高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)教案數(shù)列問題的題型與方法二人教版

1、學(xué)習(xí)必備 歡迎下載高三數(shù)學(xué)其次輪復(fù)習(xí)教案數(shù)列問題的題型與方法二（3 課時(shí)）一、考試內(nèi)容數(shù)列；等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式,等差數(shù)列前 列前 n 項(xiàng)和公式；二、考試要求n 項(xiàng)和公式；等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式,等比數(shù) 1懂得數(shù)列的概念,明白數(shù)列通項(xiàng)公式的意義,明白遞推公式是給出數(shù)列的一種方法,并 能依據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)； 2懂得等差數(shù)列的概念,把握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n 項(xiàng)和公式,并能運(yùn)用公式解答簡(jiǎn)單的問題； 3懂得等比數(shù)列的概念,把握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n 項(xiàng)和公式,并能運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的問題；三、復(fù)習(xí)目標(biāo)1 能敏捷地運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前 2能嫻熟地求一些特別數(shù)列的通

2、項(xiàng)和前 n 項(xiàng)的和；n 項(xiàng)和公式解題；3使同學(xué)系統(tǒng)把握解等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題的規(guī)律,深化數(shù)學(xué)思想方法在解題實(shí)踐中的指導(dǎo)作用,敏捷地運(yùn)用數(shù)列學(xué)問和方法解決數(shù)學(xué)和實(shí)際生活中的有關(guān)問題；4通過解決探干脆問題,進(jìn)一步培育同學(xué)閱讀懂得和創(chuàng)新才能,綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題與解決問題的才能5在解綜合題的實(shí)踐中加深對(duì)基礎(chǔ)學(xué)問、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法的熟悉,溝通各類學(xué)問的聯(lián)系,形成更完整的學(xué)問網(wǎng)絡(luò),提高分析問題和解決問題的才能6培育同學(xué)善于分析題意,富于聯(lián)想,以適應(yīng)新的背景,新的設(shè)問方式,提高同學(xué)用函數(shù)的思想、 方程的思想爭(zhēng)論數(shù)列問題的自覺性、四、雙基透視培育同學(xué)主動(dòng)探究的精神和科學(xué)理性的思維方法1

3、 可以列表復(fù)習(xí)等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、有關(guān)公式和性質(zhì) . 2判定和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：1 定義法：對(duì)于n2 的任意自然數(shù) , 驗(yàn)證anan1a n/an1為同一常數(shù)；2 通項(xiàng)公式法：如 = +（ n-1 ）d= +（n-k ）d ,就 a n 為等差數(shù)列；如,就 a n 為等比數(shù)列；3 中項(xiàng)公式法：驗(yàn)證 都成立；3. 在等差數(shù)列 a n 中, 有關(guān) Sn的最值問題常用鄰項(xiàng)變號(hào)法求解：1 當(dāng) 0,d0 時(shí),滿意 的項(xiàng)數(shù) m使得 取最大值 . 2 當(dāng) 0 時(shí),滿意 的項(xiàng)數(shù) m使得 取最小值；在解含肯定值的數(shù)列最值問題時(shí) , 留意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用；4. 數(shù)列求和的常用方法：公式法

4、、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等；五、留意事項(xiàng)ann11證明數(shù)列an是等差或等比數(shù)列常用定義,即通過證明an1ananan1或an1而得；aan2在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問題時(shí),“ 基本量法” 是常用的方法,但有時(shí)敏捷地學(xué)習(xí)必備 歡迎下載運(yùn)用性質(zhì),可使運(yùn)算簡(jiǎn)便；3對(duì)于一般數(shù)列的問題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解；4留意一些特別數(shù)列的求和方法；5留意s 與a 之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化；如：a 1kn2akak1a = s 1,s n1,n1,a =s nn26數(shù)列極限的綜合題形式多樣,解題思路敏捷,但萬(wàn)變不離其宗,就是離不開數(shù)列極限的 概念和性質(zhì),離不開數(shù)學(xué)思想方法,只要能把握這兩方面,就會(huì)快速打

