2021年溫州中學(xué)自主招生選拔考試數(shù)學(xué)試卷(答案)

1、 10/102021年溫州中學(xué)自主招生選拔考試數(shù)學(xué)試卷(答案) 2017年溫州中學(xué)三位一體提前招生選拔考試 數(shù)學(xué)試卷 考生須知： 1全卷分試題卷和答題卷。試題卷共6頁(yè)，有3大題，19個(gè)小題。滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘。 2請(qǐng)將學(xué)校、班級(jí)、姓名、座位號(hào)分別填寫(xiě)在試題卷和答題卷的規(guī)定位置上。 3答題時(shí)，將試題卷答案用黑色字跡鋼筆或簽字筆書(shū)寫(xiě)，答案必須按照題號(hào)順序在答題卷 各題目規(guī)定區(qū)域內(nèi)作答，做在試題卷上或超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效。 一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的請(qǐng)將你認(rèn)為正確的答案填在答題卷的相應(yīng)位置） 1. 已知

2、p 、q 是有理數(shù)，x 2 15滿足x 3 px q 0，則p q 的值等于（ ） A 、1 B 、1 C 、3 D 、3 2.如圖，無(wú)蓋無(wú)底的正方體紙盒ABCD EFGH -，P ，Q 分別為棱FB ，GC 上的點(diǎn)， 1 2,2 FP PB GQ QC =，若將這個(gè)正方體紙盒沿折線AP PQ QH -裁剪并展開(kāi)，得 到的平面 圖形是（ ） A 一個(gè)六邊形 B 一個(gè)平行四邊形 C 兩個(gè)直角三角形 D 一個(gè)直角三角形和一個(gè)直角梯形 H G 解：依題意可知， BP= BF= DH， CQ=CG= DH， 又PBCQDH， APBAQCAHD， A、P、Q、H四點(diǎn)共線，平面展開(kāi)圖形為平行四邊形（如圖

3、） 故選B 3. 使得 是完全平方數(shù)的正整數(shù) 有 （ ） A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè) 解 當(dāng)4n 時(shí)，易知381n +不是完全平方數(shù).故設(shè)4n k =+，其中k 為正整數(shù)，則 38181(31)n k +=+. 因?yàn)?81n +是完全平方數(shù)，而81是平方數(shù)，則一定存在正整數(shù)x ，使得2 31k x +=，即 231(1)(1)k x x x =-=+-，故1,1x x +-都是3的方冪. 又兩個(gè)數(shù)1,1x x +-相差2，所以只可能是3和1，從而2,1x k =. 因此，存在唯一的正整數(shù)45n k =+=，使得381n +為完全平方數(shù).故選（B ）. 381n +n 4.如

4、圖，四邊形ABCD中，AC，BD是對(duì)角線，ABC是等邊三角形，AD = 3，BD = 5，則CD的長(zhǎng)為（） （A）（B） 4 （C） （D）4.5 解：如圖，以CD為邊作等邊CDE，連接AE. （第4題） 由于AC = BC，CD = CE， BCD=BCA+ACD=DCE+ACD =ACE，所以BCDACE，BD = AE. 又因?yàn)?，所?. 在Rt中，于是DE=，所以CD = DE = 4. 5.在平面直角坐標(biāo)系中，滿足不等式x2y22x2y的整數(shù)點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）的個(gè)數(shù)為（） （A）10 （B）9 （C）7 （D）5 解：由題設(shè)x2y22x2y，得02. 因?yàn)榫鶠檎麛?shù)，所以有 解得 以上共

5、計(jì)9對(duì). 6. 設(shè)三位數(shù)abc n =，若以c b a ,為三條邊的長(zhǎng)可以構(gòu)成一個(gè)等腰（含等邊）三角形，則這樣的三位數(shù)有（ ） A 、45個(gè) B 、81個(gè) C 、165個(gè) D 、216個(gè) 7. 在ABC 中，c b a ,是三角形的三邊，且 211 a b c =+，則A （ ） A.一定是直角 B.一定是銳角 C.一定是鈍角 D.銳角、直角、鈍角都有可能 8. 已知二次函數(shù)2 (1)y x =+，若存在實(shí)數(shù)t ，當(dāng)1x m 時(shí)，2 (1)y x t =+的圖象總在直線y x =下方，則實(shí)數(shù)m 的最大值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 提示:由圖象右移知,當(dāng)3t =-時(shí),即右移3個(gè)單位

