2020版金融計(jì)量學(xué)：時(shí)間序列分析視角(第三版)教學(xué)課件第14章第1節(jié)

1、2020版金融計(jì)量學(xué)：時(shí)間序列分析視角(第三版)教學(xué)課件第14章第1節(jié)2020版金融計(jì)量學(xué)：時(shí)間序列分析視角(第三版)教學(xué)課件第122 第14章 非線性金融時(shí)間序列模型 14.1 非線性時(shí)間序列模型介紹 14.2 馬爾可夫區(qū)制轉(zhuǎn)移模型 14.3 門限模型 44 第14章 非線性金融時(shí)間序列模型 14.1 非線性時(shí)間序列模型背景介紹 金融時(shí)間序列變量，特別是高頻金融時(shí)間序列變量，經(jīng)常表現(xiàn)出與較低頻率的時(shí)間序列變量明顯不同的特征。所以，對(duì)高頻金融數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，往往與一般的時(shí)間序列分析方法存在差別。 14.1 非線性時(shí)間序列模型背景介紹 這是因?yàn)椋S著時(shí)間的變化，宏觀政策的調(diào)整和經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的可能變化，

2、能夠造成計(jì)量模型內(nèi)的系數(shù)發(fā)生變化。換言之，不同時(shí)期或者區(qū)制對(duì)應(yīng)的模型系數(shù)可能會(huì)發(fā)生改變。而捕捉這種系數(shù)變化的重要模型之一，就是帶有狀態(tài)變量的區(qū)制轉(zhuǎn)移模型。 這是因?yàn)椋S著時(shí)間的變化，宏觀政策的調(diào)整和經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu) 非線性模型的一個(gè)重要表象就是可能出現(xiàn)“狀態(tài)”的轉(zhuǎn)變。這種狀態(tài)的轉(zhuǎn)變，有時(shí)候也被稱為“區(qū)制”的轉(zhuǎn)變，可以用來(lái)捕捉金融時(shí)間序列模型中可能存在的結(jié)構(gòu)性變化。 非線性模型的一個(gè)重要表象就是可能出現(xiàn)“狀態(tài)”的 14.2 馬爾可夫區(qū)制轉(zhuǎn)移模型 14.2.1 背景介紹 近年來(lái)，非線性模型的發(fā)展使得其在經(jīng)濟(jì)和金融時(shí)間序列分析領(lǐng)域得到了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。特別是區(qū)制轉(zhuǎn)移模型，在經(jīng)濟(jì)、金融領(lǐng)域得到越來(lái)越多的重視

3、。例如，馬爾可夫區(qū)制轉(zhuǎn)移模型可以用來(lái)分析宏觀經(jīng)濟(jì)周期。 14.2 馬爾可夫區(qū)制轉(zhuǎn)移模型 Hamilton (1989)的文獻(xiàn)應(yīng)該算得上是MS模型的開(kāi)創(chuàng)性文獻(xiàn)，而且利用Hamilton的馬爾可夫區(qū)制轉(zhuǎn)移模型獲得的經(jīng)濟(jì)周期與NBER給出的經(jīng)濟(jì)周期基本上是完全吻合的。 基于Hamilton的重要貢獻(xiàn)，馬爾可夫區(qū)制轉(zhuǎn)移模型也經(jīng)常被稱為Hamilton模型。正如前面介紹過(guò)的，在MS模型中，區(qū)制有時(shí)候也稱為“狀態(tài)”。 Hamilton (1989)的文獻(xiàn)應(yīng)該算得上是 14.2.2 馬爾可夫區(qū)制轉(zhuǎn)移概率問(wèn)題 MS模型所表示的內(nèi)容是不同時(shí)期的不同狀態(tài)。 在只涉及兩個(gè)狀態(tài)的MS模型中，轉(zhuǎn)移概率的定義可以寫成：

4、(14.1) 14.2.2 馬爾可夫區(qū)制轉(zhuǎn)移概率問(wèn)題 模型14.1可以用矩陣表示為： （14.2） 這里，以不同狀態(tài)下對(duì)應(yīng)的概率所組成的矩陣P，稱為轉(zhuǎn)移矩陣。 模型(14.1)也可以寫成另一種形式: （14.3） 模型14.1可以用矩陣表示為： 實(shí)際上，模型(14.3)的這種表達(dá)形式給出了狀態(tài)變量 與所謂的馬爾可夫鏈（Markov Chain）的聯(lián)系，而馬爾可夫鏈的定義可以寫成： (14.4) 從上面的介紹不難看出，一階的MS模型，在t時(shí)刻的狀態(tài) 只與t-1時(shí)刻的狀態(tài) 有關(guān)。 實(shí)際上，模型(14.3)的這種表達(dá)形式給出了狀態(tài) 14.2.3 馬爾可夫區(qū)制轉(zhuǎn)移模型 14.2.3 馬爾可夫區(qū)制轉(zhuǎn)移模