5、通解題思路7解綜合題的成敗在于審清題目,弄懂來龍去脈, 透過給定信息的表象,抓住問題的本質(zhì),揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件,明確解題方向,形成解題策略8通過解題后的反思,找準(zhǔn)自己的問題,總結(jié)勝利的體會(huì),吸取失敗的教訓(xùn),增強(qiáng)解綜合題的信心和士氣,提高分析問題和解決問題的才能數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),所以在高考中占有重要的位置；高考對(duì)本章的考查比較全面,等差數(shù)列, 等比數(shù)列的考查每年都不會(huì)遺漏；解答題多為中等以上難度的試題,突出考查考生的思維才能,解決問題的才能,試題大多有較好的區(qū)分度；有關(guān) 數(shù)列的試題常常是綜合題,常常把數(shù)列學(xué)問和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和不等式的學(xué)問綜合起來,試

6、題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列, 求極限和數(shù)學(xué)歸納法綜合在一起；探干脆問題是高考的熱點(diǎn),常在數(shù)列解答題中顯現(xiàn)；本章中仍包蘊(yùn)著豐富的數(shù)學(xué)思想,在主觀題中著重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類爭(zhēng)論等重要思想,以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等基本數(shù)學(xué)方法；應(yīng)用問題考查的重點(diǎn)是現(xiàn)實(shí)客觀事物的數(shù)學(xué)化,常需構(gòu)造數(shù)列模型,將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決；六、范例分析例 1 已知數(shù)列 a n 是公差 d 0 的等差數(shù)列,其前 n 項(xiàng)和為 Sn 2 過點(diǎn) Q1 1 ,a 1 ,Q2 2 ,a 2 作直線 12,設(shè) l 1與 l 2 的夾角為 ,證明： 1 由于等差數(shù)列 a n 的公差 d 0,所以Kp1 p k 是常

7、數(shù) k=2 ,3, , n 2 直線 l 2 的方程為 y-a 1 =dx-1 ,直線 l 2 的斜率為 d例 2 已知數(shù)列an中,S 是其前 n 項(xiàng)和,并且S n14an2n1,2,L,a 11,設(shè)數(shù)列bnan12ann,1,2,求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；學(xué)習(xí)必備歡迎下載=4a n +2,可由 S n2-Sn1設(shè)數(shù)列cnnan,n,12 ,求證：數(shù)列cn是等差數(shù)列；2n求數(shù)列n 項(xiàng)和；a的通項(xiàng)公式及前分析 ：由于 b n 和cn 中的項(xiàng)都和 an 中的項(xiàng)有關(guān), an 中又有 Sn1作切入點(diǎn)探究解題的途徑解 ： 1 由 S n 1 =4a n 2, S n 2 =4a n 1 +2, 兩 式

8、相 減 , 得 S n 2-S n 1 =4a n 1-a n , 即a n 2 =4a n 1-4a n 依據(jù) b n 的構(gòu)造,如何把該式表示成 b n 1 與 b n 的關(guān)系是證明的關(guān)鍵,留意加強(qiáng)恒等變形才能的訓(xùn)練 a n 2-2a n 1 =2a n 1-2a n ,又 b n =a n 1-2a n ,所以 b n 1 =2b n 已知 S2 =4a 1+2,a1 =1,a 1+a 2 =4a 1 +2,解得 a 2 =5,b 1 =a 2 -2a 1=3 n 1由和得,數(shù)列 b n 是首項(xiàng)為 3,公比為 2 的等比數(shù)列,故 b n =32當(dāng) n2 時(shí), Sn =4a n 1 +2=2

