2022年江蘇省常州市常州高級(jí)中學(xué)分校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）ABC(1,4)D(0,3)2已知函數(shù)，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD3點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則的最大值為( )ABCD4

2、定義在上的偶函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞增，設(shè)，則，大小關(guān)系是（ ）ABCD5某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)時(shí)命題也成立. 現(xiàn)已知當(dāng)時(shí)該命題不成立，那么可推得 （ ）A當(dāng)時(shí)該命題不成立B當(dāng)時(shí)該命題成立C當(dāng)時(shí)該命題不成立D當(dāng)時(shí)該命題成立6某工廠生產(chǎn)的零件外直徑（單位：）服從正態(tài)分布，今從該廠上、下午生產(chǎn)的零件中各隨機(jī)取出一個(gè)，測(cè)得其外直徑分別為和，則可認(rèn)為（ ）A上午生產(chǎn)情況異常，下午生產(chǎn)情況正常B上午生產(chǎn)情況正常，下午生產(chǎn)情況異常C上、下午生產(chǎn)情況均正常D上、下午生產(chǎn)情況均異常7由數(shù)字0，1，2，3組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字且能被3整除的非一位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A12B20C30D318假設(shè)

3、如圖所示的三角形數(shù)表的第行的第二個(gè)數(shù)為，則（ ）A2046B2416C2347D24869如表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后在生產(chǎn)A產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)品（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗(噸)的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程為，那么表中的值為（）A4.5B3.75C4D4.110已知、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線右支上的點(diǎn)，且，若坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離等于實(shí)半軸長(zhǎng)，則該雙曲線的離心率為（ ）ABC2D11已知直線l過(guò)點(diǎn)P(1,0,1)，平行于向量，平面過(guò)直線l與點(diǎn)M(1,2,3)，則平面的法向量不可能是（ ）A(1,4,2)BCD(0,1,1)12已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：則

4、y與x的線性回歸方程為y=bx+a必過(guò)（ ） x0123y1357A(1.5，4)點(diǎn)B(1.5，0）點(diǎn)C（1，2）點(diǎn)D（2，2）點(diǎn)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13如果不等式的解集為，且，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是 _14已知函數(shù)的一條對(duì)稱軸為，則的值為_(kāi)15已知函數(shù),若存在實(shí)數(shù)，滿足，且，則的取值范圍是_.16 “”是“”的_條件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中一個(gè)）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增的，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值和最小值.18（

5、12分）已知函數(shù)，(1)若，證明：函數(shù)是上的減函數(shù)；(2)若曲線在點(diǎn)處的切線不直線平行，求a的值；(3)若，證明：(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))19（12分）已知函數(shù)，.（1）求的極值點(diǎn)；（2）求方程的根的個(gè)數(shù).20（12分）已知函數(shù).（）當(dāng)時(shí)，恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）若的解集包含，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是正形，為的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值22（10分）隨著網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，網(wǎng)上購(gòu)物越來(lái)越受到人們的喜愛(ài)，各大購(gòu)物網(wǎng)站為增加收入，促銷(xiāo)策略越來(lái)越多樣化，促銷(xiāo)費(fèi)用也不斷增加.下表是某購(gòu)物網(wǎng)站2017年1-8月促銷(xiāo)費(fèi)用（萬(wàn)元）和產(chǎn)品銷(xiāo)量（萬(wàn)件）的具

6、體數(shù)據(jù).（1）根據(jù)數(shù)據(jù)可知與具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到）；（2）已知6月份該購(gòu)物網(wǎng)站為慶祝成立1周年，特制定獎(jiǎng)勵(lì)制度：以（單位：件）表示日銷(xiāo)量，則每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)100元；，則每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)150元；，則每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)200元.現(xiàn)已知該網(wǎng)站6月份日銷(xiāo)量服從正態(tài)分布，請(qǐng)你計(jì)算某位員工當(dāng)月獎(jiǎng)勵(lì)金額總數(shù)大約多少元.（當(dāng)月獎(jiǎng)勵(lì)金額總數(shù)精確到百分位）參考數(shù)據(jù)：，其中，分別為第個(gè)月的促銷(xiāo)費(fèi)用和產(chǎn)品銷(xiāo)量，.參考公式：（1）對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.（2）若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小

7、題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在解出不等式可得出所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】，解不等式，解得，因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，一般是先求出導(dǎo)數(shù)，然后解出導(dǎo)數(shù)不等式，將解集與定義域取交集得出單調(diào)區(qū)間，但單調(diào)區(qū)間不能合并，考查計(jì)算能力，屬于中等題.2、B【解析】對(duì)任意的，恒成立對(duì)任意的，恒成立，對(duì)任意的，恒成立，參變分離得到恒成立，再根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求出在上的最小值即可【詳解】解：對(duì)任意的，即恒成立對(duì)任意的，恒成立，對(duì)任意的，恒成立，恒成立，又由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，即故選：【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)

