函數(shù)誤差與誤差合成

1、第5章 函數(shù)誤差與誤差合成知識點和教學目標函數(shù)系統(tǒng)誤差函數(shù)隨機誤差誤差分布的模擬計算誤差合成誤差分配微小誤差取舍準則最佳測量方案 第一節(jié)函數(shù)誤差誤差傳遞當要測量截球體的體積時，最方便的方法是先測量圓截面的直徑d和高度h，在按下式計算體積V如果在直接測得值d和h中含有誤差d 和 h ，則由V=f (h，d)計算出的體積V中，也必然會有誤差V ，而且與 d 和 h之間也有一定的函數(shù)關(guān)系,這就是誤差傳遞。誤差的合成與分配由兩個（如h, d）或多個誤差值合并成一個誤差值（如V），叫作誤差的合成。它是間接測量計算誤差的基本方法。反過來如上例中已知對V的要求，進而要確定具體測量時對h和d的要求，這就是誤差

2、的分配或誤差的分解。它是設計儀器和裝置時不可缺少的步驟，即從儀器總的精度要求出發(fā)，確定儀器各個組成部分和環(huán)節(jié)（包括零件、部件和裝調(diào)等）的精度要求。函數(shù)誤差間接測量通過直接測得的量與被測量之間的函數(shù)關(guān)系計算出被測量間接測量的量是直接測量所得到的各個測量值的函數(shù)函數(shù)誤差間接測得的被測量誤差也應是直接測得量及其誤差的函數(shù)，故稱這種間接測量的誤差為函數(shù)誤差研究函數(shù)誤差的內(nèi)容，實質(zhì)上就是研究誤差的傳遞問題。而對于這種具有確定關(guān)系的誤差計算，也有稱之為誤差合成。間接測量數(shù)學模型某類間接測量的數(shù)學模型（顯函數(shù)） 與被測量有函數(shù)關(guān)系的各個直接測量值及其他非測量值，又稱輸入量y 間接測量值 又稱輸出量被測量Y的

3、最佳估計值 重復測量時，被測量Y的最佳估計值y，可以有以下兩種方法獲得：第一種方法第二種方法 第一種方法適用于輸入量彼此相關(guān)，輸入量受環(huán)境條件在內(nèi)的影響量的影響第二種方法適用于輸入量不相關(guān)，且不受環(huán)境條件的影響，或環(huán)境條件發(fā)生變化時做了適當?shù)男拚陨蟽煞N方法，當f是輸入量Xi的線性函數(shù)時，它們的結(jié)果相同。但當f是Xi的非線性函數(shù)時，應采用第一種的計算方法。 一、函數(shù)系統(tǒng)誤差計算函數(shù)系統(tǒng)誤差公式由高等數(shù)學可知，對于多元函數(shù)，其增量可用函數(shù)的全微分表示，則函數(shù)增量各個直接測得值的系統(tǒng)誤差 ,由于這些誤差值皆較小，可以近似代替微分量 函數(shù)系統(tǒng)誤差 的近似計算公式 為各個輸入量在該測量點 處的誤差傳播

4、系數(shù) 和 的量綱或單位相同，則 起到誤差放大或縮小的作用 和 的量綱或單位不相同，則 起到誤差單位換算的作用函數(shù)系統(tǒng)誤差的計算直接測得值的系統(tǒng)誤差對直接測得值進行修正，得到被測量的近似真值系統(tǒng)誤差函數(shù)系統(tǒng)誤差的計算常見函數(shù)的系統(tǒng)誤差計算 若函數(shù)形式為線性公式函數(shù)的系統(tǒng)誤差為式中的各誤差傳播系數(shù)ai為常數(shù)。當ai =1時，則有函數(shù)為各個測得值的和時，其函數(shù)系統(tǒng)誤差亦為各測得值系統(tǒng)誤差之和。常見函數(shù)的系統(tǒng)誤差計算 在間接測量中，也常遇到角度測量，其函數(shù)關(guān)系為三角函數(shù)式，它常以 、 、 等形式出現(xiàn)。若三角函數(shù)為可得三角函數(shù)的系統(tǒng)誤差為在角度測量中，需要求得的誤差不是三角函數(shù)誤差，而是所求角度的誤差。

