控制工程基礎(chǔ)頻域分析法

1、控制工程基礎(chǔ)頻域分析法第1頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四4.0 前言通過求解微分方程分析時(shí)域性能是十分有用的,但對(duì)于比較復(fù)雜的系統(tǒng),這種辦法就比較麻煩。因?yàn)槲⒎址匠痰那蠼庥?jì)算工作量將隨著微分方程階數(shù)的增加而增大。 即使方程已經(jīng)求解，但當(dāng)系統(tǒng)的響應(yīng)不能滿足技術(shù)要求時(shí),也不容易確定應(yīng)該如何調(diào)整系統(tǒng)來獲得預(yù)期結(jié)果。 從工程角度來看,希望找出一種方法,使之不必求解微分方程就可以預(yù)示出系統(tǒng)的性能。同時(shí),又能指出如何調(diào)整系統(tǒng)性能技術(shù)指標(biāo)。頻域分析法具有上述特點(diǎn)。 第2頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四頻域分析法是以輸入信號(hào)的頻率為變量,對(duì)系統(tǒng)的性能在頻率

2、域內(nèi)進(jìn)行研究的一種方法。特別是：當(dāng)系統(tǒng)中存在難以用數(shù)學(xué)模型描述的某些元部件時(shí),可用實(shí)驗(yàn)方法求出系統(tǒng)的頻率特性,從而對(duì)系統(tǒng)和元件進(jìn)行準(zhǔn)確而有效的分析。第3頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四4.1 頻率特性的基本概念 4.1.1頻率響應(yīng)和頻率特性第4頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四其中第5頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四實(shí)例：第6頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四其中第7頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四從這一簡(jiǎn)單實(shí)例的頻率特性, 看出頻率特性的物理意義:(1)頻率特性反映系

3、統(tǒng)的內(nèi)在性質(zhì),與外界因素?zé)o關(guān)。(2)頻率特性隨頻率變化而變化。 (3)系統(tǒng)頻率特性的幅值隨著頻率的升高而衰減,換言之,頻率特性表示了系統(tǒng)對(duì)不同頻率的正弦信號(hào)的“復(fù)現(xiàn)能力”、 跟蹤能力。第8頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四對(duì)于低頻信號(hào)(即 ),有：這表明在輸入信號(hào)頻率較低時(shí),輸出量與輸入量的幅值幾乎相等,相位近似相同。系統(tǒng)輸入信號(hào)基本上可以按原比例在輸出端復(fù)現(xiàn)出來;頻率特性分析（圖）第9頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四而對(duì)于高頻信號(hào)(即 ),有這表明輸入信號(hào)頻率較高時(shí),輸出量幅值只有輸入量幅值的倍,相位落后近。輸入信號(hào)被抑制而不能傳遞出去。實(shí)際

4、中的系統(tǒng),雖然形式不同,但一般都有這樣的低通濾波及相位滯后作用。（圖）第10頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四頻率特性的定義：1.線性定常系統(tǒng)；2.不同頻率的正弦輸入信號(hào)；3.不同頻率的正弦輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)輸出；4.該穩(wěn)態(tài)輸出與正弦輸入信號(hào)的復(fù)數(shù)式之比。第11頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四 頻率特性一般可以通過如下三種方法得到: 4.1.2頻率特性的求取方法*(2) 根據(jù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)來求取。*(3)通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得。 (1)根據(jù)已知系統(tǒng)的微分方程,把輸入以正弦函數(shù)代入,求其穩(wěn)態(tài)解,取輸出穩(wěn)態(tài)分量和輸入正弦的復(fù)數(shù)式之比求得(按定義求解)。 一

5、般經(jīng)常采用的是后兩種方法。這里主要討論如何根據(jù)傳遞函數(shù)求取系統(tǒng)的頻率特性。頻率特性是傳遞函數(shù)的一種特殊情況,即頻率特性是定義在復(fù)平面(s平面)虛軸上的傳遞函數(shù)。第12頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四 4.1.3頻率特性的圖示方法 系統(tǒng)的頻率特性可分解為實(shí)部和虛部，即第13頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四第14頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四 系統(tǒng)頻率特性的三種圖示表達(dá)形式:(1)幅相頻率特性(Nyquist奈奎斯特圖)。(2) 對(duì)數(shù)頻率特性(波德圖Bode)對(duì)數(shù)頻率特性由兩張圖組成:一張是對(duì)數(shù)幅頻特性, 另一張是對(duì)數(shù)