9、 n 13n-4+2 ；當(dāng) n=1 時(shí), S1=a 1 =1 也適合上式綜上可知,所求的求和公式為 S n =2 n 1 3n-4+2 說明： 1本例主要復(fù)習(xí)用等差、等比數(shù)列的定義證明一個(gè)數(shù)列為等差,等比數(shù)列,求數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和；解決此題的關(guān)鍵在于由條件 S n 1 4 a n 2 得出遞推公式；2解綜合題要總攬全局,特別要留意上一問的結(jié)論可作為下面論證的已知條件,在后面求解的過程中適時(shí)應(yīng)用例 3已知數(shù)列 a n 是首項(xiàng) a10,q-1 且 q 0 的等比數(shù)列,設(shè)數(shù)列 b n 的通項(xiàng) b n =a n 1-ka n 2n N,數(shù)列 a n 、b n 的前 n 項(xiàng)和分別為 Sn ,T n 假如

10、 T n kS n 對(duì)一切自然數(shù) n 都成立,求實(shí)數(shù) k 的取值范疇分析 ：由探尋 Tn 和 S n 的關(guān)系入手謀求解題思路；解： 由于 a n 是首項(xiàng) a 1 0,公比 q-1 且 q 0 的等比數(shù)列,故a n 1 =a n q, a n 2 =a n q 2 所以 b n =a n 1-ka n 2 =a n q-k q 2 T n =b 1+b 2 + +b n =a 1+a 2 + +a n q-k q 2 =S n q-kq 2 依題意,由 T n kS n ,得 Sn q-kq 2 kSn ,對(duì)一切自然數(shù)n 都成立當(dāng) q0 時(shí),由 a10,知 a n 0,所以 S n 0；當(dāng)-1

11、q0 時(shí),由于 a10,1-q 0,1-q n 0,所以 S n =綜合上面兩種情形,當(dāng) q-1 且 q 0 時(shí), Sn 0 總成立由式可得q-kq2 k ,學(xué)習(xí)必備歡迎下載例 420XX 年全國(guó)理 從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益動(dòng)身,某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè),并以此進(jìn)展旅行產(chǎn)業(yè) . 依據(jù)規(guī)劃, 本年度投入 800 萬(wàn)元,以后每年投入將比上年削減 1 . 本年度當(dāng)?shù)芈?游業(yè)收入估量為 400 萬(wàn)元,由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅行業(yè)的促進(jìn)作用,估量今后的旅行業(yè)收入每年會(huì)比上年增加 1； 設(shè) n 年內(nèi) 本年度為第一年 總投入為 an萬(wàn)元, 旅行業(yè)總收入為 bn 萬(wàn)元 . 寫4出 an,bn的表達(dá)式 至少經(jīng)過幾年旅行

12、業(yè)的總收入才能超過總投入 . 解析： 第 1 年投入 800 萬(wàn)元,第 2 年投入 800 （ 1-）萬(wàn)元 ,第 n 年投入 800 （ 1）n1 萬(wàn)元所以總投入 an800800（1） 800 （ 1）n140001（）n同理：第 1 年收入 400 萬(wàn)元,第 2 年收入 400 （ 1）萬(wàn)元, ,第 n 年收入 400 （ 1）n1 萬(wàn)元bn400400 （ 1） 400 （ 1）n 11600 （）n12 bnan0,1600（）n14000 1（）n 0 化簡(jiǎn)得, 5 （）n2 （）n70設(shè) x（）n,5x 27x20 x,x 1（舍 即（）n,n5.說明： 此題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式

13、,數(shù)列求和,不等式等基礎(chǔ)學(xué)問,考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)問解決實(shí)際問題的才能；解數(shù)學(xué)問題應(yīng)用題重點(diǎn)在過好三關(guān)：（1）事理關(guān)：閱讀懂得,知道命題所表達(dá)的內(nèi)容； （2）文理關(guān)：將“ 問題情形” 中的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言,用數(shù)學(xué)關(guān)系式表述大事； （3）數(shù)理關(guān)： 由題意建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型,將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化,并解答這一數(shù)學(xué)模型,得出符合實(shí)際意義的解答；例 5 設(shè)實(shí)數(shù)a0,數(shù)列an是首項(xiàng)為 a ,公比為a 的等比數(shù)列,記naannanlg|a|bnan1 g|an|nN*,S nb 1b 2b n,求證：當(dāng)a1時(shí),對(duì)任意自然數(shù)n 都有S =alga11 n1 1n 1a2解：ana1qn1aan11 n1an；

