在科學技術(shù)發(fā)展到跨進21世紀的今天

1、前言 在科學學技術(shù)發(fā)發(fā)展到跨跨進211世紀的的今天，應(yīng)該交交給大學學生什么么樣的數(shù)數(shù)學，數(shù)數(shù)學科學學的哲學學和方法法論、數(shù)數(shù)學應(yīng)用用的思維維方式如如何，以以及把數(shù)數(shù)學作為為技術(shù)開開發(fā)的工工具是怎怎么樣的的等等，這一系系列問題題已經(jīng)尖尖銳地擺擺在工科科數(shù)學教教育工作作者面前前。目前前，大家家已經(jīng)形形成的共共識是，講授數(shù)數(shù)學知識識不能僅僅僅局限限于伴隨隨牛頓力力學產(chǎn)生生和發(fā)展展起來并并于一百百來年已已經(jīng)形成成的經(jīng)典典理論，而是不不僅教給給學生數(shù)數(shù)學基礎(chǔ)礎(chǔ)理論，還要教教給學生生應(yīng)用數(shù)數(shù)學的技技能，特特別是數(shù)數(shù)學建模模和計算算機模擬擬的本領(lǐng)領(lǐng)；數(shù)學學應(yīng)用的的思維方方式在提提倡抽象象思維的的同時更更強調(diào)

2、形形象思維維或直感感思維，使用幾幾何方法法，形象象化的描描述及計計算機圖圖示，因因為圖形形對想象象力和創(chuàng)創(chuàng)造力是是強有力力的刺激激因素；數(shù)學應(yīng)應(yīng)用要把把計算機機及其技技術(shù)作為為不可缺缺少的工工具和手手段，使使大學生生學習計計算機同同數(shù)學科科學的學學習與研研究緊密密結(jié)合，不但會會用計算算機，而而且能理理解計算算機給出出的答案案。這些共識識就是數(shù)數(shù)學教育育改革所所追求的的方向和和目標。緒論：如如何認識識數(shù)學數(shù)學是人人類最古古老同時時又是最最富生命命力的知知識領(lǐng)域域之一。在近幾幾百年，幾乎每每個世紀紀，數(shù)學學都出人人意料地地獲得驚驚人的發(fā)發(fā)展而創(chuàng)創(chuàng)造出新新的黃金金時代。然而，時至今今日仍有有不少人人

3、對學習習、研究究數(shù)學的的目的和和意義產(chǎn)產(chǎn)生種種種疑惑，特別是是剛進入入高等學學校的接接受工程程技術(shù)教教育的學學生們總總是對學學習數(shù)學學產(chǎn)生一一系列的的疑問，問的最最多的是是“學習數(shù)數(shù)學對以以后所從從事的技技術(shù)工作作有什么么用？”。甚至至有人認認為隨著著計算機機技術(shù)的的發(fā)展，大量的的計算問問題可以以由計算算機軟件件處理，學習數(shù)數(shù)學知識識已不那那么重要要了。應(yīng)應(yīng)該說這這是我們們數(shù)學教教育現(xiàn)在在必須回回答的一一個帶有有根本性性的問題題。當然然，大多多數(shù)人學學習數(shù)學學既不想想當數(shù)學學家，也也不想從從事數(shù)學學教育工工作，只只是為了了進一步步學習專專業(yè)知識識和技術(shù)術(shù)而學習習數(shù)學，而我們們面向工工程技術(shù)術(shù)教

4、育的的學生講講授數(shù)學學的方式式以及學學生的學學習方法法確實有有很多地地方值得得認真反反思。一一方面，過分的的注重“純數(shù)學學”的嚴密密體系、嚴格的的證明和和復雜計計算，而而不注重重它的應(yīng)應(yīng)用性和和工具性性（科學學語言）；另一一方面，只滿足足于會作作題、應(yīng)應(yīng)付考試試的“應(yīng)試學學習”方式，致使學學生們無無法對數(shù)數(shù)學知識識、思想想、方法法及其應(yīng)應(yīng)用價值值有明晰晰的認識識。為此此，我們們提出新新的嘗試試，既傳傳授基本本的數(shù)學學知識，又訓練練應(yīng)用技技能。本本章的目目的是想想讓學生生對數(shù)學學有一個個基本的的概括性性認識。數(shù)學無處處不在數(shù)學是研研究數(shù)和和形及其其關(guān)系的的一門科科學。它它以研究究現(xiàn)時世世界中的的

5、數(shù)量關(guān)關(guān)系和空空間形式式為主要要任務(wù)。通俗地地講，數(shù)數(shù)學是以以數(shù)字、符號、形狀和和模式來來代替文文字的一一套特殊殊語言系系統(tǒng)?；蚧蛘哒f，數(shù)學是是一種能能夠描述述各種客客觀規(guī)律律的語言言，是任任何學科科都要用用到的、無比有有用、無無所不能能、神通通廣大、全球共共通的一一種特殊殊語言。正像已已故的著著名數(shù)學學家華羅羅庚教授授所說，宇宙之之大，粒粒子之微微，火箭箭之速，華工之之巧，地地球之變變，生物物之謎，日用之之繁，數(shù)數(shù)學無處處不在，凡是有有“量”和“形”的地方方就少不不了用數(shù)數(shù)學，研研究量（或形）的關(guān)系系、量（或形）的變化化、量（或形）的變化化關(guān)系、量（或或形）的的關(guān)系的的變化等等問題都都離不開

6、開數(shù)學作作為語言言工具。我們現(xiàn)在在無法真真正理解解為什么么毫無智智能的動動物、植植物，甚甚至低等等生物，都會進進行奇特特的數(shù)學學創(chuàng)造。如某些些細菌的的繁殖會會滿足一一些奇妙妙的數(shù)學學規(guī)律，植物的的花瓣形形成精美美的幾何何圖形，某些貝貝殼和松松果具有有螺旋形形生長模模式等等等。自然然界充滿滿著數(shù)學學概念的的實例。這就是是數(shù)學之之所以成成為描述述、解釋釋自然現(xiàn)現(xiàn)象的語語言的原原因。例例如，圓圓形蜘蛛蛛網(wǎng)是一一個簡單單漂亮的的數(shù)學創(chuàng)創(chuàng)造，要要分析這這個美麗麗結(jié)構(gòu)用用數(shù)學方方法進行行分析時時，出現(xiàn)現(xiàn)在蜘蛛蛛網(wǎng)中的的數(shù)學概概念是驚驚人的：半徑、弦、平平行線段段、三角角形、全全等對應(yīng)應(yīng)角、對對數(shù)螺線線、懸

7、鏈鏈線和無無理數(shù)ee 。我們知道道蜜蜂營營造的蜂蜂房也是是奇妙的的數(shù)學圖圖形。十十八世紀紀初，法法國學者者馬拉爾爾奇測量量了蜂房房，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)正面看看去它是是鑲嵌得得如此天天衣無縫縫的正六六角形，蜂王的的底都是是由三個個全等的的菱形組組成的，菱形的的鈍角都都是1009，銳銳角都是是等于770（圖圖0-11），這這不僅是是蜂房 圖00-1的空間結(jié)結(jié)構(gòu)呈如如此精美美的幾何何形狀，而且據(jù)據(jù)巴黎科科學院院院士、瑞瑞士數(shù)學學家克尼尼格與蘇蘇格蘭數(shù)數(shù)學家馬馬克勞林林的理論論計算，這種結(jié)結(jié)構(gòu)消耗耗最少的的材料和和最少的的“工時”，這里里竟然符符合最優(yōu)優(yōu)化的數(shù)數(shù)學原理理，真是是不可思思議！蜜蜜蜂沒有有學過鑲鑲嵌理

