信號(hào)與系統(tǒng)教案-第二章

1、東北電力大學(xué)教 案 封 皮開課單位課程名稱授課教師授課對(duì)象選用教材信號(hào)與系統(tǒng)西安交通大學(xué)出版社總學(xué)時(shí)72課次6第2章線性時(shí)不變系統(tǒng)2.0 引言2.1 離散時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積和教學(xué)目的及要求了解離散時(shí)間LTI系統(tǒng)卷積和的推導(dǎo)方法，掌握離散時(shí)間LTI系統(tǒng)卷積和的計(jì)算方法。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)及處理安排離散時(shí)間LTI系統(tǒng)卷積和的計(jì)算教學(xué)方式、方法講授法教學(xué)內(nèi)容及時(shí)間分配2.0 引言 10min2.1 離散時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積和 80min例題、練習(xí)題詳見下文作業(yè)、思考題習(xí)題2.3習(xí)題2.4習(xí)題2.5教 案內(nèi) 容備 注2.0 引言系統(tǒng)的基本性質(zhì)兩個(gè)性質(zhì)線性和時(shí)不變性在信號(hào)與系統(tǒng)分析中是最主要的。其理由是：

2、第一，很多物理過程都具有這兩個(gè)性質(zhì)，因此都能用LTI系統(tǒng)米表征：第二，可以對(duì)LTI系統(tǒng)進(jìn)行詳細(xì)的分析。LTI系統(tǒng)之所以能夠深入分析的主要原因之一在于該類系統(tǒng)具有1.6.6節(jié)所說的疊加性質(zhì)。這樣，如果能夠?qū)TI系統(tǒng)的輸入用一組基本信號(hào)的線性組合來表示，就可以根據(jù)該系統(tǒng)對(duì)這些基本信號(hào)的響應(yīng)，然后利用疊加性質(zhì)求得整個(gè)系統(tǒng)的輸出。2.1 離散時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積和2.1.1 用脈沖表示離散時(shí)間信號(hào)讓我們來看一下圖2.1(a)的信號(hào)。 (2.2)這個(gè)式子相應(yīng)于把任意一個(gè)序列表示成一串移位的單位脈沖序列的線性組合，而這個(gè)線性組合式中的權(quán)因子就是。譬如說，若是，單位階躍序列，因?yàn)闀r(shí)，；而時(shí)，則(2.2)式

3、變?yōu)檫@與1.4節(jié)所得結(jié)果(1.67)式是完全一致的。(2.2)式稱為離散時(shí)間單位脈沖序列的篩選性質(zhì)。2.1.2 離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)及卷積和表示 (2.2式篩選性質(zhì)的重要性在于它把表示成一組加權(quán)的基本函數(shù)的疊加，這個(gè)極簡(jiǎn)單的基本函數(shù)就是移位單位脈沖，其中每一個(gè)在相應(yīng)于k的單一時(shí)刻點(diǎn)上為非零，其值為1。一個(gè)線性系統(tǒng)對(duì)的響應(yīng)就是系統(tǒng)對(duì)這些移位脈沖中的每一個(gè)的響應(yīng)加權(quán)后的疊加；再者，時(shí)不變性又意味著一個(gè)時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)移位單位脈沖的響應(yīng)就是未被移位的單位脈沖響應(yīng)的移位。將這兩點(diǎn)結(jié)合在一起就可得到具有線性和時(shí)不變性的離散時(shí)間系統(tǒng)的卷積和表示。更為具體明確些，現(xiàn)在來考慮某一線性(但可能為時(shí)變的)

4、系統(tǒng)對(duì)任一輸入式的響應(yīng)。由(2.2式可以將輸入表示為一組移位單位脈沖的線性組合，令記為該線性系統(tǒng)對(duì)移位單位脈沖的響應(yīng)，那么根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)，該線性系統(tǒng)對(duì)輸入的響應(yīng)就是這些基本響應(yīng)的加權(quán)線性組合。也就是說， 由此可知，如果己知一個(gè)線性系統(tǒng)對(duì)每一個(gè)移位單位脈沖序列的響應(yīng)，則系統(tǒng)對(duì)任何輸入的響應(yīng)都可求出。一般來說，在線性系統(tǒng)中，對(duì)于不同的值，其響應(yīng)相互之間是不必要非有什么關(guān)系不可的。但是，若該線性系統(tǒng)也是時(shí)不變的，那么這些對(duì)時(shí)間移位的單位脈沖的響應(yīng)也都全互相作了移位。具體說來，因?yàn)槭堑臅r(shí)間移位，響應(yīng)也就是的一個(gè)時(shí)移，即為了簡(jiǎn)化符號(hào)，現(xiàn)將的下標(biāo)除掉，而定義系統(tǒng)單位脈沖(樣本)序列響應(yīng)為那么，對(duì)L

