2021-2022學(xué)年湖南省茶陵縣第三中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1若全集U=1，2，3，4且UA=2，3，則集合A的真子集共有（）A3個B5個C7個D8個22只貓把5只老鼠捉光,不同的捉法有()種.ABCD3 “直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線”是“直線

2、垂直于平面”的（ ）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件4某大學(xué)推薦7名男生和5名女生參加某企業(yè)的暑期兼職，該企業(yè)欲在這12人中隨機挑選3人從事產(chǎn)品的銷售工作，記抽到的男生人數(shù)為，則（）A2BCD5已知函數(shù)是偶函數(shù)（且）的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，則使不等式成立的x的取值范圍是（ ）ABCD6若函數(shù)f(x)=x-2+A-3a32B-3a1Ca7已知中，,則滿足此條件的三角形的個數(shù)是 ( )A0B1C2D無數(shù)個8用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個大于，反證假設(shè)正確的是( )A假設(shè)三內(nèi)角都大于B假設(shè)三內(nèi)角都不大于C假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于D假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于9

3、已知函數(shù).正實數(shù)滿足，則下述結(jié)論中正確的一項是( )ABCD10函數(shù)的周期，振幅，初相分別是（ ）ABCD115本不同的書全部分給4個學(xué)生，每個學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為()A240種B120種C96種D480種12設(shè)函數(shù)滿足則時，( )A有極大值，無極小值B有極小值，無極大值C既有極大值又有極小值D既無極大值也無極小值二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知函數(shù)，則_14若，則=_.15在的二項展開式中，項的系數(shù)為_（結(jié)果用數(shù)值表示）16如圖為某幾何體的三視圖，則其側(cè)面積為_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的

4、最小值；（2）當(dāng)時，記函數(shù)的所有單調(diào)遞增區(qū)間的長度為，所有單調(diào)遞減區(qū)間的長度為，證明：（注：區(qū)間長度指該區(qū)間在軸上所占位置的長度，與區(qū)間的開閉無關(guān)）18（12分）在矩形中，為線段的中點，如圖1，沿將折起至，使，如圖2所示（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值19（12分）設(shè)函數(shù)，（為常數(shù)），曲線在點處的切線與軸平行（1）求的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；（3）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍20（12分）等邊的邊長為，點，分別是，上的點，且滿足 (如圖(1)，將沿折起到的位置，使二面角成直二面角，連接，(如圖(2).(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點，使直線與平面所成的角為?若

5、存在，求出的長；若不存在，請說明理由.21（12分）（1）用分析法證明：；（2）用反證法證明：三個數(shù)中，至少有一個大于或等于.22（10分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若的最小值為，正實數(shù)，滿足，求的最小值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由題意首先確定集合A，然后由子集個數(shù)公式求解其真子集的個數(shù)即可.【詳解】由題意可得：，則集合A的真子集共有個.本題選擇A選項.【點睛】本題主要考查補集的定義，子集個數(shù)公式及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.2、B【解析】分析：利用乘法分步計數(shù)原理

6、解決即可.詳解：由于每只貓捉老鼠的數(shù)目不限，因此每一只老鼠都可能被這2只貓中其中一只捉住，由分步乘法計數(shù)原理，得共有不同的捉法有種.故選：B.點睛：(1)利用分步乘法計數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事(2)分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成3、B【解析】由“直線垂直于平面”可得到“直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線”，反之不成立（如與無數(shù)條平行直線垂直時不成立），所以“直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線”是“直線垂直于平面”的必要而不充分條件，故選

7、B.考點：充分條件與必要條件4、B【解析】依題意可得，X的可能取值為0,1,2,3，分別求出概率，再由期望公式即可求出【詳解】依題意可得，X的可能取值為0,1,2,3，則，所以【點睛】本題主要考查離散型隨機變量期望的求法5、D【解析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到，在是增函數(shù)，再根據(jù)為偶函數(shù)，根據(jù)，解得的解集【詳解】解：令，時，時，在上是減函數(shù)，是偶函數(shù)（2），當(dāng)，（2），即，當(dāng)時，（2），即，是偶函數(shù)，當(dāng)，故不等式的解集是，故選：【點睛】本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查了構(gòu)造函數(shù)及數(shù)形結(jié)合的思想解決本題的關(guān)鍵是能夠想到通過構(gòu)造函數(shù)解決，屬于中檔題6、A【解析】將問題轉(zhuǎn)化為曲線gx=x-2+2