14、1n1b nanlg|an|1 n1anlg|1 n1an|1 n1nanlg|a|S nalg|a|2a2lg|a|3 a3lg|a|1 n2n1 an1lg|a|a2a23a31 n2n1 an11 n1nanlg|a|學(xué)習(xí)必備歡迎下載1 n1nan1n1記Sa2 a23 a31n2n1 an11 n1nanasa22 a31 n3n2an11 n2n1 an1+得1a saa2a31 n2an11 n2ann1naQa1,1a Sa1n 11an1n 11n an11a 1Sa1 n1an11a1n1nan1an 1a 2Sa1nna 1n1an1a 1 1nna 1n1a21a 2S

15、nalg|a| 11n1 1nna an 1a 2說明 ：本例主要復(fù)習(xí)利用錯(cuò)位相減解決差比數(shù)列的求和問題；關(guān)鍵是先爭(zhēng)論通項(xiàng),確定Cnanbn,an是等差數(shù)列,bn等比數(shù)列；解法一 ：設(shè)等差數(shù)列 a n 的首項(xiàng) a 1=a,公差為 d,就其通項(xiàng)為依據(jù)等比數(shù)列的定義知 S5 0,由此可得一步加工,有下面的解法 解法二：學(xué)習(xí)必備 歡迎下載依題意,得例 7 設(shè)二次方程a x2 -a +1x+1=0n N有兩根 和 ,且滿意6 -2 +6 =31 試用a 表示 an1；P 1x 1,y1,P 2x2,y2,P nxn,yn,對(duì)一切正整數(shù)n ,例 8在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列學(xué)習(xí)必備 歡迎下載點(diǎn) P 位于函

16、數(shù) y 3x 13的圖象上,且 P 的橫坐標(biāo)構(gòu)成以 5為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)4 2列 x n；求點(diǎn) P 的坐標(biāo)；設(shè)拋物線列 c 1 , c 2 , c 3 , , c n , 中的每一條的對(duì)稱軸都垂直于 x 軸,第 n 條拋物線 c 的頂點(diǎn) 為 P , 且 過 點(diǎn) D n 0 , n 2 1 , 記 與 拋 物 線 c n 相 切 于 D n 的 直 線 的 斜 率 為 k n, 求 ：1 1 1；k 1 k 2 k 2 k 3 k nk n 設(shè) S x | x 2 x n , n N , n 1 , T y | y 4 y n , n 1, 等 差 數(shù) 列 a n 的 任 一 項(xiàng)an S

17、T,其中 a 是 S T 中的最大數(shù),265 a 10 125,求 a n 的通項(xiàng)公式；解：（1）x n 5 n 1 1 n 32 213 5 3 5y n 3 x n 3 n , P n n , 3 n 4 4 2 4（2）c 的對(duì)稱軸垂直于 x 軸,且頂點(diǎn)為 P . 設(shè) c 的方程為：y a x 2 n 3 2 12 n 5 ,2 4把 D n ,0 n 2 1 代入上式,得 a 1,c 的方程為：y x 2 2 n 3 x n 21；k n y | x 0 2 n 3,1 1 1 1 1 k n 1 k n 2 n 1 2 n 3 2 2 n 1 2 n 31 1 1 1 1 1 1 1

18、 1 1 k 1 k 2 k 2 k 3 k nk n 2 5 7 7 9 2 n 1 2 n 3= 1 1 1 1 12 5 2 n 3 10 4 n 6（3）S x | x 2 n 3 , n N , n 1,T y | y 12 n 5 , n N , n 1 y | y 2 6 n 1 3 , n N , n 1 S I T T , T 中最大數(shù) a 1 17 . 設(shè) a n 公差為 d ,就 a 10 17 9 d 265 , 125 ,由此得248 d 12 , 又 a n T d 12 m m N *,9*d 24 , a n 7 24 n n N .說明： 本例為數(shù)列與解析幾何