5、TI系統(tǒng)而言，(2.3)式就變成 (2.6)這個(gè)結(jié)果稱為卷積和，并且(2.6)式右邊的運(yùn)算稱為和的卷積，并用符號(hào)記作 (2.6)式意味著一個(gè)很重要的結(jié)果：:既然一個(gè)LTI系統(tǒng)對(duì)任意輸入的響應(yīng)可以用系統(tǒng)對(duì)單位脈沖的響應(yīng)來表示，那么LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)就完全刻畫了系統(tǒng)的特性。例2.1（詳見教材59頁）利用在每個(gè)單獨(dú)輸出樣本上的疊加求和的結(jié)果，可以得出另一種有用的方法，即用卷積和來想象的計(jì)算。例2.2（詳見教材59頁）卷積計(jì)算舉例：例2.3（詳見教材61頁）例2.4（詳見教材61頁）除了利用圖解法計(jì)算卷積外，還可以利用分析法來求解卷積和。東北電力大學(xué)教 案 封 皮開課單位課程名稱授課教師授課對(duì)象

6、選用教材信號(hào)與系統(tǒng)西安交通大學(xué)出版社總學(xué)時(shí)72課次7第2章 線性時(shí)不變系統(tǒng)2.2 連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積積分教學(xué)目的及要求了解連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)卷積積分的推導(dǎo)過程，掌握連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)卷積積分的計(jì)算方法。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)及處理安排連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)卷積積分的計(jì)算。教學(xué)方式、方法講授法教學(xué)內(nèi)容及時(shí)間分配2.2 連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積積分 90min例題、練習(xí)題詳見下文作業(yè)、思考題習(xí)題 2.10習(xí)題 2.11教 案內(nèi) 容備 注2.2 連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積積分與上一節(jié)討論并導(dǎo)出的結(jié)果相類似，這一節(jié)的目的也是要利用一個(gè)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)來對(duì)系統(tǒng)給出完全的表征。2.2.1 用沖激表

7、示連續(xù)時(shí)間信號(hào)為了建立與離散時(shí)間篩選性質(zhì)(2 .2)式對(duì)應(yīng)的連續(xù)時(shí)間下的性質(zhì)，先考慮用一申脈沖或者說階梯信號(hào)來近似，如圖2.12(a)所示。如同離散時(shí)間情況一樣，隨著逐近于零，將愈來愈近似，最后極限就是，因此 (2.27)和離散時(shí)間情況一樣，(2.27)式為連續(xù)時(shí)間沖激函數(shù)的篩選性質(zhì)。特別是若以，則2.2.2 連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)及卷積積分表示和離散時(shí)間情況一樣，上一節(jié)所得出的表示就是把任意一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)看作加權(quán)和移位脈沖的疊加。與上一節(jié)類似， (2.29) (2.30) (2.31)因?yàn)樵?.2.1節(jié)已經(jīng)證明，任何輸入都可以表示為直觀上.就可以把這個(gè)式子看成是一組加權(quán)移位的沖激

8、函數(shù)之“和”，這里對(duì)沖激的權(quán)是。借助于這種解釋之后，（2.31)式就是系統(tǒng)對(duì)這些加權(quán)移位沖激函數(shù)響應(yīng)的疊加，因此，根據(jù)線性，對(duì)的響應(yīng)的權(quán)也是就是。(2.31)式代表了連續(xù)時(shí)間情況下一個(gè)線性系統(tǒng)響應(yīng)的一般形式，如果系統(tǒng)除了是線性的，而且還是時(shí)不變的，那么，再次，為了符號(hào)上的方便，略去腳注，而定義單位沖激響應(yīng)為也就是是系統(tǒng)對(duì)的響應(yīng)。這時(shí)，(2.31)式變?yōu)?(2.33)(2.33)式稱為卷積積分或疊加積分。它是與離散時(shí)間情況下的(2.6)式卷積和相對(duì)應(yīng)的，并且表明了一個(gè)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的特性可以用它的單位沖激響應(yīng)來刻畫。兩個(gè)信號(hào)和的卷積，以后就表示成求卷積積分例題講解：例2.6(詳見教材71頁)

