初中數(shù)學(xué)北師大版八年級(jí)下冊(cè)本冊(cè)總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí)-期末復(fù)習(xí)(一)三角形的證明

1、期末復(fù)習(xí)(一)三角形的證明知識(shí)結(jié)構(gòu)eq avs4al(三,角,形,的,證,明)eq blc(avs4alco1(等腰三角形blc(avs4alco1(三角形全等,等腰三角形blc(avs4alco1(性質(zhì),判定,反證法),等邊三角形blc(avs4alco1(性質(zhì),判定),直角三角形blc(avs4alco1(勾股定理及逆定理,直角三角形的判定),線段垂直平分線blc(avs4alco1(性質(zhì),判定,三角形三邊的垂直平分線),角平分線blc(avs4alco1(性質(zhì),逆定理,三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線) 本章知識(shí)在考試中主要考查等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合垂直平分線、角平分線求解，同時(shí)等腰三角形也會(huì)作為

2、解答題背景出現(xiàn)，與旋轉(zhuǎn)或者勾股定理緊密結(jié)合典例精講【例1】(南充中考)已知ABN和ACM位置如圖所示，ABAC，ADAE，12.(1)求證：BDCE；(2)求證：MN.【思路點(diǎn)撥】(1)要證BDCE，可通過(guò)轉(zhuǎn)化證ABDACE，根據(jù)題意由“SAS”得證；(2)要證MN，可通過(guò)轉(zhuǎn)化證ACMABN，由(1)可知CB.因?yàn)?1，所以CAMBAN.再結(jié)合ABAC，即可根據(jù)“ASA”得證【解答】證明：(1)在ABD和ACE中，eq blc(avs4alco1(ABAC，,12，,ADAE，)ABDACE(SAS)BDCE.(2)12，1DAE2DAE，即BANCAM.由(1)，得ABDACE，BC.在AC

3、M和ABN中，eq blc(avs4alco1(CB，,ACAB，,CAMBAN，)ACMABN(ASA)MN.【方法歸納】證明兩條線段相等或者兩個(gè)角相等時(shí)，常用的方法是證明這兩條線段或者這兩個(gè)角所在的三角形全等當(dāng)所證的線段或者角不在兩個(gè)全等的三角形中時(shí)，可通過(guò)添加輔助線的方法構(gòu)造全等三角形【例2】(北京中考)如圖，在ABC中，ABAC，AD是BC邊上的中線，BEAC于點(diǎn)E.求證：CBEBAD.【思路點(diǎn)撥】由ABAC想到ABCC，由AD是BC邊上的中線想到等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，進(jìn)而得到ADBC，AD平分BAC，再結(jié)合BEAC，就可以建立角與角之間的數(shù)量關(guān)系，使問(wèn)題得解【解答】證明：方法

4、1：ABAC，ABC是等腰三角形AD是BC邊上的中線，ADBC，BADCAD.CADC90 .BEAC，CBEC90 .CBECAD.CBEBAD.方法2：ABAC，ABCC.又AD是BC邊上的中線，ADBC.BADABC90 .BEAC，CBEC90 .CABC，CBEBAD.【方法歸納】本題是一道利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)的證明題，解題的關(guān)鍵是利用等腰三角形“三線合一”靈活推導(dǎo)各角之間的數(shù)量關(guān)系【例3】如圖，在RtABC中，C90，ACD沿AD折疊，使得點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處，已知AC6，BC8，求線段AD的長(zhǎng)度【思路點(diǎn)撥】由折疊的性質(zhì)知CDDE，ACAE.在RtBDE中運(yùn)用勾股定理