19、的綜合題,難度較大（1）、（ 2）兩問運(yùn)用幾何學(xué)問算出 k ,解決（3）的關(guān)鍵在于算出 S I T 及求數(shù)列 a n 的公差；例 9數(shù)列 a n 中,a 1 8 , a 4 2 且滿意 a n 2 2 a n 1 a n n N *求數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式；設(shè) S n | a 1 | | a 2 | | a n |,求 S ；設(shè) b = 1 n N *, T n b 1 b 2 b n n N *,是否存在最大的整數(shù) m ,n 12 a n 使得對(duì)任意 n N *,均有 T n m 成立？如存在,求出 m 的值；如不存在,請(qǐng)說明理由；32解：（1）由題意,a n 2 a n 1 a n 1

20、a n, a n 為等差數(shù)列,設(shè)公差為 d ,由題意得 2 8 3 d d 2,an 8 2 n 1 10 2 n . （ 2）如 10 2 n 0 就 n 5,n 5 時(shí) , S n | a 1 | | a 2 | | a n |學(xué)習(xí)必備歡迎下載n1 .a 1a2Lan8102nn9 nn2,2n6時(shí),Sna 1a2a5a6a7anS 5S nS 52S 5S nn29n40故Sn9nn240n5n6n29 n（3）bnn 121an2n1111n1 1n2nT n1111111n1111n11222334nn2 n如Tnm對(duì)任意nN*成立,即nn1m對(duì)任意nN*成立,321691n11n3

21、nn1nN*的最小值是1 ,2m1,m的最大整數(shù)值是7；162即存在最大整數(shù)m7,使對(duì)任意nN*,均有Tnm.32說明： 本例復(fù)習(xí)數(shù)列通項(xiàng),數(shù)列求和以及有關(guān)數(shù)列與不等式的綜合問題；例 10如圖,在 y 軸的正半軸上依次有點(diǎn)A 1,A 2,An,其中點(diǎn)A 101, ,A 20 , 10,且|A n1A n|3|AnA n1|n23, ,4 ,在射線yxx0 上依次有點(diǎn)B 1,B2,B n,點(diǎn)B 的坐標(biāo)為（ 3,3）,且|OB n|OB n1|22n2,3,4,用含 n 的式子表示|A nA n1|；用含 n 的式子表示A , nBn的坐標(biāo)；求四邊形AnA n1Bn1Bn面積的最大值；解：（ 1）

22、|A nA n1|1,且|A 1A 2|1019,|A nA n1|A 1A 2|1n1|A n1A n|3333（2）由（ 1）得|A 1A 2|A2A 3|AnAn|9311n42711n43223點(diǎn)A n的坐標(biāo) 0 ,2711n4,|OB n|OB n1|22 且|OB 1|32223|OB n|是以32為首項(xiàng),22為公差的等差數(shù)列12|OBn|32n1 22 2n1 2B n的坐標(biāo)為2 n,1 2 n1 （3）連接A nBn1,設(shè)四邊形AnA n1Bn1B 的面積為S ,就S n29SA nAn1B n1SB nB n1A n311n32 n13S n12229271n23 n2223

23、29 n6,S n1S n0 ,即S n,S n單調(diào)遞減 . 為等差,（ 3）利用23n13n1S 的最大值為S 129947. 22說明 ：本例為數(shù)列與幾何的綜合題；由題意知|AnAn1|為等比,|OBn|函數(shù)單調(diào)性求最值；學(xué)習(xí)必備 歡迎下載例 11設(shè)正數(shù)數(shù)列 a n 為一等比數(shù)列,且 a 2 =4,a 4 =16說明： 這是 2022 年全國(guó)高考上海試題,涉及對(duì)數(shù)、數(shù)列、極限的綜合題,主要考查等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式,等差數(shù)列前 合運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)問的才能n 項(xiàng)和公式,對(duì)數(shù)運(yùn)算,求數(shù)列極限等基礎(chǔ)學(xué)問,以及綜例 12已知拋物線 x 24 y ,過原點(diǎn)作斜率 1 的直線交拋物線于第一象限內(nèi)一點(diǎn) 1P

