概率統(tǒng)計在經(jīng)典統(tǒng)計物理中的應(yīng)用

1、概率統(tǒng)計在經(jīng)典統(tǒng)計物理中的應(yīng)用概率論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要學(xué)科。 一方面，他有豐富的數(shù)學(xué)理 論，與其他數(shù)學(xué)學(xué)科有深入的相互滲透。另一方面，它與自然科學(xué)、 技術(shù)科學(xué)、管理科學(xué)、經(jīng)濟(jì)科學(xué)以至人文科學(xué)有廣泛的交叉。很多問 題都可以歸結(jié)為概率模型，應(yīng)用概率論和隨機(jī)過程的理論和方法加以 研究.并且這些問題也向概率論提出了新的重要研究課題。經(jīng)典統(tǒng)計物理學(xué)便是這樣一個新的概率論分支。 統(tǒng)計物理學(xué)根據(jù)對物質(zhì)微觀結(jié) 構(gòu)及微觀粒子相互作用的認(rèn)識，用概率統(tǒng)計的方法，對由大量粒子組 成的宏觀物體的物理性質(zhì)及宏觀規(guī)律作出微觀解釋的理論物理學(xué)分 支。下面我們分別以麥克斯韋氣體分子速率分布律、麥克斯韋-波爾 茲曼統(tǒng)計分布、理

2、想氣體的溫度公式和壓強(qiáng)公式為例， 說明概率統(tǒng)計 在經(jīng)典統(tǒng)計物理中的應(yīng)用。1.麥克斯韋氣體分子速率分布律麥克斯韋用概率論證明了在平衡態(tài)下，理想氣體分子速度分布是 有規(guī)律的，這個規(guī)律叫做麥克斯韋速度分布率， 若不考慮分子速度的 方向，則叫麥克斯韋速率分布率。能量為l的分子概率密度是Ae l,(1-1)其中A工 是歸一化常數(shù)，而分子能量是 Z(1-2)1 -m 2(1-2)由歸一化條件d 1得1d相體積兀 d dxdydzd xd yd z=dxdydz 2 sin d d d不失一般性，設(shè)氣體體積為單位體積，則積分1d兀sin0_m_V由歸一化條件d 1得1d相體積兀 d dxdydzd xd y

3、d z=dxdydz 2 sin d d d不失一般性，設(shè)氣體體積為單位體積，則積分1d兀sin0_m_V2 e 2kT 02d2d .利用積分公式dum2小丁于是有m2 #T兀sin02 Ttd0_m_V2c 2kT e02d(1-3)(1-4)1.f(m4兀2 ：kT3-2m 2e 2kT 2f( )d 1 .所以，函數(shù)f()是平衡態(tài)理想氣體中分子按速率分布的概率密度函所以，函數(shù)數(shù)，叫做麥克斯韋氣體分子速率分布律(Maxwell distribution law of speed of gas molecules), 表示速率 附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占?xì)怏w總分子數(shù)的比例.例如，若氣體總

4、分子數(shù)為N,則速率附近速率間隔d附近速率間隔d內(nèi)的分子數(shù)是dn Nf( )d .為簡便起見，可將函數(shù)f()寫成f( ) Aeb2 2(1-5)3bP除滿足歸一化條件外，函數(shù)f()還具有以下特點(diǎn):(1-5)3bP除滿足歸一化條件外，函數(shù)f()還具有以下特點(diǎn):li”f( ) 0, lim f( ) 0;令f=0,得最概然速率: dP2KTmP2KTm(1-6)即f( p)是函數(shù)f()的最大值，如圖1所示.式中R和w分別為普適常量和分子的摩爾質(zhì)量。最概然速率 Vp表示對所有的相同速率區(qū)間而言，在含有速率 Vp的那個區(qū)間內(nèi)的分子占總分子數(shù)的百分比最大。(3)由(1-3)和(1-6)式可知，當(dāng)氣體溫度上