8、論論、求解解最大值值和最小小值方法法、解線線性代數(shù)數(shù)問題和和求含約約束條件件的最優(yōu)優(yōu)解的藝藝術(shù)，而而它卻實實實在在在進行了了奇妙的的符合數(shù)數(shù)學原理理的工程程技術(shù)創(chuàng)創(chuàng)造，這這不正是是把自然然界與數(shù)數(shù)學聯(lián)系系起來的的例證嗎嗎？在礦物結(jié)結(jié)構(gòu)中，同樣可可以找到到許多更更為奇妙妙的空間間圖形，如食鹽鹽礦的晶晶體呈正正方體形形狀，明明礬的晶晶體呈正正八面體體形狀，而礦物物質(zhì)中其其它更多多的晶體體呈更為為復雜的的幾何形形狀，如如十字架架石晶體體呈正交交或斜交交十字架架雙晶形形；電氣氣石晶體體色澤美美麗可作作為寶石石，呈拄拄狀晶形形，拄面面有明顯顯的縱條條紋，橫橫斷面呈呈弧線三三角形；如石榴榴石的晶晶體結(jié)構(gòu)構(gòu)

9、呈菱形形十二面面體或四四角三八八面體的的復雜美美妙的幾幾何形狀狀，透明明色澤的的也可作作為寶石石等（圖圖0-22）。 圖00-2再從宏觀觀來看，我們所所生活的的地球與與它的衛(wèi)衛(wèi)星月亮之之間有著著緊密的的聯(lián)系，月亮是是沿著橢橢圓形軌軌道繞地地球旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的。軌軌道的遠遠日點距距離為44067700公公里（最最大），近日點點距離為為35664000公里（最?。?，億萬萬年來，都是如如此周而而復始地地按此規(guī)規(guī)律運行行。我們們所處的的宇宙里里，天體體之間運運行規(guī)律律無一不不是精確確的數(shù)學學關(guān)系式式。偉大大的天文文學家開開普勒在在諧和和宇宙一書中中進一步步研究行行星運動動規(guī)律，發(fā)現(xiàn)了了著名的的開普勒勒行星運運

10、動運動動三大定定律： （1）行星繞繞太陽運運行的軌軌道是橢橢圓形的的，而太太陽在橢橢圓的一一個焦點點上。這這個定律律說明了了行星運運動軌道道的數(shù)學學形式為為： 運動方方程為： ， . 離離心率為為：（2）行行星的向向徑（行行星與太太陽的連連線）在相等的的時間內(nèi)內(nèi)掃過相相等的面面積。這這個定律說明了了行星的的運動速速度的數(shù)數(shù)學形式式為：.（如圖圖0-33所示）（3）行行星繞太太陽公轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)周期的的平方與與它們到到太陽的平均均距離的的立方成成正比例例。這個個定律說說明行圖圖0-33星行星運運動的周周期性。事實上上，說明明（其中中a表示行行星到太太陽的平平均距離離，T表表示公轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)周期，G為萬萬有引力力常

11、數(shù)，M為太太陽質(zhì)量量）。三定律的的發(fā)現(xiàn)，不僅使使人們準準確地預預先計算算出行星星的未來來的位置置，編制制成行星星的星歷歷表供航航海與大大地測量量使用，更重要要的是人人們可以以利用數(shù)數(shù)學的幫幫助去發(fā)發(fā)現(xiàn)新的的行星。果然，在開普普勒以后后的一百百年后，德國天天文學家家提出在在行星的的軌道間間缺一顆顆行星，17881年，德國天天文學家家威廉赫歇發(fā)發(fā)現(xiàn)了這這顆新星星，這就就是著名名的天王王星。19世紀紀中葉，法國天天文學家家勒維耶耶（18811-18777）和和英國天天文學家家亞當斯斯（18819-18992），分別獨獨立計算算出一顆顆新行星星，命名名為海王王星。這這些行星星運動的的規(guī)律、以及新新行星

12、的的發(fā)現(xiàn)，都是數(shù)數(shù)學方法法的光輝輝應(yīng)用的的結(jié)果。目前已已發(fā)現(xiàn)了了距太陽陽約600億公里里的最遙遙遠的一一顆大行行星冥王王星，因因此，人人們已經(jīng)經(jīng)知道了了太陽系系有九大大行星。而且在在火星與與木星之之間發(fā)現(xiàn)現(xiàn)兩千多多顆小行行星。太陽系所所在的星星系，成成為銀河河星系。銀河星星系的面面目已研研究的比比較清楚楚了。它它的形狀狀像個鐵鐵餅，直直徑100萬光年年，中央央厚度約約1萬光光年。銀銀河系中中的物質(zhì)質(zhì)分布成成旋渦狀狀，狀似似螺線，太陽系系在銀河河系的邊邊沿。990年44月美國國發(fā)射太太空的哈哈伯望遠遠鏡，觀觀察到遙遙遠星系系的狀況況，并發(fā)發(fā)現(xiàn)這些些星系的的運行規(guī)規(guī)律與人人們利用用數(shù)學計計算推測測

13、的結(jié)果果幾乎是是一致的的。如今今，人們們利用數(shù)數(shù)學不僅僅能計算算出星系系的運行行規(guī)律，而且還還能計算算出恒星星的壽命命，以及及太陽系系、地球球、宇宙宙的年齡齡等等，這些研研究成果果越來越越使人類類更清晰晰地了解解我們的的宇宙過過去、現(xiàn)現(xiàn)在和未未來。至于人類類自身的的發(fā)明創(chuàng)創(chuàng)造，更更與數(shù)學學有密切切的聯(lián)系系。高聳聳入云的的摩天大大樓、大大跨度的的大橋、高性能能的電子子儀器設(shè)設(shè)備、人人造衛(wèi)星星、航天天飛機、計算機機網(wǎng)絡(luò)與與信息通通訊設(shè)施施等等，這些全全是人類類數(shù)學智智慧的結(jié)結(jié)晶。二、數(shù)學學伴隨人人的一生生從嬰兒出出生的第第一刻起起，父母母要記他他的出生生時間、醫(yī)生要要為他量量體重和和身長，還要檢檢

14、查各項項健康指指標，定定時、定定量哺乳乳、進食食，這些些都于數(shù)數(shù)學有關(guān)關(guān)，嬰兒兒一出生生就遇到到了數(shù)學學，并在在以后的的時光里里，數(shù)學學將幫助助嬰兒健健康成長長。隨著幼兒兒的成長長，越來來越離不不開數(shù)學學。一旦旦人開口口學說話話，大人人開始教教數(shù)“1，22，3，”，“識數(shù)”是人生生的第一一課。后后來逐漸漸能直觀觀地識別別物體大大小、東東西的多多少，這這就有了了初步的的數(shù)量概概念，漫漫漫地大大人教他他學習畫畫三角形形、正方方形和圓圓等等。當你會會到商店店買東西西，就學學會了簡簡單計算算；正是是有了這這些初步步的數(shù)量量概念，才會有有時間概概念，知知道什么么時候看看電視、什么時時間睡覺覺，也會會記住

15、一一些重要要的節(jié)日日和自己己的生日日等；也也正是有有了這些些初步的的幾何圖圖形概念念和簡單單計算能能力，才才使幼兒兒逐漸具具有了數(shù)數(shù)量、運運算、空空間、形形狀等初初始的數(shù)數(shù)學思想想意識。不難想想象，如如果我們們?nèi)祟悰]沒有這些些數(shù)、量量、空間間、形狀狀與關(guān)系系的思想想意識，人類將將和其它它動物一一樣，陷陷入何等等渾噩無無知與黑黑暗之中中，那將將是非常常可怕的的混沌的的時代。事實上上，人類類的祖先先開啟智智能的標標志之一一，就是是有了數(shù)數(shù)量和幾幾何形狀狀的觀念念和意識識。當我們進進入小學學、中學學學校學學習，開開始正式式學習數(shù)數(shù)學這門門學科，懂得了了更為深深奧的數(shù)數(shù)學語言言和圖形形語言。知道了了整

