非線性科學(xué)緒論

1、非線性科學(xué)緒論第1頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四第一節(jié) 引言什么是非線性 2 非線性現(xiàn)象的基本特征第2頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四1、什么是非線性 非線性科學(xué)是揭示非線性系統(tǒng)共性，探索復(fù)雜性的一門學(xué)問。非線性系統(tǒng)的微分方程是非線性的，例如：單擺運動方程流體速度場方程什么是非線性科學(xué)第3頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四2、線性科學(xué)和非線性科學(xué)的差異 線性與非線性物理現(xiàn)象有著質(zhì)的差異和不同的特征。 1、從結(jié)構(gòu)上看，線性系統(tǒng)的基本特征是可疊加性或可還原性，部分之和等于整體，幾個因素對系統(tǒng)聯(lián)合作用的總效應(yīng)，等于各個因素單獨作

2、用效應(yīng)的加和；因而描述線性系統(tǒng)的方程遵從疊加原理，即方程的不同解加起來仍然是方程的解；分割、求和、取極限等數(shù)學(xué)操作，都是處理線性問題的有效方法；非線性則指整體不等于部分之和，疊加原理失效。從運動形式上看，線性現(xiàn)象一般表現(xiàn)為時空中的平滑運動，可以用性能良好的函數(shù)表示，是連續(xù)的，可微的。而非線性現(xiàn)象則表現(xiàn)為從規(guī)則運動向不規(guī)則運動的轉(zhuǎn)化和躍變，帶有明顯的間斷性、突變性。第4頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四2、從系統(tǒng)對擾動和參量變化的響應(yīng)來看，線性系統(tǒng)的響應(yīng)是平緩光滑的，成比例變化；而非線性系統(tǒng)在一些關(guān)節(jié)點上，參量的微小變化往往導(dǎo)致運動形式質(zhì)的變化，出現(xiàn)與外界激勵有本質(zhì)區(qū)別的行

3、為，發(fā)生空間規(guī)整性有序結(jié)構(gòu)的形成和維持。正是非線性作用，才形成了物質(zhì)世界的無限多樣性、豐富性、曲折性、奇異性、復(fù)雜性、多變性和演化性。 第5頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四非線性科學(xué)中較成熟的部分是非線性動力學(xué). 19世紀(jì)末法國H.龐加萊的兩項工作常微分方程的定性理論和天體運動中定量計算使他成為非線性科學(xué)最早的代表人物。20世紀(jì)前葉，無線電技術(shù)促使非線性振動理論的誕生，繼承和發(fā)展了龐加萊的成果。20世紀(jì)60年代后，大氣科學(xué)和流體力學(xué)中利用計算機進行的數(shù)值研究，分析力學(xué)中數(shù)學(xué)理論的進展，以及統(tǒng)計物理中遠(yuǎn)離平衡態(tài)系統(tǒng)性態(tài)的研究等等，促進了在橫向聯(lián)系上發(fā)現(xiàn)并研究各類不同系統(tǒng)由

4、于非線性而導(dǎo)致的共性，即非線性科學(xué)。第6頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四第二節(jié) 無阻尼單擺 1 小角度無阻尼單擺 橢圓點 2 任意角度無阻尼單擺振動 雙曲點 3 無阻尼單擺的相圖與勢能曲線4 用數(shù)值計算和相圖研究大幅度單擺的運動 第7頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四 由牛頓第二定律： 非線性方程式中角頻率：1 小角度無阻尼單擺 橢圓點數(shù)學(xué)表達式第8頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四 線性化處理忽略3次以上的高次項得線性方程數(shù)學(xué)表達式1 小角度無阻尼單擺 橢圓點第9頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四 令代

5、入方程得得特征方程：特征根： 得通解為： 式中 為復(fù)常數(shù)。由于描述單擺振動的應(yīng)為實函數(shù)，所以常數(shù) 必須滿足條件：將 寫成指數(shù)形式后得： 該式是振幅為P，角頻率為 的簡諧振動，其振動波形為正弦曲線。角頻率只與擺線 l 得長度有關(guān)，與擺錘質(zhì)量無關(guān)，稱為固有角頻率。數(shù)學(xué)表達式1 小角度無阻尼單擺 橢圓點第10頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四 使 得：一次積分后： 式中E 為積分常數(shù)，由初始條件決定。把 看作為兩個變量，則方程是一個圓周方程，圓的半徑為 ，振動過程是一個代表點沿圓周轉(zhuǎn)動。相圖1 小角度無阻尼單擺 橢圓點第11頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期

