探索性數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)驗(yàn)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新素質(zhì)的研究與實(shí)踐

1、探索性數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)驗(yàn)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新素質(zhì)的研究與實(shí)踐摘要：為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新素質(zhì)，采用科學(xué)的思維方 法，進(jìn)行大膽的設(shè)計(jì),探索開(kāi)放式數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)驗(yàn)。本實(shí)驗(yàn)是基于項(xiàng)目案例，如以成 渝地區(qū)旅游交通路線優(yōu)化問(wèn)題為案例，指導(dǎo)學(xué)生查閱、整理資料，通過(guò)數(shù)學(xué)抽象將 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用數(shù)學(xué)理論和經(jīng)典算法建立數(shù)學(xué)模型。探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 提高了學(xué)生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)新實(shí)踐能力 關(guān)鍵詞:探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；創(chuàng)新素養(yǎng)；數(shù)學(xué)模型Research and Practice on Cultivating Students)Innovative QualityThrough Exploratory Mathemat

2、ics Teaching ExperimentAbstract: In order to improve students) interest in learning mathematics and cultivate students) innovation quality, we adopt the scientific thinking method, carry on the bold design, and explore open mathematics teaching experiment. The experiment process basically are the sa

3、me with the scientific research process. The experiments are based on the project case, such as we take the Chengdu-Chongqing area tourism transportation route optimization problem to demand the students to consult，finishing materials. The problem through mathematical abstraction is transformed into

4、 the math problems，then mathematical theory and classical algorithm can be used to build mathematical model and the optimal path of teaching practice. The exploratory mathematical experiment improve students) innovative personality，innovative thinking and innovative practice.Key words： exploratory m

5、athematical experiments; innovation literacy; mathematical modelo引言“創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步的靈魂，是一個(gè)國(guó)家興旺 發(fā)達(dá)的不竭動(dòng)力，也是中華民族最深沉的民族稟賦。” 國(guó)家創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)發(fā)展戰(zhàn)略綱要E指出，要讓創(chuàng)新成為 引領(lǐng)發(fā)展的第一動(dòng)力，要推動(dòng)教育創(chuàng)新,把科學(xué)精神、 創(chuàng)新思維、創(chuàng)造能力和社會(huì)責(zé)任感的培養(yǎng)貫穿教育全過(guò)程。數(shù)學(xué)作為現(xiàn)代理性文化的核心,是科技創(chuàng)新必 不可少的一種資源，是一種普遍適用并賦予人以能力 的技術(shù)，高技術(shù)本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)正在成為 共識(shí)。探索性實(shí)驗(yàn)是指采用科學(xué)思維方法，進(jìn)行大膽設(shè) 計(jì)，探索研究的一種開(kāi)放式教學(xué)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)實(shí)

6、施的基本 程序與科研過(guò)程基本一致。探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅 要用到數(shù)學(xué)知識(shí)，還要用到非數(shù)學(xué)領(lǐng)域的知識(shí),按照分 析整理的數(shù)據(jù)與信息自行設(shè)定已知條件，將問(wèn)題經(jīng)過(guò) 數(shù)學(xué)抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用數(shù)學(xué)經(jīng)典理論和算法 提出解決思路和解決方案。探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)強(qiáng)調(diào)學(xué)生 的主體地位，訓(xùn)練學(xué)生快速獲取信息和資料、快速了解 和堂握新知識(shí)的能力、團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和團(tuán)隊(duì)合作精神、邏輯思維和開(kāi)放性思考方式，是培養(yǎng)大學(xué)生創(chuàng)新素 養(yǎng)一即創(chuàng)新人格、創(chuàng)新思維、創(chuàng)新實(shí)踐的有效途徑1探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的構(gòu)建高校數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過(guò)程中，不能停留在營(yíng)造創(chuàng) 新的“氛圍”、開(kāi)展創(chuàng)新“活動(dòng)”，而應(yīng)設(shè)計(jì)有探索性的 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)任務(wù)，鼓勵(lì)學(xué)生利用創(chuàng)新思維、創(chuàng)新實(shí)踐完

