《數(shù)值計算方法》試題集及答案(1-6)2

1、計算方法期中復習試題一、填空題：1 、已 知 f (1)1.0,f ( 2)1.2,f (3) 1.3 ，則 用辛普生 （辛 卜生 ）公 式計算求 得3f ( x)dx _ _ _ _ _ _ _ _f (1)。1,用三點式求得答案： 2.367，0.252、 f (1)1,f (2)2, f (3) 1，則過這三點的二次插值多項式中x2 的系數(shù)為，拉格朗日插值多項式為。答案： -1，L2 ( x)1 ( x2)( x3) 2(x 1)( x3)1 (x 1)( x2)22、近似值 x*0.231關于真值 x0.229 有(2)位有效數(shù)字；3、設 f ( x)可微 , 求方程 xf ( x)

2、的牛頓迭代格式是 ()；4xn 1xnxnf ( xn )答案1f ( xn )5、對 f ( x)x3x1,差商 f 0,1,2,3 (1),f 0,1,2,3,4 (0 )；6、計算方法主要研究 (截斷)誤差和 (舍入)誤差；7、用二分法求非線性方程f (x)=0 在區(qū)間 (a,b)內的根時，二分n 次后的誤差限為ba(2 n 1)；、已知f(1) 2，f(2)3，f(4)5.9，則二次 Newton插值多項式中x2系數(shù)為 ( 0.15)；811、 兩點式高斯型求積公式度為( 5 )；1011 f ( 3 1)f ( 3 1)f ( x)dxf (x)dx( 022 32 3)，代數(shù)精y3

3、4610( x1)2( x 1)312、為了使計算x 1的乘除法次數(shù)盡量地少， 應將該表y 10 (3 (4 6t)t)t , t1x1，為了減少舍入誤差，應將表達式達式改寫為220011999 改寫為20011999。、 用二分法求方程f ( x)x3x1 0在區(qū)間 0,1內的根 ,進行一步后根的所在區(qū)間13為0.5， 1,進行兩步后根的所在區(qū)間為0.5，0.75。1xdx ,取 4 位有效數(shù)字。用梯形公式計算求得的近似值為14、 計算積分0.50.4268，用辛卜生公式計算求得的近似值為0.4309 ，梯形公式的代數(shù)精度為1 ，辛卜生公式的代數(shù)精度為3。15、 設 f (0)0, f (1

4、)16, f (2)46 ,則 l1 (x)l1 (x)x( x2)， f ( x) 的二次牛頓插值多項式為N 2 ( x)16x7 x( x1)。bnAk f ( xk )f ( x)dx)求積公式為最高，具16、 求積公式 ak0的代數(shù)精度以 (高斯型有(2n1)次代數(shù)精度。5f ( x)dx ( 1217、已知 f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求積公式求1)。18、設 f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三點式求 f(1)(2.5)。19、如果用二分法求方程x 3x40 在區(qū)間 1,2 內的根精確到三位小數(shù)，需對分（10）次。S( x)x30 x1

5、1 (x1) 3a( x1) 2b( x1)c1x320、已知2是三次樣條函數(shù)，則a=(3)， b（3），c=（1）。=21、 l 0 (x), l1 ( x),l n ( x) 是以整數(shù)點 x0 , x1 , xn 為節(jié)點的 Lagrange 插值基函數(shù)，則nl k (x)nxk l j ( xk )(1)，(x j)， 當n 2時k0k0n( xk4xk23)l k ( x)(x4x 23)。k0、區(qū)間 a, b 上的三次樣條插值函數(shù)S( x) 在 a,b上具有直到 _2_階的連續(xù)導22數(shù)。23 、 改 變 函 數(shù) f ( x)x 1x( x 1 ) 的 形 式 ， 使 計 算 結 果 較

6、 精 確fx1x1x。24、若用二分法求方程f x0 在區(qū)間 1,2內的根，要求精確到第3 位小數(shù)，則需要對分 10次。2 x3 ,0 x1S x2 是 3 次樣條函數(shù)，則25、設x 3ax2bxc,1xa=3, b= -3, c=1。126、若用復化梯形公式計算ex dx，要求誤差不超過 106，利用余項公式估計，至少用0個求積節(jié)點。27、若 f ( x) 3x42x1 ，則差商 f 2, 4, 8,16, 323。12 1 (f8) 0 f () 1 f ( ) 1f ( x ) d x28、數(shù)值積分公式9的代數(shù)精度為2。選擇題1、三點的高斯求積公式的代數(shù)精度為 ( B)。A 2B5C 3