5、求出CD，進(jìn)而得出AD即可【解答】在RtABC中，由勾股定理，得AB10.由折疊的性質(zhì)知，AEAC6，DECD，AEDC90 ，BEABAE1064.在RtBDE中，由勾股定理，得DE2BE2BD2，即CD242(8CD)2，解得CD3.在RtACD中，由勾股定理，得AC2CD2AD2，即6232AD2，解得AD3eq r(5).【方法歸納】折疊的問(wèn)題，一定存在相等的線段或角的等量關(guān)系，要充分挖掘由折疊所隱含的數(shù)量關(guān)系利用勾股定理建立等量關(guān)系列方程是一種常用的方法【例4】如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，對(duì)角線AC的中點(diǎn)為O，過(guò)點(diǎn)O作AC的垂線分別與AD，BC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AF.求證：

6、AEAF.【思路點(diǎn)撥】由ADBC及EF垂直平分AC，由AAS證明AOECOF，得AEFC.再由EF是AC的垂直平分線，可以證明AFFC，即可得AEAF.【解答】證明：ADBC，EAOFCO，AEOCFO.EFAC，且O是AC的中點(diǎn)，AOCO，AFCF.在AOE和COF中，eq blc(avs4alco1(EAOFCO，,AEOCFO，,AOCO，)AOECOF(AAS)AECF.AEAF.【方法歸納】線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等，可以得到等腰三角形，進(jìn)一步得到角相等數(shù)學(xué)知識(shí)間有很多聯(lián)系與遞進(jìn)關(guān)系很多時(shí)候，解決數(shù)學(xué)題目，只是將條件往前推一步，結(jié)論再往深處推一步【例5】(黃岡中考)

7、已知，如圖，ABAC，BDCD，DEAB于點(diǎn)E，DFAC于點(diǎn)F，求證：DEDF.【思路點(diǎn)撥】連接AD，利用SSS得到ABD與ACD全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到EADFAD，即AD為角平分線，再由DEAB，DFAC，利用角平分線的性質(zhì)定理即可得證【解答】證明：連接AD.在ACD和ABD中，eq blc(avs4alco1(ACAB，,CDBD，,ADAD，)ACDABD(SSS)EADFAD，即AD平分EAF.DEAE，DFAF，DEDF.【方法歸納】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，以及角平分線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的基本性質(zhì)，構(gòu)造出基本圖形，運(yùn)用角平分線的性質(zhì)是

8、解題的關(guān)鍵整合集訓(xùn)一、選擇題(每小題3分，共30分)1(南寧中考)如圖，在ABC中，ABADDC，B70，則C的度數(shù)為(A) A35 B40 C45 D502如圖，直線CD是線段AB的垂直平分線，P為直線CD上的一點(diǎn)已知PAB的周長(zhǎng)為14，PA4，則線段AB的長(zhǎng)度為(A) A6 B5 C4 D33用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角的平分線的示意圖如圖所示，則能說(shuō)明AOCBOC的依據(jù)是(A) ASSS BASA CAAS D角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等4已知直角三角形中，30角所對(duì)的直角邊長(zhǎng)是2厘米，則斜邊的長(zhǎng)是(B) A2厘米 B4厘米 C6厘米 D8厘米5如圖，在ABC中，B60，ABAC，BC3，則A

9、BC的周長(zhǎng)為(B) A12 B9 C8 D66下列長(zhǎng)度的三條線段能組成直角三角形的是(B) A3，4，4 B1，eq r(2)，eq r(3) r(3)，eq r(3)，eq r(6) D3，4，77如圖，ABC內(nèi)有一點(diǎn)D，且DADBDC，若DAB20，DAC30，則BDC(A) A100 B80 C70 D508(宜昌中考)如圖，在方格紙中，以AB為一邊作ABP，使之與ABC全等，從P1，P2，P3，P4四個(gè)點(diǎn)中找出符合條件的點(diǎn)P，則點(diǎn)P有(C) A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)9如圖，在ABC中，C90，12，CD，BD，則AC的長(zhǎng)為(C) A5 B4 C3 D210如圖，在ABC中，ABC