16、數(shù)、小數(shù)、分數(shù)、正數(shù)、負數(shù)、有理數(shù)數(shù)、無理理數(shù)、實實數(shù)和復復數(shù)，明明白了相相等與不不等、方方程與函函數(shù)、有有限與無無限、數(shù)數(shù)列與極極限；懂懂得了圖圖形的全全等與相相似、直直線、圓圓、軸對對稱和中中心對稱稱、平移移、旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)、標量量、矢量量、坐標標、正弦弦曲線、余弦曲曲線、拋拋物線、橢圓、雙曲線線，多面面體、旋旋轉(zhuǎn)體，空間曲曲線和曲曲面等等等。我們們也學會會了加、減、乘乘、除、乘方、開方，整式、分式、冪式、根式、方程式式、函數(shù)數(shù)式，等等式、不不等式，排列、組合、二項式式展開的的運算，學會了了幾何作作圖、等等分、等等積變形形、分割割、展開開、放大大、縮小小、平移移、旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)、反射射以及無無限細分分與無

17、限限積累等等數(shù)學方方法。這這樣以來來我們的的大腦里里已經(jīng)裝裝進了人人類數(shù)千千年長期期總結(jié)積積累的初初等數(shù)學學知識的的精粹與與思維的的模式，使我們們的思維維方式更更科學化化了，也也就是說說，數(shù)學學訓化了了我們的的大腦，使我們們更聰明明睿智了了。進入高等等教育階階段，我我們要成成為某個個學科或或技術(shù)領(lǐng)領(lǐng)域的專專門人才才，要學學習系統(tǒng)統(tǒng)的專業(yè)業(yè)知識和和技術(shù)，就需要要更多、更深入入的數(shù)學學知識。我們要要弄懂函函數(shù)與極極限、函函數(shù)與連連續(xù)，函函數(shù)的導導數(shù)、微微分、不不定積分分、定積積分、曲曲線積分分、曲面面積分，拉氏變變換和逆逆變換，級數(shù)、傅立葉葉級數(shù)與與函數(shù)的的泰勒展展式，微微分方程程，行列列式、矩矩

18、陣、線線性方程程組和nn維向量量，概率率統(tǒng)計，圖論，線性規(guī)規(guī)劃與動動態(tài)規(guī)劃劃等一系系列數(shù)學學概念和和知識，同時我我們還要要學會利利用這些些概念和和知識，會計算算變化率率、改變變量，會會分析函函數(shù)的性性質(zhì)和函函數(shù)圖形形的特征征，會求求函數(shù)的的極值，會進行行近似計計算與誤誤差分析析，會求求函數(shù)曲曲線所圍圍成的圖圖形的面面積、曲曲線長度度和曲面面體積，會求解解一階線線性微分分方程和和二階常常系數(shù)微微分方程程，會求求一些函函數(shù)的拉拉氏變換換和逆變變換，會會把一個個函數(shù)展展成冪級級數(shù)、把把周期函函數(shù)展成成傅立葉葉級數(shù)，會求行行列式的的值、會會進行矩矩陣變換換和解線線性方程程組，會會求矩陣陣的特征征值和特

19、特征向量量，會求求概率和和進行簡簡單的統(tǒng)統(tǒng)計分析析，會利利用圖論論方法、線性規(guī)規(guī)劃和動動態(tài)規(guī)劃劃解決一一些優(yōu)化化問題，會利用用已有的的數(shù)學知知識和方方法建立立數(shù)學模模型等等等。十余年的的數(shù)學學學習，不不僅增長長了知識識，還學學會了邏邏輯思維維，就這這一點對對人的幫幫助最大大。當你你會歸納納、類比比、聯(lián)想想，會靈靈活處理理問題，增強了了直覺能能力，有有了數(shù)感感，有了了形感時時，那你你會變得得更聰明明、智慧慧。當你走向向技術(shù)或或管理崗崗位，經(jīng)經(jīng)常要借借助計算算機進行行工程計計算或經(jīng)經(jīng)濟核算算，經(jīng)常常要進行行分析、判斷和和決策。這使你你感到通通過數(shù)學學培養(yǎng)出出的能力力有了用用武之地地。目前前出現(xiàn)的的

20、一些優(yōu)優(yōu)秀數(shù)學學軟件功功能非常常強大，不僅能能進行數(shù)數(shù)值計算算，而且且還能進進行符號號運算，這不僅僅使繁瑣瑣的計算算、推導導變得輕輕松自如如，而且且也能協(xié)協(xié)助我們們進行邏邏輯思維維，作出出正確判判斷。因因此學會會利用流流行的數(shù)數(shù)學軟件件已是工工程師、經(jīng)濟師師們必不不可缺學學習任務(wù)務(wù)。我們要相相信，這這一系列列數(shù)學知知識的掌掌握和數(shù)數(shù)學能力力的培養(yǎng)養(yǎng)，是你你成為一一名高級級技術(shù)或或管理人人才的基基礎(chǔ)。我們不難難發(fā)現(xiàn)，如今的的社會生生活信息息化程度度越來越越高，終終身學習習已經(jīng)成成為人的的一種特特別需要要，“會學習習”已成為為當今社社會對人人的一種種基本要要求。然然而，“會學習習”的前提提是必須須

21、具備通通過數(shù)學學培養(yǎng)出出的足夠夠的 “閱讀”能力和和邏輯思思維能力力。事實實證明，沒有經(jīng)經(jīng)過數(shù)學學邏輯思思維訓練練的人，一般不不會有健健全的學學習能力力。當然然，不一一定是終終身要學學數(shù)學，但一定定是終身身要用數(shù)數(shù)學。毫毫無疑問問，數(shù)學學將伴隨隨人的一一生。數(shù)學的基基本特征征數(shù)學是人人類智力力的產(chǎn)物物，許多多人認為為它具有有三個最最基本的的特征：一是高高度抽象象性，二二是高度度精確性性，三是是廣泛應(yīng)應(yīng)用性。數(shù)學的高高度抽象象性 數(shù)，就就是離開開具體事事物的實實際背景景，僅僅僅從它的的數(shù)量側(cè)側(cè)面上反反映出來來的一種種抽象。在人類類有文字字記載的的初期，人們就就知道把把具體的的一些物物體的數(shù)數(shù)量用

22、符符號記錄錄下來，這時人人們已經(jīng)經(jīng)開始有有了把“數(shù)”從具體體事物抽抽象出來來的意識識。例如如3（古古代有各各種表示示方法，現(xiàn)在我我們采用用的是阿阿拉伯人人的記法法）這個個數(shù)既可可表示33個蘋果果，也可可表示33個人或或3本書書等等，而3本本身已經(jīng)經(jīng)擯棄了了蘋果、人或書書等的具具體含義義，僅僅僅抓住數(shù)數(shù)量這一一特征的的一種抽抽象。形，也是是如此，直線這這一概念念是從拉拉緊的紗紗線，透透過小孔孔的光線線，筆直直的路線線等等現(xiàn)現(xiàn)實事物物中抽象象出來的的。幾何何學中的的直線舍舍棄了所所有紗線線、光線線、路線線等等事事物的性性質(zhì)，只只留下在在一定方方向上無無限伸長長這一抽抽象形式式。幾何何圖形的的概念，

23、都是舍舍棄了現(xiàn)現(xiàn)實對象象的所有有性質(zhì)，只留下下空間形形式和大大小、位位置這些些抽象結(jié)結(jié)果。全全部數(shù)學學都具有有這種抽抽象的特特征。其實，抽抽象的方方法其他他學科應(yīng)應(yīng)用也很很廣泛，幾乎任任何學科科都有一一些的抽抽象性的的概念手手段，如如現(xiàn)代物物理學中中的各種種“場”、“熵”、“勢”等等也也都是比比較抽象象的概念念；又例例如力學學中的剛剛體運動動，常把把一個物物體視為為一個質(zhì)質(zhì)點，把把運動軌軌跡看成成一條曲曲線或直直線，這這就是典典型的抽抽象手法法。特別別是天體體運動研研究中，把星球球的運行行軌跡認認為是橢橢圓，這這時就把把巨大的的星球看看成是幾幾何點（無體積積的點，或把體體積“抽象”掉了）。但這