7、成 任務(wù)并及時(shí)給予有效指導(dǎo)。探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與生產(chǎn)、 生活實(shí)際緊密結(jié)合，所解決的問(wèn)題沒(méi)有經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)抽象 和數(shù)量轉(zhuǎn)化，量與量之間的關(guān)系不明確，需要學(xué)生自己 動(dòng)手去采集、分析、整理數(shù)據(jù)和信息。在教學(xué)實(shí)踐中， 利用國(guó)家政策、社會(huì)熱點(diǎn)、生活實(shí)際需求構(gòu)建項(xiàng)目任 務(wù)，驅(qū)動(dòng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，越來(lái)越受 到師生的歡迎與青睞。究其原因，在于探索性數(shù)學(xué)實(shí) 驗(yàn)有一定的挑戰(zhàn)度，沒(méi)有創(chuàng)新就不能完成實(shí)驗(yàn)任務(wù)，學(xué) 生通過(guò)實(shí)驗(yàn)獲取了信息歸結(jié)、探求新知、思維創(chuàng)新，最 終解決問(wèn)題所帶來(lái)的成就感、獲得感探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)構(gòu)建原則上要學(xué)生參與,通過(guò)數(shù) 學(xué)協(xié)會(huì)在全校廣泛征集實(shí)際問(wèn)題，由學(xué)生自行查閱資 料,擬定實(shí)驗(yàn)方案，與指導(dǎo)教師

8、一起敲定實(shí)驗(yàn)方案，發(fā) 布并實(shí)施，學(xué)生自行組隊(duì)開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)以課題的形式 加以推進(jìn)。根據(jù)實(shí)驗(yàn)方案進(jìn)行反復(fù)實(shí)驗(yàn)、討論，提出解 決方案，對(duì)比分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣 度、挑戰(zhàn)度和獲得感;要求學(xué)生撰寫(xiě)實(shí)驗(yàn)報(bào)告,格式應(yīng) 工整，圖文并茂，程序規(guī)范;實(shí)驗(yàn)完成后要總結(jié)匯報(bào)，組 織數(shù)模協(xié)會(huì)學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行總結(jié)，相互交流，取長(zhǎng) 補(bǔ)短。2探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的案例結(jié)合成渝地區(qū)雙城經(jīng)濟(jì)圈這一國(guó)家級(jí)的發(fā)展戰(zhàn) 略,形成了優(yōu)化成渝地區(qū)城市群旅游交通路線為任務(wù) 的實(shí)驗(yàn)題目2019年新型城鎮(zhèn)化建設(shè)重點(diǎn)任務(wù)明確 將成渝城市群與京津冀城市群、長(zhǎng)三角城市群和粵港 澳城市群并列成渝城市群旅游資源非常豐富，連 接旅游城市的高速公路網(wǎng)

9、絡(luò)較為完善,2019年川渝高交通流量等相差不大的情況下,最優(yōu)化路線實(shí)際上就 是遍歷所有旅游城市的最短交通路線。尋求最短路線 是節(jié)約旅游成本、時(shí)間的最好途徑，也是規(guī)劃旅游線路 的首要考慮。于是,問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求遍歷（個(gè)川渝旅 游城市最短的高速公路旅行路線,其中這（個(gè)城市學(xué) 生可以自行選擇。問(wèn)題經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)抽象和轉(zhuǎn)化后，學(xué)生 開(kāi)展實(shí)驗(yàn)的方向明確了，接下來(lái)就是合理假設(shè)和尋求 問(wèn)題的解決方案。2. 2解決問(wèn)題的基礎(chǔ)知識(shí)圖是由表示頂點(diǎn)的集合和表示頂點(diǎn)之間關(guān)系 的集合8組成的，通常表示為$ = （ V,E）,其中，$表 示一個(gè)圖，是圖$中頂點(diǎn)的有窮非空集合,E是圖$ 中邊的有限集合。設(shè)$為圖，圖的頂點(diǎn)集為V =

