因式分解方法

1、7/7文檔根源為:從網(wǎng)絡(luò)采集整理.word版本可編寫.支持.因式分解方法總結(jié)一、定義定義：把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，這類變形叫做把這個多項式因式分解（也叫作分解因式）.因式分解與整式乘法為相反變形，同時也是解一元二次方程中公式法的重要步驟.二、因式分解三原則1分解要完滿（能否有公因式，能否可用公式）2最后結(jié)果只有小括號3最后結(jié)果中多項式首項系數(shù)為正（比方：3x2xx(3x1)）三、基本方法（一）提公因式法mambmcm(abc)假如一個多項式的各項有公因式，能夠把這個公因式提出來，進而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這類分解因式的方法叫做提取公因式法.找公因式的一般步驟：1）若

2、各項系數(shù)是整系數(shù)，取系數(shù)的最大合約數(shù)；2）取同樣的字母，字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；3）取同樣的多項式，多項式的指數(shù)取次數(shù)最低的；4）全部這些因式的乘積即為公因式.（5）假如多項式的第一項為哪一項負的，一般要提出“-”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)成為正數(shù)，提出“-”號時，多項式的各項都要變號.口訣：找準(zhǔn)公因式，一次要提盡；全家都搬走，留1把家守；提負要變號，變形看奇偶.比方：ambmcmm(abc)11注意：把2a變?yōu)?(a)不叫提公因式.24例1、分解因式x32x2x（2003年淮安市中考題）解：x32x2xx(x22x1)例2、99399能被100整除嗎？還可以夠被那些數(shù)整除?（二）公式法因為分

3、解因式與整式乘法有著互逆的關(guān)系，假如把乘法公式反過來，那么就能夠用來把某些多項式分解因式.1、平方差公式：a2b2(ab)(ab)2、完滿平方公式：a22abb2(ab)23、立方和公式：a3b3(ab)(a2abb2)文檔根源為:從網(wǎng)絡(luò)采集整理.word版本可編寫.支持.4、立方差公式：a3b3(ab)(a2abb2)5、a2b2c22ab2bc2ca(abc)26、完滿立方公式：a33a2b3ab2b3(ab)37、a3b3c33abc(abc)(a2b2c2abbcca)例3、分解因式a24ab4b2（2003年南通市中考題）解：a24ab4b2(a2b)2例4、已知a,b,c是ABC的

4、三邊，且a2b2c2abbcca，則ABC的形狀是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形解：a2b2c2abbcca2a22b22c22ab2bc2ca（三）分組分解法能分組分解的多項式一般有四項或大于四項，一般的分組分解有兩種形式：二二分法、三一分法.分組后能直接提取公因式.例5、分解因式amanbmbn.解：原式=(aman)(bmbn)=a(mn)b(mn)每組之間還有公因式！=(mn)(ab)例6、分解因式2ax10ay5bybx解法一：第一、二項為一組；解法二：第一、四項為一組；第三、四項為一組。第二、三項為一組。解：原式=(2ax10ay)(5bybx)原

5、式=(2axbx)(10ay5by)=2a(x5y)b(x5y)=x(2ab)5y(2ab)=(x5y)(2ab)=(2ab)(x5y)練習(xí)：分解因式（1）a2abacbc（2）xyxy1分組后能直接運用公式例7、分解因式：x2y2axay解：原式=(x2y2)(axay)=(xy)(xy)a(xy)=(xy)(xya)例8、分解因式：a22abb2c2解：原式=(a22abb2)c2=(ab)2c2=(abc)(abc)練習(xí)：分解因式（1）x2x9y23y（2）x2y2z22yz（四）十字相乘法口訣：首尾分解，交叉相乘，乞降湊中文檔根源為:從網(wǎng)絡(luò)采集整理.word版本可編寫.支持.二次項系數(shù)

6、為1的二次三項式直接利用公式x2(pq)xpq(xp)(xq)進行分解特色：（1）二次項系數(shù)是1；2）常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；3）一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和例9、分解因式：x25x6分析：將6分紅兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于5.因為6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，從中能夠發(fā)現(xiàn)只有23的分解合適，即2+3=5.12解：x25x6=x2(23)x2313=(x2)(x3)12+13=5用此方法進行分解的重點：將常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積，且這兩個因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項的系數(shù).例10、分解因式：x27x6解：原式=x2(1)(6)x(1)(6)1-1=(x1)(x6)1-6

7、（-1）+（-6）=-7練習(xí)、分解因式(1)x214x24(2)a215a36(3)x24x5練習(xí)、分解因式(1)x2x2(2)y22y15(3)x210 x242.二次項系數(shù)不為1的二次三項式ax2bxc條件：（1）aa1a2a1c1（2）cc1c2a2c2（3）ba1c2a2c1ba1c2a2c1分解結(jié)果：ax2bxc=(a1xc1)(a2xc2)例11、分解因式：3x211x10分析：1-23-5（-6）+（-5）=-11解：3x211x10=(x2)(3x5)練習(xí)、分解因式（1）5x27x6（2）3x27x2（3）10 x217x3（4）6y211y10二次項系數(shù)為1的齊次多項式例12

8、、分解因式：a28ab128b2分析：將b看作常數(shù)，把原多項式看作對于a的二次三項式，利用十字相乘法進行分解。18b1-16b8b+(-16b)=-8b解：a28ab128b2=a28b(16b)a8b(16b)=(a8b)(a16b)練習(xí)、分解因式(1)x23xy2y2(2)m26mn8n2(3)a2ab6b2二次項系數(shù)不為1的齊次多項式例9、2x27xy6y2例10、x2y23xy21-2y把xy看作一個整體1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3文檔根源為:從網(wǎng)絡(luò)采集整理.word版本可編寫.支持.解：原式=(x2y)(2x3y)解：原式=(xy1)(x