6、相頻特性。對(duì)數(shù)頻率特性又稱為博德圖。第15頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四半對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（紙）第16頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四（3）對(duì)數(shù)幅相頻率特性（尼科爾斯圖Nichols）。 在所需要的頻率范圍內(nèi)，以頻率作為參數(shù)來表示的對(duì)數(shù)幅值和相角關(guān)系的圖。第17頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四4.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖 4.2.1比例環(huán)節(jié)第18頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四是復(fù)平面實(shí)軸上一個(gè)點(diǎn),如圖4.2所示。幅頻特性是K,相頻特性是0。比例環(huán)節(jié)的幅相頻率特性(Nyquist圖)第19頁(yè)，共

7、151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四幅頻特性等于20lg k(dB)的一條水平直線。相頻特性為零,與頻率無(wú)關(guān)。比例環(huán)節(jié)的博德(Bode)圖如圖4.3所示。比例環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性(Bode圖)第20頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四 4.2.2慣性環(huán)節(jié)第21頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四當(dāng)頻率從0趨于無(wú)窮大時(shí)，慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性為一個(gè)半圓。如圖4.4所示。第22頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四可以用兩條漸近線來近似表示對(duì)數(shù)幅頻特性曲線， 圖4.5所示。相頻特性曲線如下圖所示，該環(huán)節(jié)具有低通濾波 的作

8、用。第23頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四為了畫出精確的頻率特性曲線，可參照?qǐng)D（4.6）的曲線在漸近線的基礎(chǔ)上進(jìn)行修正。第24頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四4.2.3 積分環(huán)節(jié)第25頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四第26頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四4.2.4理想微分環(huán)節(jié)第27頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四 4.2.5振蕩環(huán)節(jié)第28頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四當(dāng)從零變化到無(wú)窮大時(shí),振蕩環(huán)節(jié)幅相頻率特性由10開始,到0180結(jié)束。因

9、此,高頻部分與負(fù)實(shí)軸相切,如圖4.11所示。另外，G(j)的軌跡與虛軸交點(diǎn)處的頻率為 幅相頻率特性的低頻和高頻部分分別為： 1振蕩環(huán)節(jié)的幅相頻特性圖（奈奎斯特）第29頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四 2諧振頻率和諧振峰值的確定第30頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四 3振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻相頻特性（博德圖）第31頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四b對(duì)數(shù)相頻特性分析可由式（4.45)求得第32頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四c如果需要繪出精確曲線,則可根據(jù)阻尼比的大小由圖4.14所示的修正曲線對(duì)漸近

10、線加以修正。第33頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四4.2.6 一階微分環(huán)節(jié)第34頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四4.2.7 二階微分環(huán)節(jié)第35頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四4.2.8 延遲環(huán)節(jié)第36頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四 例4.1（幅相頻率特性.奈奎斯特圖）第37頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四 例4.2（對(duì)數(shù)頻率特性.博德圖）第38頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四第39頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四

11、4.3 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖 4.3.1最小相位系統(tǒng)為了說明幅頻特性和相頻特性之間的關(guān)系,在此提出最小相位系統(tǒng)概念。在復(fù)平面s右半平面上沒有零點(diǎn)和極點(diǎn)的傳遞函數(shù)稱為最小相位傳遞函數(shù)；反之,稱為非最小相位傳遞函數(shù)。具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。具有相同幅頻特性的系統(tǒng),最小相位傳遞函數(shù)的相角范圍是最小的。例如兩個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為:第40頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四第41頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四 對(duì)最小相位系統(tǒng)而言,幅頻特性和相頻特性之間具有確定的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系。這就是說,如果系統(tǒng)的幅頻特性曲線規(guī)定從0變化到無(wú)窮大整個(gè)頻率

12、范圍內(nèi),那么相頻特性曲線就唯一確定,反之亦然。 然而對(duì)非最小相位系統(tǒng)來說卻是不成立的。 以后無(wú)特殊說明,一般是指最小相位系統(tǒng)。 結(jié)論：第42頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四 4.3.2系統(tǒng)開環(huán)奈奎斯特圖的繪制 繪制奈奎斯特圖的一般方法第43頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四第44頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四續(xù)第45頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四例4.4 已知系統(tǒng)的傳函如下 繪制該系統(tǒng)的奈氏圖第46頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四第47頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，