5、常見函數(shù)的系統(tǒng)誤差計算 對正弦函數(shù)微分得用系統(tǒng)誤差代替相應的微分量，則有正弦函數(shù)的角度系統(tǒng)誤差公式為【例】用弓高弦長法間接測量大工件直徑。如圖所示，車間工人用一把卡尺量得弓高 ，弦長，工廠檢驗部門又用高準確度等級的卡尺量得弓高，弦長 試問車間工人測量該工件直徑的系統(tǒng)誤差，并求修正后的測量結(jié)果。 【解】建立間接測量大工件直徑的函數(shù)模型 不考慮測量值的系統(tǒng)誤差，可求出在處的直徑測量值 車間工人測量弓高、弦長的系統(tǒng)誤差 直徑的系統(tǒng)誤差 故修正后的測量結(jié)果 計算結(jié)果誤差傳播系數(shù)為 若直接用h=50.1和L=499計算得：1292.62mm。以上講的都是恒定系統(tǒng)誤差，對于可變系統(tǒng)誤差，其合成非常復雜，往

6、往難以計算，故宜在合成前做修正或消除。至于復雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差，按傳統(tǒng)習慣是當作隨機誤差來處理。二、函數(shù)隨機誤差計算二、函數(shù)隨機誤差計算隨機誤差常用表征其取值分散程度的標準偏差來評定，對于函數(shù)的隨機誤差，也可用函數(shù)的標準偏差來評定。因此，函數(shù)隨機誤差計算的一個基本問題就是研究函數(shù) 的標準偏差與各測量值 的標準偏差之間的關(guān)系。 變量中有隨機誤差，即泰勒展開，并取其一階項作為近似值，可得 函數(shù)的一般形式（顯函數(shù)） 得到 數(shù)學模型或 第i個直接測得量 的標準偏差 第i個測量值和第j個測量值之間的相關(guān)系數(shù) 第i個測量值和第j個測量值之間的協(xié)方差 第i個直接測得量 對間接量 在該測量點 處的誤差傳播系

7、數(shù) 1、 函數(shù)標準偏差計算公式 或相互獨立的函數(shù)標準偏差計算 若各測量值的隨機誤差是相互獨立的，相關(guān)項 令三角形式的函數(shù)隨機誤差公式函數(shù)形式為 函數(shù)隨機誤差公式為 例用千分尺直接測量圓柱體的直徑d和高度h（d和h的基本尺寸均為10mm）各6次，測得值列于下表，求圓柱體體積V及標準偏差。直徑d10.08510.08510.09010.08010.08510.080高度h10.10510.11510.11510.11010.11010.105解：按貝塞爾式計算 和 的標準偏差分別為例直徑d10.08510.08510.09010.08010.08510.080高度h10.10510.11510.1

8、1510.11010.11010.105V807.194807.993808.794806.793807.593806.394【例】用弓高弦長法間接測量大工件直徑。車間工人用一把卡尺量得弓高，弦長，工廠檢驗部門又用高準確度等級的卡尺量得弓高，弦長。已知車間工人測量該工件弓高的標準偏差，弦長的標準偏差 ，試求測量該工件直徑的標準偏差，并求修正后的測量結(jié)果。 【解】有故修正后的測量結(jié)果 函數(shù)的極限誤差公式 當各個測量值的隨機誤差都為正態(tài)分布時，標準偏差用極限誤差代替，可得函數(shù)的極限誤差公式 第i個直接測得量 的極限誤差 例2、 相關(guān)系數(shù)估計相關(guān)系數(shù)對函數(shù)誤差的影響 反映了各隨機誤差分量相互間的線性

9、關(guān)聯(lián)對函數(shù)總誤差的影響 函數(shù)標準偏差與各隨機誤差分量標準偏差之間具有正線性疊加的傳播關(guān)系思考： 以兩個自變量情形，討論相關(guān)系數(shù)分別為0、-1、+1的誤差傳播關(guān)系 函數(shù)隨機誤差公式當相關(guān)系數(shù)當相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)的確定直接判斷法可判斷 的情形 斷定 與 兩分量之間沒有相互依賴關(guān)系的影響 當一個分量依次增大時，引起另一個分量呈正負交替變化，反之亦然 與 屬于完全不相干的兩類體系分量，如人員操作引起的誤差分量與環(huán)境濕度引起的誤差分量 與 雖相互有影響，但其影響甚微，視為可忽略不計的弱相關(guān) 相關(guān)系數(shù)的確定直接判斷法可判斷 或 的情形 可斷定 與 兩分量間近似呈現(xiàn)正的線性關(guān)系或負的線性關(guān)系 當一個分量依次增