10、和ACB的平分線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EFBC交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)O作ODAC于點(diǎn)D，下列四個(gè)結(jié)論：EFBECF；BOC90eq f(1,2)A；點(diǎn)O到ABC各邊的距離相等；設(shè)ODm，AEAFn，則SAEFmn.其中正確的結(jié)論是(A) A B C D二、填空題(每小題4分，共20分)11(無(wú)錫中考)寫(xiě)出命題“如果ab，那么3a3b”的逆命題如果3a3b，那么ab12在ABC中，ABAC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，若B50，則DAC的度數(shù)是40_13如果三角形三邊長(zhǎng)分別為6 cm，8 cm，10 cm，那么它最短邊上的高為8cm.14如圖，在銳角三角形ABC中，直線PL為BC的垂直平分線，射線

11、BM為ABC的平分線，PL與BM相交于P點(diǎn)若PBC30，ACP20，則A的度數(shù)為70_15已知RtABC中，C90，ACBC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，分別過(guò)點(diǎn)A，B作直線m的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，若AE3，AC5，則線段EF的長(zhǎng)為1或7三、解答題(共50分)16(6分)已知：如圖，在ABC中，ABAC，D為CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DEBC，交線段AB于點(diǎn)F.請(qǐng)找出一組相等的線段(ABAC除外)并加以證明解：ADAF.證明如下：ABAC，BC.DEBC，BEFDEC90 .BFED.BFEDFA，DFAD.AFAD.17(8分)(衡陽(yáng)中考)如圖，在ABC中，ABAC，BDCD，DEAB，DFAC，垂足分別

12、為點(diǎn)E，F(xiàn).求證：BEDCFD.證明：DEAB，DFAC，BEDCFD90 .ABAC，BC.在BED和CFD中，eq blc(avs4alco1(BC，,BEDCFD，,BDCD，)BEDCFD(AAS)18(8分)如圖：已知等邊三角形ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CECD，DMBC，垂足為點(diǎn)M，求證：M是BE的中點(diǎn)證明：連接BD.三角形ABC為等邊三角形，且D是AC的中點(diǎn)，DBCeq f(1,2)ABCeq f(1,2)60 30 ，ACB60 .CECD，CDEE.ACBCDEE，Eeq f(1,2)ACB30 .DBCE30 .BDED，即BDE為等腰三角形又DM

13、BC，M是BE的中點(diǎn)19(8分)如圖所示，ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACBECD90，D為AB邊上一點(diǎn)(1)求證：ACEBCD；(2)若AD5，BD12，求DE的長(zhǎng)解：(1)證明：ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACBECD90 ，ECDC，ACBC，ACBACDECDACD.ACEBCD.ACEBCD(SAS)(2)ACEBCD，EACB45 ，AEBD12.EADEACBAC90 .在RtEAD中，DE2AE2AD212252169.DE13.20(10分)如圖，在ABC中，ABAC，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E.(1)求證：ABD是等腰三角形；(2)若A40，

14、求DBC的度數(shù)；(3)若AE6，CBD的周長(zhǎng)為20，求ABC的周長(zhǎng)解：(1)證明：AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，DBDA.ABD是等腰三角形(2)ABD是等腰三角形，A40 ，ABDA40 ，ABCC(180 40 )270 .DBCABCABD70 40 30 .(3)AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，AE6，AB2AE12，BDAD.CBD的周長(zhǎng)為20，BDCDBC20.ACBC20.ABC的周長(zhǎng)為ABACBC122032.21(10分)已知點(diǎn)O到ABC的兩邊AB，AC所在直線的距離相等，且OBOC.(1)如圖1，若點(diǎn)O在BC上，求證：ABAC.(2)如圖2，若點(diǎn)O在ABC內(nèi)部，求證：ABAC.(3)猜想，若點(diǎn)O在ABC的外部，ABAC成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)證明：過(guò)點(diǎn)O作ODAB于點(diǎn)D，OEAC于點(diǎn)E，則ODOE，ODBOEC90 .又OBOC，RtBODRtCOE(HL)BC.ABAC.(2)證明：過(guò)點(diǎn)O作ODAB于點(diǎn)D，OEAC于