6、四1 小角度無阻尼單擺 橢圓點相圖 相圖即狀態(tài)圖，是法國偉大數(shù)學(xué)家龐加萊(Poincare)于十九世紀(jì)末提出用相空間軌線表示系統(tǒng)運動狀態(tài)的方法。相圖上每一個點表示了系統(tǒng)在某一時刻狀態(tài)（擺角與角速度），系統(tǒng)運動狀態(tài)用相圖上的點的移動來表示，點的運動軌跡稱為軌線。能量方程右邊第一項為系統(tǒng)動能K ，第二項為系統(tǒng)勢能V，E 是系統(tǒng)的總能量。運動過程中K 和V 兩者都隨時間變化，而系統(tǒng)總能量E 保持不變。 當(dāng)K =V =0時，E=0，有 ，這時擺處于靜止?fàn)顟B(tài)，為靜止平衡。 當(dāng)E 0 時，由于系統(tǒng)總能量保持不變，擺的運動用確定周期描述。不同能量E 相應(yīng)于半徑不同的圓，構(gòu)成一簇充滿整個平面的同心圓或橢圓。

7、同一圓周或橢圓上各點能量相同，又稱為等能軌道。坐標(biāo)原點是能量E =0 的點，圍繞該點是橢圓，故稱橢圓軌線圍繞的靜止平衡點為橢圓點。第12頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四周期與擺角無關(guān)？看看實驗結(jié)果：定性結(jié)論：1. 周期隨擺角增加而增加2. 隨擺角增加波形趨于矩形單擺周期2 任意角度無阻尼單擺振動 雙曲點第13頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四 對方程乘以 后積分其中 積分設(shè)t = 0時， ，周期為 T，在 時應(yīng)有 ，故有：最后得：單擺周期數(shù)學(xué)表達式2 任意角度無阻尼單擺振動 雙曲點第14頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四 在倒

8、立附近，取對鉛垂的偏角f 表示擺角，代入單擺方程得方程利用 得方程積分得雙曲方程： 當(dāng)E0時有這是在 處的雙曲線的漸近線，這點稱為雙曲奇點，也稱鞍點。 相圖上這點為的 點。2 任意角度無阻尼單擺振動 雙曲點單擺倒立附近的相軌線 雙曲奇點第15頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四3 無阻尼單擺的相圖與勢能曲線基本方程若取 后積分得左邊第一項是單擺動能 K，左邊第二項是勢能 V右邊積分常數(shù)E是單擺總能 勢能曲線是余弦函數(shù)勢能曲線第16頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四1.坐標(biāo)原點 附近相軌線為近似橢圓形的閉合軌道；2.平衡點 為單擺倒置點（鞍點），附近相軌

9、線雙曲線；3.從 到 或相反的連線為分界線在分界線內(nèi)的軌線是閉合回線單擺作周期振動。分界線以外單擺能量E 超過勢能曲線的極大值，軌道就不再閉合，單擺作向左或向右方向的旋轉(zhuǎn)運動單擺完整相圖3 無阻尼單擺的相圖與勢能曲線第17頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四相圖橫坐標(biāo)是以2p為周期的，擺角 是同一個倒立位置，把相圖上G點與G點重迭一起時，就把相平面卷縮成一個柱面。所有相軌線都將呈現(xiàn)在柱面上。因此，平面上的相軌線是柱面上的相軌線的展開圖。柱面上的單擺相軌線3 無阻尼單擺的相圖與勢能曲線第18頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四4 用數(shù)值計算和相圖研究大幅度

10、單擺的運動 可積的！勢能函數(shù) 能量守恒方程 計算機作圖第19頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四4 用數(shù)值計算和相圖研究大幅度單擺的運動 第20頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四4 用數(shù)值計算和相圖研究大幅度單擺的運動 （1）存在兩類奇點. 中心 鞍點 （2）存在兩類軌線. 第21頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四4 用數(shù)值計算和相圖研究大幅度單擺的運動 大幅度單擺運動在無外界驅(qū)動和無阻尼的情況下是屬于保守、 自治系統(tǒng)的運動, 相軌跡不隨時間改變, 且不能相交. 計算結(jié)果表明它只可能做周期性的擺動或轉(zhuǎn)動, 不可能產(chǎn)生混沌現(xiàn)象. 對

