多體相互作用的量子體系課件

1、人民大學(xué)物理系 韓強(qiáng)第三章、相互作用量子系統(tǒng)第零節(jié)、二次量子化回顧三步完成二次量子化（捷徑、不必嚴(yán)謹(jǐn)）1，單粒子力學(xué)量的對(duì)角表象簡(jiǎn)單的、特殊的2，數(shù)數(shù)counting3，表象變換一般化多粒子問題的一次量子化描述N粒子態(tài)矢與力學(xué)量：缺點(diǎn)1：缺點(diǎn)2：對(duì)于粒子數(shù)不守恒的系統(tǒng)處理不方便！引入多粒子問題的二次量子化描述態(tài)矢與力學(xué)量分別進(jìn)行二次量子化的態(tài)矢空間(態(tài)空間)Fock空間其中：HN 代表粒子數(shù)為 N 的全同粒子系統(tǒng)的Hilbert空間1，F(xiàn)ock空間的基矢占據(jù)數(shù)表示，F(xiàn)ock表示回憶：N粒子波函數(shù)的構(gòu)造：Fock空間：將各種粒子數(shù)的全同粒子系統(tǒng)的態(tài)(Hilbert)空間作直和，組成一個(gè)巨Hilb

2、ert空間舉例：3D箱中的無自旋單粒子或或基矢：坐標(biāo)算符：x, y, z的共同本征態(tài)動(dòng)量算符：px, py, pz的共同本征態(tài)有自旋單粒子注：態(tài)指標(biāo)i依賴于力學(xué)量的選取！1.2、Fock空間基矢的占據(jù)數(shù)表示該基矢描述了任意單粒子態(tài)i上粒子的占據(jù)情況；是力學(xué)量完全集（一般情況下，無窮多）的共同本征態(tài)！：完備性?。毫W(xué)量完全集！2，單體力學(xué)量的二次量子化單體力學(xué)量(一次量子化的定義)：N個(gè)粒子各自的力學(xué)量之和.例如總動(dòng)量，總動(dòng)能，總外勢(shì)能，總角動(dòng)量、總自旋，粒子數(shù)例：理想氣體的哈密頓量：?jiǎn)瘟Ｗ庸茴D量一次量子化：N粒子單體力學(xué)量：?jiǎn)瘟Ｗ恿W(xué)量問題：如何二次量子化？第一步：取單粒子哈密頓量的本征態(tài)矢

3、為基矢：h的對(duì)角表象！第二步：數(shù)數(shù)核心思想：(1) 對(duì)角表象 (2) 數(shù)數(shù)注：看起來似乎(過分)簡(jiǎn)單、甚至平庸！推廣到任意單體力學(xué)量的二次量子化一次量子化：取 f 的本征態(tài)作為單粒子空間的基矢：N粒子單體力學(xué)量：?jiǎn)瘟Ｗ恿W(xué)量：f的對(duì)角表象！F的二次量子化(對(duì)角表象)：注：疑慮仍然存在，看起來雖然簡(jiǎn)單但似乎并不普遍！單體力學(xué)量的二次量子化用產(chǎn)生消滅算符表達(dá)，選擇單粒子基矢是單粒子算符f的本征基矢！任意單粒子基矢情況：最后一步：表象變換利用單粒子基矢的表象變換：得到產(chǎn)生、消滅算符的表象變換：代入總結(jié)：任意單體力學(xué)量在任意單粒子基下的二次量子化hermitian conjugate 例：粒子數(shù)算符在

4、任意單粒子基下都是對(duì)角的任意單體力學(xué)量的一次量子化粒子數(shù)的一次量子化二次量子化兩個(gè)有用的公式：公式1：公式2：證明：利用單粒子基的完備性利用分部積分，可以得到其等價(jià)形式：直接由坐標(biāo)表象的結(jié)果推廣到有磁矢勢(shì)的情況：等價(jià)形式：嚴(yán)格的推導(dǎo)：動(dòng)量的一次量子化例：總動(dòng)能算符的二次量子化形式 (3D箱)得到：存在磁矢勢(shì)的情況：例：箱中的電子系統(tǒng)，其自旋的二次量子化例2：對(duì)于以下幾種單粒子(電子， 自旋)密度量的二次量子化1，2，3，粒子數(shù)密度電流密度自旋密度選擇坐標(biāo)表象：例：粒子數(shù)密度物理意義： R附近體積元中的粒子數(shù)！XYZ0容易驗(yàn)證：?jiǎn)瘟Ｗ恿W(xué)量：注：不要與第一章中的密度算符混淆，盡管存在聯(lián)系！例：自

5、旋密度算符例：電流密度算符一次量子化二次量子化一次量子化二次量子化推廣到有磁矢勢(shì)的情況：考察哈密頓量的含磁矢勢(shì)的部分：與磁矢勢(shì)對(duì)應(yīng)的廣義力即為電流密度算符的積分！取f的單粒子本征矢作為基矢：同一單粒子態(tài)上的粒子之間的相互作用能不同單粒子態(tài)上的粒子之間的相互作用能相互作用在對(duì)角表象中的二次量子化數(shù)數(shù)二次量子化(過程略去)：下一步：表象變換其中：二體力學(xué)量的二次量子化完成！例：三維箱中的相互作用勢(shì)能的二次量子化（動(dòng)量空間）一次量子化：通項(xiàng)二次量子化(坐標(biāo)表象)：?jiǎn)栴}：如何化到動(dòng)量表象？方法1：利用場(chǎng)算符的表象變換方法2：利用公式采用方案2：變量代換重要公式：最后一步，用到了互作用勢(shì)的傅里葉變換！匯