5、型2020版金融計(jì)量學(xué)：時(shí)間序列分析視角(第三版)教學(xué)課件第14章第1節(jié) 在更一般的情況下，區(qū)制轉(zhuǎn)移模型可以寫成如下形式 其中： 、 和 分別表示因變量、自變量矩陣以及系數(shù)矩陣。 在更一般的情況下，區(qū)制轉(zhuǎn)移模型可以寫成如下形式 14.2.4 狀態(tài)變量的屬性 MS模型中不同區(qū)制（狀態(tài)）持續(xù)的時(shí)間、區(qū)制的期望、區(qū)制的向量表示形式以及利用向量形式的區(qū)制形式預(yù)測(cè)未來(lái)的狀態(tài)，是狀態(tài)變量屬性中最重要的幾個(gè)方面，我們下面分別進(jìn)行介紹。 14.2.4 狀態(tài)變量的屬性 1）區(qū)制的持續(xù)期 區(qū)制的持續(xù)期，是指在某個(gè)區(qū)制或者狀態(tài)下持續(xù)的時(shí)間長(zhǎng)度。所以，利用區(qū)制持續(xù)期可以衡量模型在不同狀態(tài)下持續(xù)的時(shí)間。例如，從模型(1

6、3.1)可以看出，對(duì)于 ，概率p的值越高，從當(dāng)前的狀態(tài)“1”轉(zhuǎn)換到狀態(tài)“0”的可能性越小。 1）區(qū)制的持續(xù)期 舉例來(lái)說(shuō)，如果變量 表示經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率變量，并假設(shè) 表示經(jīng)濟(jì)衰退狀態(tài)，而 對(duì)應(yīng)經(jīng)濟(jì)擴(kuò)張狀態(tài)。那么，如果 從 轉(zhuǎn)移到 的狀態(tài)時(shí)，就代表著經(jīng)濟(jì)從t時(shí)期的衰退期轉(zhuǎn)變到了t+1時(shí)期的擴(kuò)張時(shí)代。在進(jìn)入下一個(gè)衰退期之前，擴(kuò)張狀態(tài)持續(xù)的時(shí)間就是 對(duì)應(yīng)的持續(xù)期。 舉例來(lái)說(shuō)，如果變量 表示經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率變量，并假設(shè) 時(shí)刻標(biāo)志著擴(kuò)張狀態(tài)的開(kāi)始，假定這樣的狀態(tài)持續(xù)到 時(shí)刻為止，則 所以，區(qū)制“1”持續(xù)期的期望可以寫成： 時(shí)刻標(biāo)志著擴(kuò)張狀態(tài)的開(kāi)始，假定這樣的狀態(tài) （14.12） （14.12） 同理，如果假設(shè) 就可以

7、求出區(qū)制“0”持續(xù)期的期望，即： （13.13） 同理，如果假設(shè) 2）區(qū)制的期望 關(guān)于區(qū)制或者說(shuō)狀態(tài)變量的期望，實(shí)際上分為條件期望和無(wú)條件期望。我們先來(lái)討論簡(jiǎn)單的條件期望，然后在介紹區(qū)制的向量表示形式之后再介紹無(wú)條件期望。 2）區(qū)制的期望 在兩個(gè)區(qū)制的情況下，區(qū)制的取值只有0和1。所以，在給定一個(gè)區(qū)制的條件下，就可以確定另一個(gè)區(qū)制對(duì)應(yīng)的期望值。 在兩個(gè)區(qū)制的情況下，區(qū)制的取值只有0和1。所以， 例如，如果 ，那么從模型(14.1)可知， 與 的概率分別是p和1-p。這樣，狀態(tài) 的條件期望可以寫成： 例如，如果 ，那么從模型(14.1)可知， 如果 ，那么 與 的概率分別是q和1-q，則有： 如

8、果 ，那么 與 定義如下矩陣： (14.16)進(jìn)而： 結(jié)合轉(zhuǎn)移概率矩陣(14.2)，可得 (14.17)定義如下矩陣： 同時(shí)，利用模型(14.16)可知： (14.18) 再結(jié)合模型(14.14)和(14.15)，可得： (14.19) 可以定義一個(gè)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng) ，使得 滿足： (14.20) 這樣，可以把模型(14.19)重新寫成VAR(1)模型的形式，即： （14.21） 同時(shí)，利用模型(14.16)可知：2020版金融計(jì)量學(xué)：時(shí)間序列分析視角(第三版)教學(xué)課件第14章第1節(jié) 在一階MS模型中，我們還可以得到比模型(14.23)更一般的結(jié)論，即： 在一階MS模型中，我們還可以得到比模型(14

9、.2 無(wú)條件期望對(duì)應(yīng)的是其中一個(gè)狀態(tài)的期數(shù)占總共狀態(tài)期數(shù)的比重。我們知道，對(duì)于只有兩個(gè)狀態(tài)的MS模型來(lái)說(shuō)，在每一個(gè)時(shí)刻點(diǎn)，只有一個(gè)狀態(tài)，也只有一個(gè)擾動(dòng)項(xiàng)。從模型(14.16)和(14.21)，我們得到： 無(wú)條件期望對(duì)應(yīng)的是其中一個(gè)狀態(tài)的期數(shù)占總共狀態(tài)期 這個(gè)VAR模型系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)分等式給出的是： (14.28) 因?yàn)楦怕蕄和q都介于0與1之間，所以： (14.29) 對(duì)于模型(14.29)，不等式兩端的情形（-1和1）分別對(duì)應(yīng)的是兩個(gè)特殊情況。 這個(gè)VAR模型系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)分等式給出的是： 當(dāng) 時(shí)，對(duì)應(yīng)的是p和q都為0的情況。在這種情況下，每個(gè)時(shí)刻點(diǎn)都發(fā)生區(qū)制轉(zhuǎn)移。 而當(dāng) 時(shí)，對(duì)應(yīng)的是p和q

