排隊論模型及實例

1、排隊論模型及實例第1頁，共47頁，2022年，5月20日，14點59分，星期三排隊現(xiàn)象是由兩個方面構(gòu)成，一方要求得到服務(wù)，另一方設(shè)法給予服務(wù)。我們把要求得到服務(wù)的人或物（設(shè)備）統(tǒng)稱為顧客, 給予服務(wù)的服務(wù)人員或服務(wù)機構(gòu)統(tǒng)稱為服務(wù)員或服務(wù)臺。顧客與服務(wù)臺就構(gòu)成一個排隊系統(tǒng)，或稱為隨機服務(wù)系統(tǒng)。 顯然缺少顧客或服務(wù)臺任何一方都不會形成排隊系統(tǒng).對于任何一個排隊服務(wù)系統(tǒng)，每一名顧客通過排隊服務(wù)系統(tǒng)總要經(jīng)過如下過程：顧客到達(dá)、排隊等待、接受服務(wù)和離去，其過程如下圖所示: 顧客總體隊 伍輸出輸入 服務(wù)臺服務(wù)系統(tǒng)第2頁，共47頁，2022年，5月20日，14點59分，星期三輸入過程顧客源總體：顧客的來源可

2、能是有限的，也可 能是無限的 2. 排隊服務(wù)系統(tǒng)的基本概念到達(dá)的類型：顧客是單個到達(dá)，或是成批到達(dá)相繼顧客到達(dá)的間隔時間：通常假定是相互獨立、同分布的，有的是等距間隔時間，有的是服從Poisson分布，有的是服從k階Erlang分布輸入過程是描述顧客來源及顧客是按怎樣的規(guī)律抵達(dá)排隊系統(tǒng)第3頁，共47頁，2022年，5月20日，14點59分，星期三排隊規(guī)則損失制排隊系統(tǒng)：顧客到達(dá)時,若有服務(wù)臺均被占,服務(wù)機構(gòu) 又不允許顧客等待, 此時該顧客就自動辭去 2. 排隊服務(wù)系統(tǒng)的基本概念等待制排隊系統(tǒng)：顧客到達(dá)時若所有服務(wù)臺均被占，他們 就排隊等待服務(wù)。在等待制系統(tǒng)中,服務(wù) 順序又分為：先到先服務(wù),即顧

3、客按到達(dá) 的先后順序接受服務(wù)；后到先服務(wù) .混合制排隊系統(tǒng)：損失制與等待制的混合，分為隊長(容量) 有限的混合制系統(tǒng)，等待時間有限的混 合制系統(tǒng)，以及逗留時間有限制的混合 系統(tǒng).排隊規(guī)則是指服務(wù)允許不允許排隊，顧客是否愿意排隊第4頁，共47頁，2022年，5月20日，14點59分，星期三服務(wù)機構(gòu)服務(wù)臺的數(shù)目: 在多個服務(wù)臺的情形下，是串 聯(lián)或是并聯(lián)； 2. 排隊服務(wù)系統(tǒng)的基本概念顧客所需的服務(wù)時間服從什么樣的概率分布，每個顧客所需的服務(wù)時間是否相互獨立，是成批服務(wù)或是單個服務(wù)等。常見顧客的服務(wù)時間分布有：定長分布、負(fù)指數(shù)分布、超指數(shù)分布、k階Erlang分布、幾何分布、一般分布等.第5頁，共4

4、7頁，2022年，5月20日，14點59分，星期三 3.符號表示排隊論模型的記號是20世紀(jì)50年代初由D. G. Kendall (肯達(dá)爾)引入的，通常由35個英文字母組成，其形式為其中A表示輸入過程，B表示服務(wù)時間，C表示服務(wù)臺數(shù)目，n表示系統(tǒng)空間數(shù)。例如: M/M/S/ 表示輸入過程是Poisson流, 服務(wù)時間服從負(fù)指數(shù)分布, 系統(tǒng)有S個服務(wù)臺平行服務(wù), 系統(tǒng)容量為無窮的等待制排隊系統(tǒng).(2) M/G/1/ 表示輸入過程是Poisson流，顧客所需的服務(wù)時間為獨立、服從一般概率分布，系統(tǒng)中只有一個服務(wù)臺，容量為無窮的等待制系統(tǒng).第6頁，共47頁，2022年，5月20日，14點59分，星期