13、5月20日，0點(diǎn)41分，星期四第48頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四 奈奎斯特圖的一般形狀第49頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四第50頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四 4.3.3系統(tǒng)開環(huán)波德圖(Bode圖)的繪制 控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式是：控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的一般表達(dá)式是：第51頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四即：寫成開環(huán)幅頻特性、相頻特性的形式為：第52頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四控制系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性的一般表達(dá)式是：第53頁(yè)，共151頁(yè)，202

14、2年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四 由式(4.63）可以看出,單回路系統(tǒng)開環(huán)的對(duì)數(shù)幅頻特性L (),可以用各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性的縱坐標(biāo)值相加的辦法得到。 由式（4.64）可以看出,系統(tǒng)開環(huán)的相頻特性和幅頻特性一樣,可以用各典型環(huán)節(jié)的相頻特性相加的辦法得到。結(jié)論：第54頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四 系統(tǒng)開環(huán)博德圖繪制的一般步驟(1)把系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式；(2)根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)形式的傳遞函數(shù)求得頻率特性, 分析組成環(huán)節(jié)；(3)畫出各典型環(huán)節(jié)的Bode圖（包括“對(duì)數(shù)幅頻特性曲線”、“對(duì)數(shù)相頻特性曲線”）；(4)應(yīng)用“疊加原則”畫出總的開環(huán)頻率特性Bode圖（包

15、括“對(duì)數(shù)幅頻特性曲線”、“對(duì)數(shù)相頻特性曲線”） 。第55頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四 系統(tǒng)開環(huán)博德圖的簡(jiǎn)化繪制方法(1)把系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式；(2)根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的開環(huán)傳遞函數(shù)求得開環(huán)頻率特性,并分析其組 成環(huán)節(jié)；(3)求出轉(zhuǎn)折頻率,并把它們按照由小到大順序在選定的坐標(biāo)圖上沿頻率軸標(biāo)出；(4)畫出對(duì)數(shù)幅頻特性L () 低頻段的漸近線(最低頻段)。這條漸近線在最低頻段是一條斜率為20（dB/dec）的直線,其中 (=0,1,2,)為系統(tǒng)包含積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)。在=1處,漸近線縱坐標(biāo)為20lg k (K為系統(tǒng)開環(huán)增益)。Note:直接針對(duì)“開環(huán)傳遞函數(shù)”進(jìn)行繪制第5

16、6頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四(5)在每個(gè)轉(zhuǎn)折頻率處改變漸近線的斜率，即可畫出整條開環(huán)幅頻特性漸近線。如果是慣性環(huán)節(jié),斜率改變?yōu)?0dB/dec;如果是振蕩環(huán)節(jié),則改變?yōu)橐?0dB/dec;如果是一階微分環(huán)節(jié),則為+20dB/dec;而二階微分環(huán)節(jié)為+40dB/dec。(6)對(duì)漸近線進(jìn)行修正,畫出精確的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線。第57頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四 例4.5（對(duì)數(shù)頻率特性.博德圖）第58頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四繪制系統(tǒng)的相頻特性曲線必須先畫出所有環(huán)節(jié)的相頻特性,然后將它們的相角在相同的頻率下代數(shù)

17、相加,這樣就畫出了完整的相頻特性曲線，如圖4.26所示。續(xù)第59頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四 4.3.4傳遞函數(shù)實(shí)驗(yàn)確定法 頻率特性反映了系統(tǒng)或元件本身內(nèi)在的固有的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,從而為實(shí)驗(yàn)分析提供了理論依據(jù)。 從頻率特性基本概念可知,對(duì)于線性系統(tǒng)或元件,在正弦信號(hào)作用下,其穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入信號(hào)頻率相同、幅值和相位不同的正弦信號(hào)。 如果在可能涉及到的頻率范圍內(nèi),測(cè)量出系統(tǒng)或元件在足夠多的頻率點(diǎn)上的幅值比和相位移,那么由實(shí)驗(yàn)測(cè)得的數(shù)據(jù)可畫出系統(tǒng)或元件的博德圖,進(jìn)而獲得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。第60頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四 對(duì)于最小相位系統(tǒng),由于其

