求圓的軌跡方程

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)作業(yè)：（1）圓C與圓關(guān)于直線對稱，則圓C的方程為_（答：）；（2）圓心在直線上，且與兩坐標(biāo)軸均相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_（答：或）；（4）如果直線將圓：x2+y2-2x-4y=0平分，且不過第四象限，那么的斜率的取值范圍是_（答：0，2）；（5）方程x2+yx+y+k=0表示一個圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_（答：）；（6）若直線與圓切于點(diǎn)，則的值_（答：2）；（7）直線被曲線所截得的弦長等于 （答：）；（8）一束光線從點(diǎn)A(1,1)出發(fā)經(jīng)x軸反射到圓C:(x-2)2+(y-3

2、)2=1上的最短路程是 （答：4）；（9）已知是圓內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)有以為中點(diǎn)的弦所在直線和直線，則A，且與圓相交 B，且與圓相交C，且與圓相離 D，且與圓相離（答：C）；（10）已知圓C：，直線L：。求證：對，直線L與圓C總有兩個不同的交點(diǎn)；設(shè)L與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若，求L的傾斜角；求直線L中，截圓所得的弦最長及最短時的直線方程. （答：或最長：，最短：）例1 設(shè)方程，若該方程表示一個圓，求m的取值范圍及這時圓心的軌跡方程。分析:配成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程再求解解：配方得： 該方程表示圓，則有，得，此時圓心的軌跡方程為，消去m，得，由得x=m+3所求的軌跡方程是，注意：方程表示圓的充要條件，求軌跡方程時，一

3、定要討論變量的取值范圍，如題中變式1 方程表示圓，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并求出其中半徑最小的圓的方程。解：原方程可化為當(dāng)a時，原方程表示圓。又當(dāng)，所以半徑最小的圓方程為2、用待定系數(shù)法求圓的軌跡方程 例2 求過兩點(diǎn)、且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn)與圓的關(guān)系分析：欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出圓心坐標(biāo)的圓的半徑的大小，而要判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，只須看點(diǎn)與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系，若距離大于半徑，則點(diǎn)在圓外；若距離等于半徑，則點(diǎn)在圓上；若距離小于半徑，則點(diǎn)在圓內(nèi)解法一：（待定系數(shù)法）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為圓心在上，故 圓的方程為又該圓過、兩點(diǎn) 解之得：，所以所求圓的方程為解法二：（直接求出圓心坐標(biāo)和

4、半徑）因?yàn)閳A過、兩點(diǎn)，所以圓心必在線段的垂直平分線上，又因?yàn)?，故的斜率?，又的中點(diǎn)為，故的垂直平分線的方程為：即又知圓心在直線上，故圓心坐標(biāo)為半徑故所求圓的方程為又點(diǎn)到圓心的距離為 點(diǎn)在圓外說明：本題利用兩種方法求解了圓的方程，都圍繞著求圓的圓心和半徑這兩個關(guān)鍵的量，然后根據(jù)圓心與定點(diǎn)之間的距離和半徑的大小關(guān)系來判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，若將點(diǎn)換成直線又該如何來判定直線與圓的位置關(guān)系呢？例3 求半徑為4，與圓相切，且和直線相切的圓的方程分析：根據(jù)問題的特征，宜用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解解：則題意，設(shè)所求圓的方程為圓圓與直線相切，且半徑為4，則圓心的坐標(biāo)為或又已知圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑為3若兩圓相切，則或

5、(1)當(dāng)時，或(無解)，故可得所求圓方程為，或(2)當(dāng)時，或(無解)，故所求圓的方程為，或說明：對本題，易發(fā)生以下誤解：由題意，所求圓與直線相切且半徑為4，則圓心坐標(biāo)為，且方程形如又圓，即，其圓心為，半徑為3若兩圓相切，則故，解之得所以欲求圓的方程為，或上述誤解只考慮了圓心在直線上方的情形，而疏漏了圓心在直線下方的情形另外，誤解中沒有考慮兩圓內(nèi)切的情況也是不全面的點(diǎn)評：在解決求圓的方程這類問題時，應(yīng)當(dāng)注意以下幾點(diǎn)：（1）確定圓方程首先明確是標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程；（2）根據(jù)幾何關(guān)系（如本例的相切、弦長等）建立方程求得、或、；（3）待定系數(shù)法的應(yīng)用，解答中要盡量減少未知量的個數(shù). 3、用幾何方法求