5、升時，或用分子質(zhì)量較小的氣體代替分子質(zhì)量較大的氣體做實驗，f ()的函數(shù)曲線將右移并變得平緩，如圖2所示。.氣體分子的平均速率我們知道，氣體處于平衡態(tài)，其分子的速率有大有小，服從Maxwell氣體分子速率分布律.所以，氣體分子的平均速率是dn.將dn Nf( )d代入上式做分部積分，得2f( )d = A 2f( )d = A 0 e d =匕 2deb2=-2b 0bA2b2A2b2,b 2 _ Ade=202b2即理想氣體速率從0到8整個區(qū)間內(nèi)的算術(shù)平均速率為(2-1 )即理想氣體速率從0到8整個區(qū)間內(nèi)的算術(shù)平均速率為(2-1 ).物理統(tǒng)計規(guī)律之麥克斯韋-波爾茲曼統(tǒng)計分布(M-B分布)麥克

6、斯韋-波爾茲曼統(tǒng)計分布是研究近獨(dú)立經(jīng)典粒子按能量的最 概然分布。設(shè)有一個由N個相同粒子組成的系統(tǒng)，其中每個粒子可以被看成 一個子系統(tǒng).如果粒子之間的相互作用足夠弱，則可以忽略它們之間 的相互作用能，這樣的系統(tǒng)就叫做近獨(dú)立粒子系統(tǒng)(near independent particle system) ,而系統(tǒng)的能量 E等于每個粒子的能 量i的和：N(3-1)在由相同粒子組成的近獨(dú)立粒子系統(tǒng)中，每個粒子具有相同的子 相空間，系統(tǒng)中的N個粒子可以同時用一個子相空間來描述。這樣，在這個子相空間中就同時有N個相點(diǎn)，N個相點(diǎn)的一種分布表示系統(tǒng) 的一個微觀態(tài).系統(tǒng)有多少可能的微觀態(tài)，就有多少種分布方式。為了計

7、算系統(tǒng)一個宏觀態(tài)包含的微觀態(tài)數(shù)目，把子相空間中N個相點(diǎn)可能出現(xiàn)的區(qū)域劃分為k個微小區(qū)域：l ( qiqr PlPr)l,(3-2)l 1,2, |k ,劃分的原則是同在一個微小區(qū)域內(nèi)的粒子具有近似相等的 能量，記作i, 一個微小區(qū)域i叫做一個相格(phase cell). 假設(shè)系統(tǒng)處于某個宏觀態(tài)時，相格l內(nèi)有al個粒子，即粒子數(shù)按相格的分布是al =(aha2 a) 顯而易見，粒子數(shù)按相格的分布應(yīng)滿足下面 的總粒子數(shù)和總能量條件： TOC o 1-5 h z kkal N,al l E.l 1l(3-3)設(shè)相格l內(nèi)有l(wèi)個可供粒子占據(jù)的態(tài)(q ,P )(1,2, r),即有l(wèi)個相點(diǎn).由于子相空間

8、中的相點(diǎn)是均勻分布的，相格內(nèi)每個粒子態(tài)占有的相體積0 = 一 是一個常數(shù).經(jīng)典理論對粒子占據(jù)微觀態(tài)沒有限制，因此，相格l內(nèi)每個粒子可占據(jù)的微觀態(tài)數(shù)都是l個，而a1個粒子占據(jù)l個微觀態(tài)的方式有1al種.這樣，當(dāng)粒子數(shù)按相格的分布al布al給定時，全部粒子占據(jù)微觀態(tài)的方式共有1a，種.注意，現(xiàn)在只是給定了各個相格中的粒子數(shù)，還需要考慮是哪些粒子占據(jù)了哪些 微觀態(tài).經(jīng)典理論為粒子是可以分辨的，因此，在給定了各個相格中 的粒子數(shù)的條件下，粒子的組合數(shù)是N!為區(qū)艮！ .上式是這樣得到的：若不管粒子在哪個相格，全部粒子的排列數(shù)是N! 扣除各個相格內(nèi)粒子的排列數(shù)aj,就得到上式.所以，當(dāng)系統(tǒng)處于某 個宏觀態(tài)