5、三GI/M/1/表示輸入過程為顧客獨立到達(dá)且相繼到達(dá)的間隔時間服從一船概率分布，服務(wù)時間是相互獨立、服從負(fù)指數(shù)分布，系統(tǒng)中只有一個服務(wù)臺，容量為無窮的等待制系統(tǒng) 3. 符號表示(4) Ek/G/1/K表示相繼到達(dá)的間隔時間獨立、服從k階Erlang分布，服務(wù)時間為獨立、服從一般概率分布，系統(tǒng)中只有一個服務(wù)臺，容量為K的混合制系統(tǒng).(5) D/M/S/K表示相繼到達(dá)的間隔時間獨立、服從定長分布、服務(wù)時間相互獨立、服從負(fù)指數(shù)分布，系統(tǒng)中有S個服務(wù)臺平行服務(wù)，容量為K的混合制系統(tǒng).第7頁，共47頁，2022年，5月20日，14點59分，星期三 4. 描述排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標(biāo) 隊長與等待隊長隊長(通

6、常記為LS)是指在系統(tǒng)中的顧客的平均數(shù)(包括正在接受服務(wù)的顧客),而等待隊長(通常記為Lq)是指系統(tǒng)中排隊等待的顧客的平均數(shù)，它們是顧客和服務(wù)機構(gòu)雙方都十分關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)。顯然隊長等于等待隊長加上正在被服務(wù)的顧客數(shù). 顧客的平均等待時間與平均逗留時間顧客的平均等待時間(通常記為Wq)是指從顧客進(jìn)入系統(tǒng)的時刻起直到開始接受服務(wù)止的平均時間。平均逗留時間(通常記為Ws)是指顧客在系統(tǒng)中的平均等待時間與平均服務(wù)時間之和。平均等待時間與平均服務(wù)時間是顧客最關(guān)心的數(shù)量指標(biāo).第8頁，共47頁，2022年，5月20日，14點59分，星期三 4. 描述排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標(biāo) 系統(tǒng)的忙期與閑期 從顧客到達(dá)空閑的

7、系統(tǒng)，服務(wù)立即開始，直到系統(tǒng)再次變?yōu)榭臻e，這段時間是系統(tǒng)連續(xù)繁忙的時間，我們稱為系統(tǒng)的忙期，它反映了系統(tǒng)中服務(wù)機構(gòu)的工作強度，是衡量服務(wù)機構(gòu)利用效率的指標(biāo)，即與忙期對應(yīng)的是系統(tǒng)的閑期，即系統(tǒng)連續(xù)保持空閑的時間長度.服務(wù)機構(gòu)工作強度用于服務(wù)顧客的時間服務(wù)設(shè)施總的服務(wù)時間用于服務(wù)顧客的時間服務(wù)設(shè)施總的服務(wù)時間第9頁，共47頁，2022年，5月20日，14點59分，星期三 5. Little（利特爾）公式用 表示單位時間內(nèi)顧客到達(dá)的平均數(shù),表示單位時間內(nèi)被服務(wù)完畢離去的平均顧客數(shù)，因此1/ 表示相鄰兩顧客到達(dá)的平均時間，1/ 表示對每個顧客的平均服務(wù)時間.J. D. C. Little給出了如下公式

8、：第10頁，共47頁，2022年，5月20日，14點59分，星期三 6. 與排隊論模型有關(guān)的LINGO函數(shù)(1) peb (load, S)該函數(shù)的返回值是當(dāng)?shù)竭_(dá)負(fù)荷為load, 服務(wù)系統(tǒng)中有S個服務(wù)器且允許排隊時系統(tǒng)繁忙的概率,也就是顧客等待的概率.(2) pel (load, S)該函數(shù)的返回值是當(dāng)?shù)竭_(dá)負(fù)荷為load, 服務(wù)系統(tǒng)中有S個服務(wù)器且不允許排隊時系統(tǒng)損失概率, 也就是顧客得不到服務(wù)離開的概率.(3) pfs (load, S, K)該函數(shù)的返回值是當(dāng)?shù)竭_(dá)負(fù)荷為load, 顧客數(shù)為K,平行服務(wù)器數(shù)量為S時, 有限源的Poisson服務(wù)系統(tǒng)等待或返修顧客數(shù)的期望值.第11頁，共47頁