10、大時，引起另一個分量依次增大或減小，反之亦然 與 屬于同一體系的分量，如用1m基準尺測2m尺，則各米分量間完全正相關(guān) 相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計計算與實驗估計根據(jù) 的多組測量的對應值 ，按如下統(tǒng)計公式計算相關(guān)系數(shù) 3、 函數(shù)誤差分布的模擬計算 隨機誤差的分布完整地描述了該誤差的全部特征 分布密度函數(shù) 解析方法難以求得計算機數(shù)值仿真計算 計算機隨機模擬法的步驟 輸入各輸入量 及其算術(shù)平均值 和標準偏差產(chǎn)生各種所需誤差分布的大樣本偽隨機數(shù)，并繪制其統(tǒng)計直方圖（偽隨機數(shù)產(chǎn)生：線性同余法、變換法、中心極限定理法等)按函數(shù)測量模型公式計算該大樣本數(shù)的間接量 ，并繪制該函數(shù)誤差分布的統(tǒng)計直方圖統(tǒng)計并輸出該間接量的最佳

11、估計值、標準偏差與及誤差分布區(qū)間半寬度等特征量。 計算機模擬測量系統(tǒng)【例】 用相同標稱長度50mm的標準塊規(guī)校準某塊規(guī)，通過兩塊規(guī)長度的直接比較，輸出兩者的長度差有如下公式 假設各個量之間的相關(guān)系數(shù)均為0。試用仿真計算的方法分析該校準的誤差分布及其標準偏差，并用誤差傳播公式核算標準偏差?！窘狻亢怂愎视休斎肓康恼`差性質(zhì)輸入量名稱分布標準偏差數(shù)值受校塊規(guī)長度值在20C時的校準長度 兩塊規(guī)長度差值在20C時的長度 標準塊規(guī)的熱膨脹系數(shù) 試驗座溫度偏離標準溫度 兩塊規(guī)的熱膨脹系數(shù) 兩塊規(guī)間溫度差 00正態(tài)正態(tài)均勻均勻均勻反正弦六個輸入量分布均值均值均值均值均值均值輸出量分布 均值直方圖討論：比較解析公

12、式法與數(shù)值仿真法。（線性精確程度、解析難度等）第二節(jié) 隨機誤差的合成 任何測量結(jié)果都包含有一定的測量誤差，這是測量過程中各個環(huán)節(jié)一系列誤差因素作用的結(jié)果。誤差合成就是在正確地分析和綜合這些誤差因素的基礎上，正確地表述這些誤差的綜合影響。 標準偏差合成極限誤差合成 解決隨機誤差的合成問題一般基于標準偏差方和根合成的方法，其中還要考慮到誤差傳播系數(shù)以及各個誤差之間的相關(guān)性影響 一、標準偏差合成合成標準偏差 q個單項隨機誤差，標準偏差 誤差傳播系數(shù) 由間接測量的顯函數(shù)模型求得 根據(jù)實際經(jīng)驗給出 用標準偏差合成有明顯的優(yōu)點，不僅簡單方便，而且無論各單項隨機誤差的概率分布如何，只要給出各個標準偏差，均可

13、計算出總的標準偏差 當誤差傳播系數(shù) 、且各相關(guān)系數(shù)均可視為0的情形 合成標準偏差的特殊情形各個誤差互不相關(guān)，相關(guān)系數(shù) 合成標準偏差 視各個誤差分量的量綱與總誤差量的量綱都一致，或者說各個誤差分量已經(jīng)折算為影響函數(shù)誤差相同量綱的分量 二、極限誤差合成 單項極限誤差 單項隨機誤差的標準偏差 單項極限誤差的置信系數(shù) 合成極限誤差 合成標準偏差 合成極限誤差的置信系數(shù) 合成極限誤差計算公式根據(jù)已知的各單項極限誤差和所選取的各個置信系數(shù)，即可進行極限誤差的合成 各個置信系數(shù) 、 不僅與置信概率有關(guān)，而且與隨機誤差的分布有關(guān) 對于相同分布的誤差，選定相同的置信概率，其相應的各個置信系數(shù)相同 對于不同分布的

14、誤差，即使選定相同的置信概率，其相應的各個置信系數(shù)也不相同 合成極限誤差特殊情形當各個單項隨機誤差均服從正態(tài)分布時，各單項誤差的數(shù)目q較多、各項誤差大小相近和獨立時，此時合成的總誤差接近于正態(tài)分布，此時 合成極限誤差 若和各單項誤差大多服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布，而且他們之間常是線性無關(guān)或近似線性無關(guān)，是較為廣泛使用的極限誤差合成公式 第三節(jié)系統(tǒng)誤差合成一、已定系統(tǒng)誤差的合成系統(tǒng)誤差的分類： 1） 已定系統(tǒng)誤差2） 未定系統(tǒng)誤差定義：誤差大小和方向均已確切掌握了的系統(tǒng)誤差表示符號：合成方法：按照代數(shù)和法進行合成i 為第i個系統(tǒng)誤差，ai為其傳遞系數(shù)系統(tǒng)誤差可以在測量過程中消除，也可在合成后