24、 ,又過點(diǎn) P 1作斜率為1 的直線交拋物線于點(diǎn) P ,再過 2P 作斜率為 1 的直線交拋物線于點(diǎn) P , L ,如此繼2 4續(xù),一般地,過點(diǎn) P 作斜率為 1n的直線交拋物線于點(diǎn) P n 1,設(shè)點(diǎn) P x n , y n 2（）令 b n x 2 n 1 x 2 n 1,求證：數(shù)列 b n 是等比數(shù)列（）設(shè)數(shù)列 nb 的前 n 項(xiàng)和為 S ,試比較3 S n 1 與 1 的大小4 3 n 102 2解：（1）由于 P n x n , y n 、P n 1 x n 1 , y n 1 在拋物線上,故 x n 4 y n , x n 1 4 y n 1 ,又因?yàn)橹本€ P P n 1 的斜率為2

25、 1n,即 yx nn 11 yx n n 12,代入可得2 21 x n 1 x n 1 1n x n 1 x n n 24 x n 1 x n 2 2b n x 2 n 1 x 2 n 1 x 2 n 1 x 2 n x 2 n x 2 n 1 2 1n 2 2 1n 3 2 1n 2,故 b n 1 1 b n 是以1 為公比的等比數(shù)列；2 2 2 b n 4 4（2）S n 41 1n 3S n 1 1n,故只要比較 4 n 與 3 n 10 的大小3 4 4 4方法（一）4 n1 3 n1 C 1n 3 C n 23 2L 1 3 n n n 13 21 3 n 9 3 n 10 n

26、 3,2當(dāng) n 1 時(shí),3 S n 1 1；當(dāng) n 2 時(shí)3 S n 1 1；4 3 n 10 4 3 n 10學(xué)習(xí)必備歡迎下載N 時(shí)有 4 k3kk10, 10. 當(dāng)n3,nN 時(shí),3 4S n13 n110方法（二）用數(shù)學(xué)歸納法證明,其中假設(shè)nk k3,k就當(dāng)nk1 時(shí),4k14 4k43k103k1109k2713a n ,是公差為 -1 的等差數(shù)列,又2a 2 -a 1, 2a 3 -a 2 , , 2an1-a n ,1 求數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式；2 運(yùn)算 a 1+a 2 + +a n 分析： 由于題設(shè)中的等差數(shù)列和等比數(shù)列均由數(shù)列 項(xiàng)公式構(gòu)造關(guān)于 a n 的方程組an 的相關(guān)項(xiàng)構(gòu)

27、成,分別求出它們的通解： 1 設(shè) b n =log 2 3an1-a n ,由于 bn 是等差數(shù)列, d=-1 b1=log23an1-a n 2n設(shè) c n =2 an1-a n ,c n 是等比數(shù)列,公比為q,|q| 1,c 1=2a 2 -a 1 =例 14等比數(shù)列 a n 中,已知 a1 0,公比 q0,前 n 項(xiàng)和為 Sn ,自然數(shù) b,c,d,e 滿意 bcde,且 b+e=c+d求證： S b S e Sc Sd n 項(xiàng) Sn 的問題,第一考慮q=1 的情形,證明條件不等式時(shí),正分析 ：凡是有關(guān)等比數(shù)列前確適時(shí)地應(yīng)用所給的條件是成敗的關(guān)鍵學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 證明不等式首選方法是差