10、 （,）,邊集為 E = （,=,（），對(duì)圖的每一條邊=（V，V）來(lái)說(shuō)，都對(duì)應(yīng)于一個(gè)實(shí)數(shù)_（可以理解為 邊的“長(zhǎng)度#）,把_稱(chēng)為的“權(quán)”，這樣的圖$稱(chēng)為 “加權(quán)圖”，其加權(quán)鄰接矩陣L = （Z,）（h（可以定義為3一嚴(yán)J,（ V-，V）! E且 _ 為權(quán)8,（ V-,q）8 E初,圖的用途是將圖中的點(diǎn)和映射關(guān)系反映到現(xiàn)實(shí)生 活，例如“頂點(diǎn)”可以對(duì)應(yīng)為旅游交通節(jié)點(diǎn)城市;邊對(duì) 應(yīng)節(jié)點(diǎn)城市公路的長(zhǎng)度,如此便構(gòu)成了一張區(qū)域交通 圖。旅游交通路線是指連接旅游城市的高速公路網(wǎng) 絡(luò),如果只考慮旅游城市與高速公路構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)的拓 撲關(guān)系，可將旅游交通路線抽象成一個(gè)圖（Graph）,其 中旅游城市是圖的頂點(diǎn)；連接

11、旅游城市的高速公路是 圖的邊。在圖論中，最短路問(wèn)題通常指求加權(quán)圖中兩 個(gè)指定點(diǎn)（一般為不相鄰的點(diǎn)）之間的最短路徑。許 多學(xué)者開(kāi)展了最短路問(wèn)題和最短路徑優(yōu)化問(wèn)題的研 究,如文獻(xiàn)申2。初,0-1規(guī)劃是決策變量?jī)H取值0或1的規(guī)劃模型。 0-1變量可以數(shù)量化地描述諸如開(kāi)與關(guān)、取與棄、有與 無(wú)等現(xiàn)象所反映的離散變量間的邏輯關(guān)系、順序關(guān)系, 以及互斥的約束條件，因此0-1規(guī)劃模型非常適合描速總里程超10 000 km,預(yù)計(jì)到2022年將達(dá)到12 000述和解決如線路設(shè)計(jì)、工廠選址、生產(chǎn)計(jì)劃安排、人員km,高速公路在促進(jìn)交通運(yùn)輸與旅游融合發(fā)展發(fā)揮了安排、代碼選取、可靠性等人們所關(guān)心的多種問(wèn)題，是重要作用。旅

12、游交通特別是高速公路交通的便利程運(yùn)籌學(xué)的重要分支品。度，是區(qū)域旅游業(yè)是否發(fā)達(dá)的重要因素。試從旅游一2- 3兩點(diǎn)之間最短路問(wèn)題一般模型體化發(fā)展、旅行成本最小化的角度，優(yōu)化成渝城市群旅 游交通路線。2.1問(wèn)題的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化針對(duì)該問(wèn)題，學(xué)生查閱、整理和分析相關(guān)資料，得 到如下結(jié)論:旅游交通路線的選擇是旅行組織最優(yōu)先 考慮首要成本要素，尋求最短的交通路線是游客追求 時(shí)間最少獲得更多的旅游體驗(yàn)、旅行社追求最小的成 本獲得最大的收益的前提。在旅游交通線路線路況、已知無(wú)向加權(quán)圖有n個(gè)頂點(diǎn)，設(shè)為V1 ,V2，v（，見(jiàn) 圖1。假設(shè)圖$的加權(quán)鄰接矩陣為Z11Z12Z1nrZ21Z22Z2nL0 =-Zn1Zn2Znn