15、在測量結(jié)果中消除二、未定系統(tǒng)誤差的合成 （一） 未定系統(tǒng)誤差的特征及其評定定義：誤差大小和方向未能確切掌握，或者不須花費過多精力去掌握，而只能或者只需估計出其不致超過某一范圍 e 的系統(tǒng)誤差也就是說，在一定條件下客觀存在的某一系統(tǒng)誤差，一定是落在所估計的誤差區(qū)間(-e，e)內(nèi)的一個取值。當測量條件改變時，該系統(tǒng)誤差又是誤差區(qū)間(-e，e)內(nèi)的另一個取值。當測量條件在某一范圍內(nèi)多次改變時，未定系統(tǒng)誤差也隨之改變，其相應的取值在誤差區(qū)間(-e，e)內(nèi)服從某一概率分布。二、未定系統(tǒng)誤差的合成 （一） 未定系統(tǒng)誤差的特征及其評定對于某一單項未定系統(tǒng)誤差，其概率分布取決于該誤差源變化時所引起的系統(tǒng)誤差變

16、化規(guī)律。理論上此概率分布是可知的，但實際上常常較難求得。目前對未定系統(tǒng)誤差的概率分布，均是根據(jù)測量實際情況的分析與判斷來確定的，并采用兩種假設：一種是按正態(tài)分布處理；另一種是按均勻分布處理。對于某一單項未定系統(tǒng)誤差的極限范圍，是根據(jù)該誤差源具體情況的掌握程度以及測量人員的經(jīng)驗和判斷能力。二、未定系統(tǒng)誤差的合成 （一） 未定系統(tǒng)誤差的特征及其評定特征：1） 在測量條件不變時為一恒定值，多次重復測量時其值固定不變，因而單項系統(tǒng)誤差在重復測量中不具有低償性2） 隨機性。當測量條件改變時，未定系統(tǒng)誤差的取值在某極限范圍內(nèi)具有隨機性，且服從一定的概論分布，具有隨機誤差的特性。表示符號： 極限誤差：e 標

17、準偏差：u1、標準偏差合成（一） 未定系統(tǒng)誤差的合成 未定系統(tǒng)誤差的取值具有一定的隨機性，服從一定的概率分布，因而若干項未定系統(tǒng)誤差綜合作用時，他們之間就具有一定的抵償作用。這種抵償作用與隨機誤差的抵償作用相似，因而未定系統(tǒng)誤差的合成，完全可以采用隨機誤差的合成公式，這就給測量結(jié)果的處理帶來很大方便。 同隨機誤差的合成時，未定系統(tǒng)誤差合成時即克可以按照標準偏差合成，也可以按照極限誤差的形式合成。 若測量過程中有 s 個單項未定系統(tǒng)誤差，它們的標準偏差分別為 u1，u2，us，其相應的誤差傳遞系數(shù)為a1，a2，as ，則合成后未定系統(tǒng)誤差的總標準偏差 u 為:則由各單項未定系統(tǒng)誤差標準偏差得到的

18、合成未定系統(tǒng)誤差極限誤差為：式中，ij 為第 i 個和第 j 個誤差項的相關(guān)系數(shù)當 ij=0 時2、極限誤差的合成 因為各個單項未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為: 若總的未定系統(tǒng)誤差極限誤差表示為：則有：或者，由各單項未定系統(tǒng)誤差極限誤差得到的合成未定系統(tǒng)誤差極限誤差為： 當各個單項未定系統(tǒng)誤差均服從正態(tài)分布，且相互間獨立無關(guān)，即 ，則上式可簡化為：第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成一、按極限誤差合成 誤差的合成可按照兩種形式合成：按極限誤差誤差形式合成、按標準偏差形式合成。 測量過程中，假定有 r 個單項已定系統(tǒng)誤差，s 個單項未定系統(tǒng)誤差，q 個單項隨機誤差。它們的誤差值或極限誤差分別為：1、單次測量