7、D 42、舍入誤差是 (A )產(chǎn)生的誤差。A.只取有限位數(shù)B模型準確值與用數(shù)值方法求得的準確值C 觀察與測量D數(shù)學模型準確值與實際值3、 3.141580 是的有 (B )位有效數(shù)字的近似值。A 6B 5C 4D 74、用 1+x 近似表示 ex 所產(chǎn)生的誤差是 (C)誤差。A 模型B 觀測C 截斷D 舍入x3 1 x 所產(chǎn)生的誤差是 (5、用 1+ 3 近似表示D)誤差。A 舍入B 觀測C 模型D 截斷6、-3247500 是舍入得到的近似值，它有 (C)位有效數(shù)字。A 5B 6C 7D 87、設 f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,則拋物插值多項式中 x2 的系數(shù)為 (A )

8、。A 05B 05C 2D -28、三點的高斯型求積公式的代數(shù)精度為(C)。A3B4C5D29、 ( D )的 3 位有效數(shù)字是 0.236102。(A) 0.0023549 103(B) 2354.82 102(C) 235.418(D) 235.5410110、用簡單迭代法求方程f(x)=0 的實根，把方程 f(x)=0 表示成 x= (x) ，則 f(x)=0 的根是(B)。(A) y=(x) 與x 軸交點的橫坐標(B) y=x與 y= (x) 交點的橫坐標(C) y=x與x 軸的交點的橫坐標(D) y=x與 y= (x) 的交點11、拉格朗日插值多項式的余項是( B ),牛頓插值多項式

9、的余項是 ( C ) 。(A) f(x,x0,x1,x2, ,xn)(xx1)(x x2) (xxn 1)(xxn)，Rn (x) f ( x)f ( n1)( )Pn (x)1)!(B)( n(C) f(x,x0,x1,x2, ,xn)(xx0)(x x1)(x x2) (xxn 1)(xxn) ，Rn ( x)f ( x)f (n 1)( )( x)Pn (x)n 1(D)(n1)!12、用牛頓切線法解方程 f(x)=0 ，選初始值 x0 滿足 (A),則它的解數(shù)列 xnn=0,1,2, 一定收斂到方程 f(x)=0 的根。(A ) f (x0 ) f ( x) 0(B) f ( x0 )

10、 f ( x) 0( C) f ( x0 ) f ( x) 0(D) f ( x0 ) f ( x) 013、為求方程x3x21=0 在區(qū)間 1.3,1.6內的一個根，把方程改寫成下列形式，并建立相應的迭代公式，迭代公式不收斂的是(A)。x 211,迭代公式 : xk 11(A)xxk1x1, 迭代公式 : xk112112(B)xxk(C) x31 x2,迭代公式: xk(12)1/ 31xkx31x 2 , 迭代公式 : xk11xk21(D)xk2xkbnCi(n ) f (xi )f (x)dx (b a)( n )14、在牛頓 -柯特斯求積公式：ai0中，當系數(shù) C i是負值時，公式

11、的穩(wěn)定性不能保證，所以實際應用中，當（）時的牛頓 -柯特斯求積公式不使用。（1） n8 ， （2） n7 ， （3） n10，（4） n6 ，23、有下列數(shù)表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所確定的插值多項式的次數(shù)是（）。（1）二次；（2）三次；（3）四次；（ 4）五次15、取31.732 計算 x(31) 4，下列方法中哪種最好？（）1616(A) 28163 ；(B)(423)2；(C)(42 3)2；(D)(31)4。S( x)x30 x226、已知2( x 1)3a( x2) b 2 x 4 是 三 次 樣條 函 數(shù)， 則 a, b 的 值 為()

12、(A)6， 6；(B)6 ，8；(C)8，6；(D)8， 8。16、由下列數(shù)表進行Newton 插值，所確定的插值多項式的最高次數(shù)是（）xif ( xi )1.52.53.5-10.52.55.08.011.5(A) 5；(B)4；(C)3 ；(D) 2。b17、形如 af ( x)dxA1 f ( x1 )A2 f ( x2 )A3 f ( x3 ) 的高斯（ Gauss）型求積公式的代數(shù)精度為（）(A) 9；(B)7；(C)5 ；(D)3。18、計算3 的 Newton 迭代格式為 ()xk 1xk3xk 1xk3xk 1xk2xk3xk ； (B)xk 13xk 。(A)222xk ；

