二次型和二次型的化簡課件_第1頁
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1、第3節(jié) 二次型與二次型的化簡 下頁一、二次型的定義二、二次型的化簡（矩陣的合同） 二次型概念的引入下頁O x y ax2 + 2bxy + cy2 = 1 a b b c O x y x2 25+ y2 9 = 1 3 5 1/25 0 0 1/9 定義1 含有n個變量的二次齊次多項式叫做n元二次型，當(dāng)二次型的系數(shù)aij ( i, j=1,2, ,n)都是實數(shù)時,稱為實二次型.一、二次型的定義 特別地, 只含有平方項的n元二次型稱為n元二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.下頁 練習(xí)：下頁 下頁下頁，其中例1. 寫出下列二次型的矩陣形式并求該二次型的秩.(1)(2)(2)二次型系數(shù)矩陣為因r(A)=3, 故二次型的

2、秩等于3.因r(B)=2, 故二次型的秩等于2.解: (1)二次型下頁系數(shù)矩陣為二次型的化簡下頁二次曲線ax2+bxy+cy2 =1 m(x)2 + n(y)2 = 1 OxyyOxx = xcos ysin y = xsin + ycos 由變量y1, y2, yn到x1, x2, xn的線性變換 若|P|0，則上述線性變換稱為可逆(滿秩)線性變換.記作 X=PY.問題：如何找一個可逆線性變換X=PY，使得將其代入二次型后，得到新的二次型只含變量的平方項的形式(標(biāo)準(zhǔn)形) .化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 下頁現(xiàn)將X=PY代入二次型，得 上式右端是關(guān)于變量y1, y2, yn的二次型. 如果其為標(biāo)準(zhǔn)形為下頁比較上式兩端得： 所以，尋求滿秩線性變換X=PY，把二次型 f (X) 化為標(biāo)準(zhǔn)型，從矩陣的角度講，就是尋求滿秩方陣P，使得二、矩陣的合同 定義2 設(shè)A,B為n階方陣，若存在n階可逆矩陣P，使則稱A與B合同，也稱矩陣A經(jīng)合同變換化為B，記做A B可逆變換P稱為合同變換矩陣。性質(zhì)：（4）合同變換不改變矩陣的秩（5）對稱矩陣經(jīng)合同變換仍化為對稱矩陣下頁我們知道，化二次型f (X)為標(biāo)準(zhǔn)形的問題，就是尋求可逆方陣P，使A合同于對角矩陣，即定理1 任何一個實對稱矩陣A都合同于對角矩陣。

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