福建省福安市一中2021-2022學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測(cè)試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知，則下列說法正確是（ ）ABC與的夾角為D2一同學(xué)在電腦中打出如下若干個(gè)圈：若將此若干個(gè)圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,

2、得到一系列的圈,那么在前55個(gè)圈中的個(gè)數(shù)是（ ）A10B9C8D113已知函數(shù)圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則（ ）A函數(shù)的周期為B函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱D函數(shù)在上單調(diào)4西游記三國(guó)演義水滸傳和紅樓夢(mèng)是中國(guó)古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國(guó)古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100學(xué)生，其中閱讀過西游記或紅樓夢(mèng)的學(xué)生共有90位，閱讀過紅樓夢(mèng)的學(xué)生共有80位，閱讀過西游記且閱讀過紅樓夢(mèng)的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過西游記的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為（ ）ABCD5設(shè)函數(shù)的定義域A，函數(shù)的值域?yàn)锽，

3、則（ ）ABCD6設(shè)，隨機(jī)變量X，Y的分布列分別為X123Y123PP當(dāng)X的數(shù)學(xué)期望取得最大值時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望為（ ）A2BCD7若偶函數(shù)滿足且時(shí),則方程的根的個(gè)數(shù)是( )A2個(gè)B4個(gè)C3個(gè)D多于4個(gè)8某中學(xué)元旦晚會(huì)共由6個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在乙的前面，丙不能排在最后一位，該晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有( )A720種B600種C360種D300種9函數(shù)的最大值為（ ）ABCD10如圖，平面與平面所成的二面角是，是平面內(nèi)的一條動(dòng)直線，則直線與所成角的正弦值的取值范圍是（ ）ABCD11在第二屆烏鎮(zhèn)互聯(lián)網(wǎng)大會(huì)中, 為了提高安保的級(jí)別同時(shí)又為了方便接待，現(xiàn)將其中的五個(gè)參會(huì)

4、國(guó)的人員安排酒店住宿，這五個(gè)參會(huì)國(guó)要在、三家酒店選擇一家，且每家酒店至少有一個(gè)參會(huì)國(guó)入住，則這樣的安排方法共有A種B種C種D種12若函數(shù)滿足：對(duì)任意的，都有，則函數(shù)可能是ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13投擲一枚圖釘，設(shè)針尖向上的概率為0.6，那么針尖向下的概率為0.1若連續(xù)擲一枚圖釘3次，則至少出現(xiàn)2次針尖向上的概率為_14已知某商場(chǎng)在一周內(nèi)某商品日銷售量的莖葉圖如圖所示，那么這一周該商品日銷售量的平均數(shù)為_15在中，內(nèi)角，滿足，且，則的值為_.16顏色不同的個(gè)小球全部放入個(gè)不同的盒子中，若使每個(gè)盒子不空，則不同的方法有_（用數(shù)值回答）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫

5、出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在中，角的對(duì)邊分別為，且.（1）求的值；（2）求的值.18（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù)）.現(xiàn)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若點(diǎn)坐標(biāo)為，直線交曲線于,兩點(diǎn)，求的值.19（12分）已知，（1）如果函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，求函數(shù)的解析式；（2）在（1）的條件下，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（3）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍20（12分）己知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為（）求拋物線的方程；（）是拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn)，滿

6、足與在點(diǎn)處的切線垂直，求面積的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)。21（12分）已知橢圓左右焦點(diǎn)分別為，若橢圓上的點(diǎn)到，的距離之和為，求橢圓的方程和焦點(diǎn)的坐標(biāo)；若、是關(guān)于對(duì)稱的兩點(diǎn)，是上任意一點(diǎn)，直線，的斜率都存在，記為，求證：與之積為定值22（10分）已知函數(shù) ，(1)求 的圖象在 處的切線方程并求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；(2)求證： .參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)向量運(yùn)算和向量夾角公式，向量模依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】，故，故錯(cuò)誤；，故錯(cuò)誤；，故，故，錯(cuò)誤；，故，正確.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量

7、數(shù)量積，向量夾角，向量模，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.2、B【解析】將圓分組：第一組：，有 個(gè)圓；第二組：，有 個(gè)圓；第三組：，有 個(gè)，每組圓的總個(gè)數(shù)構(gòu)成了一個(gè)等差數(shù)列，前 組圓的總個(gè)數(shù)為，令，解得，即包含整組，故含有的個(gè)數(shù)是個(gè), 故選B.【方法點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式及歸納推理，屬于中檔題.歸納推理的一般步驟: 一、通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì). 二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想）. 常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1) 數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類問題時(shí)，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識(shí)，如等差