6、總：排斥勢(shì)常用形式！吸引勢(shì)常用形式！相互作用的物理過程散射：散射過程（忽略自旋）：初態(tài)是H0的任一本征態(tài)！第零節(jié)、練習(xí)題1）短程二體勢(shì)：2）長(zhǎng)程二體勢(shì)：Fourier變換得到Fourier變換得到有外場(chǎng)的三維箱中的相互作用全同粒子系TOE其中：習(xí)題：零溫情況，3D箱，寫出以下基態(tài)的二次量子化形式1，N個(gè)玻色子(無自旋，有質(zhì)量)處于基態(tài)2，N個(gè)電子處于基態(tài)例題：理想玻色氣體中的非對(duì)角長(zhǎng)程序考察單粒子約化密度矩陣：?jiǎn)瘟Ｗ蛹s化密度算符在動(dòng)量空間是對(duì)角的！考察本征值：是否存在非對(duì)角長(zhǎng)程序？非對(duì)角長(zhǎng)程序！完成對(duì)k的積分，有注意：例題：理想費(fèi)米氣體中的Friedel Oscillation零溫下費(fèi)米氣體中

7、的Friedel Oscillation思考題：溫度對(duì)Friedel Oscillation的影響（可以考慮高溫極限，即玻尓茲曼分布）第一.1節(jié)、二次型哈密頓量的對(duì)角化：線性代數(shù)里面的二次型函數(shù)Bilinear, Quadratic：上一節(jié)的哈密頓量的具有類似的形式一般的單體Hamiltonian厄密算符厄密性目標(biāo)：將二次型哈密頓量對(duì)角化！找到本征能量與本征基！即：哈密頓量的矩陣形式：U：Unitary Matrix厄密矩陣的(形式)對(duì)角化哈密頓量的對(duì)角化對(duì)角化完成找到了(單粒子)本征能量與本征基！滿足代數(shù)：注1單粒子基的變換注2粒子數(shù)算符始終是對(duì)角的注3逆變換注4無相互作用多粒子問題再討論巨

8、配分函數(shù)：易證：練習(xí)題：利用注3！舉例1：耦合二能級(jí)（態(tài)）系統(tǒng)的對(duì)角化單粒子基：可以化為耦合二能級(jí)系統(tǒng)的問題：H2，磁場(chǎng)中的電子自旋，聚乙烯，Graphene(石墨烯)等等！總粒子數(shù)！的對(duì)角化！本征能量：變換矩陣U的解法本征方程的求解本征函數(shù)的求解過程：決定了u,v之間的相對(duì)位相！決定了u,v的幅度！一般約定 u 為正的實(shí)數(shù)，即位相為0！定出v的位相以下討論僅限于 t為負(fù)實(shí)數(shù)！不妨令：本征方程求解完畢！Hamiltonian的對(duì)角化：“成鍵態(tài)”與“反鍵態(tài)” ：+e-e+e單電子hamiltonian的一次量子化形式！難以嚴(yán)格對(duì)角化！H2中的電子問題(忽略相互作用)首先建立在雙質(zhì)子勢(shì)場(chǎng)中的電子H

9、amiltonian的二次量子化形式其中：?jiǎn)瘟Ｗ踊倪x?。憾芗?jí)簡(jiǎn)化！代表中心在R點(diǎn)的氫原子本征態(tài)矢！即：為基態(tài)矩陣元的計(jì)算：Tight Binding近似反鍵態(tài)！成鍵態(tài)！舉例2：H2的推廣一維分子鏈，能帶123N-1N1D鏈 周期邊條件晶格常數(shù)：a=1格點(diǎn)數(shù)：N鏈長(zhǎng)：L=Na=N單粒子基：在位能：躍遷能：-t消滅算符：ii+1i-1ii+1周期性！如何對(duì)角化？利用Hamiltonian的平移對(duì)稱性本征態(tài)應(yīng)是平面波！類比連續(xù)體系：利用場(chǎng)算符的Fourier變換！或1維分立體系(周期性邊條件)的平面波函數(shù)：幺正變換！態(tài)矢易證：利用：逆變換：代入Hamiltonian中的1項(xiàng)利用取厄密共軛，推出：

10、對(duì)角化完成！-22N = 20單粒子態(tài)密度的計(jì)算：舉例3：一維閉鏈的推廣二維正方網(wǎng)格 (周期邊條件)NN(m,n)(m-1,n)(m+1,n)(m,n+1)(m,n-1)第一.1節(jié)、練習(xí)1請(qǐng)對(duì)角化該哈密頓量，得到本征能譜，并分析其能帶寬度與 t 和 t 的關(guān)系。123N-1N一維閉鏈近鄰與次近鄰跳遷i+1i+2ii-1i-2第一.1節(jié)、練習(xí)21232N-12N周期邊條件！請(qǐng)對(duì)角化該哈密頓量，得到本征能譜，并作圖(N趨于無窮)注：一維閉鏈二聚化！123. . .N-1N1D開鏈開放邊條件哈密頓量的對(duì)角化思考題：1二維三角網(wǎng)格的哈密頓量的對(duì)角化思考題：2注：每個(gè)格點(diǎn)有6個(gè)最近鄰二維蜂巢網(wǎng)格的哈密頓