19、情況 若各個誤差的傳遞系數(shù)取 1，則測量結(jié)果總的極限誤差為：式中，R 為各個誤差之間的協(xié)方差之和。 當各個誤差均服從正態(tài)分布，且各個誤差間互不相關(guān)時，測量結(jié)果總的極限誤差可簡化為： 一般情況下，已定系統(tǒng)誤差經(jīng)修正后，測量結(jié)果總的極限誤差就是總的未定系統(tǒng)誤差與總的隨機誤差的均方根值，即：2、n 次重復測量情況 當每項誤差都進行 n 次重復測量時，由于隨機誤差間具有低償性、系統(tǒng)誤差（包括未定系統(tǒng)誤差）不存在低償性，總誤差合成公式中的隨機誤差項應除以重復測量次數(shù) n 。總極限誤差變?yōu)椋憾?、按標準偏差合?測量過程中，假定有 s 個單項未定系統(tǒng)誤差，q 個單項隨機誤差，它們的標準偏差分別為：1、單次測

20、量情況 若各個誤差的傳遞系數(shù)取 1，則測量結(jié)果總的極限誤差為：式中，R 為各個誤差之間的協(xié)方差之和。 若用標準偏差來表示系統(tǒng)誤差和隨機誤差的合成公式，則只考慮未定系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成。 當各個誤差均服從正態(tài)分布，且各個誤差間互不相關(guān)時，測量結(jié)果總標準偏差為：2、n 次重復測量情況 當每項誤差都進行 n 次重復測量時，由于隨機誤差間具有低償性、系統(tǒng)誤差（包括未定系統(tǒng)誤差）不存在低償性，總誤差合成公式中的隨機誤差項應除以重復測量次數(shù) n ?？倶O限誤差變?yōu)椋旱谖骞?jié) 誤差分配基本思想 誤差分配 由給定測量結(jié)果允許的總誤差，合理確定各單項誤差。 假設各誤差因素互不相關(guān)，有 給定，如何確定，滿足一、按

21、等影響原則分配誤差 等影響原則 各分項誤差對函數(shù)誤差的影響相等，即 可得到 極限誤差表示 函數(shù)的總極限誤差 各單項誤差的極限誤差 二、按可能性調(diào)整誤差 (1) 對各分項誤差平均分配的結(jié)果，會造成對部分測量誤差的需求實現(xiàn)頗感容易，而對另一些測量誤差的要求難以達到。這樣，勢必需要用昂貴的高準確度等級的儀器，或者以增加測量次數(shù)及測量成本為代價。按等影響原則分配誤差的不合理性 (2) 當各個部分誤差一定時，則相應測量值的誤差與其傳播系數(shù)成反比。所以各個部分誤差相等，相應測量值的誤差并不相等，有時可能相差較大。 在等影響原則分配誤差的基礎上，根據(jù)具體情況進行適當調(diào)整。對難以實現(xiàn)測量的誤差項適當擴大，對容

22、易實現(xiàn)的誤差項盡可能縮小，其余誤差項不予調(diào)整。 三、驗算調(diào)整后的總誤差 誤差先按等影響原則初步確定，再經(jīng)過合理調(diào)整后，按誤差合成公式計算，若總誤差超出給定的允許誤差范圍，應選擇可能縮小的誤差項再進行縮小。若實際總誤差較小，可適當擴大難以實現(xiàn)的誤差項的誤差，合成后與要求的總誤差進行比較，直到滿足要求為止。 例【解】測量一圓柱體的體積時，可間接測量圓柱直徑及高度，根據(jù)函數(shù)式 求得體積，若要求測量體積的相對誤差為1，已知直徑和高度的公稱值分別為，試確定直徑及高度 的準確度。 計算體積 體積的絕對誤差 按等影響分配原則分配誤差： 用這兩種量具測量的體積極限誤差為 因為 查資料，可用分度值為0.1mm的

23、游標卡尺測高，在50mm測量范圍內(nèi)的極限誤差為，用0.02mm的游標卡尺測直徑，在20mm范圍內(nèi)的極限誤差為。 調(diào)整后的實際測量極限誤差為 因為 因此調(diào)整后用一把游標卡尺測量直徑和高度即能保證測量準確度。 顯然采用的量具準確度偏高，選得不合理，應作適當調(diào)整。若改用分度值為0.05mm的一把游標卡尺來測量直徑和高度，在50mm測量范圍內(nèi)的極限誤差為。此時測量直徑的極限誤差雖超出按等作用原則分配所得的允許誤差，但可從測量高度允許的多余部分得到補償。 合理調(diào)整：第六節(jié) 微小誤差取舍準則基本概念 微小誤差 測量過程包含有多種誤差時，當某個誤差對測量結(jié)果總誤差的影響，可以忽略不計的誤差 測量結(jié)果的標準偏差 將其中的部分誤差取出后，則得 若有 則稱為微小誤差 對一般測量，測量誤差取一位有效數(shù)字，若舍去某誤差后，它的影響達到以下