8、數(shù)列、等比數(shù)列等；(2) 形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.3、D【解析】根據(jù)對(duì)稱軸之間的距離，求得周期，再根據(jù)周期公式求得；再平移后，根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱可求得的值，進(jìn)而求得解析式。根據(jù)解析式判斷各選項(xiàng)是否正確?！驹斀狻恳?yàn)楹瘮?shù)圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為所以周期 ，則 所以函數(shù)函數(shù)的圖象向左平移單位，得到的解析式為因?yàn)閳D象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以，即，k Z因?yàn)樗约此灾芷冢訟錯(cuò)誤對(duì)稱中心滿足，解得，所以B錯(cuò)誤對(duì)稱軸滿足，解得，所以C錯(cuò)誤單調(diào)增區(qū)間滿足，解得，而在內(nèi)，所以D正確所以選D【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，周期、平移變化及單調(diào)區(qū)間的求法，屬于基礎(chǔ)題。4、C【

9、解析】根據(jù)題先求出閱讀過西游記的人數(shù)，進(jìn)而得解.【詳解】由題意得，閱讀過西游記的學(xué)生人數(shù)為90-80+60=10，則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為10100=0.1故選C【點(diǎn)睛】本題考查抽樣數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)采取去重法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題5、B【解析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)求出，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出，取交集即可【詳解】，解得：，而單調(diào)遞增，故值域：， ， 故選：【點(diǎn)睛】本題考查定義域值域的求法，考查交集等基本知識(shí)，是基礎(chǔ)題6、D【解析】利用數(shù)學(xué)期望結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解X的期望的最值，然后求解Y的數(shù)學(xué)期望.【詳解】，當(dāng)時(shí)，EX取得最大值，此時(shí).故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)學(xué)

10、期望和分布列的求法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.7、B【解析】在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)和函數(shù)的圖象，這兩個(gè)函數(shù)的圖象的焦點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為所求.【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)滿足，所以函數(shù)的周期為2，又當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，則方程的根的個(gè)數(shù)，等價(jià)于函數(shù)和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示，可得兩函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，即方程有4個(gè)根，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用問題，即根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判定，其中解答中把方程的根的個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.8、D【解析

11、】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：，將除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，5人排好后有5個(gè)空位可選，在其中任選1個(gè)，安排丙，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案【詳解】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：將除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，有種情況， 5人排好后有5個(gè)空位可選，在其中任選1個(gè)，安排丙，有5種情況，則有605300種不同的順序，故選D【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的實(shí)際應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題9、B【解析】分析：直接利用柯西不等式求函數(shù)的最大值.詳解：由柯西不等式得，所以（當(dāng)且僅當(dāng)即x=時(shí)取最大值）故答案為B.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查柯西不等式求最值，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌

12、握水平和分析推理能力.(2) 二元柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)均為實(shí)數(shù)，則，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.10、B【解析】假定ABCD和BCEF均為正方形，過D作，可證平面BCEF，進(jìn)而可得直線BD與平面BCEF所成的角正弦值，即直線與所成角的正弦值的最小值，當(dāng)直線與異面垂直時(shí)，所成角的正弦值最大.【詳解】過D作，垂足為G， 假定ABCD和BCEF均為正方形，且邊長(zhǎng)為1則平面CDG，故又，平面BCEF故直線BD在平面BCEF內(nèi)的射影為BG，由已知可得，則以直線BD與平面BCEF所成的角正弦值，所以直線BD與平面BCEF內(nèi)直線所成的角正弦值最小為，而直線與所成角最大為（異面垂直），即最大正弦值為1.故選：

13、B【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中線面角，面面角找法，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.11、D【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：把5個(gè)個(gè)參會(huì)國(guó)的人員分成三組，一種是按照1、1、3；另一種是1、2、2；由組合數(shù)公式可得分組的方法數(shù)目，將分好的三組對(duì)應(yīng)三家酒店；由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：、五個(gè)參會(huì)國(guó)要在a、b、c三家酒店選擇一家，且這三家至少有一個(gè)參會(huì)國(guó)入住，可以把5個(gè)國(guó)家人分成三組，一種是按照1、1、3；另一種是1、2、2當(dāng)按照1、1、3來(lái)分時(shí)共有C53=10種分組方法；當(dāng)按照1、2、2來(lái)分時(shí)共有 種分組方法；則一共有 種分組方法；、將分好的三組對(duì)應(yīng)三家酒店，有 種對(duì)應(yīng)方