11、量的對(duì)角化Graphene思考題：3碳60分子：思考題：4碳納米管：思考題：5第一.2節(jié)、Bloch-de Dominisis 定理已對(duì)角化的單體廣義哈密頓量！目的：計(jì)算“偶數(shù)”個(gè)產(chǎn)生消滅算符乘積的系綜平均（Wick定理）定義 兩個(gè)算符乘積的“收縮”：定義： 2s 個(gè)算符乘積的“完全收縮系”：將乘積分成 s 對(duì)，并將每一對(duì)算符代之以相應(yīng)的收縮，在費(fèi)米統(tǒng)計(jì)下還須乘以(-1)P，其中P代表全部算符從原來位置變到各自收縮中相鄰位置時(shí)，所必需的對(duì)換數(shù)。其中P為由序列(123456)變到(152346)時(shí)的對(duì)換數(shù)，所以P = 3。2s 個(gè)算符的乘積可以構(gòu)成Bloch-de Dominisis 定理：對(duì)于

12、已對(duì)角化的單體哈密頓量，產(chǎn)生消滅算符乘積的統(tǒng)計(jì)平均值等于這個(gè)乘積所有可能的完全收縮系之和?？梢运愠觯阂饬x：把一系列算符乘積的平均化成最小單位“二元”平均的乘積之和Bloch-de Dominisis 定理推論對(duì)于可對(duì)角化的單體哈密頓量，產(chǎn)生消滅算符乘積的統(tǒng)計(jì)平均值等于這個(gè)乘積所有可能的完全收縮系之和。引理 1：證明：Bloch-de Dominisis 定理的證明：引理 2：運(yùn)動(dòng)方程解法！引理 3：綜合引理2、3：對(duì)于產(chǎn)生或消滅算符 A引理 4：證明：下面只針對(duì)玻色統(tǒng)計(jì)，有歸納法：引理 5！對(duì)上式左右兩邊取統(tǒng)計(jì)平均：注解 1：利用引理 4，注解 2：2s2(s-1)重復(fù)以上過程，針對(duì)玻色統(tǒng)計(jì)情

13、況的Bloch-de Dominisis定理得證！作業(yè)：證明對(duì)于費(fèi)米統(tǒng)計(jì)，思考：Bloch-de Dominisis定理與Wick定理的聯(lián)系與區(qū)別？為什么引入平均場(chǎng)方法？無相互作用的多粒子系統(tǒng)，只要知道單粒子態(tài)（本征能量、本征態(tài)矢），就可以知道多粒子系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)?。y度：?jiǎn)瘟Ｗ庸茴D量的對(duì)角化）(b) 有相互作用的多粒子系，占據(jù)數(shù)表象不再是系統(tǒng)的本征表象（系統(tǒng)的本征能量 不再是單個(gè)能級(jí)上的粒子能量之和），因此需要知道整個(gè)系統(tǒng)的量子態(tài)！ 而不僅僅是單粒子態(tài)?。y度：多粒子哈密頓量的對(duì)角化）第一.3節(jié)、Hartree-Fock“自洽”平均場(chǎng)方法平均場(chǎng)方法化二體算符為單體算符的近似方法！有相互作用

14、時(shí)的Hamiltonian|n代表的是多粒子能量本征態(tài)統(tǒng)計(jì)力學(xué)變分原理：已知Hamiltonian：密度矩陣：熱力學(xué)勢(shì)：做任意分解：密度矩陣：其中：意義：對(duì)于一個(gè)難以對(duì)角化的哈密頓量，可以嘗試將其分解出一個(gè)容易對(duì)角化的部分，嘗試得到巨勢(shì)的較好的估計(jì)！證明：利用第一章引理Hartree-Fock近似將難以對(duì)角化的二體項(xiàng)近似為容易對(duì)角化的單體項(xiàng)的一種辦法，T=0 K時(shí)，二體項(xiàng)可以利用Wick定理進(jìn)行分解：常數(shù)項(xiàng)！4個(gè)單體項(xiàng)！Hartree-Fock近似：T=0K時(shí)，代表基態(tài)平均！T0K時(shí)，代表系綜平均（密度矩陣待定）！HartreeDirectFockExchangeHartree平均場(chǎng)Fock平

15、均場(chǎng)注意：平均場(chǎng)哈密頓量中的系綜平均如何進(jìn)行仍未可知！顯然綜合：Hartree-Fock“自洽”平均場(chǎng)方法！Hartree-Fock自洽方程（組）：其中：兩端都含有未知量更一般的：Hartree-Fock-Bogoliubov自洽平均場(chǎng)Hartree-Fock-Bogoliubov自洽方程（組）：特例：坐標(biāo)空間的Hartree-Fock近似費(fèi)米子自能的概念self energy：粒子間相互作用對(duì)單粒子能量的貢獻(xiàn)！HartreeDirectFockExchange第一.4節(jié)、金屬巡游鐵磁理論Hubbard模型的平均場(chǎng)解法電子間的相互作用(庫(kù)侖排斥)會(huì)導(dǎo)致自發(fā)磁化鐵磁：Fe：Tc=1043K Ni