24、這些抽象象的概念念并沒有有完全擺擺脫實際際背景，人們還還很容易易想到它它的真實實情況，而現(xiàn)代代純粹數(shù)數(shù)學的抽抽象程度度越來越越高，有有些已經(jīng)經(jīng)難于找找到它的的現(xiàn)實背背景。尤尤其是在在過去的的一個世世紀里，數(shù)學從從內(nèi)容、意義到到方法都都經(jīng)歷了了前所未未有的深深刻變革革?；仡欘欉@種深深刻變革革，我們們會發(fā)現(xiàn)現(xiàn)：數(shù)學學的無限限生命力力，恰恰恰是源于于其發(fā)展展過程中中的三個個貌似相相互矛盾盾、實則則相互統(tǒng)統(tǒng)一的特特點，即即：數(shù)學學的抽象象性、精精確性和和數(shù)學的的廣泛應(yīng)應(yīng)用性。在200世紀，數(shù)學的的這兩個個特點更更是共軛軛地發(fā)展展著，使使數(shù)學比比以往任任何時代代都更加加成為整整個科學學技術(shù)賴賴依生存存的

25、基礎(chǔ)礎(chǔ)和人類類文明、進步的的標志。脫離具體體的實際際背景對對事物進進行“量”與“形”的抽象象是數(shù)學學固有的的特性，可以說說沒有這這種抽象象就沒有有數(shù)學。20世世紀數(shù)學學更高的的抽象化化趨勢，最初主主要是受受了兩大大因素的的推動，即集合合論觀點點與公理理化方法法，二者者相互結(jié)結(jié)合孕育育了抽象象代數(shù)、拓撲學學、泛函函分析等等新的抽抽象分支支，同時時又引發(fā)發(fā)了一些些傳統(tǒng)數(shù)數(shù)學分支支(特別別如概率率論)的的革新。數(shù)學的的核心領(lǐng)領(lǐng)域不斷斷拓展，研究對對象不斷斷擴張。例如，過去作作為分析析學主角角的函數(shù)數(shù)概念被被擴張為為泛函、算子和和一般的的映射；代數(shù)學學研究的的中心從從普通的的數(shù)轉(zhuǎn)化化為群、環(huán)、域域等一

26、般般的代數(shù)數(shù)結(jié)構(gòu)；幾何學學則主要要探討各各種各樣樣的抽象象空間(包括無無窮維空空間、分分數(shù)維空空間、彎彎曲的非非歐空間間、可變變形的拓拓撲空間間等)?？煽梢哉f，現(xiàn)代數(shù)數(shù)學不僅僅研究現(xiàn)現(xiàn)實世界界的空間間形式與與數(shù)量關(guān)關(guān)系，而而且研究究一切可可能的空空間形式式與數(shù)量量關(guān)系。在更廣廣泛的意意義上，數(shù)學已已經(jīng)被看看作是關(guān)關(guān)于“模型”(paatteern)的學科科，包括括數(shù)的模模型，形形的模型型，運動動與變化化的模型型，推理理的模型型，行為為的模型型這些些模型既既可以是是現(xiàn)實的的，也可可以是想想像的；既可以以是定量量的，也也可以是是定性的的，等等等。 純粹數(shù)數(shù)學在220世紀紀經(jīng)歷了了一系列列激動人人心的

27、發(fā)發(fā)展，過過去若干干世紀以以來積累累的一些些重大問問題，有有許多已已獲解決決或是取取得了重重要進展展。歷3300余余年懸而而未決的的費馬大大定理的的獲證(19994)，可以說說是200世紀純純粹數(shù)學學美妙的的終曲。對于XX的n次次方XX的n次次方ZZ的n次次方這一一看似簡簡單的方方程式，費馬在在3000多年前前提出，當n大大于或等等于3時時無整數(shù)數(shù)解。此此后，3300多多年無人人能證明明這一定定理。除除了費馬馬大定理理，像事事關(guān)數(shù)學學大廈基基礎(chǔ)的哥哥德爾不不完全性性定理的的提出(19331)、具有異異乎尋常常的微分分結(jié)構(gòu)的的“米爾諾諾怪球”的發(fā)現(xiàn)現(xiàn)(19956)、揭示示數(shù)學內(nèi)內(nèi)在統(tǒng)一一性的“阿

28、蒂亞亞辛格指指標定理理”的證明明(19963)、四色色定理的的攻克(19776)、有限單單群分類類的完成成(19980)、等等，這些輝輝煌的智智力成果果，不斷斷使科學學界震驚驚，而它它們的獲獲得，都都依賴于于極度抽抽象的概概念與方方法。以以費馬大大定理的的證明為為例，由由于它綜綜合運用用了包括括數(shù)論、代數(shù)幾幾何、李李群和分分析等眾眾多數(shù)學學分支的的思想與與方法而而被喻為為“后現(xiàn)代代藝術(shù)”。這條條表述極極其初等等的定理理，要看看懂英國國數(shù)學家家維爾斯斯對它的的證明，即使對對訓練有有素的職職業(yè)數(shù)學學家來說說也并非非易事，這多少少說明了了現(xiàn)代數(shù)數(shù)學抽象象的程度度。哥德德爾不完完全性定定理的提提出，可

29、可涉及的的領(lǐng)域甚甚至包括括哲學。其抽象象化也是是達到了了相當高高深的程程度。 現(xiàn)代數(shù)學學抽象化化趨勢的的增長，有時不不免引起起人們對對數(shù)學的的誤解，認為數(shù)數(shù)學是只只有少數(shù)數(shù)思維怪怪杰才能能問津的的、遠離離現(xiàn)實的的象牙塔塔。然而而數(shù)學的的抽象決決不是無無源之水水、無本本之木。相反，數(shù)學與與現(xiàn)實世世界的聯(lián)聯(lián)系源遠遠流長。由于數(shù)數(shù)與形是是事物所所共有的的本質(zhì)屬屬性的抽抽象，數(shù)數(shù)學在其其發(fā)展的的早期就就表現(xiàn)出出解決因因人類實實際需要要而提出出的各種種問題的的功效。隨著數(shù)數(shù)學抽象象程度的的提高，數(shù)學與與現(xiàn)實世世界的聯(lián)聯(lián)系有時時呈現(xiàn)出出曲折性性，數(shù)學學理論往往往會領(lǐng)領(lǐng)先發(fā)展展，但這這常常只只是重大大應(yīng)用的

30、的前奏。數(shù)學的的發(fā)展史史表明，數(shù)學的的抽象越越是完善善，其滲滲透能力力就越強強，應(yīng)用用范圍就就越廣。20世世紀是一一個純粹粹數(shù)學與與應(yīng)用數(shù)數(shù)學相互互影響，共同繁繁榮的時時代，應(yīng)應(yīng)用數(shù)學學的蓬勃勃發(fā)展，已蔚成成當代數(shù)數(shù)學的強強大潮流流，并表表現(xiàn)出與與以往時時代不同同的鮮明明特征。在目前的的基礎(chǔ)教教育和高高等教育育教學中中，尤其其是在高高等工程程技術(shù)教教育中，重視數(shù)數(shù)學知識識的實際際背景，加強應(yīng)應(yīng)用數(shù)學學意識與與能力的的培養(yǎng)，是十分分必要和和迫切的的任務(wù)。但我們們必須清清楚，數(shù)數(shù)學的巨巨大應(yīng)用用威力，正是源源于它在在宇宙世世界和人人類社會會的探索索中對最最大限度度的一般般性即抽抽象性的的追求。數(shù)學