18、對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性有確定的對(duì)應(yīng)性,故：1.通過實(shí)驗(yàn)只要獲得開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線就可求得系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。具體方法如下:(1)根據(jù)被測(cè)系統(tǒng)博德圖的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線,用斜率為0 dB/dec、土20dB/dec和40dB/dec的直線逼近實(shí)驗(yàn)曲線,獲得系統(tǒng)或元件的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的漸近線。(2)根據(jù)最低頻段漸近線的斜率確定系統(tǒng)所包含的積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)；根據(jù)最低頻段漸近線：L(1)=20lgK或者“與軸交點(diǎn)頻率”來確定開環(huán)增益K。第61頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四(3)從漸近線低頻段開始,隨著頻率的增加,每遇轉(zhuǎn)折頻率,依據(jù)漸近線斜率的變化,寫出對(duì)應(yīng)的環(huán)節(jié)。斜率改

19、變20dB/dec包含慣性環(huán)節(jié); 斜率改變40dB/dec包含振蕩環(huán)節(jié);斜率改變20dB/dec包含一階微分環(huán)節(jié);斜率改變40dB/dec包含二階微分環(huán)節(jié)。至此系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)已求得?。▽?duì)于振蕩環(huán)節(jié)，其阻尼比 可通過測(cè)量實(shí)驗(yàn)對(duì)數(shù)幅頻特性在轉(zhuǎn)折頻率附近的諧振峰值,并與圖4.13所示(P129)曲線比較后確定）第62頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四 由于趨于零時(shí),在實(shí)際工程系統(tǒng)中等于O、1或2。2. 以對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線低頻段或其延長(zhǎng)線“與軸交點(diǎn)頻率”來確定開環(huán)增益K。第63頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四 對(duì)于0型系統(tǒng),由L()=20lg|G

20、(j)|=20lgK可知,低頻漸近線是一條20lgk分貝的水平線,故K值可由該水平漸近線求得。 對(duì)于I型系統(tǒng),由L()= 20lg|G(j)|=20lgK-20lg可知,低頻漸近線的斜率為-20dB/dec。低頻漸近線(或它的延長(zhǎng)線)與0分貝直線交點(diǎn)處的頻率在數(shù)值上等于K。 對(duì)于型系統(tǒng),由L()= 20lg|G(j)|=20lg k-40lg可知,當(dāng)20lg|G(j)|=0時(shí), 。因此,低頻漸近線的斜率為-40dB/dec,漸近線(或它的延長(zhǎng)線)與0分貝直線相交處的頻率在數(shù)值上 。續(xù)第64頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四圖4.27所示為0型、I型、 型系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特

21、性曲線,同時(shí)也表示了頻率與增益K的關(guān)系。第65頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四圖4.27所示為0型、I型、 型系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線,同時(shí)也表示了頻率與增益K的關(guān)系。第66頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四(1) 必須采用合適的正弦信號(hào)發(fā)生器。它可以是機(jī)械、電氣和氣動(dòng)的型式。對(duì)于時(shí)間常數(shù)比較大的系統(tǒng),作實(shí)驗(yàn)時(shí)所取的頻率范圍可為0.001100OHz/s。正弦信號(hào)必須沒有諧波和波形畸變。(2)必須合理地選擇正弦信號(hào)的幅值。由于物理系統(tǒng)具有某些非線性因素,如果輸入信號(hào)幅值太大,就要引起系統(tǒng)飽和,得不到頻率特性精確的結(jié)果,如果輸入信號(hào)太小,也會(huì)因死區(qū)

22、引起誤差。因此,必須合理選擇輸入正弦信號(hào)幅值的大小。 (3)用以測(cè)量系統(tǒng)輸出的測(cè)量裝置必須有足夠的頻寬,在其工作范圍內(nèi)應(yīng)該具有接近平直的幅頻特性。 頻率特性實(shí)驗(yàn)時(shí)應(yīng)注意以下問題第67頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四 例4.6（由實(shí)驗(yàn)頻率特性曲線確定傳遞函數(shù)）試確定具有圖4.28所示(右圖)實(shí)驗(yàn)頻率特性曲線的系統(tǒng)傳遞函數(shù)。 第68頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四(解) 以20dB/dec及其倍數(shù)的線段來逼近實(shí)驗(yàn)獲得的對(duì)數(shù)幅頻特性以獲得對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的漸近線,如圖4.28所示。 找出相應(yīng)的轉(zhuǎn)折頻率1=1, 2=2, 3=8。 根據(jù)系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特