16、：Tc=628KCo：Tc=1388K理想（無相互作用）電子氣的Pauli順磁性：FerromagnetismParamagnetism練習(xí)！單帶Hubbard模型：平均場(chǎng)近似：注意：區(qū)別于描述“局域”自旋的模型Heisenberg模型考慮空間均勻的情況：即平均值與空間位置無關(guān)已對(duì)角化！“理想”電子氣體！但是：m: 描述鐵磁-順磁相變的序參量！由相互作用導(dǎo)致的“等效” “自洽”的磁場(chǎng)Pauli順磁是由外磁場(chǎng)引起的，而鐵磁性是存在相互作用的情況下的“自發(fā)磁化”現(xiàn)象！Pauli順磁相比：建立自洽方程：0其中N代表格點(diǎn)總數(shù)，f(E)為費(fèi)米分布函數(shù)關(guān)于平均場(chǎng)m,n的自洽方程組！求和化積分：用一個(gè)近似：

17、當(dāng)費(fèi)米能量在能帶底部附近時(shí)，可以將電子色散關(guān)系近似為拋物線型，從而態(tài)密度近似為3D自由電子態(tài)密度！結(jié)合Pauli順磁的知識(shí)，求解該方程組并不困難！ T=0K 的情況Stoner判據(jù)Stoner判據(jù)！圖解法！練習(xí)題：U至少要多大才能在零溫時(shí)達(dá)到飽和磁化！居里溫度Tc的確定：利用T-Tc時(shí)，m-0, 將右邊展開到m的線性項(xiàng)要求：二維正方晶格上Hubbard模型的反鐵磁(自旋密度波)態(tài)(m,n)(m-1,n)(m+1,n)(m,n+1)(m,n-1)Hartree平均場(chǎng)近似練習(xí)：1), 利用產(chǎn)生消滅算符的傅里葉變換將上述哈密頓量在動(dòng)量空間中表達(dá)；2), 將變換后的哈密頓量對(duì)角化；3), 給出序參量m

18、的自洽方程，并在半滿(格點(diǎn)平均電子數(shù)=1)的情況下進(jìn)行討論。自旋(電荷)密度波，超導(dǎo)等實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象建立模型哈密頓量平均場(chǎng)哈密頓量對(duì)角化序參量自洽方程，平均場(chǎng)自由能，熱力學(xué)量等Hartree-Fock近似二次型(單體)哈密頓量二體哈密頓量第二節(jié)、超導(dǎo)理論中的二次型“哈密頓量”的對(duì)角化二能級(jí)系統(tǒng)費(fèi)米子代數(shù)：可見：目標(biāo)是求巨配分函數(shù)：在1.1節(jié)中由于可以同時(shí)對(duì)角化！僅僅把 H 對(duì)角化無助于問題的解決！注意與1.1節(jié)的區(qū)別！需要把這個(gè)量對(duì)角化！廣義哈密頓量！常數(shù)不會(huì)帶來困難：Nambu 表示為什么Nambu表示？(Fermion) particle-hole transformation!回到1.1節(jié)的二

19、能級(jí)系統(tǒng)！c仍是費(fèi)米子算符!本征能量：本征向量：令本征能量與本征向量對(duì)角化完成 ！稱為：Bogoliubov準(zhǔn)粒子算符！Bogoliubov準(zhǔn)粒子變換！Bogoliubov準(zhǔn)粒子是粒子與空穴的線性組合！反對(duì)易關(guān)系驗(yàn)證：Bogoliubov逆變換討論1：體系的基態(tài)能量(嚴(yán)格說應(yīng)該是巨熱力學(xué)勢(shì))T=0K代表Bogoliubov準(zhǔn)粒子的數(shù)目對(duì)角化之后的討論基態(tài)“能量”與基態(tài)波函數(shù)討論2：體系的基態(tài)波函數(shù)準(zhǔn)粒子真空態(tài)！二能級(jí)費(fèi)米系統(tǒng)的Fock空間的基：或基態(tài)波函數(shù)的構(gòu)建：利用準(zhǔn)粒子真空的條件，確定疊加系數(shù)x!歸一化的波函數(shù)！直接驗(yàn)證其他思路！本征態(tài)：薛定諤方程：等等！練習(xí)題1：求任意溫度下的平均粒子數(shù)

20、提示：利用練習(xí)題2：驗(yàn)證任意溫度下序參量第三節(jié)、玻色超流理論中的二次型哈密頓量的對(duì)角化：二能級(jí)系統(tǒng)玻色子代數(shù)：Intuition：Nambu once again?Fail! Because no particle-hole transformation for boson!Whats this?Who knows!Solution：Bogoliuvbov quasiparticle transformation again!Bogoliubov 準(zhǔn)粒子算符：粒子產(chǎn)生-消滅算符的線性組合！容易得到逆變換：u, v由一下條件確定1）準(zhǔn)粒子滿足的對(duì)易關(guān)系2）使哈密頓量對(duì)角化逆變換！Bogoliuv