9、，2022年，5月20日，14點59分，星期三 10. 2 等待制排隊模型等待制排隊模型中最常見的模型是即顧客到達(dá)系統(tǒng)的相繼到達(dá)時間間隔獨立，且服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布(即輸入過程為Poisson過程), 服務(wù)臺的服務(wù)時間也獨立同分布, 且服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，而且系統(tǒng)空間無限，允許永遠(yuǎn)排隊.第12頁，共47頁，2022年，5月20日，14點59分，星期三 1. 等待制排隊模型的基本參數(shù)(1) 顧客等待的概率Pwait其中S是服務(wù)臺或服務(wù)員的個數(shù)，load是系統(tǒng)到達(dá)負(fù)荷，即 load=/=R*T, 式中R表示, T表示1/, R表示,在下面的程序中，因此，R或是顧客的平均到達(dá)率，是顧客的平均被

10、服務(wù)數(shù)，T 就是平均服務(wù)時間.第13頁，共47頁，2022年，5月20日，14點59分，星期三 1. 等待制排隊模型的基本參數(shù)(2) 顧客的平均等待時間Wq其中T/(S-load)是一個重要指標(biāo)，可以看成一個“合理的長度間隔”。注意，當(dāng)loadS時，此值趨于無窮。也就是說，系統(tǒng)負(fù)荷接近服從器的個數(shù)時，顧客平均等待時間將趨于無窮.當(dāng)load S時, 上式Wq無意義。其直觀的解釋是：當(dāng)系統(tǒng)負(fù)荷超過服從器的個數(shù)時, 排隊系統(tǒng)達(dá)不到穩(wěn)定的狀態(tài),其隊將越排越長.第14頁，共47頁，2022年，5月20日，14點59分，星期三 1. 等待制排隊模型的基本參數(shù)顧客的平均逗留時間Ws、隊長Ls和等待隊長Lq這

11、三個值可由Little公式直接得到第15頁，共47頁，2022年，5月20日，14點59分，星期三 2. 等待制排隊模型的計算實例 S=1的情況(M/M/1/) 即只有一個服務(wù)臺或一名服務(wù)員服務(wù)的情況.例10.2 某維修中心在周末現(xiàn)只安排一名員工為顧客提供服務(wù)。新來維修的顧客到達(dá)后，若已有顧客正在接受服務(wù)，則需要排隊等待。假設(shè)來維修的顧客到達(dá)過程為Poisson流，平均4人/小時，維修時間服從負(fù)指數(shù)分布，平均需要6分鐘。試求該系統(tǒng)的主要數(shù)量指標(biāo)。解 按照式上面分析, 編寫LINGO程序，其中R=4,T=6/60, load=R.T,S=1. 程序名:exam1002.lg4.第16頁，共47頁

12、，2022年，5月20日，14點59分，星期三 2. 等待制排隊模型的計算實例由此得到：(1) 系統(tǒng)平均隊長 Ls=0.6666667,(2) 系統(tǒng)平均等待隊長 Lq=0.2666667,(3) 顧客平均逗留時間 Ws=0.1666667(小時)=10(分鐘)(4) 顧客平均等待時間 Wq=0.06666667(小時)=4(分鐘)(5) 系統(tǒng)繁忙概率 P wait=0.4第17頁，共47頁，2022年，5月20日，14點59分，星期三在商業(yè)中心處設(shè)置一臺ATM機，假設(shè)來取錢的顧客平均每分鐘0.6個，而每個顧客的平均取錢的時間為1.25分鐘，試求該ATM機的主要數(shù)量指標(biāo).解 只需將上例LINGO