11、應(yīng)于能量較大(即擺角較大)的擺動, 因有諧頻出現(xiàn), 它的閉合軌線不是橢圓, 與簡諧振動的軌線是不同的, 其擺動周期與初始條件有關(guān). 除基頻譜線外, 還可以看到1條3倍頻的諧頻譜線.功率譜是分立的。 第22頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四1.相平面法2.平衡點的類型及其穩(wěn)定性第三節(jié) 相圖方法第23頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四 由單擺基本方程引進變數(shù)y：一個二階方程改用兩個一階微分方程來描寫：利用第二式可得單擺相軌線方程積分得單擺的橢圓軌線方程：單擺1 相圖方法第24頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四 一個非線性微分方程：

12、引進變數(shù) y 后有或更一般的形式得相軌線方程：一般情況1 相圖方法第25頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四相平面法 1.相軌道方程 相平面法是一種直觀的幾何方法, 它適用于描述系統(tǒng)的一維運動. 以位置、速度為坐標(biāo)建立坐標(biāo)系, 通常稱此坐標(biāo)平面為相平面(廣義相平面).相平面中任一點代表該時刻系統(tǒng)的運動狀態(tài), 稱為相點. 相點連續(xù)變化形成的軌道則描述了系統(tǒng)的運動過程, 稱為相軌道(簡稱軌線), 這種圖形也稱相圖. 自治系統(tǒng)非自治系統(tǒng)第26頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四2.軌線的作法 相軌道方程 對保守系統(tǒng), 可利用勢能曲線作相圖. 第27頁，共55頁

13、，2022年，5月20日，3點45分，星期四單位質(zhì)量的動能 能量守恒 例題1 第28頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四例題2 第29頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四3.軌線的普遍性質(zhì)（1）對于自治系統(tǒng), 軌線不隨時間改變, 互不相交. 若相軌道是一條閉合曲線, 則系統(tǒng)做周期運動. （2）軌線的方向即相點沿軌線運動的方向, 由相點位置確定, 上半部向右，下半部向左. （3） 是相點運動速度矢量 的兩個分量.對于保守系統(tǒng) 第30頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四阻尼振動4.奇點及其附近的軌線 在相平面上, 滿足 的點稱為奇點, 對

14、此點有 即相軌道方向是不確定的. 從力學(xué)角度看, 奇點即平衡點, 表明系統(tǒng)處于平衡態(tài), 故又稱不動點. 對于保守系統(tǒng), 奇點有3種類型,分別與勢能曲線的極大點、極小點和拐點3種情況對應(yīng).常見的是中心 和鞍點. 第31頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四中心鞍點第32頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四 由單擺基本方程引進變數(shù)y：一個二階方程改用兩個一階微分方程來描寫：利用第二式可得單擺相軌線方程積分得單擺的橢圓軌線方程：單擺1 相圖方法第33頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四 一個非線性微分方程： 引進變數(shù) y 后有或更一般的形式得

15、相軌線方程：一般情況1 相圖方法第34頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四 系統(tǒng)的平衡點從下面推出：一般的形式平衡點坐標(biāo)：系統(tǒng)的平衡點 2 平衡點的類型及其穩(wěn)定性第35頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四對平衡點的鄰域進行泰勒展開引進新變數(shù)：平衡點附近的軌線方程 2 平衡點的類型及其穩(wěn)定性得新方程：式中 研究平衡點的鄰域的相軌線，可以忽略高階項，得線性方程組第36頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四 研究平衡點的鄰域線性方程組 微分 代入得二階線性方程：通過求解這方程得各種平衡點類型 2 平衡點的類型及其穩(wěn)定性平衡點附近的軌線方程第3

16、7頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四方程 代入特征方程引入符號特征方程解：由特征方程得：參數(shù)l取值不同,給出不同類型平衡點. 特征方程解的簡化： 由于每個變量 X ,Y 中包含了兩個參數(shù) l ，看不清平衡點的性質(zhì)，于是進行坐標(biāo)變換：在新坐標(biāo)中有：其解分別只與一個參數(shù)有關(guān)： 2 平衡點的類型及其穩(wěn)定性平衡點附近的軌線方程第38頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四平衡點類型 結(jié)點特征根式 的根號中 ，則解 為兩個同號實根，其平衡點稱為結(jié)點。結(jié)點有穩(wěn)定與不穩(wěn)定之分如果 ，結(jié)點為穩(wěn)定的。如果 ，結(jié)點為不穩(wěn)定。2 平衡點的類型及其穩(wěn)定性第39頁，共55頁，202