31、抽抽象作為為一種科科學思維維的范式式，是現(xiàn)現(xiàn)代化人人才不論其其從事何何種職業(yè)業(yè)所必必須具備備的基本本素質(zhì)，雖然對對不同的的人要求求可有所所不同。值得指指出的是是，數(shù)學學抽象思思維包括括了演繹繹證明、歸納推推理、算算法構(gòu)思思等不同同的方面面，應(yīng)該該是一個個整體的的、全面面的概念念。我們在工工程類或或管理類類專業(yè)教教育中，特別強強調(diào)數(shù)學學回歸自自然，回回歸工程程實際，回歸技技術(shù)應(yīng)用用，但我我們不可可能擺脫脫數(shù)學的的抽象性性特點。在這里里把數(shù)學學教育的的目的定定位于應(yīng)應(yīng)用能力力培養(yǎng)，是非常常正確的的，且最最重要的的目的是是抽象思思維能力力培養(yǎng)，因為會會用抽象象的方法法解決問問題，是是高超智智慧的體體

32、現(xiàn)。其其實，抓抓住現(xiàn)實實對象的的根本特特征進行行抽象性性描述，往往會會使其特特征更明明了、簡簡潔、直直觀。數(shù)學的高高度精確確性數(shù)學的高高度精確確性主要要表現(xiàn)在在數(shù)學定定義的準準確性、推理的的邏輯嚴嚴格性和和數(shù)學結(jié)結(jié)論的確確定無疑疑性與無無可爭辯辯性。當當然，數(shù)數(shù)學嚴格格性不是是絕對的的，一成成不變的的，而是是相對的的，發(fā)展展的，體體現(xiàn)人們們的認識識逐漸深深化的過過程。數(shù)學的邏邏輯嚴密密性的主主要特征征是它的的經(jīng)典部部分有一一套科學學、簡明明的公理理系統(tǒng)，這些公公理系統(tǒng)統(tǒng)的標志志是：一一，它有有一套基基本術(shù)語語，或原原始概念念；二，它有一一組基本本命題，或原始始命題，或公理理；三，其余的的概念全

33、全由原始始概念出出發(fā)予以以定義，其余的的命題全全由公理理出發(fā)予予以推理理論證。現(xiàn)在，算術(shù)，幾何，微積分分，泛函函分析，拓撲學學，集合合論，群群論，概概率論等等均已建建立在公公理化基基礎(chǔ)上。它的所所有不能能是例證證和個別別驗證，如著名名的歌德德巴赫猜猜想，有有人用計計算機驗驗證了幾幾百萬個個素數(shù)都都是對的的，但這這仍不能能算證明明了歌德德巴赫猜猜想。再再如對于于下面的的二次式式我們可以以驗證，當x=1,22,1000000時,都是素素數(shù)。可可是我們們決不能能下結(jié)論論對所有有的自然然數(shù)x, 是素素數(shù)。舉舉出一個個反例，就是xx=7224900，因為為 . 不能用用例證得得出結(jié)論論，任何何結(jié)論都都必

34、須經(jīng)經(jīng)過嚴密密的演繹繹推斷，數(shù)學家家核心任任務(wù)是根根據(jù)已知知的結(jié)論論通過嚴嚴密演繹繹推理證證明新的的結(jié)論或或證實人人們的各各種猜想想等，而而其它學學科的專專家們只只關(guān)心數(shù)數(shù)學結(jié)論論極其應(yīng)應(yīng)用，不不必理解解其證明明細節(jié)，因此，從事工工程類或或管理類類專業(yè)數(shù)數(shù)學教育育的工作作者，千千萬不要要以教會會數(shù)學的的嚴密證證明為目目的，而而是要以以幫助學學生分析析理解數(shù)數(shù)學結(jié)論論、訓練練應(yīng)用方方法為主主要任務(wù)務(wù)和目的的。3數(shù)學學的廣泛泛應(yīng)用性性自然科學學發(fā)展史史表明，任何學學科研究究都要經(jīng)經(jīng)歷從定定性到定定量研究究的過渡渡和飛躍躍。只要要該學科科是不介介入實驗驗的，才才是該門門學科趨趨于成熟熟的表現(xiàn)現(xiàn)。要做

35、做到這一一點，數(shù)數(shù)學學科科是個有有力的杠杠桿。似似乎可以以這樣說說，在現(xiàn)現(xiàn)代科學學技術(shù)十十大部門門（引自自錢學森森19889年88月在數(shù)數(shù)學會教教育與科科研座談?wù)剷系牡闹v話發(fā)展我我國的數(shù)數(shù)學學科科。他他指出的的科學技技術(shù)十大大門類為為：自然然科學、社會科科學、數(shù)數(shù)學科學學、思維維科學、系統(tǒng)科科學、人人體科學學、軍事事科學、文藝理理論、行行為科學學、地理理科學）中絕大大部門的的素養(yǎng)和和訓練中中，數(shù)學學理論是是個終極極的目標標，這是是由于在在各個部部門的有有關(guān)現(xiàn)象象、規(guī)律律和結(jié)論論只有用用準確的的數(shù)學語語言才能能描繪清清楚。19世紀紀七、八八十年代代，還是是在現(xiàn)代代數(shù)學發(fā)發(fā)展的早早期，恩恩格斯曾

36、曾對當時時數(shù)學應(yīng)應(yīng)用的狀狀況作過過這樣的的估計：“在固體體力學中中是絕對對的，在在氣體力力學中是是近似的的，在化化學中是是簡單的的一次方方程式，在生物物學中等等于零”。經(jīng)過過一個多多世紀的的發(fā)展，可以看看到恩格格斯所描描述的情情況有了了根本的的改觀。數(shù)學正正在向包包括從粒粒子物理理到生命命科學、從空間間科學到到地球科科學在內(nèi)內(nèi)的一切切科學領(lǐng)領(lǐng)域進軍軍。 數(shù)學在在物理學學中的應(yīng)應(yīng)用在220世紀紀取得了了一系列列新的突突破。眾眾所周知知，在相相對論和和量子力力學的創(chuàng)創(chuàng)立和發(fā)發(fā)展中，數(shù)學都都建有奇奇功：出出于純粹粹數(shù)學的的興趣而而獲得的的抽象成成果(張張量分析析、無窮窮維空間間等)恰恰恰分別別為這兩

37、兩種新興興的物理理理論提提供了現(xiàn)現(xiàn)成合用用的數(shù)學學工具。抽象數(shù)數(shù)學為物物理學新新理論準準備了仿仿佛是定定做的工工具。在在20世世紀下半半葉又演演出了精精彩的一一幕，在在物理學學家探索索統(tǒng)一場場論的艱艱難卓絕絕的努力力中，數(shù)數(shù)學家們們發(fā)現(xiàn)著著名的楊楊米爾斯斯理論所所需要的的數(shù)學工工具早已已存在，物理規(guī)規(guī)范勢實實際上就就是大范范圍微分分幾何中中纖維叢叢上的聯(lián)聯(lián)絡(luò)。 至于現(xiàn)現(xiàn)代化學學，描述述化學過過程少不不了微分分方程和和積分方方程，并并且有許許多還是是連數(shù)學學家都感感到棘手手的非線線性方程程。 生物學學不用數(shù)數(shù)學的時時代也已已一去不不返。膾膾炙人口口的例子子是：拓拓撲學(特別是是其中的的扭結(jié)理理論

38、)為為解開DDNA雙雙螺旋結(jié)結(jié)構(gòu)之謎謎提供了了一把鑰鑰匙。人人類基因因的破譯譯用到更更多的數(shù)數(shù)學知識識。今天天，數(shù)理理統(tǒng)計應(yīng)應(yīng)用于遺遺傳學；概率論論應(yīng)用于于人口統(tǒng)統(tǒng)計和種種群理論論；微分分方程應(yīng)應(yīng)用于各各種生物物模型的的建立；布爾代代數(shù)應(yīng)用用于神經(jīng)經(jīng)網(wǎng)絡(luò)描描述；這一一切已構(gòu)構(gòu)成了“生物數(shù)數(shù)學”的豐富富內(nèi)容。 “數(shù)學物物理”、“數(shù)理化化學”、“生物數(shù)數(shù)學”、“數(shù)學地地質(zhì)學”、“數(shù)理氣氣象學”，一連串串交叉學學科的形形成說明明了數(shù)學學向其它它自然科科學領(lǐng)域域滲透的的廣度。而純粹粹數(shù)學中中的一些些前沿與與其他科科學的許許多前沿沿領(lǐng)域的的快速結(jié)結(jié)合，則則反映了了數(shù)學滲滲透的深深度?？煽梢哉f沒沒有這些些