9、；例2.7(詳見教材72頁)；例2.8(詳見教材74頁)；東北電力大學(xué)教 案 封 皮開課單位課程名稱授課教師授課對(duì)象選用教材信號(hào)與系統(tǒng)西安交通大學(xué)出版社總學(xué)時(shí)72課次8第2章 線性時(shí)不變系統(tǒng)2.3 線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)教學(xué)目的及要求掌握線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)及處理安排線性時(shí)不變系統(tǒng)的可逆性、因果性及穩(wěn)定性。教學(xué)方式、方法講授法教學(xué)內(nèi)容及時(shí)間分配2.3 線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì) 90min例題、練習(xí)題詳見下文作業(yè)、思考題習(xí)題2.13習(xí)題2.15教 案內(nèi) 容備 注2.3 線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)正如已經(jīng)指出過的，這些表示的一種結(jié)果就是：一個(gè)LTI系統(tǒng)的特性可以完全由它的沖激響應(yīng)來決定。要特別強(qiáng)

10、調(diào)的是，一般來說這個(gè)結(jié)論僅對(duì)LTI系統(tǒng)成立。下面的例子將說明，一個(gè)非線性系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是不能完全表征系統(tǒng)的特性行為的。例2.9（詳見教材75頁）上面這個(gè)例子說明了這樣一點(diǎn)，就是LTI系統(tǒng)具有一些其它系統(tǒng)不具備的性質(zhì)。在本節(jié)的余下部分將研究這些性質(zhì)中幾個(gè)最基本和最重要的性質(zhì)。2.3.1 交換律性質(zhì)在連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間下，卷積運(yùn)算的一個(gè)基本性質(zhì)是：它滿足交換律。這就是，在離散時(shí)間情況下有在連續(xù)時(shí)間情況下證明：（略）2.3.2 分配律性質(zhì)卷積的另一個(gè)基本性質(zhì)是：它滿足分配律。這就是卷積可以在相加項(xiàng)上進(jìn)行分配，即在離散時(shí)間情況下有在連續(xù)時(shí)間下有利用系統(tǒng)互聯(lián)的解釋見教材76頁例2.10（詳見教材77

11、頁）2.3.3 結(jié)合律性質(zhì)卷積的另一個(gè)重要而有用的性質(zhì)是它滿足結(jié)合律。這就是在離散時(shí)間情況下有和在連續(xù)時(shí)間情況下有利用系統(tǒng)互聯(lián)的解釋見教材78頁。2.3.4 有記憶和無記憶LTI系統(tǒng)在1.6.1節(jié)己經(jīng)指出，若一個(gè)系統(tǒng)在任何時(shí)刻的輸出僅與同一時(shí)刻的輸入值有關(guān)，它就是無記憶的。由(2.39)式可見，對(duì)一個(gè)離散時(shí)間LTI系統(tǒng)來說唯一能使這一點(diǎn)成立的就只有：對(duì)，。這時(shí)，其單位沖激響應(yīng)為式中是一個(gè)常數(shù)，卷積和就變?yōu)槿缦玛P(guān)系:如果一個(gè)離散時(shí)間LTI系統(tǒng)，它的單位脈沖響應(yīng)對(duì)于不是全為零的話，這個(gè)系統(tǒng)就是有記憶的。對(duì)于連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)，根據(jù)(2.40)式也能推出有關(guān)記憶和無記憶的類似性質(zhì)。2.3.5 LTI

12、系統(tǒng)的可逆性考慮一下沖激響應(yīng)為的連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)，根據(jù)在1.6.2節(jié)的討論，僅當(dāng)存在一個(gè)逆系統(tǒng)，其與原系統(tǒng)級(jí)聯(lián)后所產(chǎn)生的輸出等于第一個(gè)系統(tǒng)的輸入時(shí)，這個(gè)系統(tǒng)才是可逆的。同樣，在離散時(shí)間情況下，一個(gè)沖激響應(yīng)為的LTI系統(tǒng)的逆系統(tǒng)的沖激響應(yīng)也必須滿足例2.11（詳見教材79頁）例2.12（詳見教材80頁）2.3.6 LTI系統(tǒng)的因果性一個(gè)因果系統(tǒng)的輸出只決定于現(xiàn)在和過去的輸入直。現(xiàn)在利用LTI系統(tǒng)的卷積和與卷積積分，可以把這一性質(zhì)與LTT系統(tǒng)沖激響應(yīng)的相應(yīng)性質(zhì)聯(lián)系起來。對(duì)于一個(gè)離散時(shí)間LTI系統(tǒng)要是因果的，就必須與的無關(guān)，由(2.39)式可以看出，這就要求因果離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)滿足下面