23、性曲線漸近線在各轉(zhuǎn)折頻率處的斜率變化,獲得具有如下形式的頻率特性：續(xù)第69頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四阻尼比可由接近于=6rad/s處的諧振峰值來求得。參照?qǐng)D4.13 (P129),得到 =0.5。增益K在數(shù)值上等于低頻漸近線的延長(zhǎng)線與0dB線交點(diǎn)處的頻率值。于是可得K=10。續(xù)第70頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四如圖4.28，可以看出由初步確定的頻率特性畫出的對(duì)數(shù)相頻特性和實(shí)驗(yàn)測(cè)得的相頻特性是一致的,且該系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng)。因此,系統(tǒng)傳遞函數(shù)為:第71頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四4.4 頻域穩(wěn)定性判據(jù) 4

24、.4.1奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù) 第3章已經(jīng)得到閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是:所有的閉環(huán)極點(diǎn)位于s平面的左半平面或者說特征方程的根都必須具有負(fù)實(shí)部。 奈奎斯特判據(jù)仍是根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件導(dǎo)出的一種方法。尼奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)的特點(diǎn)是根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)頻率特性來判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,也稱頻域法判據(jù),簡(jiǎn)稱奈氏判據(jù)。 應(yīng)用奈氏判據(jù)不必求解閉環(huán)特征根,同時(shí)還可以得知系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性以及改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性的途徑。因此該判據(jù)在控制工程中得到廣泛應(yīng)用。第72頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四 1 系統(tǒng)開環(huán)和閉環(huán)的頻率特性 閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可寫為：頻率特性表示為：具有單位反饋的閉環(huán)系統(tǒng)頻率特

25、性為第73頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四 當(dāng)開環(huán)尼氏曲線逆時(shí)針方向包圍(-1,j0)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的周數(shù)比較多時(shí),如圖4.35,可引人穿越概念。 奈氏圖的“穿越”概念第74頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四“穿越”：頻率特性曲線G(j)穿過(-1,j0)點(diǎn)左邊的實(shí)軸時(shí),稱為“穿越”。若增大時(shí),奈氏曲線由上而下穿過一1-實(shí)軸(相角增大)時(shí)稱“正穿越”;若增大時(shí),奈氏曲線由下而上穿過時(shí)(相角減小)稱“負(fù)穿越”。穿過(-1,j0)點(diǎn)以左的實(shí)軸一次,則穿越次數(shù)為1。若曲線始于或止于(-1,j0)點(diǎn)以左實(shí)軸上,則穿越次數(shù)為1/2,如圖4.36所示。這樣,奈奎斯

26、特穩(wěn)定性判據(jù)可表述成:當(dāng)從0變到+時(shí),開環(huán)幅相頻率特性G(j)在(-1,j0)以左實(shí)軸上的正負(fù)穿越次數(shù)之差等于q/2(其中q是系統(tǒng)開環(huán)右極點(diǎn)數(shù)),那么閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。第75頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四 應(yīng)用這個(gè)判據(jù)可知圖4.35所示的閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。圖4.36a所示的系統(tǒng),雖然開環(huán)不穩(wěn)定,但閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。圖4.36b所示的系統(tǒng),雖然開環(huán)是穩(wěn)定的,但閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。續(xù)第76頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四 2 奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)描述 開環(huán)穩(wěn)定情況若系統(tǒng)在開環(huán)狀態(tài)下是穩(wěn)定的,則系統(tǒng)在閉環(huán)狀態(tài)下穩(wěn)定的充分和必要條件是

27、它的奈奎斯特曲線G(j)不包圍復(fù)平面的(-1,j0)點(diǎn)。 開環(huán)不穩(wěn)定情況如果系統(tǒng)開環(huán)特征方程式有q個(gè)根在復(fù)平面虛軸右邊,那么,當(dāng)從0變到+時(shí),系統(tǒng)奈奎斯特曲線G(j)在正方向包圍(-1,j0)點(diǎn)q/2次,閉環(huán)系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。反之,閉環(huán)系統(tǒng)就不穩(wěn)定。 第77頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四 4.4.2對(duì)數(shù)頻率特性的穩(wěn)定性判據(jù)對(duì)數(shù)頻率特性穩(wěn)定性判據(jù),實(shí)質(zhì)上是奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)的另一種形式,就是利用系統(tǒng)開環(huán)博德圖來判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 對(duì)數(shù)頻率特性穩(wěn)定性判據(jù)的原理根據(jù)上節(jié)奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù),若一個(gè)控制系統(tǒng),其開環(huán)是穩(wěn)定的,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是開環(huán)奈氏特性G(j)不

