2021年高考試題數(shù)學(xué)理(新課標(biāo)1卷) 解析版

1、 9/92021年高考試題數(shù)學(xué)理(新課標(biāo)1卷) 解析版 絕密啟封并使用完畢前 試題類型：A 2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新課標(biāo)1卷） 數(shù)學(xué)理 注意事項： 1.本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分。第卷1至3頁，第卷3至5頁。 2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在本試題相應(yīng)的位置。 3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效。 4.考試結(jié)束后，將本試題和答題卡一并交回。 第卷 一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 （1）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足1+z 1z - =i，則|z|= （A）1 （B）2（C）3（D）2

2、【答案】A 考點：1.復(fù)數(shù)的運算；2.復(fù)數(shù)的模. （2）sin20cos10-con160sin10= （A） 3 2 -（B） 3 2 （C） 1 2 -（D） 1 2 【答案】D 【解析】 試題分析：原式=sin20cos10+cos20sin10=sin30=1 2 ，故選D. 考點：誘導(dǎo)公式；兩角和與差的正余弦公式 （3）設(shè)命題P：?nN，2n2n，則?P為 （A）?nN, 2n2n（B）?nN, 2n2n （C ）?n N, 2n 2n （D ）? n N, 2n =2n 【答案】C 【解析】 試題分析：p ?:2,2n n N n ?，故選C. 考點：特稱命題的否定 （4）投籃測試

3、中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試。已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學(xué)通過測試的概率為 （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 【答案】A 【解析】 試題分析：根據(jù)獨立重復(fù)試驗公式得，該同學(xué)通過測試的概率為2 2330.60.40.6C ?+=0.648，故選A. 考點：獨立重復(fù)試驗；互斥事件和概率公式 （5）已知M （x 0，y 0）是雙曲線C ：2212 x y -=上的一點，F(xiàn) 1、F 2是C 上的兩個焦點，若1MF ?2 MF 0，則y 0的取值范圍是 （A ）（- 33，3 3 ） （B ）（- 36

4、，3 6 ） （C ）（223- ，22 3 ） （D ）（233-，233） 【答案】A 考點：向量數(shù)量積；雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 （6）九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi) 角，下周八尺，高五尺。問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有（ ） A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 【答案】B 考點：圓錐的體積公式 （7）設(shè)D 為ABC

5、所在平面內(nèi)一點3BC CD =，則（ ） （A ）1433AD AB AC =-+ (B)14 33 AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D)41 33 AD AB AC =- 【答案】A 【解析】 試題分析：由題知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-=14 33 AB AC -+，故選A. 考點：平面向量運算 (8) 函數(shù)()f x =cos()x ?+的部分圖像如圖所示，則()f x 的單調(diào)遞減區(qū)間為 (A)（ ）,k (b)（ ）,k (C)（）,k (D)（）,k 【答案】D 【解析】 試題分析：由五點作圖知，1 +4

6、2 53+42 ? ?=?=?，解得=，=4?，所以()cos()4f x x =+，令 22,4 k x k k Z -時，()g x 0，所以當(dāng)1 2 x =-時， max ()g x =12 -2e - ， 當(dāng)0 x =時，(0)g =-1，(1)30g e =，直線y ax a =-恒過（1,0）斜率且a ，故(0)1a g -=-，且1(1)3g e a a -=-，解得 3 2e a 1，故選D. 考點：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 第II 卷 本卷包括必考題和選考題兩部分。第（13）題第（21）題為必考題，每個試題考生都必須作答。第（22）題第（24）題未選考題，考生根據(jù)要求作答。 二、填空題

7、：本大題共3小題，每小題5分 （13）若函數(shù)f (x )=x ln （x +2a x +）為偶函數(shù)，則a = 【答案】1 考點：函數(shù)的奇偶性 （14）一個圓經(jīng)過橢圓22 1164x y + =的三個頂點，且圓心在x 軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。 【答案】22325 ()24 x y += 【解析】 試題分析：設(shè)圓心為（a ，0），則半徑為4|a -，則222(4|)|2a a -=+，解得3 2 a =，故圓的 方程為22325 ()24 x y +=.學(xué)優(yōu)高考網(wǎng)來源:學(xué)優(yōu)高考網(wǎng) 考點：橢圓的幾何性質(zhì)；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 （15）若x ,y 滿足約束條件10 040 x x y x y -? -?+