28、比較法,即作差變形判定符號(hào),變形要有利于判定符號(hào) be-cd=c+d-ee-cd=ce+de-e2-cd=c-ee-d由于 ce,de,所以 c-e 0,e-d 0,于是 c-ee-d0又同理 要比較 S b S e與 Sc S d 的大小,只要比較1-qb1-qe與1-qc1-qd的大小,仍舊運(yùn)用差比較法 1-qb1-qe-1-qc1-qd=qc+qd-qb-qe=qc-qb-qe-qd 能否將 qc-qb 用 qe-qd 表示是上式化成積的關(guān)鍵,利用給定的 c+d=b+e,尋求變形的途徑,c=b+e-d ,d、e 顯現(xiàn)了,于是 qc-qb=qb+e-d-qb=qbqe-d-1=qbq-dq

29、e-qd恒等變形只有目標(biāo)明確,變形才能有方向 上式 =qbq-dqe-qd-qe-qd=qe-qdqbq-d-1=q-dqe-qdqb-qd由于 q 0所以q-d 0 運(yùn)用函數(shù)的思想將問題轉(zhuǎn)化為依據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判別乘積的符號(hào) 事實(shí)上,由bde,q0,當(dāng) 0q1 時(shí), y=qx 是減函數(shù), qeqd,qbqd,即 qe-qd 0,qb-qd 0；當(dāng) q1 時(shí), y=qx 是增函數(shù), qeqd,qbqd,即 qe-qd 0,qb-qd 0所以無(wú)論 0 q1 仍是 q1,都有 qe-qd 與 qb-qd 異號(hào),即 qe-qdqb-qd0綜上所述,無(wú)論 q=1 仍是 q 1,都有 Sb Se S

30、cS d 說明： 復(fù)習(xí)課的任務(wù)在于對(duì)學(xué)問的深化,對(duì)才能的提高、關(guān)鍵在落實(shí)依據(jù)上面所爭(zhēng)論的問題,進(jìn)一步提高運(yùn)用函數(shù)的思想、方程的思想解決數(shù)列問題的才能例 15（ 20XX 年北京春季高考）如圖,在邊長(zhǎng)為 l 的等邊 ABC中,圓 O1 為 ABC的內(nèi)切圓,圓 O2 與圓 O1外切,且與 AB,BC相切, ,圓 On+1與圓 On外切,且與 AB,BC相切,如此無(wú)限繼續(xù)下去 . 記圓 On 的面積為 . （）證明 是等比數(shù)列；（）求 的值 . （）證明 ：記 rn 為圓 On的半徑,就學(xué)習(xí)必備 歡迎下載所以故 成等比數(shù)列 . （）解： 由于 所以說明： 本小題主要考查數(shù)列、數(shù)列極限、三角函數(shù)等基本

31、學(xué)問,考查規(guī)律思維才能 . 七、強(qiáng)化訓(xùn)練1設(shè) S n 和 T n 分別為兩個(gè)等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和,如對(duì)任意n N,（）A43 B32 C74 D7871 2一個(gè)首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列中,前 3 項(xiàng)的和等于前 11 項(xiàng)的和,當(dāng)這個(gè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和最大時(shí), n 等于（）A5 B6 C7 D8 2 *3如數(shù)列 a n 中,a 1 3,且 a n 1 a n n N ,就數(shù)列的通項(xiàng) a n4設(shè)在等比數(shù)列 a n 中,a 1 a n 66 , a 2 a n 1 128 , S n 126 , 求 n 及 q5依據(jù)下面各個(gè)數(shù)列 a n 的首項(xiàng)和遞推關(guān)系,求其通項(xiàng)公式* a 1 ,1 a n 1 a n