28、包圍(-1,j0)點(diǎn)。圖4.41中的特性曲線1對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的,而特性曲線2對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 第78頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四如果開環(huán)頻率特性G(j)與單位圓相交的一點(diǎn)頻率為c,而與實(shí)軸相交的一點(diǎn)頻率為g,這樣當(dāng)幅值A(chǔ)() 1時(shí)(在單位圓上或在單位圓外)，就相當(dāng)于20lg A() 0。當(dāng)幅值A(chǔ)()1時(shí)(在單位圓內(nèi))，就相當(dāng)于20lg A()-；而在g點(diǎn)處L(g)=20lgA(g) 0時(shí),相位裕量為正值;當(dāng)(c)M時(shí),輸出就不能準(zhǔn)確“復(fù)現(xiàn)”輸入。所以0-M頻率范圍稱為復(fù)現(xiàn)帶寬。第109頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四 諧振

29、頻率r及諧振峰值Mr 諧振峰值Mr為諧振頻率r所對(duì)應(yīng)的閉環(huán)幅值。它反映系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的速度和相對(duì)穩(wěn)定性。對(duì)于二階系統(tǒng),由最大超調(diào)量Mp和諧振峰值Mr的計(jì)算式中可以看出,第110頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四 截止頻率b和帶寬 截止頻率是指閉環(huán)頻率特性的振幅M()衰減到0.707M(0)時(shí)的角頻率,即相當(dāng)于閉環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的幅值下降到-3dB時(shí),對(duì)應(yīng)的頻率b稱為截止頻率。 閉環(huán)系統(tǒng)的幅值不低于-3dB時(shí),對(duì)應(yīng)的頻率范圍0b,稱為系統(tǒng)的帶寬。考慮典型二階系統(tǒng),其頻率特性為第111頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四其幅值為由于第112頁(yè)，共151頁(yè)，

30、2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四并且可以得出二階系統(tǒng)的截止頻率為二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的過渡過程調(diào)整時(shí)間ts3/(n),上式表明,當(dāng)阻尼比 確定后,系統(tǒng)的截止頻率與ts呈反比關(guān)系。第113頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四4.6 頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)間的關(guān)系 第3章在時(shí)間域計(jì)算了控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的指標(biāo),本章頻域分析則是根據(jù)開環(huán)頻率特性特征量如相位裕量(c)、幅值穿越頻率c或閉環(huán)頻率特性特征量(如諧振峰值Mr、諧振頻率r、截止頻率b)來確定控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。這些頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)之間存在一定的關(guān)系。這里主要研究典型二階系統(tǒng)的頻域指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)之間關(guān)系。 第

31、114頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四 4.6.1閉環(huán)頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)之間的關(guān)系 對(duì)于二階系統(tǒng),諧振峰值為最大超調(diào)量為由上述表達(dá)式可得最大超調(diào)量和諧振峰值與阻尼比的關(guān)系曲線,如圖4.51所示。由圖可知,最大超調(diào)量和諧振峰值都隨著阻尼比 的增大而減小。 因而,隨著Mr增加,相應(yīng)的Mp也增大。當(dāng)Mr=1.36時(shí),Mp=25.3%;當(dāng)Mr時(shí),Mp100%。第115頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四Mp隨著Mr變化的物理意義在于:當(dāng)閉環(huán)幅頻特性有諧振峰時(shí),系統(tǒng)的輸入信號(hào)頻譜在=r附近的諧波分量通過系統(tǒng)后顯著增強(qiáng),從而引起振蕩。二階系統(tǒng)的諧振頻率為第1

32、16頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四其過渡過程調(diào)整時(shí)間為由此可得可見, 阻尼比一定時(shí) ,調(diào)整時(shí)間ts與諧振頻率r成反比,r大的系統(tǒng),瞬態(tài)響應(yīng)速度快;r小則響應(yīng)速度慢。 第117頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四高階系統(tǒng)的階躍瞬態(tài)響應(yīng)與頻率響應(yīng)之間的關(guān)系是很復(fù)雜的。如果高階系統(tǒng)的控制性能主要由一對(duì)共軛復(fù)數(shù)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)來支配,則上述二階系統(tǒng)頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系均可近似采用。對(duì)于高階系統(tǒng),這里推薦兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式供參考。一般地,從經(jīng)驗(yàn)公式所得的結(jié)論,比近似采用二階系統(tǒng)有關(guān)公式所得結(jié)論要精確些。第118頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分