21、bov quasiparticle inverse-transformation!u, v的確定目標(biāo)：對(duì)角化！要求：將代入以上哈密頓量，合并同類項(xiàng)聯(lián)立？對(duì)角化完成！將代入哈密頓量玻色超流費(fèi)米超導(dǎo)總結(jié)：變換逆變換討論1：體系的基態(tài)能量，T=0K代表Bogoliubov準(zhǔn)粒子的數(shù)目對(duì)角化之后的討論基態(tài)“能量”與基態(tài)波函數(shù)討論2：體系的基態(tài)基態(tài)是準(zhǔn)粒子真空態(tài)！二能級(jí)玻色系統(tǒng)Fock空間的基：基態(tài)波函數(shù)的構(gòu)建：利用準(zhǔn)粒子真空的條件，確定疊加系數(shù)C(na,nb)!利用公式合并同類項(xiàng)即：12遞推關(guān)系！由遞推關(guān)系聯(lián)系的點(diǎn)構(gòu)成線！如圖所示：同理，由001020由遞推關(guān)系，以及可知：綜合：相干態(tài)！對(duì)于費(fèi)米超導(dǎo)二

22、次型哈密頓量的基態(tài)：?jiǎn)栴}：玻色超流哈密頓量的基態(tài)可以表達(dá)成相干態(tài)的形式，那么費(fèi)米超流問題呢？練習(xí)題：?jiǎn)文芗?jí)玻色超流哈密頓量1）、已知玻色子廣義哈密頓量：引入Bogoliubov變換其中 u, v 0練習(xí)：2）、上題中玻色子哈密頓量若含有線性項(xiàng)，即其中C為實(shí)常數(shù)，將該哈密頓量對(duì)角化思考題1：請(qǐng)計(jì)算玻色超流基態(tài)波函數(shù)的歸一化因子C(0,0)思考題2：對(duì)玻色超流體系，嘗試建立一種矩陣對(duì)角化方法？第二節(jié)補(bǔ)充、(電子)超導(dǎo)理論中的二次型哈密頓量的對(duì)角化更一般情況的討論2n能級(jí)系統(tǒng)n=1 時(shí)，回到第二節(jié)！Nambu表示：用計(jì)算機(jī)將2n*2n的厄密矩陣對(duì)角化即可！2n*2n維方程！稱為Bogoliubov-

23、de Gennes(BdG)方程！BdG方程第三節(jié)補(bǔ)充、玻色超流理論中的二次型哈密頓量的對(duì)角化更一般情況的討論n能級(jí)系統(tǒng)n=2 時(shí)，回到第三節(jié)！n=1時(shí)回到第三節(jié)習(xí)題！可以證明：引入廣義Bogoliubov準(zhǔn)粒子變換：Bogoliubov準(zhǔn)粒子變換的矩陣形式：分塊！由Bogoliubov變換引入的準(zhǔn)粒子產(chǎn)生消滅算符須滿足矩陣形式：類似于歸一化條件！類似于正交條件！逆矩陣！代入Bogoliubov變換:得到逆變換：逆變換！參數(shù) u, v 應(yīng)使哈密頓量對(duì)角化：由此可以得到參數(shù) u, v 滿足的方程。首先考察準(zhǔn)粒子產(chǎn)生消滅算符滿足的運(yùn)動(dòng)方程：其次考察原粒子產(chǎn)生消滅算符滿足的方程：變換參數(shù) u, v

24、所滿足的本征方程？將逆變換代入上式：并考慮到準(zhǔn)粒子算符的運(yùn)動(dòng)方程，得到比較準(zhǔn)粒子產(chǎn)生、消滅算符的系數(shù)本征方程！矩陣形式：決定本征值的方程！問題 1：本征值是 實(shí)數(shù) 嗎？考察內(nèi)積：兩端取厄密共軛，并利用問題 2：久期方程是 2n 維的，應(yīng)該有 2n 個(gè)本征態(tài)，但是最初裸玻色子只有n個(gè)能級(jí)，因此應(yīng)該從2n的本征態(tài)中選擇n個(gè)！如何選??？引理：若存在本征值 E, 則E 也是本征值！由其中，E對(duì)應(yīng)的本征態(tài)為-E 對(duì)應(yīng)的本征態(tài)為：因此，久期方程的 2n 個(gè)本征值可分為 n 對(duì) (E,-E)，為保證結(jié)果的正定性，應(yīng)取大于0的 n 個(gè)本征值！第四節(jié)、玻色超流體的宏觀(Landau)與微觀(Bogoliubov

25、)理論1、液He4的超流現(xiàn)象回顧He4 氣體在4.2 K時(shí)變成液體，再降低溫度至=2.17 K，它突然變成沒有粘滯性的“超流體”。稱為相變，因?yàn)榇藭r(shí)測(cè)量He4的比熱-溫度曲線像希臘字母。這是1938年蘇聯(lián)的卡皮察與美國(guó)的阿侖和邁斯納兩個(gè)研究組同時(shí)發(fā)現(xiàn)的。液He II液He I溫 度壓 強(qiáng)液He4相圖固體理想玻色氣體BEC“簡(jiǎn)并”幾個(gè)月后，倫敦提出一個(gè)定性解釋：He4原子是由2個(gè)質(zhì)子和2個(gè)中子形成的He4原子核加上核外2個(gè)電子組成的，這樣He4原子就是玻色子：具有交換對(duì)稱性。對(duì)于這樣一個(gè)玻色子系統(tǒng)，依照氦原子的質(zhì)量和密度計(jì)算，玻色-愛因斯坦凝聚發(fā)生在溫度為3.14K1.925超流更加復(fù)雜！2、L