6、時(shí),m 可取到最大值4.故選D. 二、填空題（本大題共6小題，每小題6分，共36分請(qǐng)將答案填在答題卷的相應(yīng)位置） 9. 由方程|1|1|1x y -+-=確定的折線所圍成的圖形的面積是 . 10.有兩枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，每枚骰子六個(gè)面上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6同時(shí)擲這兩枚骰子，把這兩枚骰子朝上的面的數(shù)字分別記為m 、n ，當(dāng)x 取全體實(shí)數(shù)，代數(shù)式2x mx n +的值恒為正的概率為 11. 已知n 多邊形123(4)n A A A A n L 的所有內(nèi)角都是15?的整數(shù)倍，且 123285A A A +=?，其余的內(nèi)角都相等，那么n 等于_ 提示:7(2)18028515(3)(

7、3)1243,123 n k n n k n k n -?=+-?-=-=- - 37,3 1.10,4n n n n -=-=(舍). 12. 直線1y kx b =+經(jīng)過(guò)點(diǎn)P （3，4）且與直線23y x =和3y x =分別交于A ，B 兩點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)AOB 的面積取得最小值時(shí)，k+b=_ 13. 如圖，四邊形ABCD 內(nèi)接于O ，AB 是直徑，AD = DC . 分別延長(zhǎng)BA ，CD ，交點(diǎn)為E . 作BF EC ，并與EC 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F . 若AE = AO ，BC = 6，則CF 的長(zhǎng)為 . 解：如圖，連接AC ，BD ，OD . 第13題圖 第14題圖 （第13題）

8、 由AB是O的直徑知BCA =BDA = 90. 依題設(shè)BFC = 90，四邊形ABCD是O 的內(nèi)接四邊形， 所以BCF =BAD, 所以RtBCFRtBAD，因此. 因?yàn)镺D是O的半徑，AD = CD，所以O(shè)D垂直平分AC，ODBC， 于是. 因此. 由 ，知 因?yàn)椋?所以，BA=AD， 故 . 14. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A 的坐標(biāo)為(，點(diǎn)B 是x 軸上的一動(dòng)點(diǎn)，以AB 為邊作等邊ABC ，當(dāng)C (x ,y )在第一象限時(shí)，y 與x 的函數(shù)關(guān)系是_. 2(0)y x =+ 解析：作A 關(guān)于x 軸的對(duì)稱點(diǎn)A (1)-， 由BC =BA =BA 知A 、A 、C 在點(diǎn)B 為圓心的圓上， 再由

9、圓心角與圓周角的關(guān)系知:AA C =1 2 ABC =30o， 2(0) y x =+. 2017年溫州中學(xué)三位一體提前招生選拔考試數(shù)學(xué) 答題卷 一、 選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分） 二、填空題（本大題共6小題，每小題6分，共36分） 9 ； 10 ； 11 ； 12 ； 13 ； 14 ； 三、解答題：（本大題共5小題，15、16題12分， 17、18題各15分，19題20分，共74分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟） 15、當(dāng)a 取什么整數(shù)時(shí)，方程0) 2(222=-+-+-x x a x x x x x 只有一個(gè)實(shí)根，并求此實(shí)根。 16、若滿足不等式2 )1(2)

10、1(2 2- +-a a x 的x 值也滿足不等式 0)13(2)1(32+-a x a x ，求a 的取值范圍。 17、在一個(gè)m n ?（m 行，n 列，1m ）的表格的每個(gè)方格內(nèi)填上適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，使得： （1）每一列所填的數(shù)都是1，2，3，m 的一個(gè)排列；（即在每一列中，1，2，3，m 這m 個(gè)數(shù)出現(xiàn)且僅出現(xiàn)1次） （2）每一行n 個(gè)的數(shù)和都是34。當(dāng)上述的填數(shù)方式存在時(shí)，求()m n ，的所有可能取值。 18、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x22mxm2m的頂點(diǎn)為C.直線y=x2與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線的對(duì)稱軸左側(cè).拋物線的對(duì)稱軸與直線AB交于點(diǎn)M. （1）求線段MB的