9、y2)練習(xí)、分解因式：（1）15x27xy4y2（2）a2x26ax8思慮：分解因式：abcx2(a2b2c2)xabc（五）換元法有時在分解因式時，能夠選擇多項式中的同樣的部分換成另一個未知數(shù)，整體代入，此后進行因式分解，最后再變換回來，這類方法叫做換元法.注意：換元后勿忘還元.例11、分解因式(x2x1)(x2x2)12解：令yx2x則原式(y1)(y2)12y23y10(y5)(y2)例12、分解因式（1）2005x2(200521)x2005（2）(x1)(x2)(x3)(x6)x2解：（1）設(shè)2005=a，則原式=ax2(a21)xa=(ax1)(xa)=(2005x1)(x2005

10、)（2）型如abcde的多項式，分解因式時能夠把四個因式兩兩分組相乘.原式=(x27x6)(x25x6)x2設(shè)x25x6A，則x27x6A2x原式=(A2x)Ax2=A22Axx2=(Ax)2=(x26x6)2練習(xí)、分解因式（1）(x2xyy2)24xy(x2y2)（2）(x23x2)(4x283)90 x（3）(a21)2(a25)24(a23)2（六）拆項、添項法這類方法指把多項式的某一項打開或填充上互為相反數(shù)的兩項（或幾項），使原式合適于提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解.要注意，必然在與原多項式相等的原則下進行變形.例13、分解因式bc(bc)ca(ca)ab(ab)解：原式b

11、c(caab)ca(ca)ab(ab)（七）配方法對于某些不可以夠利用公式法的多項式，能夠?qū)⑵渑涑梢粋€完滿平方式，此后再利用平方差公式，就能將其因式分解，這類方法叫配方法.屬于拆項、添項法的一種特別狀況。也要注意必然在與原多項式相等的原則下進行變形.例14、分解因式x24x3解：原式x24x443(x2)21(x21)(x21)(x3)(x1)（八）主元法先選定一個字母為主元，此后把各項按這個字母次數(shù)從高到低擺列，再進行因式分解.文檔根源為:從網(wǎng)絡(luò)采集整理.word版本可編寫.支持.例15、分解因式a2(bc)b2(ca)c2(ab)解：原式a2(bc)a(b2c2)(b2cc2b)（九）特別

12、值法將2或10代入x，求出數(shù)P，將數(shù)P分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)合適的組合，并將組合后的每一個因數(shù)寫成2或10的和與差的形式，將2或10復(fù)原成x，即得因式分解式.例16、分解因式x39x223x15解：令x2，則x39x223x158364615105將105分解成3個質(zhì)因數(shù)的積，即105357注意到多項式中最高項的系數(shù)為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值則x39x223x15(x1)(x3)(x5)（十）待定系數(shù)法第一判斷出分解因式的形式，此后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，進而把多項式因式分解.例17、分解因式x4x35x26x4解：由分析知，這個多項式?jīng)]有一次因

13、式，因此只好分解為兩個二次因式于是設(shè)x4x35x26x4(x2axb)(x2cxd)因此ac1解得a1，b1，c2，d4因此x4x35x26x4(x2x1)(x22x4)例18、分解因式x2xy6y2x13y6分析：原式的前3項x2xy6y2能夠分為(x3y)(x2y)，則原多項式必然可分為(x3ym)(x2yn)解：設(shè)x2(x3yx2xyxy6y2x13y6=(x3ym)(x2yn)m)(x2yn)=x2xy6y2(mn)x(3n2m)ymn6y2x13y6=x2xy6y2(mn)x(3n2m)ymnmn1m23n2m比較左右兩邊同樣項的系數(shù)可得13，解得3mn6n原式=(x3y2)(x2y

14、3)例19、（1）當(dāng)m為什么值時，多項式x2y2mx5y6能分解因式，并分解此多項式.（2）假如x3ax2bx8有兩個因式為x1和x2，求ab的值.（1）剖析：前兩項能夠分解為(xy)(xy)，故此多項式分解的形式必為(xya)(xyb)文檔根源為:從網(wǎng)絡(luò)采集整理.word版本可編寫.支持.解：設(shè)x2y2mx5y6=(xya)(xyb)則x2y2mx5y6=x2y2(ab)x(ba)yababma2a2比較對應(yīng)的系數(shù)可得：ba5，解得：b3或b3ab6m1m1當(dāng)m1時，原多項式能夠分解；當(dāng)m1時，原式=(xy2)(xy3)；當(dāng)m1時，原式=(xy2)(xy3)2）分析：x3ax2bx8是一個三次式，因此它應(yīng)當(dāng)分紅三個一次式相乘，因此第三個因式必為形如xc的一次二項式。解：設(shè)x3ax2bx8=(x1)(x2)(xc)則x3ax2bx8=x3(3c)x2(23c)x2ca3ca7b23c解得b14，2c8c4ab=21（十一）雙十字相乘法用于分解形如ax2bxycy2dxeyf的二次六項式詳細方法：將a分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，假如mqnpb，pkqje，mknjd，即第1,2列和第2,3列都知足十字相乘規(guī)則。則ax2bxycy2dxeyf(mxpyj)(nxqy