26、andau超流理論元激發(fā)方法元激發(fā)(elementary excitation)：宏觀多體系統(tǒng)基態(tài)附近的低能激發(fā)態(tài)可以看做是獨(dú)立的最小的激發(fā)單元的集合，這些最小激發(fā)單元就是元激發(fā)，往往具有確定的能量、動(dòng)量、自旋等性質(zhì)，有時(shí)稱為準(zhǔn)粒子。因此低能激發(fā)態(tài)可以看做是準(zhǔn)粒子(元激發(fā))構(gòu)成的理想氣體。舉例：固體中的聲子phonon，金屬中的準(zhǔn)電子，準(zhǔn)空穴，磁性材料中的磁振子magnon。Landau 1941年首次引入元激發(fā)（準(zhǔn)粒子）的新概念比基態(tài)能量高的激發(fā)態(tài)。具有一定能量、質(zhì)量和速度的“準(zhǔn)粒子”， 描述系統(tǒng)基態(tài)因相互作用或溫度激起的集體運(yùn)動(dòng)模式。朗道認(rèn)為，基態(tài)代表超流體，低能激發(fā)態(tài)對(duì)基態(tài)的偏離相當(dāng)于在

27、基態(tài)背景(超流體成分)上產(chǎn)生了由準(zhǔn)粒子組成的理想氣體(正常流體成分)。在溫度T是絕對(duì)零度時(shí)，不存在準(zhǔn)粒子；在0T時(shí)，He-II中存在由兩類的準(zhǔn)粒子(聲子和旋子)組成理想氣體。溫度超過，氦液體是正常液，這就是He-相。朗道預(yù)言了兩種準(zhǔn)粒子(聲子和旋子)的能量、速度關(guān)系 Landau元激發(fā)方法的物理意義：(b) 有相互作用的多體系，占據(jù)數(shù)表象不再是系統(tǒng)的本征表象（系統(tǒng)的本征能量 不再是單個(gè)能級(jí)上的粒子能量之和），因此需要知道整個(gè)系統(tǒng)的量子態(tài)！ 而不僅僅是單粒子態(tài)！（難度：多粒子薛定諤方程的解）無相互作用的多體系統(tǒng)，只要知道單粒子態(tài)（本征能量、本征態(tài)矢），就可以知道多體系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)?。y度：?jiǎn)瘟Ｗ?/p>

28、薛定諤方程的解）(c) 把有相互作用的多體系“想象”成是由無相互作用的“準(zhǔn)粒子”構(gòu)成的理想氣體。 “準(zhǔn)粒子”的能動(dòng)量關(guān)系等性質(zhì)可以根據(jù)實(shí)驗(yàn)給予合理假設(shè)。1964 年授予朗道諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)的理由也是“他對(duì)于凝聚態(tài)物質(zhì)特別是液氦的先驅(qū)性理論”- 這個(gè)理論并沒有冗長(zhǎng)繁雜的數(shù)學(xué)推演，有些甚至是靠物理直覺“ 猜”出來的1958年，蘇聯(lián)原子能研究所為慶賀Landau五十歲生日，送給他的刻有其在物理學(xué)上最重要的10成果的大理石板朗道十誡 1) 密度矩陣(1927年)；2)自由電子抗磁理論(1930年)；3)二級(jí)相變理論(1936-1937年)；4)鐵磁磁疇理論(1935年)；5)超導(dǎo)體的混合態(tài)理論(1934

29、年)；6)原子核統(tǒng)計(jì)理論(1937年)；7)液氦超流理論(1940-1941年)；8)基本粒子的電荷約束理論(1954年)；9)費(fèi)米液體的量子理論(1956年)；10)弱相互作用的CP不變性(1957年)。 Landau唯象理論給出的主要結(jié)果： Donnelly et al., J. Low Temp. Phys. (1981) Glyde et al., Euro Phys. Lett. (1998)超流臨界速度的Landau判據(jù)：T = 0K 時(shí)，體系處于基態(tài)超流體，保持宏觀靜止，一個(gè)障礙物在超流體中以某一初速度v運(yùn)動(dòng)，如圖：超流體M障礙物的動(dòng)量：障礙物的能量：若障礙物與超流體相互作用，產(chǎn)

30、生1個(gè)準(zhǔn)粒子(聲子)：則障礙物狀態(tài)變?yōu)椋焊鶕?jù)能量守恒、動(dòng)量守恒：類似的效應(yīng)：Cherenkov radiation（切倫科夫輻射）高速帶電粒子在非真空的透明介質(zhì)中穿行，當(dāng)粒子速度大于介質(zhì)中的光速時(shí)所產(chǎn)生的一種特殊輻射。 3、 稀薄玻色氣體的Bogoliubov平均場(chǎng)理論聲子激發(fā)的微觀理論“近”理想簡(jiǎn)并玻色氣體：“近”理想：弱相互作用綜合：3個(gè)尺度的關(guān)系稀薄氣體量子效應(yīng)廣義哈密頓量：含相互作用的哈密頓量（非二次型），一般情況下無法嚴(yán)格求解。需要引入近似！以下僅在 T=0K下展開討論！T=0K, 采用 Ritz 變分原理試探波函數(shù)的思想性質(zhì)：A)N: 粒子數(shù)平均值！BEC的相干態(tài)描述！B)互作用項(xiàng)