39、前沿數(shù)數(shù)學就沒沒有當代代物理學學的一些些前沿領(lǐng)領(lǐng)域如超超弦理論論、超引引力理論論等。事事實上，像超弦弦理論這這樣的物物理學熱熱門分支支所用到到的數(shù)學學，就涉涉及微分分拓撲、代數(shù)幾幾何、微微分幾何何、群論論、無窮窮維代數(shù)數(shù)、復分分析等等等。 除了自自然科學學，在經(jīng)經(jīng)濟學、社會學學、歷史史學等過過去認為為不適用用數(shù)學的的社會科科學部門門，數(shù)學學方法也也開辟了了廣闊的的用武之之地。數(shù)數(shù)學正在在向社會會科學和和文化藝藝術(shù)領(lǐng)域域廣泛滲滲透，這這是數(shù)學學應(yīng)用不不同于以以往時代代的嶄新新趨勢。數(shù)學與與一些社社會科學學領(lǐng)域相相結(jié)合也也產(chǎn)生了了一系列列交叉學學科，如如數(shù)理經(jīng)經(jīng)濟學、數(shù)理語語言學、數(shù)學考考古學、史

40、衡學學等等等。 數(shù)學在在經(jīng)濟學學中的應(yīng)應(yīng)用是很很具代表表性的例例子。220世紀紀四十年年代以來來，經(jīng)濟濟學研究究的數(shù)學學化導致致了數(shù)理理經(jīng)濟學學的誕生生，參與與這門交交叉學科科建立的的有大數(shù)數(shù)學家馮馮諾依曼曼等。五五十年代代以后，數(shù)學方方法在西西方經(jīng)濟濟學中占占據(jù)了重重要地位位，以致致大部分分的諾貝貝爾經(jīng)濟濟學獎都都被授予予了與數(shù)數(shù)理經(jīng)濟濟學有關(guān)關(guān)的工作作。其中中如不久久前曾來來北京參參加國際際數(shù)學家家大會并并作了公公眾講演演的美國國數(shù)學家家J納什，他根據(jù)據(jù)對策論論數(shù)學原原理提出出非合作作對策的的“納什均均衡”，成為為當前熱熱門的“雙贏”概念的的理論基基礎(chǔ)。因因此說納納什的數(shù)數(shù)學研究究不僅將將

41、改變經(jīng)經(jīng)濟學的的面貌，而且將將影響整整個社會會科學的的未來，大概不不會過分分。又如如當前國國際金融融市場普普遍使用用的期權(quán)權(quán)定價公公式布萊克克斯科爾爾斯公式式，實際際上是根根據(jù)高度度抽象的的數(shù)學工工具(隨隨機微分分方程)導出的的數(shù)學公公式，這這一公式式被譽為為“華爾街街第二次次革命”的起點點，它表表明了抽抽象的數(shù)數(shù)學怎樣樣可以與與人們的的社會經(jīng)經(jīng)濟利益益息息相相關(guān)。難難怪在四四方國家家讀經(jīng)濟濟學位，學習數(shù)數(shù)學知識識的深度度和廣度度往往比比其它學學科都要要高。 現(xiàn)代數(shù)數(shù)學不僅僅影響著著人們的的經(jīng)濟活活動，而而且正在在影響著著人們的的文化生生活。數(shù)數(shù)學通過過計算機機，正在在提供新新的藝術(shù)術(shù)創(chuàng)作手手

42、段和藝藝術(shù)產(chǎn)品品，給人人們帶來來全新的的藝術(shù)享享受。想想一想數(shù)數(shù)碼音像像、三維維動畫，還有那那精美絕絕倫的分分形繪畫畫等等等。數(shù)學學與藝術(shù)術(shù)相結(jié)合合，正在在走進千千家萬戶戶。 還是在在上個世世紀的前前半葉，著名社社會活動動家WF懷特曾曾這樣寫寫道：“數(shù)學化化的社會會科學將將成為未未來文明明的控制制因素”。今日日的社會會科學離離懷特預預言的目目標相距距還遠，但200世紀應(yīng)應(yīng)用數(shù)學學的發(fā)展展歷程表表明，這這方面的的前景是是光明的的。 現(xiàn)代數(shù)數(shù)學對生生產(chǎn)技術(shù)術(shù)的應(yīng)用用變得越越來越直直接。以以前數(shù)學學工具直直接應(yīng)用用于生產(chǎn)產(chǎn)技術(shù)的的事例雖雖有發(fā)生生，但數(shù)數(shù)學與生生產(chǎn)技術(shù)術(shù)的關(guān)系系基本上上是間接接的，往

43、往往是先先應(yīng)用于于其他科科學(如如力學、物理學學、天文文學)，再由這這些科學學提供技技術(shù)進步步的基礎(chǔ)礎(chǔ)。200世紀下下半葉以以來，數(shù)數(shù)學與生生產(chǎn)技術(shù)術(shù)的相互互作用正正在加強強，數(shù)學學提供的的工具直直接推動動技術(shù)革革新的頻頻率正在在加快，并在許許多情況況下產(chǎn)生生出巨大大的經(jīng)濟濟效益。 眾所周知知，數(shù)學學是歷次次產(chǎn)業(yè)革革命的重重要推動動因素。如果說說數(shù)學間間接地引引導了前前兩次產(chǎn)產(chǎn)業(yè)革命命(以微微積分為為基礎(chǔ)的的17、18世世紀科學學的高漲漲成為以以蒸汽機機等為主主導技術(shù)術(shù)的第一一次產(chǎn)業(yè)業(yè)革命的的先導；與數(shù)學學分析的的進步密密不可分分的199世紀數(shù)數(shù)學物理理的發(fā)展展為以發(fā)發(fā)電機、無線電電通信等等為

44、主體體技術(shù)的的第二次次產(chǎn)業(yè)革革命奠定定了理論論基礎(chǔ))，那么么它在220世紀紀發(fā)生的的第三次次產(chǎn)業(yè)革革命中則則更多地地站到了了前臺。例如，如果沒沒有數(shù)學學家的參參與，就就不可能能有現(xiàn)代代計算機機技術(shù)與與龐大的的計算機機產(chǎn)業(yè)。數(shù)學家家對電子子計算機機的發(fā)明明和發(fā)展展有不可可磨滅的的貢獻。馮諾依曼曼是第一一臺通用用電子計計算機(ENIIAC)的主要要研制者者之一，他的程程序內(nèi)存存思想至至今仍是是現(xiàn)代計計算機的的主要設(shè)設(shè)計理念念。英國國數(shù)學家家圖靈的的“理想計計算機”(“圖靈機機”)提供供了通用用數(shù)字計計算機的的理論模模型。圖圖靈本人人也是早早期電子子計算機機研制的的元勛。值得注注意的是是，“圖靈機機

45、”的提出出完全是是為了解解決與數(shù)數(shù)學基礎(chǔ)礎(chǔ)有關(guān)的的一個純純理論問問題(可可判定性性問題)。 除了計計算機技技術(shù)，數(shù)數(shù)值模擬擬已成為為航空、航天設(shè)設(shè)計的有有效工具具，類似似的數(shù)值值模擬方方法正在在被應(yīng)用用于包括括核工業(yè)業(yè)在內(nèi)的的許多技技術(shù)部門門，以代代替耗資資巨大的的試驗；19880年以以來，小小波分析析直接應(yīng)應(yīng)用于通通信、石石油勘探探、圖像像壓縮等等技術(shù)領(lǐng)領(lǐng)域；現(xiàn)現(xiàn)代醫(yī)學學儀器工工業(yè)也離離不開數(shù)數(shù)學(如如CT掃掃描儀的的研制，就是以以現(xiàn)代數(shù)數(shù)學中所所謂“拉東積積分”理論為為基礎(chǔ)，有關(guān)的的科學家家因此榮榮獲了諾諾貝爾醫(yī)醫(yī)學生理理學獎)，等等等。這樣樣的例子子舉不勝勝舉。 現(xiàn)代數(shù)數(shù)學正在在通過向向

