新教材人教A版高一數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)經(jīng)典例題 第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式

1、 A 【考要求】 序課標(biāo)號(hào)123考點(diǎn)等式與不 理式的性質(zhì)等式的性 解等式的概質(zhì) 握等式的性基本不等式 握本不等式結(jié)合具體實(shí)例能用基本等式解決簡單的最大值或最值 問題會(huì)結(jié)合一元二函數(shù)的圖，判斷一元二次方程實(shí)根的在 性及實(shí)根的個(gè)數(shù)了解函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系經(jīng)歷從實(shí)際情中抽象出元二次不等式的過程，了解元 二次不等式的現(xiàn)意義要求了解理解掌握掌握理解了解了解二次函數(shù)與一元二次方程、不等式能借助一元二函數(shù)求解元二次不等式，并能用集合示 一元二次不等式解集借助一元二次數(shù)的圖象了解一元二次不等式與相應(yīng) 數(shù)、方程的聯(lián)系掌握了解知識(shí)總結(jié)等式基本性性質(zhì)對(duì)稱性傳遞性可加性可乘性可除性 內(nèi)容第 1 頁，共 19 頁不等

2、的基本質(zhì)性質(zhì)對(duì)稱性傳遞性可加性可乘性 同向可加性 同向同正可乘性 正數(shù)乘方性內(nèi)容比較個(gè)實(shí)數(shù)大?。?數(shù)軸上任意兩點(diǎn)，右邊對(duì)應(yīng)的實(shí)比左邊點(diǎn)應(yīng)的實(shí)數(shù)大（2對(duì)于任意兩個(gè)實(shí) 和 ，作差較法一般驟（1作差：對(duì)要比較小的兩數(shù)（或式）作差（2變形：對(duì)差進(jìn)行形，方有因式分、配方、分、分母或分子有理化等 （3判斷差的符號(hào)：合變形結(jié)果及題條件判斷的符號(hào)（4作出結(jié)論不等的推廣（1幾個(gè)同向不等式兩邊分相加，所到的不等與原不等式同向，即若 ，則 .， ，（2幾個(gè)兩邊都是正的同向等式，將們的兩邊別相乘，所得到的不等式與不等式同，即若 ， ， ，則 .（3 .（4 .第 2 頁，共 19 頁（5 .（6 .考法破【知點(diǎn)一 等

3、的基性】例 1 對(duì)意實(shí)數(shù) ，給出下列命題“ ”“ ”要條；“是無理數(shù)”“ 是無理”充要條件“ ”“ ”充分條件；“ ”“ ”必要條件其中真命題序號(hào)是_答案變式練 1給出命題若 ，則 ；方程有兩個(gè)實(shí)根對(duì)于實(shí)數(shù) ，若 ，則 ；若 ，則 ；其中真命題_.答案第 3 頁，共 19 頁【知點(diǎn)二 不式的本質(zhì)】例 1 若 ，則（BCD變式練 1已知是實(shí)給出四個(gè)：若 ，則 ；若 ，且 ，則 ；若 ，則 ；若 ，則BCD其中正確的題的序號(hào)是(第 4 頁，共 19 頁)【知點(diǎn)三 比大小例 1 已 ， ，則 和 的大關(guān)系正確的（ ）BCD變式練 1設(shè) ， ， ，則有(BCD) 知識(shí)總結(jié)基本等式第 5 頁，共 19

4、頁如果 ,么 ，且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。叫做正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)的幾何平均數(shù)。幾何義如圖，是圓的直徑，點(diǎn) 是上一點(diǎn)， ，點(diǎn) 作直的弦 ，連接，則 ，顯然有，即在圓中半徑不小于半長3.基本不等常用形結(jié)基本不等式常用論等號(hào)成立條件與 同號(hào)，且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)時(shí)取等號(hào)時(shí)取等號(hào)時(shí)取等號(hào)時(shí)取等號(hào)最值理已知都是正數(shù)，則（1如果等于定值 ，么當(dāng)時(shí)，和有最小值 ，即兩正數(shù)的為定值時(shí)它們的和有最小值（積和最?。┑?6 頁，共 19 頁（2如果等于定值 ，那當(dāng)時(shí)，積有最大值 ，兩個(gè)正的和為定時(shí)，它們積有最大值（和積最大）（3取得最值條件簡的說就：一正，定，三相（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等

