為： r11r12r21r

8、22概 率p11p12概 率p21p22其中 p11+ p12 = 1 ,p21+ p22 = 1如果藥品處于暢銷階段,即銷售狀態(tài)為i =1,我們想知道,經(jīng)過n個(gè)季度以后,期望獲得的利潤(rùn)是多少？為此,引入一些計(jì)算公式首先,定義為抗病毒藥現(xiàn)在處于,經(jīng)過步轉(zhuǎn)移之后的總期望利潤(rùn),則一步轉(zhuǎn)移的期望利潤(rùn)為：其中是隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二步轉(zhuǎn)移的期望利潤(rùn)為：其中隨機(jī)變量稱為二步利潤(rùn)隨機(jī)變量的分布為：例如,若, 則抗病毒藥銷售的一步利潤(rùn)隨機(jī)變量：933-7概 率0.50.5概 率0.40.6抗病毒藥暢銷和滯銷時(shí)的一步轉(zhuǎn)移的期望利潤(rùn)分別為：二步利潤(rùn)隨機(jī)變量為：9+63-33+6-7-3概 率0.50.5概 率0.

9、40.6抗病毒藥暢銷和滯銷時(shí)的二步轉(zhuǎn)移的期望利潤(rùn)分別為：一般地定義k步轉(zhuǎn)移利潤(rùn)隨機(jī)變量的分布為：則系統(tǒng)處于狀態(tài)i經(jīng)過k步轉(zhuǎn)移后所得的期望利潤(rùn)的遞推計(jì)算式為： 6當(dāng)k=1時(shí),規(guī)定邊界條件稱一步轉(zhuǎn)移的期望利潤(rùn)為即時(shí)的期望利潤(rùn),并記可能的應(yīng)用題型題型一、市場(chǎng)占有率預(yù)測(cè)例題1在購(gòu)買該藥的總共1000家對(duì)象購(gòu)買力相當(dāng)?shù)尼t(yī)院、藥店等中,買A、B、C三藥廠的各有400家、300家、300家,預(yù)測(cè)A、B、C三個(gè)廠家生產(chǎn)的某種抗病毒藥在未來的市場(chǎng)占有情況。顧客訂貨情況如下表5：表5 顧客訂貨情況表 下季度訂貨情況合計(jì)來自ABCA160120120400B1809030300C1803090300合計(jì)520240

10、2401000模型建立與求解一、問題分析目前的市場(chǎng)占有情況為：在購(gòu)買該藥的總共1000家對(duì)象購(gòu)買力相當(dāng)?shù)尼t(yī)院、藥店等中,買A、B、C三藥廠的各有400家、300家、300家,那么A、B、C三藥廠目前的市場(chǎng)占有份額分別為：40%、30%、30%稱0.4,0.3,0.3為目前市場(chǎng)的占有分布或稱初始分布此外,我們需要查清使用對(duì)象的流動(dòng)情況。流動(dòng)情況的調(diào)查可通過發(fā)放信息調(diào)查表來了解顧客以往的資料或?qū)淼馁?gòu)買意向,也可從下一時(shí)期的訂貨單得出。由題已知顧客訂貨情況如下表5表5 顧客訂貨情況表 下季度訂貨情況合計(jì)來自ABCA160120120400B1809030300C1803090300合計(jì)520240

11、2401000模型的建立2.1模型構(gòu)建假定在未來的時(shí)期內(nèi),顧客相同間隔時(shí)間的流動(dòng)情況不因時(shí)期的不同而發(fā)生變化,以1、2、3分別表示顧客買A、B、C三廠家的藥這三個(gè)狀態(tài),以季度為模型的步長(zhǎng)即轉(zhuǎn)移一步所需的時(shí)間,那么根據(jù)表5,我們可以得模型的轉(zhuǎn)移概率矩陣：矩陣中的第一行0.4,0.3,0.3表示目前是A廠的顧客下季度有40%仍買A廠的藥,轉(zhuǎn)為買B廠和C廠的各有30%同樣,第二行、第三行分別表示目前是B廠和C廠的顧客下季度的流向由P我們可以計(jì)算任意的k步轉(zhuǎn)移矩陣,如三步轉(zhuǎn)移矩陣：從這個(gè)矩陣的各行可知三個(gè)季度以后各廠家顧客的流動(dòng)情況如從第二行0.504,0.252,0.244知,B廠的顧客三個(gè)季度后有