13、程序作如下改動：R=0.6,T=1.25 即可得到結(jié)果.程序名:exam1003.lg4.計算結(jié)果見運行 例10.3即平均隊長為3人，平均等待隊長為2.25人，顧客平均逗留時間5分鐘，顧客平均等待時間為3.75分鐘，系統(tǒng)繁忙概率為0.75.第18頁，共47頁，2022年，5月20日，14點59分，星期三 S1的情況(M/M/S/) 表示有多個服務(wù)臺或多名服務(wù)員服務(wù)的情況例10. 設(shè)打印室有3名打字員, 平均每個文件的打印時間為10分鐘，而文件的到達(dá)率為每小時15件，試求該打印室的主要數(shù)量指標(biāo).解 按照上面分析, 編寫LINGO程序, 程名:exam1004.lg4.計算結(jié)果分析：即在打字室內(nèi)現(xiàn)

14、有的平均文件數(shù)為6.011件，等待打印平均文件數(shù)3.511件，每份文件在打字室平均停留時間為0.400小時（24分鐘），排隊等待打印的平均時間0.234小時(14分鐘),打印室不空閑的概率0.702.第19頁，共47頁，2022年，5月20日，14點59分，星期三某售票點有兩個售票窗口，顧客按參數(shù)=8人/分鐘的Poisson流到達(dá)，每個窗口的售票時間均服從參數(shù)=5人/分鐘的負(fù)指數(shù)分布，試比較以下兩種排隊方案的運行指標(biāo).(1) 顧客到達(dá)后,以1/2的概率站成兩個隊列，如右圖所示： 例10.5(2) 顧客到達(dá)后排成一個隊列, 顧客發(fā)現(xiàn)哪個窗口空時, 他就接受該窗口的服務(wù)，如下圖所示:第20頁，共4

15、7頁，2022年，5月20日，14點59分，星期三解 (1) 實質(zhì)上是兩個獨立的M/M/1/系統(tǒng),其參數(shù)S=1,R=1=2=4, T=1/=1/5=0.2, 編寫其LINGO程序，程序名: exam1005a.lg4. 計算結(jié)果見運行 例10.5(2) 是兩個并聯(lián)系統(tǒng), 其參數(shù)S=2,R=8, T=1/=1/5=0.2, 編寫其LINGO程序, 程序名: exam1005b.lg4. 計算結(jié)果見運行兩種系統(tǒng)的計算結(jié)果第21頁，共47頁，2022年，5月20日，14點59分，星期三從上表中所列的計算結(jié)果可以看出,在服務(wù)臺的各種性能指標(biāo)不變的情況下,采用不同的排隊方式,其結(jié)果是不同的. 從表得到,

16、采用多隊列排隊系統(tǒng)的隊長為4,而采用單排隊系統(tǒng)總隊長為4.444, 也就是說每一個子隊的隊長為2.222,幾乎是多列隊排隊系統(tǒng)的1/2, 效率幾乎提高了一倍. 例10.5比較分析第22頁，共47頁，2022年，5月20日，14點59分，星期三 10. 3 損失制排隊模型損失制排隊模型通常記為當(dāng)S個服務(wù)器被占用后，顧客自動離去。其模型的基本參數(shù)與等待制排隊模型有些不同, 我們關(guān)心如下指標(biāo)：(1) 系統(tǒng)損失的概率其中l(wèi)oad是系統(tǒng)到達(dá)負(fù)荷,S是服務(wù)臺或服務(wù)員的個數(shù). 1.損失制排隊模型的基本參數(shù)第23頁，共47頁，2022年，5月20日，14點59分，星期三(2)單位時間內(nèi)平均進(jìn)入系統(tǒng)的顧客數(shù)(e

17、或Re)(3)系統(tǒng)的相對通過能力Q與絕對通過能力A(4)系統(tǒng)在單位時間內(nèi)占用服務(wù)臺(或服務(wù)員)的均值Ls注意: 在損失制排隊系統(tǒng)中, Lq=0, 即等待隊長為0.第24頁，共47頁，2022年，5月20日，14點59分，星期三(5)系統(tǒng)服務(wù)臺（或服務(wù)員）的效率(6)顧客在系統(tǒng)內(nèi)平均逗留時間(由于Wq=0, 即為Ws）注意: 在損失制排隊系統(tǒng)中, Wq=0, 即等待時間為0.在上述公式中, 引入e (或Re)是十分重要的, 因為盡管顧客的以平均(或R)的速率到達(dá)服務(wù)系統(tǒng), 但當(dāng)系統(tǒng)被占滿后, 有一部分顧客會自動離去, 因此,真正進(jìn)入系統(tǒng)的顧客輸入率是e ,它小于.第25頁，共47頁，2022年，