8、x-1與直線y=ax沒有交點，并將函數(shù)y=gx表示為分段函數(shù)的形式，并作出該函數(shù)的圖象，分析直線【詳解】因為函數(shù)f(x)=x-所以方程x-2即函數(shù)g(x)=x-2+如圖所示，則h(x)的斜率a應(yīng)滿足-3a32，故選：【點睛】本題考查絕對值函數(shù)的零點個數(shù)問題，解本題需注意：（1）零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的公共點的個數(shù)問題；（2）含絕對值的函數(shù)一般利用零點分段法表示為分段函數(shù)。7、C【解析】由正弦定理得 即 即 ，所以符合條件的A有兩個，故三角形有2個故選C點睛：此題考查學(xué)生靈活運用正弦定理化簡求值，掌握正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，會根據(jù)三角函數(shù)值求對應(yīng)的角.8、B【解析】反證法的第一步是假設(shè)命題的結(jié)

9、論不成立，根據(jù)這個原則，選出正確的答案.【詳解】假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)三角形的內(nèi)角中至少有一個大于不成立，即假設(shè)三內(nèi)角都不大于，故本題選B.【點睛】本題考查了反證法的第一步的假設(shè)過程，理解至少有一個大于的否定是都不大于是解題的關(guān)鍵.9、A【解析】由，即，從而，令，則由得，可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得或，又，因此成立，故選A.【方法點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，一元二次不等式的解法及數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與劃歸思想.屬于難題.轉(zhuǎn)化與劃歸思想解決高中數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決知識點較多以及知識跨度較大的問題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了

10、解題能力與速度.運用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準(zhǔn)突破點.以便將問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的知識領(lǐng)域，進(jìn)而順利解答，希望同學(xué)們能夠熟練掌握并應(yīng)用于解題當(dāng)中.解答本題的關(guān)鍵是將方程問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求最值進(jìn)而通過解不等式解答.10、C【解析】利用求得周期，直接得出振幅為，在中令求得初相.【詳解】依題意，函數(shù)的振幅為，在中令求得初相為.故選C.【點睛】本小題主要考查中所表示的含義，考查三角函數(shù)周期的計算.屬于基礎(chǔ)題.其中表示的是振幅，是用來求周期的，即，要注意分母是含有絕對值的.稱為相位，其中稱為初相.還需要知道的量是頻率，也即是頻率是周期的倒數(shù).11、A【解析】由題先把5本書的兩本

11、捆起來看作一個元素，這一個元素和其他的三個元素在四個位置全排列，根據(jù)分步計數(shù)原理兩個過程的結(jié)果數(shù)相乘即可得答案?！驹斀狻坑深}先把5本書的兩本捆起來看作一個元素共有種可能，這一個元素和其他的三個元素在四個位置全排列共有種可能，所以不同的分法種數(shù)為種，故選A.【點睛】本題考查排列組合與分步計數(shù)原理，屬于一般題。12、D【解析】函數(shù)滿足，令，則，由，得，令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的最小值為.又在單調(diào)遞增，既無極大值也無極小值，故選D.考點：1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及函數(shù)的求導(dǎo)法則.【方法點睛】本題主要考察抽象函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的求導(dǎo)法則，屬于難題.求解這類問

12、題一定要耐心讀題、讀懂題，通過對問題的條件和結(jié)論進(jìn)行類比、聯(lián)想、抽象、概括，準(zhǔn)確構(gòu)造出符合題意的函數(shù)是解題的關(guān)鍵；解這類不等式的關(guān)鍵點也是難點就是構(gòu)造合適的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時往往從兩方面著手：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”；若是選擇題，可根據(jù)選項的共性歸納構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù).本題通過觀察導(dǎo)函數(shù)的“形狀”，聯(lián)想到函數(shù)，再結(jié)合條件判斷出其單調(diào)性，進(jìn)而得出正確結(jié)論.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：求出f（1）=1，再根據(jù)定積分法則計算即可詳解：f（x）=f（1）x2+x+1，f（x）=2f（1）x+1，f（1）=2f（1）+1，f（1）=1，f（x）=x2+x+

13、1，=（x3+x2+x）=.故答案為.點睛：這個題目考查了積分的應(yīng)用，注意積分并不等于面積，解決積分問題的常見方法有：面積法，當(dāng)被積函數(shù)為正時積分和面積相等，當(dāng)被積函數(shù)為負(fù)時積分等于面積的相反數(shù)；應(yīng)用公式直接找原函數(shù)的方法；利用被積函數(shù)的奇偶性得結(jié)果.14、365【解析】分析：令 代入可知 的值，令 代入可求得的值，然后將兩式相加可求得的值詳解：中，令 代入可知 令代入可得，除以相加除以2可得.即答案為365.點睛：本題主要考查的是二項展開式各項系數(shù)和，充分利用賦值法是解題的關(guān)鍵15、1【解析】通過二項展開式的通項公式求出展開式的通項，利用的指數(shù)為2，求出展開式中的系數(shù)【詳解】解：展開式的通項