46、人類幾幾乎所有有的知識識領(lǐng)域空空前廣泛泛地滲透透而影響響著人們們的生活活方式物物質(zhì)的和和精神的的生活方方式。 數(shù)學的的抽象性性與廣泛泛應(yīng)用性性的基本本特征，決定了了它的科科學地位位與文化化價值。高斯曾曾同時將將數(shù)學比比作科學學的“皇后”和“仆人”，這確確是恰當當?shù)脑u價價。數(shù)學學的抽象象智力成成果，以以其邏輯輯的威力力和算法法的精密密將永遠遠是這門門科學的的光榮所所在。但但抽象的的數(shù)學語語言與數(shù)數(shù)學結(jié)構(gòu)構(gòu)，如果果不能服服務(wù)于其其他科學學技術(shù)領(lǐng)領(lǐng)域，也也不可能能享有如如此的尊尊榮。正正確認識識數(shù)學這這兩方面面的特征征及相互互關(guān)系，對于推推動數(shù)學學科學的的健康發(fā)發(fā)展至關(guān)關(guān)重要。 四、數(shù)學學對人類類文

47、明和和科技進進步的影影響其實上面面對數(shù)學學廣泛應(yīng)應(yīng)用性的的描述中中，我們們可以體體會到數(shù)數(shù)學對人人類文明明和科技技進步的的影響，但下面面我們就就19、20世世紀里數(shù)數(shù)學在科科學中的的作用和和影響作作進一步步的概述述?！皵?shù)學：科學的的王后和仆人”是已故故美國科科學院院院士貝爾爾于19951年年寫的一一本書的的書名，該書主主要是為為數(shù)學圈圈子以外外的人寫寫的，介介紹純粹粹數(shù)學和和應(yīng)用數(shù)數(shù)學的各各個方面面，更著著重在說說明數(shù)學學科學的的突出重重要性。這本書書實際上上是他119311年寫的的科學學的女王王和119377年寫的的科學學的女仆仆這兩兩本通俗俗數(shù)學讀讀物的合合一修訂訂擴大版版。 按常理理，女

48、王王是高雅雅、權(quán)威威和至尊尊至貴的的，是陽陽春白雪雪，在科科學中只只有純粹粹數(shù)學才才具有這這樣的特特點。簡簡潔明了了的數(shù)學學定理一一經(jīng)證明明就是永永恒的真真理，極極其優(yōu)美美而且無無懈可擊擊。另一一方面，科學和和工程的的各個分分支都在在不同程程度上大大量使用用數(shù)學，享受著著數(shù)學的的貢獻。這時數(shù)數(shù)學科學學就是仆仆人，英英文書名名中seervaant這這個字在在英文里里有“供人們們利用之之物，有有用的服服務(wù)工具具”的意思思。 首先，我們來來回顧一一下形成成我們現(xiàn)現(xiàn)在這個個飛速發(fā)發(fā)展的信信息社會會的所有有重大科科學理論論在發(fā)展展和完善善過程中中數(shù)學所所起到的的不可或或缺的作作用。 20世世紀最大大的科

49、學學成就莫莫過于愛愛因斯坦坦的狹義義和廣義義相對論論了，但但是如果果沒有黎黎曼于118544年發(fā)明明的黎曼曼幾何，以及凱凱萊，西西勒維斯斯特和諾諾特等數(shù)數(shù)學家發(fā)發(fā)展的不不變量理理論，愛愛因斯坦坦的廣義義相對論論和引力力理論就就不可能能有如此此完善的的數(shù)學表表述。愛愛因斯坦坦自己也也不止一一次地說說過這一一點。例例如，119122年夏他他已經(jīng)概概括出新新的引力力理論的的基本物物理原理理，但是是為了實實現(xiàn)廣義義相對論論的目標標，還必必須尋求求理論的的數(shù)學結(jié)結(jié)構(gòu)，愛愛因斯坦坦為此花花了3年年的時間間，最后后，在數(shù)數(shù)學家MM格拉斯斯曼的介介紹下掌掌握了發(fā)發(fā)展相對對論引力力學說所所必需的的數(shù)學工工具以黎

50、曼曼幾何為為基礎(chǔ)的的絕對微微分學，也就是是愛因斯斯坦后來來所稱的的張量分分析。在在19115年111月225日發(fā)發(fā)表的一一篇論文文中，愛愛因斯坦坦終于導導出了廣廣義協(xié)變變的引力力場方程程，在該該文中他他說：“由于這這組方程程，廣義義相對論論作為一一種邏輯輯結(jié)構(gòu)終終于大功功告成！”廣義相相對論的的數(shù)學表表達第一一次揭示示了非歐歐幾何的的現(xiàn)實意意義，成成為歷史史上數(shù)學學應(yīng)用最最偉大的的例子之之一。他他還說過過“事實上上，我是是通過她她(諾特特)才能能在這一一領(lǐng)域內(nèi)內(nèi)有所作作為的?！?如果沒沒有凱萊萊在18858年年發(fā)展的的矩陣數(shù)數(shù)學及其其后繼者者的進一一步發(fā)展展，海森森伯和狄狄拉克就就無法開開創(chuàng)現(xiàn)

51、代代物理學學量子力力學方面面的革命命性工作作。狄拉拉克甚至至說，創(chuàng)創(chuàng)建物理理理論時時，“不要相相信所有有的物理理概念”，但是是要“相信數(shù)數(shù)學方案案，甚至至表面上上看去，它與物物理學并并無聯(lián)系系?！?整個電電磁場的的理論是是由馬克克斯威爾爾方程組組表述的的，但是是“雖然場場的理論論起源應(yīng)應(yīng)歸功于于英國物物理學家家法拉第第，但法法拉第不不是數(shù)學學家，他他沒能發(fā)發(fā)展這個個概念。經(jīng)過馬馬克斯威威爾之手手，電場場理論得得到了精精確的描描述，成成為以后后所有場場論的模模式。” 整個流流體運動動的理論論是由納納維托克斯斯方程組組表述的的，它首首先是由由法國多多科工藝藝和交通通工程學學校的力力學教授授納維初初

52、步完成成的，而而最終是是由英國國物理學學家和數(shù)數(shù)學家斯斯托克斯斯爵士完完善并完完成的。 計算的的技藝數(shù)值值分析以以及運算算速度的的問題(計算機機的制造造)，牛牛頓、萊萊布尼茲茲、歐拉拉、高斯斯都曾給給予系統(tǒng)統(tǒng)研究，它們一一直是數(shù)數(shù)學的重重要部分分。在現(xiàn)現(xiàn)代計算算機的發(fā)發(fā)展研制制中數(shù)學學家起了了決定性性的作用用。萊布布尼茲，貝巴奇奇等數(shù)學學家都曾曾研制過過計算機機。200世紀330年代代，符號號邏輯的的研究方方程活躍躍，丘奇奇，哥德德爾，波波斯特和和其他學學者研究究了形式式語言。經(jīng)過他他們以及及圖靈的的研究工工作，形形成了可可計算性性這個數(shù)數(shù)學概念念。19935年年前后，圖靈建建立了通通用計算算