11、長(zhǎng)； （2）作點(diǎn)B 關(guān)于直線MC的對(duì)稱點(diǎn)B. 以M為圓心，MC為半徑的圓上存在一點(diǎn)Q，使 得QB 2 2QB的值最小，求這個(gè)最小值。 M B B A x y C O Q 第18題圖 19、如圖，H 為ABC 的垂心，圓O 為ABC 的外接圓。點(diǎn)E 、F 為以C 為圓 心、CH 長(zhǎng)為半徑的圓與圓O 的交點(diǎn)，D 為線段EF 的垂直平分線與圓O 的交點(diǎn)。求證：（1）AC 垂直平分線段HE ； （2）四邊形ADBE 是等腰梯形。 F D E H O B C A （第19題圖） 參考答案 一、選擇題（本大題共8題，每小題5分，共40分）： 1. A 2. B 3.B. 4. B 5.B 6. C 7.

12、B 8. D 二、填空題（本大題共6題，每題6分，共36分） 9.2 10. 17 36 11. 10 12.3 13. 14.2(0)y x =+ 三、解答題： 15、解：原方程化為0) 2(4222=-+-x x a x x （1）若0422,202 =+-a x x x x 則且 原分式方程恰有一個(gè)實(shí)根，=0，即=,0828)4(24)2(2 =-=+?-a a 則2 7- =a 于是2 1 21= =x x 但a 取整數(shù)，則舍去 （2）若方程04222 =+-a x x ，有一個(gè)根為x=0，則a=-4 這時(shí)原方程為 0) 2(4222=-+-+-x x x x x x x ，去分母得0

13、222=-x x ，解得x=0，x=1 顯然x=0是增根，x=1是原分式方程的根 （3）若方程04222=+-a x x ，有一個(gè)根為x=2，則a=-8 這時(shí)，原方程為 0) 2(8 222=-+-+-x x x x x x x ，去分母，得04222=-x x 解得x=2，x=-1 顯然x=2是增根，x=-1是原分式方程的根 經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)a=-4時(shí)，原方程恰有一個(gè)實(shí)根x=1；當(dāng)a=-8時(shí)，原方程恰有一個(gè)實(shí)根x=-1 16、若滿足不等式2)1(2)1(2 2- +-a a x 的x 值也滿足不等式 0)13(2)1(32+-a x a x ，求a 的取值范圍 解：2 )1(2)1(2 2- +-a

14、 a x 等價(jià)于2)1(2)1(2)1(222-+-a a x a ， 解得122+a x a 0)13(2)1(32+-a x a x ，可化為0)13()2(+-a x x 觀察132)13(-=-+a a （1）當(dāng)3 1 a 時(shí)，3a+12解得2x 3a+1 則由題意可得? ?+1 13222 a a a 解得13a 綜上所述a 的取值范圍是131-=a a 或 17、解：依題意，每列m 個(gè)數(shù)的和為(1) 1232 m m m += L ，共n 列。又每行m 個(gè)數(shù)的和為34。 所以，(1) 342 m m n m +?=，2(1)68217m n +=?。 又1m 。所以，()(671)

15、m n =，(332)，(164)，(317)，。 當(dāng)()(671)m n =，時(shí)，每一行1個(gè)數(shù)的和互不相同，與（2）矛盾，即符合條件的填數(shù)方式不存在。舍去。 記i j a 為第i 行，第j 列所填寫(xiě)的數(shù)。 當(dāng)()(332)m n =，時(shí)，令1i a i =，234i a i =-。 即當(dāng)?shù)?列自上而下各行所填的數(shù)依次為1，2，3，33；第2列自上而下各行所填的數(shù)依次為33，32，31，1時(shí)，符合要求。 當(dāng)()(164)m n =，時(shí)，令1i a i =，217i a i =-，3i a i =，417i a i =-。 即當(dāng)?shù)?列自上而下各行所填的數(shù)依次為1，2，3，16；第2列自上而下各行