8、-? ，則y x 的最大值為 . 【答案】3 【解析】 試題分析：作出可行域如圖中陰影部分所示，由斜率的意義知，y x 是可行域內(nèi)一點與原點連線 的斜率，由圖可知，點A （1,3）與原點連線的斜率最大，故y x 的最大值為 3. 考點：線性規(guī)劃解法 （16）在平面四邊形ABCD 中，A=B=C=75，BC=2，則AB 的取值范圍是 【答案】（62-，6+2） 【解析】 試題分析：如圖所示，延長BA ，CD 交于E ，平移AD ，當(dāng)A 與D 重合與E 點時，AB 最長，在BCE 中，B=C=75，E=30，BC=2，由正弦定理可得 sin sin BC BE E C =，即 o o 2sin 3

9、0sin 75BE =，解得BE =6+2，平移AD ，當(dāng)D 與C 重合時，AB 最短，此時與AB 交 于F ，在BCF 中，B=BFC=75，F(xiàn)CB=30，由正弦定理知，sin sin BF BC FCB BFC =， 即o o 2 sin 30sin 75BF =，解得BF=62-，所以AB 的取值范圍為（62-，6+2）. 考點：正余弦定理；數(shù)形結(jié)合思想 三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。 （17）（本小題滿分12分） n S 為數(shù)列n a 的前n 項和.已知n a 0，2n n a a +=43n S +. （）求n a 的通項公式： （）設(shè) ,求數(shù)列的前n 項和 【

10、答案】（）21n +（）11 646n -+ 【解析】 試題分析：（）先用數(shù)列第n 項與前n 項和的關(guān)系求出數(shù)列n a 的遞推公式，可以判斷數(shù)列n a 是等差 數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式即可寫出數(shù)列n a 的通項公式；（）根據(jù)（）數(shù)列n b 的通項公式，再用拆項消去法求其前n 項和. 學(xué)優(yōu)高考網(wǎng) 試題解析：（）當(dāng)1n =時，211112434+3a a S a +=+=，因為0n a ，所以1a =3， 當(dāng)2n 時，2211n n n n a a a a -+-=14343n n S S -+-=4n a ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a +-=+，因

11、為0n a ，所以1n n a a -=2， 所以數(shù)列n a 是首項為3，公差為2的等差數(shù)列， 所以n a =21n +； （）由（）知，n b = 1111 ()(21)(23)22123 n n n n =-+， 所以數(shù)列n b 前n 項和為12n b b b + +=1111111()()( )23557 2123n n -+-+ +-+ =11 646 n -+. 考點：數(shù)列前n 項和與第n 項的關(guān)系；等差數(shù)列定義與通項公式；拆項消去法 （18）如圖，四邊形ABCD為菱形，ABC=120，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE=2DF，AEEC。來源

12、:學(xué)優(yōu)高考網(wǎng) （1）證明：平面AEC平面AFC （2）求直線AE與直線CF所成角的余弦值 來源:學(xué)優(yōu)高考網(wǎng) 【答案】（）見解析（） 3 3 222EG FG EF +=，EGFG， AC FG=G ，EG 平面AFC ， EG ?面AEC ，平面AFC平面AEC. 6分 （）如圖，以G 為坐標(biāo)原點，分別以,GB GC 的方向為x 軸，y 軸正方向，|GB 為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz ，由（）可得A （0，3，0），E(1,0, 2)，F(xiàn) （1,0， 22 ），C （0，3，0），AE =（1，3，2），CF =（-1，-3， 2 2 ）.10分 故3 cos ,3| AE CF

13、AE CF AE CF ?= =-. 所以直線AE 與CF 所成的角的余弦值為 3 3 . 12分 考點：空間垂直判定與性質(zhì)；異面直線所成角的計算；空間想象能力，推理論證能力 （19）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x （單位：千元）對年銷售量y （單位： t ）和年利潤z （單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費x1和年銷售量y1（i=1,2，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值。 x y w 2 1 () n i i x x =- 2 1 () n i i w w =- 1()()n i i i x x y y =- 1 ()()n i i i w