31、：導(dǎo)致粒子的散射！即使在零溫下粒子也不再完全處于k=0的單粒子能級(jí)上！試探波函數(shù)：N0代表仍然凝聚在k=0上的平均粒子數(shù)，待定優(yōu)化參數(shù)！N0 O(N), 與N同數(shù)量級(jí)！如何處理相互作用項(xiàng)？考察：常數(shù)項(xiàng)！化學(xué)勢(shì)修正項(xiàng)粒子數(shù)不守恒項(xiàng)：待解哈密頓量！如何對(duì)角化？鋪墊：第三節(jié)、玻色超流理論中的二次型哈密頓量的對(duì)角化對(duì)角化的結(jié)果：基態(tài)波函數(shù)：基態(tài)熱力學(xué)勢(shì)（一部分）：“組裝”總的波函數(shù)：熱力學(xué)勢(shì)：N0的確定（1）（化學(xué)勢(shì)與N0的關(guān)系）：再代入準(zhǔn)粒子色散關(guān)系：其中聲速的定義：1，從微觀上驗(yàn)證了Landau的猜測(cè)2，臨界超流速度與相互作用有關(guān)！N0的確定（2）：積分：非線性方程，迭代求解：零級(jí)近似：BEC凝聚

32、！1級(jí)近似：總結(jié)：通過平均場(chǎng)方法（變分）和Bogoliubov變換，把相互作用的玻色體系化為無相互作用的（理想）準(zhǔn)粒子（玻色）氣體！相互作用的玻色子無相互作用（理想）的準(zhǔn)粒子裸粒子準(zhǔn)粒子單粒子色散單粒子色散化學(xué)勢(shì)化學(xué)勢(shì)平均粒子數(shù)平均準(zhǔn)粒子數(shù)依賴于溫度（準(zhǔn)粒子不守恒）討論：通過對(duì)一個(gè)微觀哈密頓量在平均場(chǎng)近似下的研究，Bogoliubov給出了線性準(zhǔn)粒子（聲子）激發(fā)譜，從而可以解釋低溫比熱的T3的行為。這給朗道唯象理論提供了微觀基礎(chǔ)！但該模型是在弱相互作用條件下（稀薄玻色氣體）成立的，真正的He4超流體是強(qiáng)相互作用的（玻色液體），這一點(diǎn)要注意！實(shí)驗(yàn)已經(jīng)證實(shí)，He4超流體在零溫下凝聚在k=0上的玻色

33、子數(shù)目，本征能量是關(guān)于nk的多元線性函數(shù)則費(fèi)米液體的本征態(tài)同樣可以用nk標(biāo)記，即|nk，其本征能量為E(nk)，是關(guān)于nk的多元(非線性)函數(shù)。朗道基本假設(shè)思想：絕熱銜接 adiabatic continuity工具：絕熱定理 adiabatic theorem瞬時(shí)能量本征態(tài)：朗道基本假設(shè)的論證舉例：在無限深勢(shì)井中足夠緩慢的引入拋物線型勢(shì)，從而給出能量本征態(tài)之間的一一對(duì)應(yīng)！并且標(biāo)記本征態(tài)的量子數(shù)不變！受此啟發(fā)，朗道設(shè)想（思想實(shí)驗(yàn)）可以無窮慢的引入費(fèi)米子之間的相互作用力, 那么理想費(fèi)米氣體的能量本征態(tài)將一對(duì)一的演化為費(fèi)米液體的能量本征態(tài)，且標(biāo)記它的量子數(shù)保持不變！理想費(fèi)米氣體費(fèi)米液體幺正算符！解

34、薛定諤方程，得到時(shí)間演化算符：負(fù)無窮遠(yuǎn)時(shí)刻，系統(tǒng)處于瞬時(shí)本征態(tài)按照絕熱定理，從負(fù)無窮遠(yuǎn)時(shí)刻的瞬時(shí)本征態(tài)(費(fèi)米氣體H0)演化到0時(shí)刻的瞬時(shí)本征態(tài)(費(fèi)米液體H=H0+Hint)！費(fèi)米液體的本征態(tài)！容易驗(yàn)證：準(zhǔn)粒子算符是費(fèi)米子算符！Dressed particle (區(qū)別于Bare particle)其中，我們定義了Dressed Particle(準(zhǔn)粒子)根據(jù) 絕熱定理：費(fèi)米液體的能量本征態(tài)可以按照理想費(fèi)米氣體同樣的原則構(gòu)造，即它們都可以用同一組“量子數(shù)”nk（nk=0,1）標(biāo)記，本征能量是nk的函數(shù)。其本征能量為E(nk)，是一個(gè)關(guān)于nk的多元函數(shù)。注意本征能量的形式是未知的！推論1：粒子數(shù)與準(zhǔn)

35、粒子數(shù)相同推論2：粒子的總動(dòng)量與準(zhǔn)粒子的總動(dòng)量相同推論2：粒子的總自旋與準(zhǔn)粒子的總自旋相同理想費(fèi)米氣體與費(fèi)米液體的基態(tài)的對(duì)應(yīng)：1T=0K 時(shí)理想費(fèi)米氣體中裸粒子的分布1T=0K 時(shí) 費(fèi)米液體中準(zhǔn)粒子的分布推論3：費(fèi)米面的繼承，費(fèi)米液體基態(tài)準(zhǔn)粒子費(fèi)米海、費(fèi)米面可以看出：費(fèi)米氣體與費(fèi)米液體具有同樣的費(fèi)米動(dòng)量（繼承）！費(fèi)米液體中元激發(fā)準(zhǔn)粒子，準(zhǔn)空穴元激發(fā)費(fèi)米液體中準(zhǔn)粒子-準(zhǔn)空穴激發(fā)態(tài)！對(duì)費(fèi)米海的最小偏離！1總之：盡管費(fèi)米子間有相互作用的存在，但只要把粒子改成準(zhǔn)粒子（dressed），1，對(duì)本征態(tài)的描述方法（占據(jù)數(shù)表示）不變！其量子數(shù)不變2，準(zhǔn)粒子遵從費(fèi)米統(tǒng)計(jì)3，費(fèi)米面不變，費(fèi)米波矢與費(fèi)米動(dòng)量不變！4