12、50.4%轉(zhuǎn)向買A廠的藥,25.2%仍買B廠的,24.4%轉(zhuǎn)向買C廠的藥設(shè)表示預(yù)測(cè)對(duì)象k季度以后的市場(chǎng)占有率,初始分布則為,市場(chǎng)占有率的預(yù)測(cè)模型為 7已知,由此,我們可預(yù)測(cè)任意時(shí)期A、B、C三廠家的市場(chǎng)占有率例如,三個(gè)季度以后的預(yù)測(cè)值為：大致上,A 廠占有一半的市場(chǎng),B廠、C廠各占四分之一模型7可推廣到N個(gè)狀態(tài)的情形：8如果我們按公式7繼續(xù)逐步求A、B、C三家的市場(chǎng)占有率,會(huì)發(fā)現(xiàn),當(dāng)k大到一定的程度,S 將不會(huì)有多少改變,即有穩(wěn)定的市場(chǎng)占有率,設(shè)其穩(wěn)定值為,滿足事實(shí)上,如果市場(chǎng)的顧客流動(dòng)趨向長(zhǎng)期穩(wěn)定下去,則經(jīng)過一段時(shí)期以后的市場(chǎng)占有率將會(huì)出現(xiàn)穩(wěn)定的平衡狀態(tài),即顧客的流動(dòng),不會(huì)影響市場(chǎng)的占有率,

13、而且這種占有率與初始分布無關(guān)如何求出這種穩(wěn)定的市場(chǎng)占有率呢？2.2模型求解以A、B、C三家的情況為例,當(dāng)市場(chǎng)出現(xiàn)平衡狀態(tài)時(shí),從公式7可得方程S = S P,即由此得經(jīng)整理,并加上條件,得0.4 0.3 0.3,0.6 0.3 0.1,0.6 0.1 0.3上方程組是三個(gè)變量四個(gè)方程的方程組,在前三個(gè)方程中只有二個(gè)是獨(dú)立的,任意刪去一個(gè),從剩下的三個(gè)方程中,可求出唯一解：, , 這就是A、B、C三家的最終市場(chǎng)占有率一般N個(gè)狀態(tài)的穩(wěn)定市場(chǎng)占有率穩(wěn)態(tài)概率可通過解方程組 9求得,而9的前N個(gè)方程中只有N-1個(gè)是獨(dú)立的,可任意刪去一個(gè)。MATLAB程序：format ratp=0.4 0.3 0.3,0

14、.6 0.3 0.1,0.6 0.1 0.3;a=p-eye;ones;b=zeros;1;p_limit=ab題型二、期望利潤(rùn)預(yù)測(cè)企業(yè)追逐市場(chǎng)占有率的真正目的是使利潤(rùn)增加,因此,競(jìng)爭(zhēng)各方無論是為了奪回市場(chǎng)份額,還是為了保住或者提高市場(chǎng)份額,在制訂對(duì)策時(shí)都必須對(duì)期望利潤(rùn)進(jìn)行預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)主要分兩步進(jìn)行：市場(chǎng)統(tǒng)計(jì)調(diào)查首先調(diào)查銷路的變化情況,即查清由暢銷到滯銷或由滯銷到暢銷,連續(xù)暢銷或連續(xù)滯銷的可能性是多少其次統(tǒng)計(jì)出由于銷路的變化,獲得的利潤(rùn)和虧損情況建立數(shù)學(xué)模型,列出預(yù)測(cè)公式進(jìn)行預(yù)測(cè)例如,通過市場(chǎng)調(diào)查,我們得到如下的銷路轉(zhuǎn)移表表6和利潤(rùn)變化表表7由此,我們來建立數(shù)學(xué)模型表6 銷路轉(zhuǎn)移表狀狀態(tài)j可 能 性 狀 態(tài) i暢銷滯銷121暢銷0.50.52滯銷0.40.6銷路轉(zhuǎn)移表說明連續(xù)暢銷的可能性為50%,由暢銷轉(zhuǎn)入滯銷的可能性也是50%,由滯銷到暢銷為40%,連續(xù)滯銷的可能性為60%利潤(rùn)表說明的是連續(xù)暢銷獲利900萬元,由暢銷到滯銷或由滯銷到暢銷均獲利300萬元,連續(xù)滯銷則虧損700萬元從而得到銷售狀態(tài)的轉(zhuǎn)移矩陣P和利潤(rùn)矩陣R分別為：表7 利潤(rùn)變化表單位：百萬元狀狀態(tài)j利 潤(rùn) 狀 態(tài) i暢銷滯銷121暢銷932滯銷3-7P和R便構(gòu)成一