6、圓的軌跡方程例4 設(shè)圓滿足:截軸所得弦長為2;被軸分成兩段圓弧,其弧長的比為3:1,在滿足條件、的所有圓中,求圓心到直線的距離最小的圓的方程。分析:注意挖掘題目的條件,充分利用圓的幾何性質(zhì)解決問題.解法一:設(shè)圓心為,半徑為,則點(diǎn)到軸，軸的距離分別為，。由題設(shè)圓截軸所得劣弧對的圓心角為，知圓截軸的弦長為，故又圓截軸所得的弦長為,所以有.從而得 又點(diǎn)到直線的距離為 所以當(dāng)且僅當(dāng)時上式等號成立,此時，從而取得最小值. 解此方程組得由于知于是,所求圓的方程是:或 解法二:同解法一得將代入上式，整理得 把它看作b的二次方程,由于方程有實(shí)根,故判別式非負(fù),即，得 所以有最小值1，從而有最小值 將其代入式得

7、2b24b+2=0.解得b=1.將b=1代入r2=2b2,得r2=2.由r2=a2+1得a=1.綜上 a=1,b=1,r2=2.由a-2b=1知a,b同號.于是,所求圓的方程是或 點(diǎn)撥:求圓的方程通常有兩類方法,一是幾何法,即通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系進(jìn)而求得圓的基本量（圓心、半徑）和圓的方程，二是代數(shù)法,即根據(jù)題意設(shè)出圓的方程,再利用條件得到有關(guān)方程系數(shù)的方程組,解方程組得到方程系數(shù),從而求出圓的方程. 4、直線與圓的位置關(guān)系例5 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心在第二象限、半徑為的圓與直線相切于坐標(biāo)原點(diǎn)，求圓的方程。解： (1)設(shè)圓心坐標(biāo)為(m，n)（m0）,則該圓的方程為(

8、x-m)2+(y-n)2=8已知該圓與直線y=x相切，那么圓心到該直線的距離等于圓的半徑，則=2 即=4 又圓與直線切于原點(diǎn)，將點(diǎn)(0，0)代入得 m2+n2=8 聯(lián)立方程和組成方程組解得 故 圓的方程為(x+2)2+(y-2)2=8點(diǎn)撥:解決圓的綜合問題時,一方面要充分利用圓的平面幾何知識來解決問題,另一方面還要注意幾何問題代數(shù)化的思想運(yùn)用. 第三部分 課堂練習(xí)1.關(guān)于x,y的方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示一個圓的充要條件是B=0且A=C0,D2+E2-4AF0 2.過點(diǎn)P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)是(5，-1) 3.若兩直線y=x+

9、2k與y=2x+k+1的交點(diǎn)P在圓x2+y2=4的內(nèi)部，則k的范圍是 4.已知圓心為點(diǎn)（2，-3），一條直徑的兩個端點(diǎn)恰好落在兩個坐標(biāo)軸上，則這個圓的方程是 5.直線y=3x+1與曲線x2+y2=4相交于A、B兩點(diǎn)，則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是6.方程表示的曲線是_兩個半圓7.圓關(guān)于直線的對稱圓的方程是8.如果實(shí)數(shù)x、y滿足等式，那么的最大值是9.已知點(diǎn)和圓，求一束光線從點(diǎn)A經(jīng)x軸反射到圓周C的最短路程為_8_10求經(jīng)過點(diǎn)A(5,2),B(3,2),圓心在直線2xy3=0上的圓的方程;解：設(shè)圓心P(x0,y0),則有,解得 x0=4, y0=5, 半徑r=, 所求圓的方程為(x4)2+(y5)2=101