33、，星期四 4.6.2開環(huán)頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)之間的關(guān)系對(duì)于典型二階系統(tǒng),其開環(huán)頻率特性為根據(jù)幅值穿越頻率c的定義,有整理并解得，第119頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四當(dāng)=c時(shí),由式(4.128)和式(4.129)可得 則相位裕量為第120頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四根據(jù)最大超調(diào)量 以及式(4.132)可得以阻尼比 為參變量時(shí),Mp隨變化的曲線,如圖4.52所示。從圖中可知,當(dāng) =0時(shí),Mp=100%;隨著 增加,Mp減小。當(dāng) =76.35時(shí),Mp=0。 第121頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四根據(jù)式(4.128)

34、對(duì)不同的 可以計(jì)算出c/n。c/n隨 變化的曲線如圖4.53所示。當(dāng)0 0.4時(shí),0.85c/n10c),這部分特性是由開環(huán)傳遞函數(shù)小時(shí)間常數(shù)環(huán)節(jié)決定的。下面著重分析低頻段和中頻段系統(tǒng)性能。第125頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四 4.7.1低頻段 在研究穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)時(shí),已得到重要結(jié)論:穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)Kp、穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)Kv和穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka,分別是0型系統(tǒng)、I型系統(tǒng)和型系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)。在對(duì)數(shù)幅頻特性圖上,Kp、Kv和Ka分別描述了0型系統(tǒng)、I型系統(tǒng)和型系統(tǒng)的低頻特性。 系統(tǒng)的型號(hào)確定了低頻時(shí)對(duì)數(shù)幅頻特性的斜率。結(jié)論： 從對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻段可以確定系統(tǒng)

35、的 開環(huán)增益K和“型”V；或者說， 系統(tǒng)的開環(huán)增益K 和“型”V決定了對(duì)數(shù)幅 頻特性的低頻段特性。第126頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四考察圖4.54所示0型系統(tǒng)。其對(duì)數(shù)幅頻特性曲線漸近線低頻段的斜率為0dB/dec。G(j)的幅值在低頻時(shí)為20lg K (dB)。此時(shí),穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)Kp =K注重分析“最低頻段”的“開環(huán)增益”K和“積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)”V。第127頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四考察圖4.55所示I型系統(tǒng)。其低頻段斜率為-20dB/dec的直線(或它的延長(zhǎng)線)與=1直線的交點(diǎn),具有的幅值為20lgKv。這可以說明如下:注重分析

36、“最低頻段”的“開環(huán)增益”K和“積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)”V第128頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四因?yàn)樗缘皖l段斜率為-20dB/dec的直線（或它的延長(zhǎng)線）與0分貝線的交點(diǎn)是1，其數(shù)值等于Kv。為了證明這個(gè)結(jié)論，設(shè)這個(gè)交點(diǎn)上的頻率為1 ，于是第129頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四所以考察圖4.56所示型系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性。低頻段低利率為-40dB/dec的直線（或它的延長(zhǎng)線）與=1直線的交點(diǎn)處的幅值是20lgKa 。注重分析“最低頻段”的“開環(huán)增益”K和“積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)”V第130頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四由于在低頻時(shí)斜

37、率為一40dB/dec的低頻段漸近線與0分貝直線的交點(diǎn)處頻率為a ,它在數(shù)值上等于,這是因?yàn)榈?31頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四則由此可得續(xù)第132頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四 4.7.2中頻段考慮最小相位系統(tǒng)。如果通過幅值穿越頻率c的斜率為-20dB/dec，假設(shè)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，并只考慮幅值穿越頻率c附近的開環(huán)特性,則開環(huán)傳遞函數(shù)為對(duì)單位負(fù)反饋系統(tǒng),其閉環(huán)傳遞函數(shù)為第133頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四所以,相位裕量(c)=90,幅值裕量無(wú)窮大, c越大,ts越小。顯然,系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)品質(zhì)。如果通過c的斜率為-40dB/dec,也假設(shè)系統(tǒng)是穩(wěn)定的,并只考慮幅值穿越頻率c附近的開環(huán)特性,其相應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為單位負(fù)反饋的閉環(huán)傳遞函數(shù)第134頁(yè)，共151頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)41分，星期四所以, (c)=0,系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。考慮低頻段、高頻段斜率變化對(duì)相位裕量的影響。設(shè)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲為-40dB/dec,中、高頻段的斜率為-20dB/