13、條件：， (2.77)根據(jù)(2.77)式，一個(gè)因果LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)在沖激出現(xiàn)之前必須為零，這就與因果性的直觀概念相一致。更一般的情況，一個(gè)線性系統(tǒng)的因果性就等效于初始松弛的條件；也就是說，如果一個(gè)因果系統(tǒng)的輸入在某個(gè)時(shí)刻點(diǎn)以前是0，那么其輸出在那個(gè)時(shí)刻以前也必須是0。要強(qiáng)調(diào)的是，因果性和初始松弛條件的等效僅適合于線性系統(tǒng)。對(duì)于一個(gè)因果的離散時(shí)間LTI系統(tǒng)，(2.77)式的條件就意味著(2.39)式的卷積和變?yōu)橥?，如果，一個(gè)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)就是因果的，這時(shí)卷積積分由下式給出：2.3.7 LTI系統(tǒng)的穩(wěn)定性如果一個(gè)系統(tǒng)對(duì)于每一個(gè)有界的輸入，其輸出都是有界的，就說該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。設(shè)一輸入是有

14、界的，其界為，即，對(duì)所有的現(xiàn)在把這樣一個(gè)有界的輸入加到一個(gè)單位脈沖響應(yīng)為的LTI系統(tǒng)上，則按卷積和公式，響應(yīng)輸出的絕對(duì)值為由此，如果單位脈沖響應(yīng)是絕對(duì)可和的，即那么就是有界的，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。這是個(gè)充分必要條件。在連續(xù)時(shí)間情況下，利用LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)可以得出有關(guān)穩(wěn)定性的類似結(jié)果。若單位沖激響應(yīng)是絕對(duì)可積的，即則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2.3.8 LTI系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)到現(xiàn)在為止可以看到，利用單位沖激響應(yīng)來表示一個(gè)LTI系統(tǒng)，使我們對(duì)系統(tǒng)的性質(zhì)可以得到非常簡(jiǎn)潔而清晰的表征； 除了單位沖激響應(yīng)外，單位階躍響應(yīng)或也常用來描述一個(gè)LTI系統(tǒng)的特性，或是當(dāng)或時(shí)的系統(tǒng)輸出響應(yīng)。根據(jù)卷積和的表示，一個(gè)離

15、散時(shí)間LTI系統(tǒng)的階躍響應(yīng)就是單位階躍序列與單位脈沖響應(yīng)的卷積然而，根據(jù)卷積的交換律，可以看成是輸入為，系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為時(shí)的響應(yīng)。一個(gè)離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是其單位脈沖響應(yīng)的求和函數(shù)。相反，一個(gè)離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)就是它的單位階躍響應(yīng)的一次差分。同理，在連續(xù)時(shí)間情況下， LTI系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是它的單位沖激響應(yīng)的積分函數(shù)，即而單位沖激響應(yīng)是其單位階躍響應(yīng)的一階導(dǎo)數(shù)，東北電力大學(xué)教 案 封 皮開課單位課程名稱授課教師授課對(duì)象選用教材信號(hào)與系統(tǒng)西安交通大學(xué)出版社總學(xué)時(shí)72課次9第2章 線性時(shí)不變系統(tǒng)2.4 用微分和差分方程描述系統(tǒng)2.5 奇異函數(shù)教學(xué)目的及要求掌握線性常

16、系數(shù)微分方程的求解方法；掌握線性常系數(shù)差分方程的求解方法；了解奇異函數(shù)的概念、性質(zhì)。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)及處理安排線性常系數(shù)微分方程的求解方法；線性常系數(shù)差分方程的求解方法；教學(xué)方式、方法講授法教學(xué)內(nèi)容及時(shí)間分配2.4 用微分和差分方程描述系統(tǒng) 70min2.5 奇異函數(shù) 20min例題、練習(xí)題詳見下文作業(yè)、思考題習(xí)題2.17習(xí)題2.31教 案內(nèi) 容備 注2 .4 用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)一類極為重要的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)是其輸入、輸出關(guān)系用線性常系數(shù)微分方程描述的系統(tǒng)。這種形式的方程可以用來描述范圍廣泛的系統(tǒng)和物理現(xiàn)象。相對(duì)應(yīng)的，一類重要的離散時(shí)間系統(tǒng)是其輸人、輸出關(guān)系用線性常系數(shù)差分方程描述