53、機的抽抽象模型型。這些些成果為為后來馮馮諾伊曼曼和他的的同事們們制造帶帶有存儲儲程序的的計算機機，為形形式程序序的發(fā)明明提供了了理論框框架。 通信的的數(shù)學理理論是由由數(shù)學家家香農(nóng)(他還具具有電氣氣工程的的學位)于19948年年發(fā)表的的通信信的數(shù)學學理論一書奠奠定其理理論基礎(chǔ)礎(chǔ)的，隨隨后就掀掀起了持持續(xù)的信信息技術(shù)術(shù)革命。數(shù)學家家納維于于19448年出出版的控制論論一書書宣告了了控制論論這門學學科的誕誕生。 自自19668年起起諾貝爾爾經(jīng)濟學學獎獲獎獎設(shè)立項項目900%以上上都是有有關(guān)經(jīng)濟濟學行為為的數(shù)學學建模及及相應(yīng)的的研究工工作，獲獲獎?wù)咧兄胁簧偃巳擞袛?shù)學學博士學學位。特特別要提提到的是是1

54、9994年諾諾貝爾經(jīng)經(jīng)濟學獎獎授予純純粹數(shù)學學家J納什是是意義重重大的，“這意味味著在諾諾貝爾獎獎93年年的歷史史上，第第一次授授予了純純數(shù)學領(lǐng)領(lǐng)域的工工作?！鳖愃频牡睦舆€還有許多多，我們們不再舉舉了，我我們真正正要討論論的問題題，是從從這些事事實中我我們得到到什么樣樣的啟示示。 首首先，正正如馬克克思認為為的“一種科科學只有有在成功功地運用用數(shù)學時時，才算算達到了了真正完完善的地地步。”純粹數(shù)數(shù)學的優(yōu)優(yōu)秀成果果往往為為重大科科學理論論的建立立作好了了準備，有時甚甚至是先先導。千千萬不能能忽視純純粹數(shù)學學的發(fā)展展，特別別是要有有一批精精兵強將將長期從從事純粹粹數(shù)學基基礎(chǔ)理論論的研究究，并有有

55、條件經(jīng)經(jīng)常和應(yīng)應(yīng)用科學學家進行行交流，讓搞應(yīng)應(yīng)用的了了解并應(yīng)應(yīng)用純數(shù)數(shù)學成果果。應(yīng)用用數(shù)學家家去解決決各種實實際問題題時，在在觀念上上不可有有單打獨獨斗的想想法，一一定要與與相應(yīng)領(lǐng)領(lǐng)域的專專家緊密密合作。在我國國凡是做做出重大大科研成成果的科科學家都都有上述述特點。僅以國國家最高高科學技技術(shù)獎為為例，吳吳文俊、王選和和黃昆，他們或或是數(shù)學學家，或或是數(shù)學學專業(yè)畢畢業(yè)同時時又掌握握計算機機硬件和和軟件的的技術(shù)，或是能能用完善善的數(shù)學學形式表表述其深深刻的物物理洞察察。所有有這些充充分說明明了“數(shù)學的的思考方方式有著著根本的的重要性性。簡言言之，數(shù)數(shù)學為組組織和構(gòu)構(gòu)造知識識提供方方法。一一旦數(shù)學學

56、用于技技術(shù)，它它就能產(chǎn)產(chǎn)生系統(tǒng)統(tǒng)的、可可再現(xiàn)的的并能傳傳授的知知識。分分析、設(shè)設(shè)計、建建模、模模擬和應(yīng)應(yīng)用便會會成為可可能，變變成高效效的富有有結(jié)構(gòu)的的活動?！币簿褪鞘钦f能轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為生生產(chǎn)力。但是，50年年前數(shù)學學雖然也也直接為為工程技技術(shù)提供供一些工工具，但但基本上上是間接接的：先先促進其其他科學學的發(fā)展展，再由由這些科科學提供供工程原原理和設(shè)設(shè)計的基基礎(chǔ)。現(xiàn)現(xiàn)在，數(shù)數(shù)學和工工程之間間在更廣廣闊的范范圍內(nèi)和和更深的的層次上上，直接接地相互互作用著著，極大大地推動動了數(shù)學學和工程程科學的的發(fā)展，也極大大地推動動了技術(shù)術(shù)的進步步。 20世世紀后半半葉最重重要的科科技進展展之一是是計算機機、信息息和

57、網(wǎng)絡(luò)絡(luò)技術(shù)的的迅速發(fā)發(fā)展。我我們僅就就計算機機的運算算速度來來看，119466年公開開展示的的第一臺臺計算機機電子數(shù)數(shù)學積分分計算機機的運算算速度是是每秒符符點運算算5，0000次次，現(xiàn)在在已經(jīng)達達到每秒秒符點運運算1000億次次，據(jù)專專家估計計到20010年年可達到到一萬億億次。可可以想象象現(xiàn)在計計算機能能完成的的工作和和50年年前相比比簡直是是不可同同日而語語?，F(xiàn)在在有點象象牛頓、萊布尼尼茲發(fā)明明微積分分時的情情況，當當初微積積分還很很不嚴密密，但用用來描述述、研究究各種實實際問題題產(chǎn)生了了許許多多多的數(shù)數(shù)學模型型，有的的能求解解出來，就能不不同程度度地解決決問題。然而，當時算算不出來來，

58、或者者不能及及時算出出來，也也就不能能解決問問題。現(xiàn)現(xiàn)在，計計算速度度等技術(shù)術(shù)指標在在某種意意義下遠遠遠走在在前面了了。“數(shù)學建建模和與與之相伴伴的計算算正在成成為工程程設(shè)計中中的關(guān)鍵鍵工具。科學家家正日益益依賴于于計算方方法，而而且在選選擇正確確的數(shù)學學和計算算方法以以及解釋釋結(jié)果的的精度和和可靠性性方面必必須具有有足夠的的經(jīng)驗?！蔽覀兛纯吹降氖鞘歉餍懈鞲鳂I(yè)都在在大量應(yīng)應(yīng)用數(shù)學學和計算算機等技技術(shù)，通通過數(shù)學學建模、仿真等等手段解解決問題題，并且且把解決決同類問問題的方方法和成成果制作作成軟件件(它們們甚至是是相當傻傻瓜化的的)，并并進行銷銷售。人人們看到到的正是是這種數(shù)數(shù)學應(yīng)用用大發(fā)展展的

59、景象象，更確確切地說說是美國國科學基基金會數(shù)數(shù)學部主主任在評評論數(shù)學學科學列列為五大大創(chuàng)新項項目之首首時所說說的，“該重大大創(chuàng)新項項目背后后的推動動力就是是一切科科學和工工程領(lǐng)域域的數(shù)學學化?！碑斎灰惨灿胁煌J識，也有人人認為不不需要懂懂得很多多數(shù)學，只要會會用軟件件就行了了。也有有人認為為現(xiàn)在不不需要發(fā)發(fā)展基礎(chǔ)礎(chǔ)數(shù)學了了，只要要通過數(shù)數(shù)學建模模和計算算加上物物理的直直觀就可可以解決決問題了了。特別別是，有有人認為為現(xiàn)在的的學生不不需要學學那么多多的數(shù)學學了。這這實在是是極大的的誤解。 有有人認為為，能夠夠馬上拿拿來就用用的數(shù)學學一定是是相當成成熟的成成果。但但是為了了解決現(xiàn)現(xiàn)實中的的重大問

60、問題，已已有的數(shù)數(shù)學成果果是遠遠遠不夠的的。產(chǎn)生生上述誤誤解的原原因主要要是對新新世紀科科技發(fā)展展與數(shù)學學之間的的關(guān)系思思考、認認識不夠夠。一百百多年以以前恩格格斯沒有有預料到到，科學學發(fā)展到到今天，數(shù)學在在生物學學、醫(yī)學學等領(lǐng)域域正起著著越來越越重要的的作用，無論在在生態(tài)學學、生理理學、心心理學，以至DDNA和和生命科科學的研研究中，我們都都看到數(shù)數(shù)學的強強大生命命力。甚甚至醫(yī)生生在做手手術(shù)之前前都可以以先進行行數(shù)學模模擬以預預知各種種方案可可能出現(xiàn)現(xiàn)的后果果，再依依據(jù)個人人的經(jīng)驗驗來選擇擇手術(shù)方方案。220022年美國國科學基基金會專專門在俄俄亥俄州州立大學學成立了了一個“數(shù)學生生物科學學