18、5月20日，14點59分，星期三 2. 損失制排隊模型的計算實例 S=1的情況(M/M/1/1)例10.6 設(shè)某條電話線，平均每分鐘有0.6次呼喚，若每次通話時間平均為1.25分鐘，求系統(tǒng)相應(yīng)的參數(shù)指標(biāo)。解 按照上面分析, 編寫LINGO程序，其中S=1,R=0.6,T=1/=1.25, 程序名:exam1006.lg4，結(jié)果見運行系統(tǒng)的顧客損失率為43%, 即43%的電話沒有接通, 有57%的電話得到了服務(wù),通話率為平均每分鐘有0.195次, 系統(tǒng)的服務(wù)效率為43%. 對于一個服務(wù)臺的損失制系統(tǒng), 系統(tǒng)的服務(wù)效率等于系統(tǒng)的顧客損失率,這一點在理論上也是正確的.第26頁，共47頁，2022年，

19、5月20日，14點59分，星期三 S1的情況(M/M/S/S)例10.7 某單位電話交換臺有一臺200門內(nèi)線的總機，已知在上班8小時的時間內(nèi)，有20%的內(nèi)線分機平均每40分鐘要一次外線電話，80%的分機平均隔120分鐘要一次外線。又知外線打入內(nèi)線的電話平均每分鐘1次. 假設(shè)與外線通話的時間為平均3分鐘, 并且上述時間均服從負(fù)指數(shù)分布,如果要求電話的通話率為95%, 問該交換臺應(yīng)設(shè)置多少條外線？解 (1) 電話交換臺的服務(wù)分成兩類,第一類內(nèi)線打外線, 其強度為:第二類是外線打內(nèi)線，其強度為2=1*60=60.因此，總強度為=1+2=140+60=200.第27頁，共47頁，2022年，5月20日

20、，14點59分，星期三(2) 這是損失制服務(wù)系統(tǒng), 按題目要求, 系統(tǒng)損失的概率不能超過5%, 即(3) 外線是整數(shù)，在滿足條件下，條數(shù)越少越好。由上述三條，寫出相應(yīng)的LINGO程序，程序名：exam1007a.lg4. 例10.7經(jīng)計算得到, 即需要15條外線, 在此條件下, 交換臺的顧客損失率為3.65%, 有96.35%的電話得到了服務(wù), 通話率為平均每小時185.67次, 交換臺每條外線的服務(wù)效率為64.23%.第28頁，共47頁，2022年，5月20日，14點59分，星期三在前面談過，盡量選用簡單的模型讓LINGO軟件求解，而上述程序是解非線性整數(shù)規(guī)劃(盡管是一維的), 但計算時間可

21、能會較長, 因此, 我們選用下面的處理法, 分兩步處理.第一步, 求出概率為5%的服務(wù)臺的個數(shù), 盡管要求服務(wù)臺是整數(shù), 但pel()可以給出實數(shù)解.寫出LINGO程序, 程序名：exam1007b1.lg4. 例10.7第二步, 注意到pel(load, S)是S的單調(diào)遞減函數(shù), 因此, 對S取整(采用只入不舍原則)就是滿足條件的最小服務(wù)臺數(shù), 然后再計算出其他的參數(shù)指標(biāo)。寫出LINGO程序, 程序名：exam1007b2.lg4.比較兩種方法的計算結(jié)果，其答案是相同的，但第二種方法比第一種方法在計算時間上要少許多.第29頁，共47頁，2022年，5月20日，14點59分，星期三 10. 4