13、 -圖1有(個(gè)頂點(diǎn)的加權(quán)圖其中:1-=0若V巧.之間沒(méi)有邊，不直接連通，則lLJ = 8 ；若 V 之間有邊，則 l-j = _-j,i,j = 1,2,(。圖 1 是無(wú)向圖,Co是對(duì)稱(chēng)矩陣,I- = lj-。利用Floyd算法計(jì)算各頂點(diǎn)之間的最短通路值, 其基本思路是:遞推產(chǎn)生一個(gè)矩陣序列1,11,1=, 1，L( , Lk ( - ,j)表示從頂點(diǎn)V-到頂點(diǎn)%的路徑上所 經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)序號(hào)不大于k的最短路徑長(zhǎng)度。建立迭代 模型如下：1k ( - J) D min( Lk_i( i,j) ,1k-i( -,k) + 1k-i( k J)($) 其中:k是迭代次數(shù)，-,j,k = 1,2 ,(。當(dāng)

14、k 時(shí),L( 即是各頂點(diǎn)之間的最短路徑m2。2. 4遍歷所有頂點(diǎn)的最短路徑一般模型假設(shè)(個(gè)頂點(diǎn)每2個(gè)頂點(diǎn)以最短的距離互相連 通表示V-到的最短距離。設(shè)0-1矩陣0,若不經(jīng)過(guò)V-到V這條線 1 ,若經(jīng)過(guò)V-到V這條線X- = ( -7)nxn，且 X = 于是，X- = ( -7)nxn，且 X = J=1,9-=1,2,(;若每個(gè)點(diǎn)之前只有一個(gè)點(diǎn)，則$=-=1 ,-9j1 , = 1,2 同時(shí)，為避免在一次遍歷(個(gè)點(diǎn)的計(jì) 算過(guò)程中產(chǎn)生多于一個(gè)互不相連的回路，加入約束條 件,引入額外變量0-( - = 1,2,(),使得:u- - 0 +(-j-1,1 - =1,則 u- u & 1 且 u u

15、- & 1,于是 0 & 2,矛 盾。另一方面,V-、V和Vk不可能構(gòu)成回路。若構(gòu)成回 路,則 -j = 1、jk = 1 且 k- = 1，于是 0- U & - 1、uj uk & 1且uk u- & 1,三式子相加可得0& 3，矛盾。于是可以建立最短路徑的一般模型如下：min b = $ )砂可(2)-,=1ns.t. $ x-j = 1 -=1,9-n$ x- = 14 A TkK 字 ic .k- - kj + xu & n - 1 , 1 =1 l ( n-2) * x( k,1)；endmodel:sets:xjd/1. . 9/: u;link( xjd ,xjd):dist,

16、x；endsetsdata:dist =084 121 167 99 126 192 218 24584 0 76 198 124 198 230 290 329121 76 0 274 134 208 178 300 366167 198 274 0 266 293 359 310 3263探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的效果本探索性實(shí)驗(yàn)解決問(wèn)題采用的算法和軟件較多, 大致可以歸納為以下幾個(gè)算法和軟件（見(jiàn)表3 ） !兩點(diǎn)之間最遍歷所有頂點(diǎn)的可利用短路徑求法最優(yōu)化路徑求法的程序1.0-L線性規(guī)劃模型1. Dijkstra 算法2.圖的賦權(quán)路徑矩陣算法或 2. Floyd算法C+、Java、3 蟻群算法（改進(jìn)蟻

17、群3, ,3馭群算法（改進(jìn)馭群模型3.04線性規(guī)劃M(mǎn)atlabmodel:sets:xjd/1. . 9/: u;link( xjd ,xjd):dist,x；endsetsdata:dist =084 121 167 99 126 192 218 24584 0 76 198 124 198 230 290 329121 76 0 274 134 208 178 300 366167 198 274 0 266 293 359 310 3263探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的效果本探索性實(shí)驗(yàn)解決問(wèn)題采用的算法和軟件較多, 大致可以歸納為以下幾個(gè)算法和軟件（見(jiàn)表3 ） !兩點(diǎn)之間最遍歷所有頂點(diǎn)的可利用短路徑求