5、號(hào)）利用本不等求最需注意問題（1各(或)均為.（2和或積為定.（3判斷等號(hào)能否成,一正、二、三相等這三個(gè)條件缺一不.（4當(dāng)多次使用基本等式,一要注意每是否能保等號(hào)成,且要注意取等號(hào)的條的一致 性考法破【知點(diǎn)一 利基本等比較小】例 1 已 , ,且 ,則 , 中最小的是 BCD例 若 與的大系是第 7 頁，共 19 頁BCD例 已知 ， ， （）BCD【知點(diǎn)二 用本不式明不式】例 1 已知 ，求證： 變式練 1變式練 2已知已知都是，求 ，求 【知點(diǎn)三 積和最】例 1 若 ，則的最小值為）第 8 頁，共 19 頁BC4例 已知，則的最是（ ）BCD【知點(diǎn)四 和積最】例 1 函的最大值是）D.變式

6、練 1已知答案為正實(shí)數(shù)， ，求的最大值第 9 頁，共 19 頁【知點(diǎn)五 分常數(shù)例 1 若 ，則大值小值大值D.小值【知點(diǎn)六 “1”代換有（）例 1 已 ，則D.的最小值是( 變式練 1已知且 的最為（）第 10 頁，共 19 D.【知點(diǎn)七 分化簡例 1 函的最大值為 D.變式練 1已知答案.均為正實(shí)數(shù)且 ，則的最大值為_.【知點(diǎn)八 利基本等解決際應(yīng)用題】例 1 某船公司的艘輪船每小花費(fèi)的燃料與輪船航速度的平方正比，比例數(shù)為輪船的最速度為 海里/小時(shí)當(dāng)船速為 海里/小時(shí)時(shí)，它的燃料是每小時(shí)第 11 頁，共 19 元，其余航行運(yùn)作用不論速度如何)總計(jì)是每小時(shí) 勻速航行(1)求 的值；元假定運(yùn)過程中

7、輪船速度 海里小時(shí)(2)求該輪船航海里的總費(fèi) (燃料費(fèi)航行運(yùn)費(fèi)用)的最小值答案（） 值為 ，）該輪船航行變式練 1海里的總費(fèi) 的小值為 （元）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,當(dāng)年產(chǎn)量()間的關(guān)可近似地表成并求出該最成本.噸至噸之間時(shí)年生產(chǎn)總成本 萬元)年產(chǎn)量問年產(chǎn)量為多時(shí),每噸的平成本最低?答案。年產(chǎn)為噸時(shí),每噸的平成本最低最低為萬元 知識(shí)總結(jié)一元次不等第 12 頁，共 19 定義：我們把只有一個(gè)未數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù) 的不等式，為一元二不等.一般式：或 ，其中 ， ， 為常數(shù)， .解集：使一元二不等式成的 的值，叫這個(gè)一元次不等的解，其的集合稱為這個(gè)元二次 不等式的解集二次數(shù)與一二次程、不式一元二次

8、不等式解法：將不等式化成的形式，計(jì)算的值，方程有兩個(gè)不相等的數(shù)根，解 ，原不等式的解為或 ，方程，原不等式的解為有兩個(gè)相等的實(shí)根，解得， ，方程沒有實(shí)數(shù)根，原不等式的解集 .二次數(shù)與一二次程、不式的得對(duì)應(yīng)的圖象有兩個(gè)不相 有兩個(gè)相等沒有實(shí)數(shù)的根的實(shí)根的實(shí)數(shù)根根且或的解集的解集解不參數(shù)的元二不等式步驟（1通過對(duì)不等式的形，使等式右側(cè) ，二次系數(shù)為正（2對(duì)不等式左側(cè)因分解，不易分解則計(jì)算對(duì)方程的判別.（3求出相應(yīng)的一元次方程根或根據(jù)別式說明程有無實(shí)第 13 頁，共 19 （4根據(jù)一元二次方根的情畫出對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖象的草（5根據(jù)圖象寫出不式的解.記憶訣：設(shè)應(yīng)的二函數(shù)的象開口上，并 軸相交，有口訣大于