17、的系統(tǒng)。2.4.1 線性常系數(shù)微分方程現(xiàn)在來考慮一個(gè)一階微分方程一般來說，為了求解一個(gè)微分方程，必須給定一個(gè)或多個(gè)附加條件；一旦這些條件給定，原則上就能得到一個(gè)用輸人表示輸出的顯式表達(dá)式。對(duì)于附加條件的不同選擇可以導(dǎo)致輸人和輸出間的不同關(guān)系。本書的絕大部分都是集中在將微分方程用于描述因果的LTI系統(tǒng)。以例2.14為例來說明如何求解線性常系數(shù)微分方程，詳見教材85頁。關(guān)于線性常系數(shù)微分方程及其表示的系統(tǒng)可以說明很重要的幾點(diǎn)。首先，對(duì)某個(gè)輸入的響應(yīng)一般都是由一個(gè)特解和一個(gè)齊次解(即輸人置于零時(shí)該微分方程的解)所組成。該齊次解往往稱為系統(tǒng)的自然響應(yīng)。其次，為了完全確定由微分方程所描述的系統(tǒng)輸入和輸出

18、之間的關(guān)系，就必須給出附加條件。在本例中已經(jīng)說明，對(duì)大部分情況，對(duì)于由微分方程描述的系統(tǒng)都采用初始松弛的條件。值得強(qiáng)調(diào)的是，初始松弛條件并不表明在某一固定時(shí)刻點(diǎn)上的零初始條件，而是在時(shí)間上調(diào)整這一點(diǎn)，以使得在輸人變成非零之前，響應(yīng)一直為。2.4.2 線性常系數(shù)差分方程與連續(xù)情形相對(duì)應(yīng)的離散時(shí)間方程就是階線性常系數(shù)差分方程 (2.113)這類形式的方程可以完全按對(duì)微分方程的類似解法來求解。具體地說，的解可以寫成一個(gè)特解和一個(gè)齊次方程解的和。和連續(xù)時(shí)間一樣，(2.113)式?jīng)]有用輸人來完全表征輸出。為此，必須給出某些附加條件。大多數(shù)情況下都用初始松弛的條件。另一種方法： (2.115)(2.113

19、)式或(2.115)式這樣形式的方程稱為遞歸方程具體求解過程見例2.15（詳見教材88頁）。2.4.3用微分和差分方程描述的一階系統(tǒng)的方框圖表示（略）2.5 奇異函數(shù)東北電力大學(xué)教 案 封 皮開課單位課程名稱授課教師授課對(duì)象選用教材信號(hào)與系統(tǒng)西安交通大學(xué)出版社總學(xué)時(shí)72課次10第2章 線性時(shí)不變系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)課：離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)域分析實(shí)驗(yàn)教學(xué)目的及要求1. 了解離散時(shí)間系統(tǒng)的基本概念； 2. 掌握離散時(shí)間系統(tǒng)的表示方法； 3. 掌握簡(jiǎn)單離散時(shí)間系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)要求1. 掌握卷積的定義與系統(tǒng)的關(guān)系。 2. 用卷積實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單系統(tǒng)。教學(xué)方式、方法講授法教學(xué)內(nèi)容及時(shí)間分配例題、練習(xí)題詳見下文作業(yè)、思考題教 案內(nèi) 容備 注實(shí)驗(yàn)使用函數(shù)：conv，conv2函數(shù)介紹：如果任意序列是無限長(zhǎng)度的，就不能用MATLAB來直接計(jì)算卷積。MATLAB確實(shí)提供了一個(gè)內(nèi)部函數(shù)conv來計(jì)算兩個(gè)有限長(zhǎng)度序列的卷積。conv函數(shù)假定兩個(gè)序列都從n=0開始。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：1）計(jì)算P98，2.4x=zeros(1,4),ones(1,6),zeros(1,11);y=zeros(1,5),ones(1,12),zeros(1,4);z=conv(