36、，準(zhǔn)粒子數(shù)與裸粒子數(shù)相同(費(fèi)米面包圍的面積不變)，等等。推論4（朗道基本假設(shè)）：費(fèi)米液體的內(nèi)能是分布的多元函數(shù)（當(dāng)k連續(xù)時(shí)，內(nèi)能是分布函數(shù)的泛函）因此可以將U(nk) （多元函數(shù)）在零溫分布nk0附近Taylor展開！因此考察的是對(duì)準(zhǔn)粒子費(fèi)米海的偏離！注：在連續(xù)極限下，分布是k的連續(xù)函數(shù)，U是分布的泛函，相應(yīng)的展開就是泛函展開！小量！多元函數(shù)的泰勒展開（2階）！參考二元函數(shù)的泰勒展開：引入：零溫時(shí)準(zhǔn)粒子的“能量”“元激發(fā)”間的相互作用元激發(fā)：分布相對(duì)于費(fèi)米海的偏離！總結(jié)朗道費(fèi)米液體理論以準(zhǔn)粒子代替裸粒子，并假設(shè)費(fèi)米液體低能激發(fā)態(tài)與費(fèi)米氣體低能激發(fā)態(tài)存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。費(fèi)米氣體：費(fèi)米液體：嚴(yán)格的！

37、根據(jù)假設(shè)可知內(nèi)能是分布的多元函數(shù)(泛函)在基態(tài)分布附近做Taylor展開得到的以上公式！朗道費(fèi)米液體參數(shù)考慮到費(fèi)米液體中準(zhǔn)粒子的色散與費(fèi)米氣體的相似性：m*：準(zhǔn)粒子的有效質(zhì)量朗道參數(shù)！回憶He-II推論5：費(fèi)米液體的熵是分布的多元函數(shù)費(fèi)米氣體的熵：根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系，費(fèi)米液體的熵與費(fèi)米氣體具有同樣的形式。推論6：費(fèi)米液體的巨勢(shì)是分布的多元函數(shù)非零溫時(shí)準(zhǔn)粒子的分布利用：非零溫時(shí)準(zhǔn)粒子的分布滿足極值條件:利用：看起來與理想氣體的平衡態(tài)分布一致，但也要留意相互作用帶來的區(qū)別聯(lián)立的方程組！準(zhǔn)粒子能量1)，有效質(zhì)量的確定理想氣體裸粒子色散：費(fèi)米能附近態(tài)密度：準(zhǔn)粒子色散：費(fèi)米能附近態(tài)密度：2)，朗道參數(shù)fk,k

38、的確定，多級(jí)展開用到了近似：對(duì)于低能量激發(fā)k,k在費(fèi)米波矢kF附近，因此相互作用近似只依賴于方向角用Legendre函數(shù)展開！一般來說只需要低級(jí)展開！考察液體的動(dòng)量：2.1)，f1與有效質(zhì)量m*的關(guān)系準(zhǔn)粒子群速度：分部積分對(duì)k的求和化為積分，并采用球坐標(biāo)；另外只有z方向(k方向)的分量積分不為零！代入：2.2)，f0a與磁化率關(guān)系，費(fèi)米液體對(duì)外場(chǎng)的響應(yīng)有自旋費(fèi)米子的內(nèi)能公式：相互作用的分解：外場(chǎng)B，Pauli順磁：平均場(chǎng)近似（多次發(fā)明的理論）：與自旋有關(guān)的相互作用！區(qū)別FD分布的符號(hào)f與相互作用的符號(hào)f平衡態(tài)分布：磁化強(qiáng)度：1階Taylor展開！對(duì)零溫，零場(chǎng)分布非偏離與k,k的相對(duì)方向有關(guān)分布各向同性，與k長(zhǎng)度有關(guān)，與方向無關(guān)！與費(fèi)米氣體的結(jié)果相比，分子上有來自m*的修正，分母上有來自元激發(fā)相互作用的修正！Wilson Ratio比熱系數(shù)：磁化率費(fèi)米氣體的結(jié)果元激發(fā)相互作用的修正對(duì)于費(fèi)米液體，Wilson比值近似是個(gè)常數(shù)，但又不同于費(fèi)米氣體！關(guān)鍵是費(fèi)米液體不是準(zhǔn)粒子理想氣體！2.3)，f0s與壓縮率的關(guān)系，費(fèi)米液體對(duì)“電勢(shì)”的響應(yīng)有自旋費(fèi)米子的內(nèi)能公式：相互作用的分解：“電勢(shì)”：平衡態(tài)分布與費(fèi)米氣體的結(jié)果相比，分子上有來自m*的修正，分母上有來自相互作用的修正！無自旋情況：He3的朗道費(fèi)米液體參數(shù)P