高等數(shù)學教學課件：12-3 可降階的高階微分方程

1、 型的方程型的方程型的方程第三節(jié) 可降階的高階微分方程第十二章 微分方程1 一、 型的方程特點是未知函數(shù) y 的n 階導數(shù),且不含未知函數(shù) y 及其兩邊積分接連積分n次,右端是自變量x的一個已知函數(shù),導數(shù)左端再積分得到含有n個任意常數(shù)的通解.可降階的高階微分方程2例 求解方程解將方程積分三次,得最后得到的就是方程的通解.可降階的高階微分方程3二、 型的方程特點方程缺y.解法將p作為新的則方程變?yōu)檫@是一個關(guān)于變量 x, p 的一階微分方程.如果其通解為則由再積分一次,可求出原方程的通解 設(shè)未知函數(shù)，可降階的高階微分方程4例 解方程 因方程中不含未知函數(shù)y,解令代入原方程, 得p的可分離變量的一階

2、方程由初始條件知C1=4,所以y的分離變量方程可降階的高階微分方程5再由初始條件知C2 = 1故所求解為可降階的高階微分方程6令求出通解后,只須作變換,再積分k次,即可求得原方程的通解.方程就可化為階方程可降階的高階微分方程7例 解方程 解令則方程變?yōu)橛煞蛛x變量法解得于是所以原方程的通解為積分4次 可分離變量方程可降階的高階微分方程8特點解法方程缺自變量x 三、 型的方程則方程變成這是關(guān)于變量y , p 的一階方程.設(shè)它的通解為分離變量并積分,得通解為設(shè)可降階的高階微分方程9解代入原方程例可分離變量方程即可分離變量方程可降階的高階微分方程10可降階的高階微分方程11解代入原方程原方程通解為例可

3、降階的高階微分方程12從而通解為或解注有些高階方程也可用類似于“湊全微分”的方法求解.可分離變量方程兩端同乘不為零的因子可降階的高階微分方程13解將方程寫成兩邊積分后得通解例可分離變量方程分離變量?可降階的高階微分方程14可降階的高階微分方程解例 設(shè)位于坐標原點的甲艦向位于x軸上點 A(1,0)處的乙艦發(fā)射制導導彈, 乙艦以最大的速度v0(v0是常數(shù))沿平行于y軸的直線目標的跟蹤問題 導彈頭始終對準乙艦.如果行駛,導彈的速度是5v0,又問乙艦行駛多遠時,它將被導彈擊中?設(shè)導彈的軌跡曲線為并設(shè)經(jīng)過時間 t , 導彈位于點P (x, y),乙艦位于點 Q(1, v0t) 由于導彈頭始終對準乙艦,

4、故此時直線PQ就是導彈的軌跡曲線弧OP在點P處(如圖). 的切線, 即有求導彈運行的曲線方程.15可降階的高階微分方程 即如果乙艦以最大的速度v0(v0是常數(shù))沿平行于y軸的直線行駛,導彈的速度是5v0, 弧OP的長度為| AQ |的5倍, 即(1)(2) 由(1)式與(2)消去 v0t 就得 積分方程(3)16可降階的高階微分方程 積分方程(3) 將(3)式兩端對x求導并整理,得方程(4)轉(zhuǎn)化為令 初值條件:(4) 可分離變量方程分離變量的二階微分方程的初值問題.17可降階的高階微分方程兩邊積分 根據(jù)初始條件 即 得 得 將(5)式有理化,得(5)(6) (5) + (6),得18可降階的高

5、階微分方程 根據(jù)初始條件 得于是有這就是導彈運行的曲線方程.又問乙艦行駛多遠時,它將被導彈擊中? 得即當乙艦航行到點處時被導彈擊中.192002年考研數(shù)學一, 3分微分方程滿足條件的特解是或解可分離變量方程即可降階的高階微分方程練習20求微分方程的積分曲線, 2000級北方交大考題, 計算(8分)使該積分曲線過點且在該點的切線斜率為2.解方程代入方程,得所求積分曲線為練習可降階的高階微分方程21 四、小結(jié)解法: 通過代換將其化成較低階的方程來求解.三種類型的可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程22 思考題1996年考研數(shù)學一, 7分解積分方程過曲線 y = f (x)上點( x, f (x)處的切線方程為可降階的高階微分方程23積分方程兩邊對x求導,即代入上式,得可分離變量方程可降階的高階微分方程24可分離變量方程分離變量并積分得再積分,得即為所求.可降階的高階微分方程25作 業(yè)（信）