13、(C)2xk ； (D)19、用二分法求方程 x34x2100在區(qū)間 1, 2 內的實根，要求誤差限為110 32，則對分次數(shù)至少為 ()(A)10；(B)12；(C)8；(D)9 。920、設 li( x) 是以 xk k(k 0,1,9) 為節(jié)點的 Lagrange 插值基函數(shù)，則(A) x ；（ B） k ；（C） i ；（D）1。33、5 個節(jié)點的牛頓 -柯特斯求積公式，至少具有 ()次代數(shù)精度(A)5；(B)4 ；(C)6；(D)3 。kli (k )k0()S( x)x30 x2、已知2( x1)3a(x2)b2x4是三次樣條函數(shù)，則 a, b 的值為 ()21(A)6，6；(B)

14、6 ，8；(C)8，6；(D)8， 8。35、已知方程 x32x50在 x2 附近有根，下列迭代格式中在x02 不收斂的是()xk125xk3xk 5 ； (D) xk 12xk35(A) xk 13 2 xk5； (B)xk； (C) xk 13xk22 。22、由下列數(shù)據(jù)x01234f ( x)1243-5確定的唯一插值多項式的次數(shù)為 ()(A) 4；(B)2；(C)1；(D)3 。23、5 個節(jié)點的 Gauss型求積公式的最高代數(shù)精度為 ()(A)8 ；(B)9；(C)10；(D)11。三、是非題（認為正確的在后面的括弧中打，否則打 ）1、已知觀察值 ( xi，yi ) (i， ，m)

15、,用最小二乘法求n 次擬合多項式 Pn ( x) 時，0 1 2P n ( x) 的次數(shù) n 可以任意取。()x22、用1-2 近似表示cosx產(chǎn)生舍入誤差。()( xx0 )( xx2 )3、 ( x1x0 )( x1x2 ) 表示在節(jié)點 x1 的二次 (拉格朗日 )插值基函數(shù)。()4、牛頓插值多項式的優(yōu)點是在計算時，高一級的插值多項式可利用前一次插值的結果。()311253、矩陣A=125具有嚴格對角占優(yōu)。()5四、計算題：f ( x) dxA f ( 1)f (1)B f (1 )f ( 1 )11、求 A、 B 使求積公式122的代數(shù)精度盡量21高,并求其代數(shù)精度；利用此公式求Idx1

16、x (保留四位小數(shù) )。答案： f ( x)1, x, x 2是精確成立，即2 A2B22 A1B2A1823, B得99f (x)dx1 f ( 1)f (1)8 f (1 )f ( 1)19922求積公式為1當 f ( x)x3f (x)x 421時，公式顯然精確成立；當時，左 = 5 ，右= 3 。所以代數(shù)精度為 3。21t2 x 311111811dx1 xdt1 t 39131391/23123970.692861402、已知xi1345f (xi )2654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求f (x) 的三次插值多項式 P3 (x) ，并求 f ( 2)的近似值（保留四位小數(shù)） 。

17、L3( x) 2 ( x 3)( x 4)( x 5)6 (x1)( x 4)( x 5)答案：(1 3)(1 4)(1 5)(31)(3 4)(35)( x 1)( x3)( x5)( x1)( x3)( x4)53)(45)41)(53)(54)(4 1)(4(5差商表為xiyi一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-101 4P3 (x) N 3 ( x) 2 2(x 1) ( x 1)( x 3)1 ( x 1)( x 3)( x 4)4f ( 2) P3 (2) 5.55、已知xi-2-1012f (xi)42135求 f (x) 的二次擬合曲線 p2 ( x) ，并求

18、f (0) 的近似值。答案：解：ixiyixi2xi3xi4xi yixi2 yi0-244-816-8161-121-11-22201000003131113342548161020015100343415a010a21510a13正規(guī)方程組為10a034a241a010 , a13 , a21171014p2 ( x)10 3 x11 x 2p2 (x)3 11 x71014107f (0)p2 (0)3106、已知 sin x 區(qū)間 0.4，0.8的函數(shù)表xi0.40.50.60.70.8yi0.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求 sin 0

19、.63891的近似值，如何選擇節(jié)點才能使誤差最?。坎⑶笤摻浦?。答案：解：應選三個節(jié)點，使誤差| R ( x) | M 3|3( x) |3!盡量小，即應使|3 ( x) |盡量小，最靠近插值點的三個節(jié)點滿足上述要求。即取節(jié)點 0.5,0.6,0.7 最好，實際計算結果sin0.638910.596274，且sin0.638910.5962741 ( 0.638910.5)(0.638919 0.6)( 0.638910.7)3!0.550321047、構造求解方程 ex10 x20 的根的迭代格式 xn 1( xn ), n0,1,2,，討論其收斂性，并將根求出來， | xn 1xn |10