18、法最優(yōu)化路徑求法的程序1.0-L線性規(guī)劃模型1. Dijkstra 算法2.圖的賦權(quán)路徑矩陣算法或 2. Floyd算法C+、Java、3 蟻群算法（改進(jìn)蟻群3, ,3馭群算法（改進(jìn)馭群模型3.04線性規(guī)劃M(mǎn)atlab#Lingo算法）模型4.改進(jìn)A*算法表3學(xué)生采用的算法和軟件99 124 134 266 0 74 106 166 246 _圖3 9個(gè)城市高速最短路徑學(xué)生基于圖論知識(shí)，積極學(xué)習(xí)、掌握以上算法的基 本思路，融匯貫通，創(chuàng)建了切實(shí)可行的模型，比較圓滿(mǎn) 地解決了問(wèn)題。對(duì)于參與本實(shí)驗(yàn)的12個(gè)小組使用的 算法情況統(tǒng)計(jì)如表4。表4 12個(gè)小組使用的算法、程序統(tǒng)計(jì)算法或程序組數(shù)兩點(diǎn)之間最Di

19、jkstra 算法4短路徑求法Floyd算法60-1線性規(guī)劃模型2遍歷所有頂點(diǎn)的O-1線性規(guī)劃模型M最優(yōu)化路徑求法圖的賦權(quán)路徑矩陣1蟻群算法（改進(jìn)蟻群算法）2改進(jìn)/算法1程序)+2Java1Matlab5Lingo4通過(guò)實(shí)施探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，對(duì)學(xué)生創(chuàng)新人格、創(chuàng)新 思維、創(chuàng)新實(shí)踐有積極影響，有效培養(yǎng)了大學(xué)生的創(chuàng)新 素養(yǎng)。具體表現(xiàn)在以下3個(gè)方面:激發(fā)了學(xué)生好奇 心,培養(yǎng)勇于挑戰(zhàn)、獨(dú)立自信的良好特質(zhì),解決了 “想 不想”的問(wèn)題。探索性實(shí)驗(yàn)來(lái)源于生產(chǎn)生活，沒(méi)有經(jīng) 過(guò)數(shù)學(xué)抽象和數(shù)量轉(zhuǎn)化，沒(méi)有解決的范式和套路，具有 一定的難度和挑戰(zhàn)性，能有效激發(fā)學(xué)生的好奇心、樹(shù)立 學(xué)生自信心，引導(dǎo)學(xué)生不畏困難、勇于挑戰(zhàn)。訓(xùn)

20、練學(xué) 生進(jìn)行信息梳理聚焦，多角度尋找解決問(wèn)題的方法，鍛 煉了學(xué)生思維能力，解決“能不能”的問(wèn)題。實(shí)驗(yàn)以項(xiàng) 目的方式展開(kāi)，鼓勵(lì)學(xué)生積極探索，運(yùn)用新知識(shí)、新技 術(shù)、新方法開(kāi)展實(shí)驗(yàn)研究。統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，學(xué)生在實(shí)驗(yàn) 中創(chuàng)新運(yùn)用了各種新知識(shí)、新理論和新軟件，進(jìn)一步鍛 煉了學(xué)生邏輯思維和開(kāi)放性思考方式,拓展了學(xué)生理 論知識(shí)的應(yīng)用實(shí)踐,有效培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。有 效驅(qū)動(dòng)學(xué)生全身心投入創(chuàng)新實(shí)踐，解決學(xué)生“做不做” 的問(wèn)題。探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)鍛煉了學(xué)生快速獲取信息和 資料的能力,學(xué)生必須快速查閱大量信息和資料，才能 對(duì)問(wèn)題有全面、深入地了解，問(wèn)題的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化才準(zhǔn)確、 具體;實(shí)驗(yàn)中每個(gè)人分工明確，同時(shí)又相互協(xié)作，一起 討論實(shí)驗(yàn)方案，充分討論數(shù)學(xué)模型和求解方案,在個(gè)性 得到充分彰顯的同時(shí)，更注重團(tuán)隊(duì)協(xié)作。表5所示清晰地列出了探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對(duì)學(xué)生創(chuàng) 新素養(yǎng)的培養(yǎng)效果。近年來(lái)，學(xué)生在全國(guó)大學(xué)生建模大賽