10、都為1的情況。此時(shí)，區(qū)制轉(zhuǎn)移不再發(fā)生。 當(dāng) 時(shí)，對(duì)應(yīng)的是p和q都為0的情況 除了這兩種極端情況之外，(14.28)是平穩(wěn)序列。利用AR模型的性質(zhì)，我們可以獲得狀態(tài) 的無(wú)條件期望，即 除了這兩種極端情況之外，(14.28)是 3）區(qū)制的預(yù)測(cè) 利用模型(14.21)以及第10章介紹的VAR模型的屬性，得到下列等式： 因?yàn)槟Ｐ?14.24)知道 , 所以： 3）區(qū)制的預(yù)測(cè) 如果假設(shè)現(xiàn)在處在狀態(tài)1，那么未來(lái)1期轉(zhuǎn)移概率可以分別計(jì)算為： 和 如果假設(shè)現(xiàn)在處在狀態(tài)1，那么未來(lái)1期轉(zhuǎn)移概率可以 14.2.5 區(qū)制的推斷問(wèn)題 貝葉斯定理（Bayesian Rule） （14.33） 14.2.5 區(qū)制的推斷問(wèn)

11、題 假設(shè) 代表到樣本端點(diǎn)時(shí)刻T時(shí)的所有信息集，序列 的初始值 已知，并且在時(shí)刻t，區(qū)制為 。故有：結(jié)合貝葉斯定理，可得： （14.34） 假設(shè) 代表到樣本端點(diǎn)時(shí)刻T時(shí)的所有信息 由于 只能取0或者1，所以 可以通過(guò)分別與這兩個(gè)可能取的值對(duì)應(yīng)的兩個(gè)聯(lián)合概率密度函數(shù)的和: 由于 只能取0或者1，所以 當(dāng)我們考慮更一般的情況時(shí)，則可以把模型(14.34)拓展為： 其中： 當(dāng)我們考慮更一般的情況時(shí)，則可以把模2020版金融計(jì)量學(xué)：時(shí)間序列分析視角(第三版)教學(xué)課件第14章第1節(jié) 我們可以通過(guò)模型(14.36)到(14.38)，來(lái)獲得從 的概率 。這些概率一般被稱為區(qū)制的濾波概率。而與濾波概率相對(duì)的另一

12、個(gè)相關(guān)的概率是“平滑概率”，定義為 。 在MS模型應(yīng)用中，這些平滑概率有著極為重要的作用。 我們可以通過(guò)模型(14.36)到( 14.2.6 馬爾可夫區(qū)制轉(zhuǎn)移模型的 估計(jì)與設(shè)檢驗(yàn) 假定我們考慮的序列為 ,樣本大小為 ,條件密度函數(shù)是 ,其中 , 表示待估計(jì)的系數(shù)矩陣。 14.2.6 馬爾可夫區(qū)制轉(zhuǎn)移模型的 若區(qū)制轉(zhuǎn)移發(fā)生在 ,對(duì)于前 個(gè)觀測(cè)值,對(duì)應(yīng)的密度函數(shù)為 .對(duì)于剩下的 個(gè)觀測(cè)值,對(duì)應(yīng)的密度函數(shù)為 .與MS模型對(duì)應(yīng)的似然函數(shù)就是： 兩個(gè)區(qū)制對(duì)應(yīng)的密度函數(shù)可以寫成： 若區(qū)制轉(zhuǎn)移發(fā)生在 ,對(duì)于前 個(gè)觀測(cè) 為消掉這個(gè)密度函數(shù)中的未知狀態(tài)變量以使用 ,利用平滑概率 和條件密度函數(shù) ,可以獲得： 加總所有可能的狀態(tài)變量值,就獲得了 。從而,我們可以獲得條件似然函數(shù)： （14.42） 為消掉這個(gè)密度函數(shù)中的未知狀態(tài)變量以使用 假定條件概率 為固定值,這樣也就是把它也看作一個(gè)系數(shù)。如果仍然假設(shè)正態(tài)分布的擾動(dòng)項(xiàng),則似然函數(shù)可以寫成： 假設(shè)我們研究的序列 可以使用一個(gè)AR(p)模型來(lái)刻畫其動(dòng)態(tài)過(guò)程，并且該AR模型為一個(gè)馬爾可夫過(guò)程，AR模型的系數(shù)、均值和方差都出現(xiàn)區(qū)制轉(zhuǎn)移，即： 密度函數(shù)就可以寫成： 從而可以進(jìn)一步獲得模