9、，即當(dāng)粒子數(shù)按相格的分布 al給定時，該宏觀態(tài)包含的微觀態(tài)數(shù)目是ai llai llN!ailai!(3-4)(3-4)式表明，宏觀態(tài)包含的微觀態(tài)數(shù)目是粒子數(shù)按相格的分布ai的函數(shù)，記作W(ai).統(tǒng)計物理學(xué)的基本假設(shè)是：孤立系統(tǒng)的各 個微觀態(tài)出現(xiàn)的概率相等.因此，粒子數(shù)按相格的最概然分布就是微 觀態(tài)數(shù)W(ai)最大的分布.為求得最概然分布，對(3-4)取對數(shù):in W in N ! a11nl in aiil=0.為取極大值，令=0.8lnW詁 iln iajnai!)II(3-5)對斯特令公式(Stirling formula) m! mme mJ2m冗取對數(shù):in m! m(ln m1i

10、n m! m(ln m11) -in(2 m).當(dāng)m很大時，m lnm,忽略上式最后一項，得ln m! m(ln m 1)ln m! m(ln m 1).(3-6) TOC o 1-5 h z 利用上式可由(3-5)式得 al、_SlnW (ln)l0il(3-7)由(3-3)式得cN通 0, A18al.ll由于分布al應(yīng)滿足(2-1-3) 式，對上兩式乘以待定常數(shù)，并從 (3-7) 式 中 減 去， 得由 0.0,即有由 0.0,即有l(wèi)l若要上式成立，必須有l(wèi)nalal le(3-8)這就是粒子數(shù)按能量的最概然分布，叫做 玻爾茲曼分布(Boltzmanndistribution) ,兩個待

11、定常數(shù)，由(3-3)式確定：n le l , e l lel .ll(3-9).理想氣體的溫度公式和壓強(qiáng)公式這一節(jié)運(yùn)用統(tǒng)計方法推導(dǎo)兩個公式：溫度公式(temperatureformula)和壓強(qiáng)公式(pressure formula),以加深對理想氣體和統(tǒng)計方法的理解.(1)溫度公式理想氣體分子的平均平動能是(4-1)_112 r(4-1)一 = 一 dn = m f( )dN 020將(1-5)式代入上式，做分部積分，得= ikT-(4-2)這叫做溫度公式，它表明溫度是氣體分子熱運(yùn)動平均平動能的量度.這就是溫度的微觀意義.上式把溫度這個宏觀量與氣體分子平動能這個微觀量的平均值聯(lián)系了起來， 是

12、統(tǒng)計方法的典型體現(xiàn)(2)壓強(qiáng)公式如果氣體分子與容器壁碰撞，它的動量將改變，同時給器壁 以作用力.大量分子的密集碰撞就形成了對器壁的壓力。按照熱 力學(xué)，理想氣體的壓強(qiáng)是p nkT .但是，在熱力學(xué)中，上式是一個實驗結(jié)果，其中 n是分子數(shù)密度。我們把理想氣體看成近獨(dú)立粒子系統(tǒng)得到了上式?，F(xiàn)在運(yùn)用大量 氣體分子密集碰撞器壁這個模型來推導(dǎo)上式，出發(fā)點(diǎn)是關(guān)于理想 氣體的三條假設(shè)。如圖4-1所示，設(shè)質(zhì)量為m的氣體分子以速率J與器壁發(fā)生彈性碰撞，碰撞前后分子動量的增量是mm 2m .圖4-1按照Maxwell氣體分子速率分布律，單位體積中速率在 d 范圍內(nèi)的氣體分子數(shù)是nf( )d ,由于氣體分子向各個方向運(yùn)動 的概率相同，單位體積中速率在d范圍內(nèi)的分子只有1nf( )d個分子射向圖中右邊的器壁.由于分子之間的碰撞是彈 6性的，碰撞只是使