14、 w y y =- 46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中w 1 =x 1, ，w = 18 1 n i i w = （）根據(jù)散點圖判斷，y=a +bx 與y =c +d x 哪一個適宜作為年銷售量y 關(guān)于年宣傳費x 的回歸方程類型？ （給出判斷即可，不必說明理由） （）根據(jù)（）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y 關(guān)于x 的回歸方程； （）已知這種產(chǎn)品的年利率z 與x 、y 的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)（）的結(jié)果回答下列問題： （i ） 年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？ （ii ） 年宣傳費x 為何值時，年利率的預(yù)報值最大？ 附：對于一組數(shù)據(jù)

15、11(,)u v ,22(,)u v ，(,)n n u v ,其回歸線v u =+的斜率和截距的最小二乘估計分別為： 1 2 1 ()() = () n i i i n i i u u v v u u =，=v u - 【答案】（）y c d x =+適合作為年銷售y 關(guān)于年宣傳費用x 的回歸方程類型（） 100.668y x =+（）46.24 y 關(guān)于x 的回歸方程為100.668y x =+.6分 考點：非線性擬合；線性回歸方程求法；利用回歸方程進行預(yù)報預(yù)測；應(yīng)用意識 （20）（本小題滿分12分） 在直角坐標(biāo)系xoy 中，曲線C ：y =2 4 x 與直線y kx a =+(a 0)交

16、與M ,N 兩點， （）當(dāng)k =0時，分別求C 在點M 和N 處的切線方程； （）y 軸上是否存在點P ，使得當(dāng)k 變動時，總有OPM =OPN ？說明理由。 【答案】（）0ax y a -=或0ax y a +=（）存在 【解析】 試題分析：（）先求出M ,N 的坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)求出M ,N .（）先作出判定，再利用設(shè)而不求思想即將y kx a =+代入曲線C 的方程整理成關(guān)于x 的一元二次方程，設(shè)出M ,N 的坐標(biāo)和P 點坐標(biāo)，利用設(shè)而不求思想，將直線PM ，PN 的斜率之和用a 表示出來，利用直線PM ，PN 的斜率為0,即可求出,a b 關(guān)系，從而找出適合條件的P 點坐標(biāo). 試題解析：

17、（）由題設(shè)可得(2,)M a a ，(22,)N a -，或(22,)M a -，(2,)N a a . 12y x =，故24 x y =在x =22a 處的到數(shù)值為a ，C 在(22,)a a 處的切線方程為 (2)y a a x a -=-，即0ax y a -=. 故2 4 x y =在x =-22a 處的到數(shù)值為-a ，C 在(22,)a a -處的切線方程為 (2)y a a x a -=-+，即0ax y a +=. 故所求切線方程為0ax y a -=或0ax y a +=. 5分 （）存在符合題意的點，證明如下： 設(shè)P （0，b ）為復(fù)合題意得點，11(,)M x y ，22

18、(,)N x y ，直線PM ，PN 的斜率分別為12,k k . 將y kx a =+代入C 得方程整理得2440 x kx a -=. 12124,4x x k x x a +=-. 121212y b y b k k x x -+= + =121212 2()()kx x a b x x x x +-+=() k a b a +. 當(dāng)b a =-時，有12k k +=0，則直線PM 的傾斜角與直線PN 的傾斜角互補， 故OPM=OPN ，所以(0,)P a -符合題意. 12分 考點：拋物線的切線；直線與拋物線位置關(guān)系；探索新問題；運算求解能力 （21）（本小題滿分12分） 已知函數(shù)f （x ）=3 1 ,()ln 4 x ax g x x + =- ()當(dāng)a 為何值時，x 軸為曲線()y f x = 的切線； （）用min ,m n 表示m,n 中的最小值，設(shè)函數(shù) ()min (),()(0)h x f x g x x = ，討論h （x ）零 點的個數(shù) 【答案】（）34a =；（）當(dāng)34a -或54a =，所以只需考慮()f x 在（0,1）的零點個數(shù). ()若3a -或0a ，則2()3f x x a =+在（0,1）無零點，故()f x 在（0,1）單調(diào)，而1 (0)4 f = ，5 (1)4 f a