8、的應(yīng)用，恒成立問(wèn)題的基本處理方法，屬于中檔題3、A【解析】設(shè)，由此，根據(jù)三角函數(shù)的有界性可得結(jié)果.【詳解】橢圓方程為,設(shè),則 (其中),故,的最大值為，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用，輔助角公式的應(yīng)用，屬于中檔題. 利用公式 可以求出:的周期;單調(diào)區(qū)間（利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可通過(guò)解不等式求得）；值域；對(duì)稱軸及對(duì)稱中心（由可得對(duì)稱軸方程，由可得對(duì)稱中心橫坐標(biāo).4、C【解析】試題分析：可知函數(shù)周期為，所以在上單調(diào)遞增，則在單調(diào)遞減，故有.選C考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性【詳解】請(qǐng)?jiān)诖溯斎朐斀猓?、A【解析】分析：利用互為逆否的兩個(gè)命題同真同假的原來(lái)，當(dāng)對(duì)不成立時(shí)，則對(duì)也不成立，即可

9、得到答案詳解：由題意可知，原命題成立的逆否命題成立，命題對(duì)不成立時(shí)，則對(duì)也不成立，否則當(dāng)時(shí)命題成立，由已知必推得也成立，與當(dāng)時(shí)命題不成立矛盾，故選A點(diǎn)睛：本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法以及歸納法的性質(zhì)，互為逆否的兩個(gè)命題同真同假的性質(zhì)應(yīng)用，其中正確四種命題的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題6、B【解析】根據(jù)生產(chǎn)的零件外直徑符合正態(tài)分布，根據(jù)原則，寫(xiě)出零件大多數(shù)直徑所在的范圍，把所得的范圍同兩個(gè)零件的外直徑進(jìn)行比較，得到結(jié)論.【詳解】因?yàn)榱慵庵睆剑愿鶕?jù)原則，在與之外時(shí)為異常，因?yàn)樯?、下午生產(chǎn)的零件中隨機(jī)取出一個(gè)，所以下午生產(chǎn)的產(chǎn)品異常，上午的正常，故選B.【點(diǎn)睛】該題考查的

10、是有關(guān)正態(tài)分布的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有正態(tài)分布的原則，屬于簡(jiǎn)單題目.7、D【解析】分成兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)三種情況，利用所有數(shù)字之和是的倍數(shù)，計(jì)算出每種情況下的方法數(shù)然后相加，求得所求的方法總數(shù).【詳解】?jī)晌粩?shù)：含數(shù)字1，2的數(shù)有個(gè)，或含數(shù)字3，0的數(shù)有1個(gè). 三位數(shù)：含數(shù)字0，1，2的數(shù)有個(gè)， 含數(shù)字1，2，3有個(gè). 四位數(shù)：有個(gè). 所以共有個(gè).故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，考查一個(gè)數(shù)能被整除的數(shù)字特征，考查簡(jiǎn)單的排列組合計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】由三角形數(shù)表特點(diǎn)可得，利用累加法可求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】由三角形數(shù)表可知：，整理得：，則.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查

11、數(shù)列中的項(xiàng)的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠采用累加法準(zhǔn)確求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.9、C【解析】根據(jù)回歸直線必過(guò)，求出代入回歸直線可構(gòu)造出方程求得結(jié)果.【詳解】由數(shù)據(jù)表可知：，由回歸直線可知：，即：，解得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用回歸直線求解實(shí)際數(shù)據(jù)點(diǎn)的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠明確回歸直線必過(guò)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】利用題設(shè)條件和雙曲線性質(zhì)在三角形中尋找等量關(guān)系，得出a與c之間的等量關(guān)系，進(jìn)而求出雙曲線的離心率.【詳解】如圖，依題意，且，可知三角形是一個(gè)等腰直角三角形，在中，由余弦定理可得：，化簡(jiǎn)得，該雙曲線的離心率為故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理，雙曲線的定義、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，突出了對(duì)計(jì)算能力

12、和綜合運(yùn)用知識(shí)能力的考查，屬中檔題11、D【解析】試題分析：由題意可知，所研究平面的法向量垂直于向量，和向量，而=（1，2，3）-（1，0，-1）=（0，2，4），選項(xiàng)A，（2，1，1）（1，-4，2）=0，（0，2，4）（1，-4，2）=0滿足垂直，故正確；選項(xiàng)B，（2，1，1）（，-1，）=0，（0，2，4）（，-1，）=0滿足垂直，故正確；選項(xiàng)C，（2，1，1）（-，1，）=0，（0，2，4）（-，1，）=0滿足垂直，故正確；選項(xiàng)D，（2，1，1）（0，-1，1）=0，但（0，2，4）（0，-1，1）0，故錯(cuò)誤考點(diǎn)：平面的法向量12、A【解析】由題意： ，回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)，即回歸方程