14、法；則安排方法共有 種；故選D【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分類、分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，對(duì)于復(fù)雜一點(diǎn)的計(jì)數(shù)問題，有時(shí)分類以后，每類方法并不都是一步完成的，必須在分類后又分步，綜合利用兩個(gè)原理解決12、A【解析】由判斷；由判斷；由判斷 判斷；由判斷.【詳解】對(duì)于，對(duì)對(duì)于，不對(duì)對(duì)于，不對(duì)對(duì)于，不對(duì)，故選A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的解析式的性質(zhì)以及指數(shù)的運(yùn)算、對(duì)數(shù)的運(yùn)算、兩角和的正弦公式，意在考查對(duì)基本運(yùn)算與基本公式的掌握與應(yīng)用，以及綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問題的能，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】至少出現(xiàn)2次針尖向上包括：出現(xiàn)2次針尖向上和出現(xiàn)3次針尖向上，分

15、別求出它們的概率，根據(jù)互斥事件概率加法公式，可得答案【詳解】投擲一枚圖釘，設(shè)針尖向上的概率為0.6，針尖向下的概率為0.1連續(xù)擲一枚圖釘3次，出現(xiàn)2次針尖向上的概率為：0.132，出現(xiàn)3次針尖向上的概率為：0.216，故至少出現(xiàn)2次針尖向上的概率，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是互斥事件概率加法公式，先求出出現(xiàn)2次針尖向上和出現(xiàn)3次針尖向上的概率，是解答的關(guān)鍵14、【解析】直接計(jì)算平均數(shù)得到答案.【詳解】.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了莖葉圖的平均值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.15、【解析】利用二倍角公式得出，再利用正弦定理轉(zhuǎn)化，后用余弦定理求得，再利用正弦定理即可【詳解】由得， ，根據(jù)正弦

16、定理可得，根據(jù)余弦定理【點(diǎn)睛】本題考查解三角形中正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，余弦定理求角，以及三角形中兩角和正弦與第三角正弦的關(guān)系16、1【解析】分析：利用擋板法把4個(gè)小球分成3組，然后再把這3組小球全排列，再根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求得所有的不同放法的種數(shù)詳解：在4個(gè)小球之間插入2個(gè)擋板，即可把4個(gè)小球分成3組，方法有種然后再把這3組小球全排列，方法有種再根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得所有的不同方法共有 種，故答案為1點(diǎn)睛：本題主要考查排列、組合以及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，利用擋板法把4個(gè)小球分成3組，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】試題分

17、析：（1）利用余弦定理表示出 ，將已知等式代入即可求出的值；（2）由可求出 的值，然后利用兩角和的余弦公式可得結(jié)果.試題解析：（1）由，得，根據(jù)余弦定理得；（2）由，得，18、（1），；（2）.【解析】（1）根據(jù)參普互化和極值互化的公式得到標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立直線和圓的方程，得到關(guān)于t的二次，再由韋達(dá)定理得到.【詳解】（1）由消去參數(shù)，得直線的普通方程為又由得，由得曲線的直角坐標(biāo)方程為，即；（2）其代入得，則所以.19、（1）（2）（3）【解析】（1）求g（x）的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)g（x）單調(diào)減區(qū)間為（，1），即是方程g（x）0的兩個(gè)根然后解a即可（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程（3）將不等式2

18、f（x）g（x）+2成立，轉(zhuǎn)化為含參問題恒成立，然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可【詳解】（1）由題意的解集是：即的兩根分別是，1將或代入方程得（2）由（1）知：，點(diǎn)處的切線斜率，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為：，即（3），即：對(duì)上恒成立可得對(duì)上恒成立設(shè)，則令，得或（舍）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性，最值之間的關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算能力對(duì)含有參數(shù)恒成立問題，則需要轉(zhuǎn)化為最值恒成立20、（）（）面積的最小值為，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為【解析】（）設(shè)拋物線的方程是，根據(jù)焦點(diǎn)為的坐標(biāo)求得，進(jìn)而可得拋物線的方程（）設(shè)，進(jìn)而可得拋物線在點(diǎn)處的切線方程和直線的方程，代入拋物線方程根據(jù)韋達(dá)定理可求得，從而，又點(diǎn)到直線的距離，可得利用導(dǎo)數(shù)求解【詳解】（）設(shè)拋物線