17、2年，5月20日，3點45分，星期四 鞍點 特征根式 根號中 ，解 為異號實根。相軌線為雙曲線，奇點為不穩(wěn)定的鞍點。有四條流線通過鞍點，其兩條流向鞍點是穩(wěn)定的，另外流離鞍點的兩條是不穩(wěn)定的。 “鞍點”源于對該點特性形象描述，指馬鞍中心點， 是沿馬脊梁的最低點。流向鞍點是兩條穩(wěn)定流線，但任何微小偏離將使其沿馬背的左或右邊滑走。 2 平衡點的類型及其穩(wěn)定性平衡點類型第40頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四 焦點 特征根式 根號中 ，解 為兩個虛根。 如阻尼單擺那樣，相軌線是對數(shù)螺旋線，系統(tǒng)的平衡點為焦點。當(dāng)實部為負(fù)值時，與阻尼單擺相同，平衡點是螺旋線簇的漸近點。當(dāng)實部為正值時

18、，相軌線從平衡點發(fā)散開來，焦點是不穩(wěn)定的。2 平衡點的類型及其穩(wěn)定性平衡點類型第41頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四 2 平衡點的類型及其穩(wěn)定性平衡點類型 中心點 如果 ，且兩個虛根的實部 等于零。螺旋線矢徑不隨時間變化，圍繞平衡點是封閉曲線族。平衡點是軌線族的中心，稱為“中心點”。封閉橢圓曲線代表作周期運動。根據(jù)虛部的正負(fù)不同，相軌線上的相點可以是順時或逆時方向轉(zhuǎn)動。根據(jù)穩(wěn)定性定義，周期運動滿足穩(wěn)定性條件，中心點是穩(wěn)定平衡點。第42頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四p,q 平面上奇點分布 p,q 平面 在平面下半部分， ,這個區(qū)域內(nèi)的奇點是鞍點

19、平面上半部，由拋物線 分為四個區(qū). 2 平衡點的類型及其穩(wěn)定性第一象限由拋物線劃分成不穩(wěn)定的結(jié)點 (p24q) 與不穩(wěn)定的焦點 (p24q) 兩個區(qū)；第二象限由拋物線劃分成穩(wěn)定的結(jié)點 (p24q) 兩個區(qū)；在正q 軸上, p = 0, l是純虛數(shù),平 衡點是中心點,附近是橢圓軌線。第43頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四第四節(jié) 導(dǎo)致混沌的倒擺受迫振動1.運動方程的建立彈簧產(chǎn)生的力矩為 空氣阻力為 重力產(chǎn)生力矩為倒擺的運動微分方程為 第44頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四2.對方程進行無量綱化條件：第45頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45

20、分，星期四在無驅(qū)動力時系統(tǒng)具有3個平衡位置因而有第46頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四受迫Duffing方程對方程進行無量綱化的好處至少有兩方面:（1）方程涉及的只是數(shù)量關(guān)系;（2）更重要的是取不同的長度單位和時間單位時, 方程中各項系數(shù)的大小不同，顯示出不同景象. 第47頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四3.數(shù)值計算的結(jié)果和對結(jié)果的分析（1）對初值的敏感和李雅普諾夫指數(shù) 第48頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四 由確定性方程產(chǎn)生的對初值敏感的現(xiàn)象通常稱為混沌現(xiàn)象. 李雅普諾夫指數(shù)第49頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四 若兩個指數(shù)中有一個為正，即表明相鄰軌道的間距具有平均指數(shù)發(fā)散的性質(zhì)，軌道具有局部不穩(wěn)定性，據(jù)此可判斷運動為混沌運動.（2）關(guān)于分叉現(xiàn)象 雙穩(wěn)態(tài)單穩(wěn)態(tài)第50頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星期四時平衡位置分叉現(xiàn)象分叉點第51頁，共55頁，2022年，5月20日，3點45分，星