10、1. 一圓與y軸相切，圓心在直線x3y=0上，且直線y=x截圓所得弦長為2，求此圓的方程解：因圓與y軸相切，且圓心在直線x3y=0上，故設(shè)圓方程為又因?yàn)橹本€y=x截圓得弦長為2，則有+=9b2， 解得b=1故所求圓方程為 或點(diǎn)撥:（1）確定圓方程首先明確是標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程；（2）待定系數(shù)法;（3）盡量利用幾何關(guān)系求a、b、r或D、E、F. 12.在直角坐標(biāo)系中，以為圓心的圓與直線相切（1）求圓的方程；（2）圓與軸相交于兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動點(diǎn)使成等比數(shù)列，求的取值范圍解：（1）依題設(shè)，圓的半徑等于原點(diǎn)到直線的距離，即 得圓的方程為（2）不妨設(shè)由即得設(shè)，由成等比數(shù)列，得 ，即 由于點(diǎn)在圓內(nèi)，故由此得

11、所以的取值范圍為第四部分 作業(yè)練習(xí)1點(diǎn)P (a, b ), Q (b+1 , a1) 關(guān)于直線L對稱，則L的方程是xy1=0 2過點(diǎn)P（2，1）且被圓x2+y22x+4y=0，截得的弦長最大的直線的方程是3xy5=03如果點(diǎn)（4，a）到直線的距離不大于3，那么a的取值范圍是0，10 4直線當(dāng)k變動時，所有直線都過定點(diǎn)（3，1） 5直線和直線平行的充要條件是6.方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t2+9=0(tR)表示圓方程，則t的取值范圍是 7.點(diǎn)A是圓C: 上任意一點(diǎn),A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)也在圓C上,則實(shí)數(shù)a的值為-10 8.過圓x2+y2=4外一點(diǎn)P(4，2)作圓的兩條

12、切線，切點(diǎn)為A、B，則ABP的外接圓方程是(x-2)2+(y-1)2=5 9M(為圓內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，則直線與該圓的位置關(guān)系為相離（填相切、相交、相離）10.設(shè)直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且弦的長為，則0 11.已知圓C過點(diǎn)A（4,-1）,且與圓相切于點(diǎn)B（1,2）,則圓C的方程為12. 25 13.過點(diǎn)的直線將圓分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對的圓心角最小時，直線的斜率=14.若圓上至少有三個不同點(diǎn)到直線:的距離為,則直線的傾斜角的取值范圍是 15.已知A(0,3)、B(-1,0)、C(3,0)求點(diǎn)D的坐標(biāo),使四邊形ABCD為等腰梯形.解:設(shè)，若，則，易得D（）若，則由，可解得故點(diǎn)D的坐標(biāo)為16.已知的頂點(diǎn)

13、A為（3，1），AB邊上的中線所在直線方程為，的平分線所在直線方程為，求BC邊所在直線的方程解:設(shè)，由AB中點(diǎn)在上，可得：，y1 = 5，所以設(shè)A點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則有.故17.已知圓：和圓，直線與圓相切于點(diǎn)；圓的圓心在射線上，圓過原點(diǎn)，且被直線截得的弦長為()求直線的方程；()求圓的方程解：()（法一）點(diǎn)在圓上，直線的方程為，即（法二）當(dāng)直線垂直軸時，不符合題意 當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為，即則圓心到直線的距離，即：，解得，直線的方程為 （）設(shè)圓：，圓過原點(diǎn)， 圓的方程為圓被直線截得的弦長為，圓心到直線：的距離：整理得：，解得或， 圓：18.已知過A（0，1）和且與x軸相切的圓只有一個，求的值及圓的方程解:設(shè)所求圓的方程為因?yàn)辄c(diǎn)A、B在此圓上，所以， ，,又知該圓與x軸（直線）相切，所以由，由、消去E、F可得：， 由題意方程有唯一解，當(dāng)時，；當(dāng)時由可解得，這時綜上可知，所求的值為0或1，當(dāng)時圓的方程為；當(dāng)時，圓的方程為19.已知圓O:交軸于A，B兩點(diǎn),曲線C是以為長軸,離心率為的橢圓,其左焦點(diǎn)為F.若P是圓O上一點(diǎn),連結(jié)PF,過原點(diǎn)O作直線PF的垂線交橢圓C的左準(zhǔn)線于點(diǎn)Q.()求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；xyOPFQAB第19題(xyOPFQAB第19題()試探究:當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)