22、 混合制排隊模型混合制排隊模型通常記為即有S個服務(wù)臺或服務(wù)員,系統(tǒng)空間容量為K, 當(dāng)K個位置已被顧客占用時, 新到的顧客自動離去,當(dāng)系統(tǒng)中有空位置時, 新到的顧客進(jìn)入系統(tǒng)排隊等待。對于混合制排隊模型,LINGO軟件并沒有提供特殊的計算函數(shù),因此需要混合制排隊模型的基本公式進(jìn)行算, 為此, 先給出其基本公式.第30頁，共47頁，2022年，5月20日，14點59分，星期三設(shè)pi(i=1,2, , K)是系統(tǒng)有i個顧客的概率, p0表示系統(tǒng)空閑時的概率, 因此有:設(shè)i(i=1,2, K)為系統(tǒng)在i時刻的輸入強度,i (i=1,2 , K) 為系統(tǒng)在i時刻的服務(wù)強度, 在平衡過下,可得到平衡方程 1

23、. 混合制排隊模型的基本公式第31頁，共47頁，2022年，5月20日，14點59分，星期三對于混合制排隊模型M/M/S/K, 有 1. 混合制排隊模型的基本公式第32頁，共47頁，2022年，5月20日，14點59分，星期三對于混合制排隊模型，人們關(guān)心如下參數(shù)：(1) 系統(tǒng)的損失概率 2. 混合制排隊模型的基本參數(shù)(2) 系統(tǒng)的相對通過能力Q和單位時間平均進(jìn)入系統(tǒng)的顧客數(shù)e(3)平均隊長Ls和平均等待隊長Lq第33頁，共47頁，2022年，5月20日，14點59分，星期三(4) 顧客在系統(tǒng)內(nèi)平均逗留時間Ws 和平均排隊等待時間Wq , 這兩個時間可由Little公式得到注意:上面兩公式中，是

24、除e而不是, 其理由與損失制系統(tǒng)相同. 2. 混合制排隊模型的基本參數(shù)第34頁，共47頁，2022年，5月20日，14點59分，星期三 S=1 的情況(M/M/1/K)例10.8 某理發(fā)店只有1名理發(fā)員, 因場所有限, 店里最多可容納4名顧客, 假設(shè)來理發(fā)的顧客按Poisson過程到達(dá), 平均到達(dá)率為每小時6人, 理發(fā)時間服從負(fù)指數(shù)分布, 平均12分鐘可為1名顧客理發(fā), 求該系統(tǒng)的各項參數(shù)指標(biāo).解 按照上面分析, 其參數(shù)S=1,K=4,R=6,T=1/=12/60,再計算相應(yīng)的損失概率pK 及各項參數(shù)指標(biāo), 編寫出LINGO程序，程序名:exam1008.lg4，結(jié)果見運行即理發(fā)店的空閑率為1

25、3.4%, 顧客的損失率為27.9%, 每小時進(jìn)入理發(fā)店的平均顧客數(shù)為4.328人,理發(fā)店內(nèi)的平均顧客數(shù)(隊長)為2.359人,顧客在理發(fā)店的平均逗留時間是0.545小時(32.7分鐘), 理發(fā)店里等待理發(fā)的平均顧客數(shù)(等待隊長)為1.494人,顧客在理發(fā)店的平均等待時間為0.345小時(20.7分) 3. 混合制排隊模型的計算實例第35頁，共47頁，2022年，5月20日，14點59分，星期三 S1的情況(M/M/S/K)例10.9 某工廠的機器維修中心有9名維修工,因為場地限制,中心內(nèi)最多可以容納12臺需要維修的設(shè)備,假設(shè)待修的設(shè)備按Poisson過程到達(dá),平均每天4臺,維修設(shè)備服從負(fù)指數(shù)

26、分布,每臺設(shè)備平均需要2天時間, 求該系統(tǒng)的各項參數(shù)指標(biāo).解 其參數(shù)S=9,K=12,R=4,T=1/=2,再計算相應(yīng)的損失概率pK 及各項參數(shù)指標(biāo),編寫出LINGO程序，程序名:exam1009.lg4，結(jié)果見運行經(jīng)計算得到：維修中心的空閑率p0=0.033%$,設(shè)備的損失率Plost=8.61%, 每天進(jìn)入維修中心需要維修的設(shè)備e=3.66臺,維修中心內(nèi)的平均維修的設(shè)備(隊長) Ls=7.87臺,待修設(shè)備在維修中心的平均逗留時間Ws= 2.15天,維修中心內(nèi)等平均待維修的設(shè)備(等待隊長)Lq=0.561天, 待修設(shè)備在維修中心的平均等待時間Wq=0.153天.第36頁，共47頁，2022年