14、為令得到展開式中的系數(shù)是故答案為：1【點睛】本題是基礎(chǔ)題，考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題考查計算能力16、【解析】根據(jù)三視圖可知幾何體為圓錐，利用底面半徑和高可求得母線長；根據(jù)圓錐側(cè)面積公式可直接求得結(jié)果.【詳解】由三視圖可知，幾何體為底面半徑為，高為的圓錐圓錐的母線長為：圓錐的側(cè)面積：本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查圓錐側(cè)面積的求解問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)三視圖準(zhǔn)確還原幾何體，考查學(xué)生對于圓錐側(cè)面積公式的掌握情況.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析【解析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后求最值；（2）根據(jù)

15、（1）首先求函數(shù)的零點，從而去掉的絕對值，分段求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最后再比較單調(diào)區(qū)間的長度.【詳解】解（1）因為，所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以.（2）由（1）可知，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增又，所以存在，使得，則當(dāng)時，當(dāng)時，所以，記，當(dāng)時，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.當(dāng)或時，當(dāng)時即在單調(diào)遞增.因為，所以則當(dāng)時，令，有所以當(dāng)時，在單調(diào)遞減綜上，在與單調(diào)遞減，在與單調(diào)遞增.所以，又所以，即【點睛】本題考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題型，本題的一個難點是函數(shù)的零點，其中一個是，另一個不確定，只能估算其范圍，設(shè)為，所以再求當(dāng)或時，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，也需估算比較的范圍，確定時函數(shù)的減區(qū)間，這種

16、估算零點存在性問題，是導(dǎo)數(shù)?？碱}型.18、 (1)見解析;(2).【解析】試題分析：（1）由已知條件證明出平面，根據(jù)面面垂直的判定定理證明出平面平面；（2）取BE的中點為,以為坐標(biāo)原點，以過點且平行于的直線為軸，過點且平行于的直線為軸，直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點坐標(biāo)，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，由線面垂直的性質(zhì)定理，分別求出的坐標(biāo)，求出二面角的余弦值試題解析：（1）證明：在圖1中連接，則 ，平面，平面，平面 平面.（2）解：取中點，連接，平面平面，平面以為坐標(biāo)原點，以過點且平行于的直線為軸，過點且平行于的直線為軸，直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，平面

17、的法向量為，由可得；由可得；則，由圖形知二面角的平面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為19、 (1)k=1;(2)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，最小值為;(3) .【解析】（1）首先求得導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)切線的性質(zhì)得到關(guān)于k的方程，解方程即可求得k的值；（2）首先確定函數(shù)的定義域，然后結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號與原函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)的最值即可；（3）用問題等價于，據(jù)此求解實數(shù)a的取值范圍即可.【詳解】（1），因為曲線在點處的切線與軸平行，所以，所以.（2），定義域為，令，得，當(dāng)變化時，和的變化如下表：由上表可知，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，最小值為.（3）若對任意

18、成立，則，即，解得：.【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出 ，本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系 (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù) (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題 (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用20、（1）證明見解析；（2）存在點，.【解析】（1）通過證明，即可證明平面；（2）以為坐標(biāo)原點，以射線、分別為軸、軸、軸的正半軸建立空間直

19、角坐標(biāo)系，設(shè)，然后并求出平面的一個法向量及的坐標(biāo)，最后根據(jù)即可求出的值及的長度.【詳解】(1)證明題圖(1)中，由已知可得：，.從而.故得，所以，.所以題圖(2)中，所以為二面角的平面角， 又二面角為直二面角，所以，即，因為且、平面，所以平面.(2)解存在.由(1)知，平面.以為坐標(biāo)原點，以射線、分別為軸、軸、軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，過作交于點，設(shè)，則，易知，所以.因為平面，所以平面的一個法向量為.因為直線與平面所成的角為，所以，解得.所以，滿足，符合題意.所以在線段上存在點，使直線與平面所成的角為，此時.【點睛】本題主要考查線面垂直的證明及通過建立空間直角坐標(biāo)系并表示出平面的法向量及直線的方向向量的坐標(biāo)，解決已知直線和平面所成的角求參數(shù)的值問題，屬中等難度題.21、