13、過(guò)點(diǎn) .本題選擇A選項(xiàng).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】將不等式兩邊分別畫(huà)出圖形，根據(jù)圖像得到答案.【詳解】不等式的解集為，且畫(huà)出圖像知： 故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解法，將不等式關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖像是解題的關(guān)鍵.14、【解析】根據(jù)對(duì)稱軸為可得，結(jié)合的范圍可求得結(jié)果.【詳解】為函數(shù)的對(duì)稱軸 解得：又 本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求解解析式的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠采用整體對(duì)應(yīng)的方式來(lái)進(jìn)行求解.15、【解析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得出之間的關(guān)系，從而可求得取值范圍【詳解】設(shè)，則與的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為（如圖），且，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的

14、分布，解題關(guān)鍵是確定之間的關(guān)系及范圍如本題中可結(jié)合圖象及函數(shù)解析式得出16、必要不充分【解析】解出的解集，根據(jù)對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.【詳解】 ， 或 “”是“”的必要不充分條件.故答案為：必要不充分【點(diǎn)睛】本題考查充分、必要條件充分、必要條件的三種判斷方法:(1)定義法：根據(jù)進(jìn)行判斷(2)集合法：根據(jù)成立對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性，把要判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、 (1) (2) 【解析】試題分析：（1）若函數(shù)f（x）在（，+）上是增函數(shù)，f（x）1在（

15、，+）上恒成立利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出試題解析：（1）若函數(shù)在上是增函數(shù)，則在上恒成立，而，即在上恒成立，即.（2）當(dāng)時(shí)，.令，得.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故是函數(shù)在上唯一的極小值點(diǎn)，故.又，故.點(diǎn)睛：點(diǎn)睛：函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)之間的關(guān)系要注意以下結(jié)論（1）若在內(nèi)，則在上單調(diào)遞增（減）（2）在上單調(diào)遞增（減） （）在上恒成立，且在的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于1（不要掉了等號(hào)）（3）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增（減）區(qū)間，則在上有解（不要加上等號(hào)）18、（I）詳見(jiàn)解析；（II）；（III）詳見(jiàn)解析.【解析】試題分析：(1)由題意二次求導(dǎo)可得，函數(shù)是上的減函

16、數(shù).(2)利用題意由導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線得到關(guān)于a的方程，解方程可得.(3)原不等式等價(jià)于，結(jié)合(1)的結(jié)論構(gòu)造函數(shù)，令，可證得試題解析：（）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域是，所以，令，只需證：時(shí)，又，故在上為減函數(shù)，所以，所以，函數(shù)是上的減函數(shù)（）由題意知，且，所以，即有，令，則，故是上的增函數(shù)，又，因此是的唯一零點(diǎn)，即方程有唯一實(shí)根，所以（）因?yàn)?，故原不等式等價(jià)于，由（）知，當(dāng)時(shí)，是上的減函數(shù)，故要證原不等式成立，只需證明：當(dāng)時(shí)，令，則，在上的增函數(shù)，所以，即，故，即19、（1）時(shí)，僅有一個(gè)極小值；（2）當(dāng)時(shí)，原方程有2個(gè)根；當(dāng)時(shí)，原方程有3個(gè)根；當(dāng)時(shí)，原方程有4個(gè)根【解析】（1）求導(dǎo)得到，計(jì)算函數(shù)

17、的單調(diào)區(qū)間得到極值.（2）令，求導(dǎo)得到在，上時(shí)，單調(diào)遞減，為偶函數(shù)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理得到答案.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，由，得，在?nèi)為減函數(shù)，在內(nèi)為增函數(shù)，故僅有一個(gè)極小值.（2）令，.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.因此在，上時(shí)，單調(diào)遞減，在，上時(shí)，單調(diào)遞增.又為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的極小值為.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.由根的存在性定理知，方程在和一定有根，故的根的情況為：當(dāng)時(shí)，即時(shí)，原方程有2個(gè)根；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，原方程有3個(gè)根.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，原方程有4個(gè)根.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的極值問(wèn)題，零點(diǎn)問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.20、（）（）【解析】（）轉(zhuǎn)化條件得，根據(jù)恒成立問(wèn)題的解決方法即可得解；（）轉(zhuǎn)化條件

18、得對(duì)恒成立，根據(jù)的取值范圍分類(lèi)討論去絕對(duì)值即可得解.【詳解】（）當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，.（）時(shí)， 恒成立，對(duì)恒成立.當(dāng)時(shí)，解得：， 當(dāng)時(shí)，解得：， 綜上：.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法和絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，考查了恒成立問(wèn)題的解決方法和分類(lèi)討論思想，屬于中檔題.21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）推導(dǎo)出DEPC，BCCD，BCPD，從而B(niǎo)C平面PCD，進(jìn)而DEBC，由此能證明DE平面PCB.（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角EDBP的余弦值.【詳解】解：（1）證明：在四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD是正方形，PDAB，E為PC的中點(diǎn)，DEPC，BCCD，BCPD，PDCDD，BC平面PCD，DE平面PCD，DEBC，PCBCC，DE平面PCB；（2）解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PDAB2，則E（0，1，1），B（2，2，0），D（0，0，0），P（0，0，2），設(shè)平面BDE的法向量，則，取，得，設(shè)平面BDP的