20、 4。答案：解：令f ( x)ex10 x2,f ( 0)20, f (1)10 e0 .且 f ( x) ex100對 x(，)，故 f (x) 0在 (0,1) 內有唯一實根 .將方程f (x)0 變形為1 ( 2 ex )10則當 x(0,1) 時1exe( x)ex)| ( x) |1(2101010，故迭代格式xn 11 ( 2 ex n )10收斂。取x0 0.5 ，計算結果列表如下：n0123xn0.50.035 127 8720.096 424 7850.089 877 325n4567xn0.090 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090

21、 525 008且滿足 | x7x6 | 0.000 000 95 10 6.所以 x* 0.090 525 008 .10、已知下列實驗數(shù)據(jù)x1.361.952.16if(xi)16.84417.37818.435試按最小二乘原理求一次多項式擬合以上數(shù)據(jù)。1解：當 0 x1 時， f (x)ex，則f (x)e，且 0ex dx 有一位整數(shù) .要求近似值有5 位有效數(shù)字，只須誤差R1( n) ( f )1 1042.R(n ) ( f )( b a) 3f ( )12n 2，只要由R1(n)ee1(ex )212n 210412n2即可，解得ne10267.308776所以 n68 ，因此至

22、少需將0,1 68 等份。12、取節(jié)點 x00, x10.5, x21 ,求函數(shù) f (x)e x 在區(qū)間 0,1 上的二次插值多項式 P2 ( x) ,并估計誤差。P2 ( x)e 0(x0.5)( x1)e 0.5( x 0)( x 1)解：(00.5)(01)(0.50)(0.51)e 1( x 0)( x0.5)(1 0)(1 0.5)2(x0.5)( x1)4e 0.5 x( x 1)2e 1 x( x 0.5)f ( x)ex , f( x)ex , M 3max | f( x) |1又x 0,1| R2 ( x) | e xP2 ( x) |1| x( x0.5)( x1) |故

23、截斷誤差3!。14、給定方程 f ( x)( x 1)ex10分析該方程存在幾個根；用迭代法求出這些根，精確到 5 位有效數(shù)字；說明所用的迭代格式是收斂的。解： 1）將方程( x1)ex10（1）改寫為x1e x（2）作函數(shù) f1 ( x)x 1， f 2( x)ex 的圖形（略）知（ 2）有唯一根 x*(1,2) 。2) 將方程（ 2）改寫為x1 e xxk11e x k構造迭代格式x01.5(k0,1,2,)計算結果列表如下：k123456789xk 1.22313 1.29431 1.27409 1.27969 1.27812 1.27856 1.27844 1.27847 1.2784

24、63)( x) 1ex( x)e x，當 x1,2 時， ( x) (2),(1)1,2 ，且| ( x) | e 11所以迭代格式xk 1(xk )(k0,1,2, ) 對任意 x01,2 均收斂。15、用牛頓 (切線 )法求3 的近似值。取 x0=1.7, 計算三次，保留五位小數(shù)。解：3 是 f (x) x 23 0 的正根， f ( x)2 x ，牛頓迭代公式為xn 1xn23xn3xnxn 1(n 0,1,2, )2xn，即22xn取 x0=1.7, 列表如下：n123xn1.732351.732051.7320516、已知 f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗

25、日插值多項式L2 ( x) 及 f (1，5)的近似值，取五位小數(shù)。L2 ( x) 2( x1)( x2)3( x1)( x2)4( x1)( x1)解：( 11)( 12)(11)(12)( 21)( 21)2 ( x 1)( x 2)3 ( x 1)( x 2)4 ( x 1)( x 1)3213f (1.5)L2(1.5)0.04167241x17、n=3,用復合梯形公式求0 e dx 的近似值（取四位小數(shù)）,并求誤差估計。1T310 e02(e1 3e2 3 )e1 1.7342exdx解： 023f ( x)ex , f ( x) ex ， 0 x 1時， | f ( x) | e|

26、 R | |exT |ee0.0250.0531232108至少有兩位有效數(shù)字。20、（8 分）用最小二乘法求形如yabx 2 的經(jīng)驗公式擬合以下數(shù)據(jù)：xi19253038yi19.032.349.073.3解：span 1, x2 AT111119 2252312382yT19.032.349.073.3解方程組AT ACAT yATA43391AT y173.6其中33913529603179980.7C0.92555770.0501025所以 a0.9255577，b0.0501025解得：1e x dx 時，試用余、（15分）用 n8的復化梯形公式（或復化Simpson 公式）計算02