32、2 n n N a 1 ,1 a n 1 na n n N * n 1 a 1 ,1 a n 1 1a n 1 n N *26數(shù)列 a n 的前 n 項(xiàng)和 S n 1 ra n r 為不等于 0,1 的常數(shù) ,求其通項(xiàng)公式 a n7某縣位于沙漠地帶,人與自然長(zhǎng)期進(jìn)行著堅(jiān)強(qiáng)的斗爭(zhēng),到 20XX年底全縣的綠化率已達(dá) 30%；從 20XX 年開頭,每年將顯現(xiàn)這樣的局面,即原有沙漠面積的 于各種緣由,原有綠化面積的 4%又被沙化；16%將被綠化,與此同時(shí),由（1）設(shè)全縣面積為 1,20XX年底綠化面積為 a 1 3 , 經(jīng)過 n 年綠化總面積為 a n 1 .10求證 a n 1 4 4a n .25

33、 5（2）至少需要多少年（年取整數(shù),lg 2 0 . 3010）的努力,才能使全縣的綠化率達(dá)到 60%？8（ 20XX年春招試題） 已知點(diǎn)的序列（,0）,其中 =0,A3是線錢 A1A2 的中點(diǎn), A4 是線段 A2A3的中點(diǎn), , An是線段 的中點(diǎn), ；（I ）寫出 與、之間的關(guān)系式（3）（II ）設(shè),運(yùn)算,由此估量數(shù)列 的通項(xiàng)公式,并加以證明；學(xué)習(xí)必備歡迎下載n,an與 2994 年全國(guó)理 設(shè) an是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n 項(xiàng)和為 Sn,并且對(duì)全部自然數(shù)的等差中項(xiàng)等于Sn 與 2 的等比中項(xiàng) . 1 寫出數(shù)列 an的前三項(xiàng)；2 求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式 寫出推證過程 ；3 令 bn= nN

34、,求： b1+b2+ +bn- n. 八、參考答案1解：設(shè)這兩個(gè)等差數(shù)列分別為 an 和bn 故挑選 A說明： 留意奇妙運(yùn)用等差中項(xiàng)的性質(zhì)來反映等差數(shù)列的通項(xiàng) 在聯(lián)系2解： 依題意知數(shù)列單調(diào)遞減,公差 d0由于an 與前 2n-1 項(xiàng)和 S2n-1 的內(nèi)S3=S11=S3+a4+a5+ +a10+a11 所以 a4+a5+ +a7+a8+ +a10+a11=0 即 a4+a11= =a7+a8=0,故當(dāng) n=7 時(shí), a70,a80挑選 C解挑選題留意發(fā)揮合理推理和估值的作用3解：多次運(yùn)用迭代,可得a na n12 a n22 2 a n222La 12n12 n312n14解：a2a n11

35、28 ,a1a n128,又a 1an66,由以上二式得a 12,an64或a 164,an2；由此得n6 g2或1 . 2說明：本例主要復(fù)習(xí)數(shù)列的基本運(yùn)算和方程思想的應(yīng)用；5解：（1）an1an2n,an1an2 n,ana 1a 2a1a3a2anan1121221nn1n2n1（2）ann1nn1ana 1a2a 3an1=112nn11aa 1a 2an23n11a11又解：由題意,n1a n1nan對(duì)一切自然數(shù)n 成立,nann1 an1an1.11an1an121 an2 a n2 是首項(xiàng)為a 12n（3）an,22公比為1 的等比數(shù)列,2an211n1,an21n1.22an1說明 ：本例復(fù)習(xí)求通項(xiàng)公式的幾種方法：迭加法、迭乘法、構(gòu)造法；6解：由S n1ran可得當(dāng)n2時(shí)S n11ran1,S nS n1rana nranran1,anr1ran1,r,1an1rr1,r0,an是公an學(xué)習(xí)必備歡迎下載n1；比為rr1的等比數(shù)列 . 又當(dāng)n1時(shí),S 11ra1,a111r,an11rrr1說明： 本例復(fù)習(xí)由有關(guān)S 與a 遞推式求a ,關(guān)鍵是利用S 與a 的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化；4 57（ 1）證明：由已知可得a 確定后,an1表示如下：an1=an 14 % 1an16%即an14 =80% a +16%