16、所填的數(shù)依次為16，15，14，1；第3列同第1列；第4列同第2列時(shí)，符合要求。 當(dāng)()(317)m n =，時(shí)， 填寫(xiě)方式如下： 符合要求。 所以，符合題意的填數(shù)方式存在時(shí)，()m n ，的所有可能取值有3種，分別為： ()(332)m n =，(164)，(317)，。 18、在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，拋物線y =x 22mx m 2m 的頂點(diǎn)為C .直線y =x 2與拋物線交于A 、B 兩點(diǎn)，點(diǎn)A 在拋物線的對(duì)稱軸左側(cè).拋物線的對(duì)稱軸與直線AB 交于點(diǎn)M . （1）求線段MB 的長(zhǎng) （2）作點(diǎn)B 關(guān)于直線MC 的對(duì)稱點(diǎn)B . 以M 為 圓心，MC 為半徑的圓上存在一點(diǎn)Q ，使 得QB

17、2 2 QB 的值最小，求這個(gè)最小值. M B B y Q 解：(1)、y =x 2-2mx +m 2+m =（x -m ）2 +m ， 頂點(diǎn)坐標(biāo)為C （m ，m ）,點(diǎn)M 坐標(biāo)為（m ，m +2） y =x 2-2mx +m 2+m 由 y =x +2 x 1=m -1 x 2=m +2 y 1=m +1 y 2=m +4 點(diǎn)A 在點(diǎn)B 的左側(cè)， B （m +2，m +4），則B （m -2，m +4），BM =2 2 (2)、由M 點(diǎn)坐標(biāo)（m ，m +2），C 點(diǎn)坐標(biāo)（m ，m ） 可知以MC 為半徑的圓的半徑為 （m +2）-m =2 取MB 的中點(diǎn)N ，點(diǎn)N 的坐標(biāo)為（m +1，m +

18、3），連接QB 、QN 、QB ， 則MN =12 BM = 2 ，MN MQ = MQ MB ，QMN =BMQ ，MNQ MQB ， QN QB = MN QM = 22，QN = 22QB ，即QB + 2 2QB = QB +QN 當(dāng)Q 、N 、B 三點(diǎn)共線時(shí)QB +QN 最小，(QB +QN )min =B N =10 即QB +2 2QB 的最小值為10 19、如圖，H 為ABC 的垂心，圓O 為ABC 的外接圓。點(diǎn)E 、F 為以C 為圓心、CH 長(zhǎng)為半徑的圓與圓O 的交點(diǎn)，D 為線段EF 的垂直平分線與圓O 的交點(diǎn)。求證：（1）AC 垂直平分線段HE ； （2）四邊形ADBE 是

19、等腰梯形 證明：方法一： 如圖，連結(jié)AH ，AE ，EC 。 由H 為ABC 的垂心知，180AHC ABC +=?。 由A 、B 、C 、E 四點(diǎn)共圓，得180AEC ABC +=?。 AEC AHC =。 又CH CE =，CEH CHE =， AEH AHE =，AE AH =。 AC 垂直平分線段HE 。 方法二： 作點(diǎn)H 關(guān)于直線AC 的對(duì)稱點(diǎn)G 。連結(jié)AH ，AG ，GC 。D (G ) H O A E F D E H O B C A F D E H O B C A （第19題） 則CG CH =，點(diǎn)G 在以C 為圓心、CH 長(zhǎng)為半徑的圓上。 又AGC AHC =，H 為ABC 的垂心， 180AGC AHC ABC =?-，A 、G 、C 、B 四點(diǎn)共圓。因此，點(diǎn)G 也在圓O 上。 E 、G 兩點(diǎn)重合。 因此，E 、H 關(guān)于直線AC 對(duì)稱，即AC 垂直平分線段HE 。 （2） 連結(jié)CF ，BH 。依題意有CE CH CF =。結(jié)合D 為線段EF 的垂直平分線與圓O 的交點(diǎn)，知CD 為圓O 的直徑。 DA AC 。 又由（1），以及H 為ABC 的垂心知，HE AC ，BH AC 。因此，B 、H 、E 三點(diǎn)共線。 BE AC 。 9090DCE CDE CBE ACB =?-=?-=。 ?DAE ADB =。 AD/BE