27、，5月20日，14點59分，星期三 10. 5 閉合式排隊模型設(shè)系統(tǒng)內(nèi)有M個服務(wù)臺(或服務(wù)員),顧客到達(dá)系統(tǒng)的間隔時間和服務(wù)臺的服務(wù)時間均為負(fù)指數(shù)分布, 而系統(tǒng)的容量和潛在的顧客數(shù)都為K,又顧客到達(dá)率為, 服務(wù)臺的平均服務(wù)率為,這樣的系統(tǒng)稱為閉合式排隊模型,記為第37頁，共47頁，2022年，5月20日，14點59分，星期三對于閉合式排隊模型，我們關(guān)心的參數(shù)：(1) 平均隊長 1. 閉合式排隊模型的基本參數(shù)其中l(wèi)oad是系統(tǒng)的負(fù)荷,其計算公式為即 系統(tǒng)的負(fù)荷=系統(tǒng)的顧客數(shù) X 顧客的到達(dá)率 X 顧客的服務(wù)時間(2) 單位時間平均進(jìn)入系統(tǒng)的顧客數(shù)e或Re.第38頁，共47頁，2022年，5月20

28、日，14點59分，星期三(3)顧客處于正常情況的概率(5)每個服務(wù)臺(服務(wù)員)的工作強度(4)平均逗留時間Ws、平均等待隊長L q和 平均排隊等待時間Wq ,這三個值可由Little公式得到第39頁，共47頁，2022年，5月20日，14點59分，星期三 S=1 的情況(M/M/1/K/K)例10.10 設(shè)有1名工人負(fù)責(zé)照管6臺自動機床.當(dāng)機床需要加料、發(fā)生故障或刀具磨損時就自動停車, 等待工人照管. 設(shè)平均每臺機床兩次停車的時間間隔為1小時, 停車時需要工人照管的平均時間是6分鐘, 并均服從負(fù)指數(shù)分布, 求該系統(tǒng)的各項指標(biāo).解 這是一個閉合式排隊模型M/M/1/6/6, 其參數(shù)為S=1,K=

29、6,R=1,T=1/=6/60,計算出平均隊長,再計算出其他各項指標(biāo),寫出LINGO程序,程序名:exam1010.lg4,結(jié)果見運行.機床的平均隊長為0.845臺,平均等待隊長為0.330臺, 機床的平均逗留時間為0.164小時(9.84分鐘),平均等待時間為0.064小時(3.84分鐘),機床的正常工作概率為85.91%,工人的勞動強度為0.515.第40頁，共47頁，2022年，5月20日，14點59分，星期三 S1 的情況例10.11 (繼例10.10) 將例中的條件改為由3名工人聯(lián)合看管20臺自動機床, 其他條件不變, 求該系統(tǒng)的各項指標(biāo)。解 這是M/M/3/20/20閉合式排隊模型

30、, 其參數(shù)為S=3,K=20,其余不變,寫出LINGO程序,程序名:exam1011.lg4,結(jié)果見運行. 2. 閉合式排隊模型的計算實例第41頁，共47頁，2022年，5月20日，14點59分，星期三從上表可以看出,在第二種情況下,盡管每個工人看管的機器數(shù)增加了,但機器逗留時間和等待維修時間卻縮短了,機器的正常運轉(zhuǎn)率和工人的勞動強度都提高了。 例10.10和例10.11的計算結(jié)果比較第42頁，共47頁，2022年，5月20日，14點59分，星期三 10. 6 排隊系統(tǒng)的最優(yōu)化模型排隊系統(tǒng)中的優(yōu)化模型，一般可分為系統(tǒng)設(shè)計的優(yōu)化和系統(tǒng)控制的優(yōu)化。前者為靜態(tài)優(yōu)化，即在服務(wù)系統(tǒng)設(shè)置以前根據(jù)一定的質(zhì)量指標(biāo)，找出參數(shù)的最優(yōu)值，從而使系統(tǒng)最為經(jīng)濟(jì)。后者稱動態(tài)