27、1項估計其誤差。用 n8的復化梯形公式（或復化Simpson 公式）計算出該積分的近似值。R f ba h2 f ()11e010.001302解：T121282768h f (a)7T(8)2f ( xk )f (b) 2k11 2 (0.8824969 0.7788008 0.60653066160.53526140.472366550.41686207)0.367879470.6329434、（15分）方程 x3x 10在 x1.5附近有根， 把方程寫成三種不同的等價形式 （1）22111 對應迭代格式 xnxn1 ；(2)x1 x 對應迭代格式xn 11x3 x13xn ；（ 3）xx

28、31對應迭代格式 xn 1xn31 。判斷迭代格式在 x01.5 的收斂性，選一種收斂格式計算 x1.5 附近的根，精確到小數(shù)點后第三位。2解：（1）( x)1 ( x 1）3（1.5）0.181 ，故收斂；3，( x)112x 21（1.5）0.171 ，故收斂；（2）x ，（3）( x) 3x2，（1.5）31.521，故發(fā)散。選擇（ 1）： x01.5 ， x1 1.3572， x21.3309 ， x31.3259 ， x41.3249 ，x51.32476 ， x61.3247225、數(shù)值積分公式形如1xf ( x)dxS( x)Af (0)Bf (1)Cf (0) Df(1) 試確

29、定參數(shù) A, B,C , D 使公式代數(shù)精0C 4 0,1 ，推導余項公式 R(x)1S(x) ，并估計誤差。度盡量高；（2）設 f ( x)0 xf (x)dx分布代入公式得： A3711解：將 f ( x)1, x, x2 , x320, B20, B30 ,D20H 3 (xi )f ( xi )構造 Hermite插值多項式 H 3 ( x) 滿足 H 3 ( xi )f(xi )i0,1 其中 x00, x1 11f ( x) H 3 (x)f(4) ()2( x 1)2則有： 0 xH 3 (x)dxS(x) ，4!xR( x)1x f ( x)S( x) dx1f(4)( )3(

30、x 1)2dx00 x4!f(4)( ) 13( x1)2dxf (4 ) ( )f ( 4) ( )4!x4!601440027、（10 分）已知數(shù)值積分公式為：hf ( x)dxh f (0)f ( h)h 2 f (0)f ( h)02，試確定積分公式中的參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)。解： f (x)1顯然精確成立；hh2h 0h2 1xdxh1f ( x)x 時， 022；h2h3h22h31xdx0h h 02h2 hf (x) x 2時， 032212 ；h3h4h3122x dx2 0 h 12 h 0 3h ；f (x) x3 時， 04h4h5h412

31、3h5x dx2 0 h 12 h 0 4h f (x) x 4 時， 056 ；所以，其代數(shù)精確度為 3。28、（8 分）已知求a( a0) 的迭代公式為：xk11 (xka )x00k0,1,22xk證明：對一切 k1,2, xka ，且序列 xk是單調遞減的，從而迭代過程收斂。xk11( xka)12xkaa k0,1,22xk2xk證明：故對一切 k1,2, xka 。xk11 (1a2 )1(1 1)1x kxk 1xkxk又2xk2所以，即序列是單調遞減有下界，從而迭代過程收斂。3329、（9f ( x)dx f (1) f (2)分）數(shù)值求積公式02是否為插值型求積公式？為什么？

32、其代數(shù)精度是多少？x2x1解：是。因為 f (x) 在基點 1、 2 處的插值多項式為p( x)2f (1)f (2)12133 f (1)f (2)p( x)dx02。其代數(shù)精度為 1。30、 (6分 ) 寫出求方程 4xcos x1在區(qū)間 0,1的根的收斂的迭代公式，并證明其收斂性。xn 1xn1 1cos xn(6 分)4，n=0,1,2, x1 sin x11 對任意的初值 x0 0,1 , 迭代公式都收斂。4431、(12 分) 以 100,121,144 為插值節(jié)點，用插值法計算 115 的近似值，并利用余項估計誤差。用 Newton插值方法：差分表：10010121110.047

33、6190-0.0000941136144120.043478310+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121) =10.72275553 x5f x28Rf 115100115121 1151443!1 310052156290.001636 8I1 sin x0dx32、(10 分) 用復化 Simpson 公式計算積分x的近似值，要求誤差限為0.510 5。S1104 f1f 10.94614588f26S21f04 f12 f13f 10.946086931244 f42IS21S2S10.39310-5IS20.9460869315fxsin xx2x4x6x8x15!7!9!或利用余項：3!f (4)x17x29x 4f ( 4