9、兩邊，于取 分式等式的法（1解分式不等式的路化為整式等.（2分式不等式的標(biāo)形式：或 ，化分式等式為標(biāo)形式的法，移項(xiàng)通分、右邊化為 ，邊化為的形式.（3分式不等式的同變含有數(shù)的一二次等式的論原（1不等式對(duì)應(yīng)的方有實(shí)根是兩根大由參數(shù)的圍決定，故按根的大小討論（2若二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)，對(duì)二次項(xiàng)數(shù)等于 與等于 討論，對(duì)于不為 情況再按大于 小于 討論.（3若不等式對(duì)應(yīng)的元二次程根的情不確定，對(duì)其判別式 進(jìn)討論.已知等式的集求數(shù)的解思路已知不等式的解求參數(shù)的題實(shí)質(zhì)是考查三個(gè)“二次”的關(guān)系，解題的般思路：（1根據(jù)所給的解集定相應(yīng)程的根和次項(xiàng)系數(shù)符.（2由根與系數(shù)的關(guān)，或?qū)⒅苯哟氤?，求出?shù)的值或參數(shù)之間的關(guān)

10、系，而求一元次不等的恒立問題解法（1當(dāng)未說明不等式一元二不等式時(shí)應(yīng)分二次系數(shù)等于零和不等于零兩種況討（2一元二次不等式成立問的常見類：設(shè) ，在上恒成立 ，第 14 頁，共 19 在上恒成立 .(3)分離參,恒成立問題轉(zhuǎn)化為求值問,即.恒成立 ;恒成立用一二次不式求實(shí)際應(yīng)題的般程序（1審題：弄清題意分析條和結(jié)論，順數(shù)量關(guān).（2建模：建立一元次不等模.（3求解：解一元二不等.（4還原：把數(shù)學(xué)結(jié)還原為際問.易錯(cuò)醒：只有一二次不等才有相判別式的究，如果次項(xiàng)系數(shù)帶有參數(shù)，因此可不是一元 二次型，解答此題目最容出錯(cuò)的地方就是直接默認(rèn)函為一元二型而采判別式處考法破【知點(diǎn)一 解含參的元二不等式例 1 已集合

11、則 BCD變式練 1設(shè)集合 則集合的真子集個(gè)為 )第 15 頁，共 19 D.【知點(diǎn)二 解參數(shù)一二次等式】例 1 設(shè)合，則實(shí)數(shù) 的取值圍為（ ）若D.或變式練 1已知集合實(shí)數(shù) 的取值范為（ ） 【知點(diǎn)三 三“二”之的關(guān)】，若 ，則第 16 頁，共 19 例 1 如不等式的解集是或 ，求關(guān) 的不等式答案變式練 1的解集已知式的解的解 不等式答案或【知點(diǎn)四 分不等的法】例 1 不式答案變式練 1答案的解集是_.解不 或例 2 解于 的不等式變式練 2若 ，解關(guān)于 的不等式 答案。當(dāng) ，原不等式的解集 當(dāng)時(shí)，原不等的解集為 第 17 頁，共 19 當(dāng)時(shí)，原不等的解集為 【知點(diǎn)五 高不等的法】例 1 解列不等式(1) .(2) 變式練 1解下等式(1) ；(2) 答案(1)或或 ；(2)【知點(diǎn)六 不式的成問題例 時(shí)，恒成立，則數(shù) 的取值范是（） 變式練 1對(duì)任 ，不恒成則實(shí) 的取圍是（第 18 頁，共 19 D.【知點(diǎn)七 一二次等的實(shí)應(yīng)用】例 1 為制一種藥，進(jìn)行了三稀釋，先在積為 的桶中盛滿藥液，第次將桶中藥液倒出后用水補(bǔ)滿第二次倒出后用水補(bǔ)滿第三次倒出后用水補(bǔ)